函數(shù)是我們初中就開始接觸的一個數(shù)學(xué)概念,，也是高中階段最核心的數(shù)學(xué)概念之一，我們通常用f(x)來表示一個函數(shù),。上了大學(xué)之后,，我們會更加深入地研究函數(shù)的連續(xù)性，可微性,，可導(dǎo)性等問題,。但是對于絕大多數(shù)的同學(xué)，平時所接觸的函數(shù)都只是所謂的初等函數(shù),。初等函數(shù),，指的是由5大類基本初等函數(shù)：冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù),，對數(shù)函數(shù),，三角函數(shù)和反三角函數(shù)，經(jīng)過有限次加減乘除與復(fù)合所得到的函數(shù),。比如我隨手寫一個函數(shù)：

它可就可以看成是一個三角函數(shù)與冪函數(shù)做復(fù)合,，再和指數(shù)函數(shù)做除法得到的。

你可以搜羅一下你所見到的函數(shù),，基本上都是初等函數(shù),，那么這個“初等”又是怎么回事呢？難道還有“高等”的函數(shù)嗎,？

的確如此,，初等函數(shù)都具有一些良好的性質(zhì)，比如,，所有初等函數(shù)在其定義域上都是連續(xù)的,，并且是幾乎處處可導(dǎo)的，即使有一些不可導(dǎo)點，那這些不可導(dǎo)點也是有限的,、孤立的,。也就是說，初等函數(shù)的圖像都是我們可以想象出來的,，就是一段兒除了個別點之外,，其余都是連續(xù)的、光滑的曲線,。比如我剛才隨手寫的函數(shù),，它的圖像就是

那么是否會有一些函數(shù)，它有無窮多個不可導(dǎo)點,，甚至每一點都不可導(dǎo),，更有甚者，圖像我們連畫都畫不出來,？這樣的函數(shù)是有的,，而它顯然不是我們熟悉的初等函數(shù)，因為其性質(zhì)太過詭異,，我們稱其為“病態(tài)函數(shù)”,。最簡單的一類病態(tài)函數(shù)就是大名鼎鼎的迪利克雷函數(shù)。在介紹他之前,，我們先來介紹一下他的發(fā)明人——德國大數(shù)學(xué)家狄利克雷(Dirichlet),。

狄利克雷出生于1805年，他可謂是師出名門,，曾經(jīng)是“數(shù)學(xué)王子”高斯的學(xué)生,，同時也參加過另一位法國大數(shù)學(xué)家傅里葉領(lǐng)導(dǎo)的小組活動。他于1829年到柏林大學(xué)任教,，1831年被選為普魯士科學(xué)院院士,，并于1855年接替高斯成為哥廷根大學(xué)的教授，同年被選為英國皇家學(xué)會會員,。

狄利克雷在數(shù)論,，分析學(xué)，和數(shù)學(xué)物理等多方領(lǐng)域做出了杰出貢獻(xiàn),，19世紀(jì)上半葉非常重要的是一位數(shù)學(xué)家,，同時也為19世紀(jì)下半葉哥廷根大學(xué)成長為世界數(shù)學(xué)中心奠定了基礎(chǔ)。

長久以來,，人們只是把函數(shù)理解為兩個變量之間的變化關(guān)系,，并且通常用一個表達(dá)式來表示。1837年,，狄利克雷突破了這個框架,，認(rèn)為函數(shù)就是集合中兩個元素的對應(yīng)關(guān)系，而不必非得有一個表達(dá)式,，于是提出了函數(shù)就是x與y之間的一種對應(yīng)關(guān)系的現(xiàn)代觀點,。我們現(xiàn)在教科書上的關(guān)于函數(shù)的定義，基本上就是沿襲了這種觀點,。

為了說明這一觀點,，狄利克雷就構(gòu)造了一個人們以前從來沒有見過的函數(shù)，就是我們現(xiàn)在被稱之為狄利克雷函數(shù)的函數(shù),，它的函數(shù)表達(dá)式如下：

這個函數(shù)的圖像讓人想想就頭皮發(fā)麻：在實數(shù)軸上有無數(shù)多個密密麻麻的有理數(shù),，同時還有無數(shù)多個密密麻麻的無理數(shù)。因此它的圖像也是如此的詭異：在y=1的地方密密麻麻分布著無數(shù)個點,，但是因為有無理數(shù)的存在,，所以這些點彼此又存在無數(shù)多的空隙，不能連成一條連續(xù)的直線,，同樣道理,，在x軸上也是如此！這樣的圖像我們想試用筆畫出來是萬萬不可能的,。

這里需要補(bǔ)充一句,，有很多人說狄利克雷函數(shù)是不存在圖像的，這種說法是錯誤的,。它不是不存在圖像,，而是圖像我們無法用筆畫出。事實上,，任何函數(shù)都是有圖像的,，對于給定的函數(shù)f(x)，我們把集合

{ (x,，f(x)) | x在定義域內(nèi)}

稱為這個函數(shù)的圖像,。

狄利克雷函數(shù)徹底顛覆了人們對函數(shù)的傳統(tǒng)認(rèn)識。通常人們想象出來的函數(shù)就是一段或者幾段光滑的曲線,，它或許有不連續(xù)點或不可導(dǎo)點,，但都是有限多個、分散開的,，但是狄雷克雷函數(shù)的圖像,，人們連畫都無法畫出來，甚至它在連續(xù)性與可導(dǎo)性上更加突破了人們的想象,。我們就來看一下狄利克雷函數(shù)它具有哪些詭異的性質(zhì)：

狄利克雷函數(shù)處處不連續(xù)

意思是所有的點都是間斷點,。我們在高等數(shù)學(xué)里面學(xué)過，函數(shù)f(x)在x=a處連續(xù)的定義是函數(shù)在該點的極限值等于該點的函數(shù)值,，即它要滿足

不滿足的話,，則是不連續(xù)的。我們就拿這個定義來檢驗一下狄利克雷函數(shù)。當(dāng)a無論取何值時,，在a的任意一個小的鄰域內(nèi),，都有無數(shù)多個有理點和無數(shù)多個無理點，有理點處函數(shù)值為1,，無理點處函數(shù)值為0,，因此在a的左邊和右邊函數(shù)都是無窮震蕩的，所以x趨近a是f(x)的極限不存在,，也就更無法等于f(a)了,，因此是不連續(xù)的。因為a是任意取的一個值,，所以狄利克雷函數(shù)在任意一點都是不連續(xù)的,。

狄利克雷函數(shù)處處不可導(dǎo)

我們高中時都學(xué)過，可導(dǎo)一定連續(xù),，連續(xù)不一定可導(dǎo),，并且不連續(xù)一定不可導(dǎo)，迪麗克雷函數(shù)在任意一點都不連續(xù),，因此它在任意一點都不可導(dǎo),。

這里順便提一下，狄利克雷函數(shù)處處不可導(dǎo),，是因為處處不連續(xù),。不連續(xù)導(dǎo)致不可導(dǎo)，這沒什么大不了的,，但在1872年,，被譽(yù)為“近代分析之父”的德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯(Weierstrass)構(gòu)造出了一個處處連續(xù)但無處可導(dǎo)的函數(shù)，又進(jìn)一步顛覆了人們對導(dǎo)數(shù)概念的理解,，這是后話,。

狄利克雷函數(shù)在任意閉區(qū)間上不可積

我們在高等數(shù)學(xué)中學(xué)過，一個函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的定積分,，它的定義就是如下的極限：

右邊這個極限如果存在,，則稱f(x)在[a,b]上是可積的，極限如果不存在則稱為不可積,。

事實上,，想構(gòu)造出一個不可積的函數(shù)非常地困難?；叵胍幌履阍诟叩葦?shù)學(xué)里面接觸過的所有有界函數(shù),，其實都是在閉區(qū)間上可積的。而不可積的函數(shù)則只能從“病態(tài)函數(shù)”里面尋找,，狄利克雷函數(shù)就是其中一個最典型的例子,。

我們來說明一下為什么狄利克雷函數(shù)不可積,，就拿[0，1]這個閉區(qū)間舉例子,。我們做定義定積分的關(guān)鍵一步是要把[0,，1]這個閉區(qū)間分割成若干小段，然后再讓這些小段的長度趨近于0,。因為有理數(shù)和無理數(shù)是密密麻麻的排列在實數(shù)軸上的，所以一個小區(qū)間無論多么的短,，它里面都包含著無數(shù)多有理數(shù)和無理數(shù),。我們可以這樣來取x*的值：

對于任意短的小區(qū)間，第一個方法：我把所有的x*都取成無理數(shù),，于是所有的f(x*)都等于0,，因此

第二個方法：我們把所有的x*都取成有理數(shù)，于是所有的f(x*)都等于1,，因此

由此可以看出,，無論你你這個區(qū)間長度多么的短，都可以想方設(shè)法讓求和式子等于0,，同時也可以想方設(shè)法讓求和式子等于1,，于是這也相當(dāng)于是一個無窮震蕩，因此它的極限也不存在,。所以我們就說明了狄利克雷函數(shù)在[0,，1]閉區(qū)間上不可積。

上面三條就是狄利函數(shù)所具有的,，而你在初等函數(shù)中又無法看到的詭異的性質(zhì),。狄利克雷函數(shù)可以說是最簡單的一類病態(tài)函數(shù)，以他為思想我們可以構(gòu)造出很多其他類型的病態(tài)函數(shù),，比如說我們可以把0和1變成任意兩個不同的數(shù)：

可以看出這樣構(gòu)造出來的函數(shù),，同樣具有上述三個詭異的性質(zhì)。同時我們還可以對它進(jìn)行改造,，構(gòu)造出一些更為詭異的函數(shù),，例如只在一點處連續(xù)的函數(shù)，只在一點處可導(dǎo)的函數(shù)等等,，這個我將在下一篇文章里做介紹,。

上面狄利克雷函數(shù)的表達(dá)式是利用分段函數(shù)寫出的，那么它有沒有單個的表達(dá)式呢,？數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)狄利克雷函數(shù)可以利用下面這個式子來表示

小伙伴們可以思考一下,，為什么它就表示狄利克雷函數(shù)。

狄利克雷函數(shù)的發(fā)現(xiàn)在20世紀(jì)有了更為重大的意義,。20世紀(jì)初,，法國數(shù)學(xué)家勒貝格(Lebesgue)通過對傳統(tǒng)積分理論的研究,，提出了一種新的定積分理論——勒貝格積分。他發(fā)現(xiàn),，勒貝格積分是比傳統(tǒng)的定積分更為進(jìn)步的積分,，它囊括了更多的函數(shù)形式，而狄利克雷函數(shù)就是一個最典型的在傳統(tǒng)意義下不可積,，但卻是勒貝格可積的函數(shù),。用更專業(yè)的語言來講，勒貝格積分是傳統(tǒng)積分理論的完備化,，它使得人們對函數(shù)與積分的認(rèn)識更上一層樓,，而勒貝格積分也取代了傳統(tǒng)的定積分理論，成為當(dāng)代數(shù)學(xué)研究里面通用的積分理論,。而如果想要學(xué)習(xí)勒貝格積分,，就需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)測度論，這將又是一個很漫長的過程,。

最后,，就拿勒貝格大神的照片來鎮(zhèn)樓吧！相信每個學(xué)習(xí)過實變函數(shù)的人看到這張照片的人都會瑟瑟發(fā)抖,。

參考文獻(xiàn)

[1] 《高等數(shù)學(xué)》,，第七版，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系,，北京,，高等教育出版社

[2] 《數(shù)學(xué)分析（下冊）》，第三版,，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,，北京，高等教育出版社

[3] Calculus, early transcendentals, 7ed, James Stewart, Brook/COLE