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最近在寫的系列主要是面向高中生和大學數(shù)學系的本科生們, 希望搭建一座橋梁, 為高中的初等數(shù)學與大學的近現(xiàn)代數(shù)學建立聯(lián)系, 或許可以給喜歡數(shù)學的學生一點（未必合適的）引導, 讓他們了解一些近現(xiàn)代數(shù)學尤其是代數(shù)學研究發(fā)展的歷程, 激發(fā)（也許是澆滅）他們學習數(shù)學的熱情. 之所以選擇這些問題, 是因為它們是代數(shù)學發(fā)展的基石, 其發(fā)展歷程富有啟發(fā)性, 能給予學生們很好的訓練, 讓他們通過自己的思考去重復前人的發(fā)現(xiàn), 體會“再發(fā)現(xiàn)”的樂趣, 從而領悟數(shù)學思想. 這個過程或許有助于他們今后的科研探索. 然而, 十多年的大學教書經(jīng)歷告訴我, 上述想法的實現(xiàn)其實很難, 因為我們的教育尤其是中學教育是畸形的, 存在著太多的不足, 搞不清先天的和后天的哪個比重更大. 需要說明的是, 以下的思考是基于本人在大學的教書經(jīng)驗和教訓作出的, 結合了少許的與中學老師的交流. 存在的問題每次教大一的課程, 我都會在期中考試后讓學生們寫一個總結, 希望他們能夠反思一下進入大學后的幾個月的學習情況. 在日常教學過程中, 常常發(fā)現(xiàn)他們身上有太多應試教育的難以磨滅的痕跡, 這導致學生們明顯不適應大學課堂. 或許通過自我反思他們能轉變思維方式, 找到合適于自己的學習方法. 從學生的反饋看, 很多人上大學前對大學生活完全是陌生的, 上了幾個月課, 覺得被大學騙了, 尤其是“被高中老師騙了”. 大學的宣傳可能正能量偏多了一點, 而可能不止一位高中老師跟學生們說過: 你們苦過這三年, 上了大學就輕松了! 然而真正的大學生活似乎完全不是一回事, 當然不排除在某些大學或者某些專業(yè)是可能非常輕松的. 在這樣的氛圍里, 學生們表現(xiàn)出了各種能力的欠缺. 第一種是自理和自控能力不足. 學生們高考結束后甚至是在獲得保送資格之后就解脫了, 他們用包括撕書在內(nèi)的各種舉動來宣泄心中壓抑已久的情緒, 如同一根彈簧被拉伸到彈性限度之外, 再也沒有了彈性. 進入大學后, 很多學生對所學專業(yè)缺乏興趣, 失去奮斗的目標, 關鍵是沒有了來自老師家長的壓力, 無法恢復到高中時的學習狀態(tài), 有經(jīng)常打游戲度日的, 也不乏網(wǎng)吧的常駐人口. 在這個過程中, 來自家長,、老師,、輔導員或者同學的幫助都起不了作用, 一些學生只能選擇休學甚至退學. 如果以上還算是個別情況的話, 普遍情況是在超過半數(shù)的大學課堂有超過半數(shù)的學生在低頭看手機, 第二種是主動意識不夠, 這表現(xiàn)在很多方面. 首先是不會自主學習. 比如有不少學生就說自己除了吃飯睡覺就是學習, 但是效率很低, 事倍而功不到一半, 因為他們還是在用高中劃重點的方式學習數(shù)學, 習慣性地把定義,、命題和定理作為重點畫出來, 死記硬背, 而自覺或不自覺地過濾掉數(shù)學概念的背景, 無視命題,、定理等之間存在的內(nèi)在聯(lián)系. 這就像抗日戰(zhàn)爭中鬼子采用囚籠政策, 當公路,、鐵路被破壞后, 只剩下孤零零的炮樓. 其次是沒有動手的意識. 在課堂上, 習慣于被動地接受教師課堂講授的知識. 對于課上提出的問題, 不善于抓住有限的時間去思考, 只看不動, 等著老師講解; 或者滿足于自己有的一點想法, 光說不練, 真正要寫下來卻破綻百出. 再次是沒有主動交流的意識. 有些學生也能意識到自己學習方法的問題, 但是由于各種原因, 不會主動求助于老師或者同學. 上課時, 明明沒有聽懂, 也羞于啟齒問問題. 他們不知道, 如果問出來, 哪怕是很初等的問題, 也可以迅速地解答自己的疑惑, 從而提高課堂效率. 最重要的還是主動探索能力匱乏. 在過去的十幾年里, 教過幾屆大一學生, 也面試過不少學生, 中學生和大學生都有, 大部分學生通常會在兩類問題上不知所措. 一類問題是常規(guī)的, 比如求一些數(shù)列的通項公式, 有的學生會套用方法, 如果追問一下為什么這個方法是可行的? 大多數(shù)的回答是書上是這么寫的或者老師是這么教的. 大部分學生沒有意識去主動問為什么, 也沒有主動探索一下方法背后的原因. 另一類問題是開放式的, 比如先解釋一個沒有接觸過的概念, 讓學生們舉一些例子或者做一些簡單的推理, 很多學生會束手無策, 不知從何下手; 給一些提示, 試圖引導他們?nèi)プ鲆恍┏醪降奶剿? 也會發(fā)現(xiàn)阻力很大. 惰性在不知不覺中已經(jīng)形成了. 教學差異有句話是“分, 分, 分, 學生的命根”, 很準確地刻畫了中學生的處境. 現(xiàn)在的大學里, 學生們對分數(shù)的關注度也到了一個前所未有的高度. 在這一點上竟然有這樣驚人的一致, 著實令人詫異! 然而在實質(zhì)性的教育層面上, 國內(nèi)的中學教育與大學教育存在很大的不同, 兩者如同四輪馬車與高鐵一樣難以銜接. 受專業(yè)所限, 我只就我所了解的數(shù)學教育進行探討, 其他學科不便置喙. 每年都有幾百萬學生進入大學, 需要學習令不少人頭疼的高等數(shù)學, 其中有數(shù)萬名學生進入數(shù)學院系, 要系統(tǒng)學習數(shù)學分析,、高等代數(shù)、解析幾何、抽象代數(shù),、常微分方程等數(shù)十門專業(yè)性很強的數(shù)學課程. 大學數(shù)學與高中數(shù)學有顯著的不同, 這可能出乎很多大學新生的意料之外, 以至于一些高中（或者高考）時表現(xiàn)很優(yōu)秀的學生也非常不適應. 從教學內(nèi)容上看, 中學教材采用模塊化, 知識點比較散, 幾乎涵蓋了數(shù)學的所有分支. 廣度有了, 自然不能深入, 每個知識點都是淺嘗則止, 所以看起來比較直觀易懂, 能力強一些的學生看看書可能就會了. 但深度不夠導致一個很大的弊端, “高中的數(shù)學知識是欠邏輯的”（學生的話）, 也就是知識點之間缺乏聯(lián)系, 本該有的一些聯(lián)系被距離遙遠的模塊徹底淡化. 而大學數(shù)學就系統(tǒng)得多, 中學課本里的大部分章節(jié)都是大學數(shù)學的一門課或者一個研究方向, 甚至一個專業(yè). 每門課都集中于一個數(shù)學分支, 嚴密抽象, 理論性強, 需要學生有較強的邏輯推理能力. 課程內(nèi)容都有足夠的深度, 既自成體系, 有上下關聯(lián). 有人說, 大學里一周里學到的數(shù)學內(nèi)容比高中三年學到的都多, 可能有點夸張, 換成一個學期就應該沒有爭議了. 從教師的講課方式上看, 兩者大相徑庭. 中學數(shù)學內(nèi)容比較少, 老師們通常采用的是“一停, 二看, 三通過”的原則（不一定準確）: 講完一個知識點, 中學老師都會停下來, 給學生足夠的時間消化吸收, 還要輔之以一定的例題和練習. 然后看看學生們掌握的情況, 根據(jù)需要不斷地重復教學, 用大量的題目讓學生們課后反復練習, 還有各種周考月考. 重復了一定次數(shù)以后, 大部分學生掌握了, 于是繼續(xù)下一個知識點. 中學老師幾乎了解班上所有學生的特點, 有一定的時間保證可以適當做一些面對面的輔導. 而大學課程如果不是水課的話, 一般都是節(jié)奏快, 知識容量大. 大學老師會不斷向學生灌輸新的知識, 一般不會停下來復習, 充其量是在用到某個學過的知識點時提一下, 但也只能蜻蜓點水, 點到為止.大學的師和學生的關系要比中學的遠了許多. 一個學期下來, 任課教師叫不出幾個學生的名字這是很正常的; 如果任課教師能叫出班上所有學生的名字（當然學生不少于 20 人）, 那反而是一件很奇怪的事情. 大概是作為回應吧, 也有學生上了一個學期的課不知道任課教師的名字, 甚至不知道老師長啥樣. 我 2002 年在北大做博士后時講習題課. 期末考試前有個學生去辦公室找我答疑, 見了我的第一句話是: “請問朱老師在嗎?” 從學生的學習方式看, 差異很大. 很多學生都有同樣的體會: 中學數(shù)學是刷題刷出來的, 或者準確地說, 中學數(shù)學給他們留下的最深（希望不是全部）的印象是刷題. 學生們總有做不完的練習題, 其中很大一部分是機械性的重復. 在大量的重復訓練中, 學生們形成了條件反射, 會套用一些方法快速做題, 從而能有效應對考試. 然而這種訓練方式的后果是明顯的: 學生們窮于應付作業(yè), 根本沒有時間思考, 或者更嚴重的, 他們根本沒有產(chǎn)生要思考的念頭! 長此以往, 他們的思維能力在退化, 接受新知識的能力也在退化, 因為沒有足夠的重復次數(shù), 他們學不明白新知識. 這些都給學生的大學生活帶來了隱患, 因為大學數(shù)學一般是刷題刷不出來的, 很多課程沒有那么多習題供學生練習, 很多高年級的選修課的教材根本沒有課后練習! 有人說數(shù)學研究不是玩技巧的, 而是玩概念的, 很有道理. 大學的很多課程都是數(shù)學家們對一些問題感興趣, 提煉出其中共性得到一個新的概念, 圍繞這個概念進行探索, 逐步建立起一個新的數(shù)學理論, 原始問題在新的理論下一步步獲得解決. 這樣的課程對初學者是有一定挑戰(zhàn)性的, 光看書已經(jīng)不容易懂了, 因為他們從書上看不出或者根本不關心問題的起源和探索路徑, 自然也不明白為什么要講那些看起來不那么友好的數(shù)學命題. 對大部分學生來說, 課前適當預習, 了解一下課程的框架, 帶著問題聽課效果會好一點, 否則課后復習難度較大. 有的學生就反映, 復習過程有時要花費比老師講課更長的時間. 中美教育不得不提一下中美教育的對比. 在這一方面, 仁者見仁, 智者見智. 從學生平均的數(shù)學能力看, 東風壓倒西風, 比如公認的中國學生數(shù)學基本功扎實, 而美國學生常常出現(xiàn)算 2 × 2 也要動用計算器的奇葩事. 從頂尖學生的表現(xiàn)看, 西風壓倒東風. 最近幾年的每年 8 月初都有一件在國內(nèi)引起廣泛關注的事情, 那就是國際數(shù)學奧林匹克的結果. 原因很簡單, 中國隊最近四年都沒有獲得團體第一, 而之前被碾壓的美國隊有三次獨占鰲頭. 聽聽美國奧數(shù)隊領隊,、卡耐基梅隆大學數(shù)學系教授羅博深（Po-Shen Loh）怎么說的吧:“我覺得最重要的不是比賽的輸贏”, “對我而言, 有這個機會帶領這些學生盡情享受數(shù)學, 讓更多人喜歡數(shù)學才是最重要的. 我最希望的不是現(xiàn)在催他們做這些奧數(shù)題目, 而是讓他們真的學到一些更有用的東西, 這樣可以讓他們以后有一個非常好的、非常成功的未來.” 因為他認為, 18 歲不應該是終點而是出發(fā)點. 在培訓的過程中, 羅博深和他邀請來的各行各業(yè)的其他教練“不僅僅只是教授這些學生奧數(shù)的方法, 而且教他們真正的數(shù)學, 這些數(shù)學不只是 IMO 需要用到的”. 教練們也會和學生們交流, 奧林匹克數(shù)學競賽這條道路可能會通向哪里. 大概正是這種以興趣為導向,、以未來為目標的理念和圍繞這種理念的有效行動才是美國在近幾年崛起的真正原因, 并且在美國領先于世界的數(shù)學研究隊伍的支持下, 這樣的勢頭是可持續(xù)的. 這樣, 一大批對數(shù)學有濃厚興趣的學生們會不斷涌現(xiàn)出來, 成為數(shù)學研究領域的生力軍. 美國大學的數(shù)學研究者們對于學生包括中學生的培養(yǎng)的確非常有熱情, 比如一些名校的博士生在暑假期間常常有打工的機會, 主要任務是指導一些高中生嘗試做科研. 2011 年, MIT 的 Pavel Etingof 教授與另外六位作者合作出版了一本書, 題目是 Introduction to Representation Theory. 這本書的內(nèi)容包括代數(shù),、有限群、quiver（箭圖）表示論, 以及范疇論和有限維代數(shù)結構理論, 其中的大部分內(nèi)容在國內(nèi)高校數(shù)學院系的本科甚至研究生課程中都講不到. 在 Etingof 的主頁可以找到這本書的 PDF 文檔. 他在前言中說, 這本書是他在 2004 年給其他六位合作者的授課講稿, 而這六位聽眾當時都是高中生! 其中的 Tiankai Liu 應該是華人, 在 2001, 2002, 2004 年三次代表美國隊參加國際數(shù)學奧林匹克都獲得金牌. 還有一位合作者是來自 South Eugene 高中的 Dmitry Vaintrob, 他在 2006 年獲得面向高中生的 Siemens 競賽的第一名, 論文題目是 The string topology BV algebra, Hochschild cohomology and the Goldman bracket on surfaces, 論文已經(jīng)涉及到很深的數(shù)學理論, 在 Dmitry Vaintrob 的主頁上也能找到. 再看看我們在做什么? 曾經(jīng)看過一道競賽訓練題, 其本質(zhì)是把八位數(shù)19101112（華羅庚先生的誕生日）分解質(zhì)因數(shù). 很容易找到因數(shù) 8, 然后就一籌莫展了. 后來借助網(wǎng)絡工具才直到 19101112 = 8×1163×2053. 看到結果有點傻眼了: 有誰能只用紙筆得到這個分解? 后來發(fā)現(xiàn)自己孤陋寡聞了, 有學生說這種分解質(zhì)因數(shù)早就背過! 細細一想真的極為恐怖: 他們?yōu)槭裁匆尺@個? 他們又背了多少類似的東西? 類似的事情大數(shù)學家Euler 做過, 只是要有意義得多, 不可同日而語. Fermat 曾猜想形如的數(shù)都是素數(shù). 差不多一百年后的 1729 年, Euler 知道了這個猜想; 三年后, 他終于發(fā)現(xiàn), 從而否定了Fermat 的猜想. 可以想見, 當年 Euler 僅用紙和筆當然還有他那無與倫比的大腦進行演算時經(jīng)歷了怎樣的難度. 當然, Euler 不是完全用蠻力的, 他摸索出來一個高效的方法, 在《How Euler Did Even More》[6]一書中有一節(jié)專門探討了 Euler 怎么得到上述因式分解的. 無獨有偶, 與 Euler 齊名的德國數(shù)學家 Gauss 在前人的基礎上猜想: 小于正實數(shù) 的素數(shù)個數(shù)與 差不多. Gauss 是在統(tǒng)計了 3 000 000 以內(nèi)的素數(shù)之后得出的結論. 他的猜想后來被證明了, 進一步的研究（估計的誤差）涉及到更深刻的數(shù)學問題. 2007 年, 下面的彩圖曾經(jīng)風靡整個世界, 占據(jù)了不少國際主要媒體的重要版面, 甚至出現(xiàn)在一些時裝上. 這是 John Stembridge 用計算機畫的圖, 其中有240個點及一些點之間的連線. 它是一個具有高度對稱的數(shù)學研究對象（例外李代數(shù)的根系）在平面上的投影, 具有令人震撼的對稱美. 然而更讓人吃驚的是那張展現(xiàn)同一個數(shù)學對象的黑白圖片, 它是 Peter McMullen 在 20 世紀 60 年代用鉛筆在紙上畫出來的! 銜接的困難橫亙在高中和大學之間的是高考這座千仞大山. 南京師大附中的王棟生老師說,“高考不是一個好制度, 但是它是目前社會條件下唯一比較公平的制度”. 在相當長的一段時間內(nèi), 高考不太可能做太大的改動, 中學教育也不太可能做實質(zhì)性的改革——當然免不了一些自上而下的折騰. 所以, 中學教育的問題在短時間內(nèi)是無解的. 北大的錢理群教授退休之后投身中學教育十余年, 在包括他的母校南京師大附中在內(nèi)的不少中學實踐他的語文教育理念, 結果是“屢挫屢戰(zhàn), 屢戰(zhàn)屢挫”, “節(jié)節(jié)敗退”, 直到幾年前宣布退出. 學生們說, 不是不想聽他的課, 可是他講的內(nèi)容與高考無關, 有幸的話高考之后再找機會聽. 錢理群教授感嘆: 在現(xiàn)行的中國中學教育體制下, 應試教育之外的任何教育都很難進入校園. 不過, 錢理群喚醒的為數(shù)不多的中小學教師還在“絕望中抗爭”, 他們希望探索一條素質(zhì)教育之路, 當然前提是對高考有幫助. 然而這種探索的難度是很大的. 首先, 大部分中學教師具有足夠的能力和正確的理念來實施素質(zhì)教育嗎? 因為女兒在上學, 近十余年還是比較關注中小學教育的, 也自以為是地發(fā)現(xiàn)了中小學教育的若干問題, 比如重復做同一份試卷, 抄寫各知識點很多遍, 背教參上的標準答案, 有趣的歷史,、地理也僵化成一個個冷漠的知識點, 甚至有不少老師為了應付作文考試讓學生提前把各種題材都寫一篇, 反復修改后“背”下來, 考試時默寫到試卷上! 更要命的是這種現(xiàn)象是普遍的! 其次, 設身處地地想一想, 中學老師有余力實行所謂的素質(zhì)教育嗎? 近有期中,、期末各種統(tǒng)考, 還有月考甚至周考, 遠有至關重要的高考, 這些考試在很大程度上“考的就是熟練程度和對陷阱的敏感度”（學生的話）, 大量重復訓練成了一種必然. 而學生的成績應該是衡量老師的教學效果的唯一標準吧, 誰愿意吃力不討好地花更大的精力實施短期難以見效的所謂素質(zhì)教育? 班上的學生人數(shù)多且又參差不齊, 不太可能有某一套素質(zhì)教育方案適用所有的孩子, 也沒有時間對每個孩子進行所謂的因材施教. 第三, 素質(zhì)教育有足夠的市場嗎? 對于大多數(shù)孩子來說, 如果在高考中失利, 即使帶著不錯的素質(zhì)進入不太理想的大學, 其結果是不難想象的, 其中應該會有一部分人能脫穎而出, 但比例不會太高. 孩子是一個家庭的未來, 對很多家庭來說似乎是唯一的希望, 所以一些探索素質(zhì)教育的學校和老師遇到的最大阻力是來自于家長, 甚至是學生. 錢理群曾經(jīng)感慨, 我們在培養(yǎng)一些“精致的利己主義者”. 當然板子不能只打在學生身上. 盡管如此, 探索之路應該也必須要走下去, 或許可以走得靈活一點. 素質(zhì)教育不應該與高考沖突. 就數(shù)學教育而言, 如果我們不是把寶貴的時間花費在大量重復訓練上, 而是有意識地引導學生們?nèi)ヌ剿鲿旧系闹R, 讓學生們在碰壁的過程中領悟數(shù)學的奧秘, 在上下求索的過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學好玩, 不知不覺中具有了探索未知領域的勇氣, 提高了邏輯思維和解決問題的能力, 這對于應付高考即使不是如探囊取物一般也會起到催化劑的作用吧. 在這一方面值得借鑒的是 Moore 方法. 1911 年拓撲學家 R. L. Moore 在賓夕法尼亞大學的研究生拓撲課程中，先把課程內(nèi)容切割成幾十個定義和命題, 要求學生在不參考文獻的前提下獨立完成證明, 并在課堂上講解自己的思路, Moore 和同學一起聽課并參與討論,、點評. 1920 年以后,，該方法漸漸在國外流行起來, 有相當一部分大學數(shù)學系開設類似課程, 例如著名數(shù)學家 Halmos 就曾用 Moore 方法給一年級本科生開設線性代數(shù)課程. 當然, 這個方法推廣到中學是否能收到預期效果很難說, 因為這對于師生的要求都很高. 一方面, 教師需要站在一定的高度融合課程內(nèi)容, 并把課程內(nèi)容分割成難度適中的問題, 既要有一定的難度給學生們適度的挑戰(zhàn), 又要保持整體的連貫性, 讓學生們在探索過程中逐漸領悟問題的前因后果; 另一方面, 需要學生有一定的自學能力和探索精神, 在一定的引導下堅持自主探索解決問題的方法. 學生的整體水平是參差不齊的, 教師要隨時準確了解學生的狀況, 根據(jù)學生的能力做適當調(diào)整, 以免“畫虎不成反類犬”. 從我在大學課堂中的實踐來看, 難度不小. 按照德國著名數(shù)學家和教育家 Klein（克萊因, 1849--1925）的觀點, 中學數(shù)學教師要做好引導必須要“站得更高的視角來審視、理解初等問題, 只有觀點高了, 事物才能顯得明了而簡單”. 目前, 大部分中學數(shù)學教師未必具有這樣的素質(zhì), 因為他們不一定是數(shù)學系畢業(yè)的; 即使是數(shù)學系畢業(yè)的, 當年所學到的大學數(shù)學也忘得差不多了, 記住的部分也很難與中學教育相結合. 目前的教育環(huán)境讓中學老師也疲于奔命, 沒有精力去了解各種數(shù)學理論及其發(fā)展史, 更談不上在教學中適當引導學生. 在這一方面大學應該承擔應有的責任, 與中學建立緊密地合作關系, 在探索過程中提供必要的火力支援. 鄭州外國語學校曾經(jīng)做過有益的嘗試. 他們與幾所大學合作, 請大學老師為他們的數(shù)理化三科的教師講授與中學課程有緊密聯(lián)系的大學內(nèi)容, 以期讓教師們站得更高, 從而更有針對性地進行教學工作. 不管效果如何, 這是走出了有前瞻性的第一步, 如果能持續(xù)下去, 效果會顯現(xiàn)出來的. 大學課堂更應該成為素質(zhì)教育的主要場所, 因為相對中學而言, 大學具有先天的優(yōu)勢. 大學不再面臨高考指揮棒了, 可以自主安排教學計劃, 嘗試不同的培養(yǎng)模式. 大學生也不用再圍繞幾個主要科目了, 而是有專業(yè)性的選擇, 盡管這種選擇未必是根據(jù)個人興趣做出的. 大學教師也有條件按照好的教育理念來實施教育, 雖然目前的評價機制讓教學淪為雞肋. 大學更需要在教育理念上做變革, 做一些有意義的實質(zhì)性探索, 而不是僅僅在各種場合空談教育理念. 我們要走的路還很長, 因為大學數(shù)學教育有自身的嚴重問題. 比如, van der Waerden（范德瓦爾登, 1903-1996）的名著 Algebra 中大概是為了敘述方便, 把一個明顯的小結論寫成了命題的形式. 一位老先生在寫書的時候美其名曰“挖補定理”, 結果國人如獲至寶, 又是注記, 又是探索, 又是推廣, 為之發(fā)表了數(shù)十篇文章, 順便也寫入教材, 納入習題, 忙得不亦樂乎. 發(fā)表文章是為了生存, 這倒也罷了, 要命的是學生們都好騙, 工工整整把“定理”及其證明都抄寫下來以備不時之需. 這招的確有點用, 一些半開卷的數(shù)學考試是允許學生們帶一張寫滿字的 A4 紙到考場的, 于是學生們也多了一項技能, 能在一張紙上盡可能地寫下更多的字. 這不由讓人有了一點憧憬: 過一段時間后學生們應該有能力在一張紙上抄下整本書, 這可是與微雕有異曲同工之妙啊. 更有趣的是, 也許是有的考試要求學生們只能帶寫了一面的 A4 紙（可能只是段子, 沒有考證過）, 學生們就活學活用地“發(fā)明”了只有一面的 Mobius 紙. 也有一些考試的題目有七八十分的往年考題, 于是, 考前輔導班就應運而生了, 都是高年級同學義務做的, 并且還贈送精心收集的往年考題收藏版. 當然也可能會搞砸了, 因為任課教師偶爾也會一時心血來潮換題了...... 探索之路就像羅博深教授所說的, 帶領“學生盡情享受數(shù)學, 讓更多人喜歡數(shù)學才是最重要的”. 然而做起來并不容易. 有句老話說得好: 興趣是最好的老師. 然而在教學過程中, 我們會發(fā)現(xiàn)情況很不樂觀: 真正對數(shù)學感興趣的學生屈指可數(shù). 也許是孤陋寡聞了, 兄弟院?？赡軙煤芏? 學生們是從什么時候開始喪失了對數(shù)學的興趣? 我們應該如何呵護學生們的脆弱的好奇心, 讓他們“不憚以前驅”, 敢于探索數(shù)學, 發(fā)現(xiàn)和欣賞數(shù)學之美; 擅于應用數(shù)學, 解決生活中遇到的問題? 挪威數(shù)學家 Abel 曾經(jīng)說過, 應該讀大師的著作, 這樣才能更好地向大師們學習. 當然, 對于大部分人而言, 讀大師的原著既不現(xiàn)實, 也沒必要. 由于近幾百年尤其是近一百年的發(fā)展, 數(shù)學已經(jīng)今非昔比. 現(xiàn)代數(shù)學有更精準的語言, 更合理的記號, 更深刻的理論, 從而可以更簡潔明快地闡述以前的數(shù)學. 高中有一門選修課是數(shù)學史, 問學生的時候, 不少人都不知道. 有的說好像有一本教材, 只是課從來沒開過. 歷史首先是精彩的, 如果只是時間,、地點、人物,、事情的流水賬, 比如赤壁之戰(zhàn)寫成: “東漢末年, 在長江赤壁一帶, 孫劉聯(lián)軍以火攻大破曹軍”, 那就成了簡單的“歸納中心思想”, 毫無趣味了. 看看《資治通鑒》或《三國演義》 的描寫, 情節(jié)曲折, 跌宕起伏, 令人手不釋卷. 更重要的是, 作為歷史上為數(shù)不多的以弱勝強的戰(zhàn)役, 苦肉計,、連環(huán)計, 妙計疊出, 給后人留下了太多可借鑒的地方, 又有多少文人墨客爭相傳誦, 成就了多少千古名篇. 翻過幾本數(shù)學史方面的書籍包括高中教材, 大多數(shù)乏善可陳, 其主要問題就是記流水賬, 既缺乏精彩的語言文字, 又沒有必要的數(shù)學理論的推理. 要知道, 與人類發(fā)展史一樣, 數(shù)學發(fā)展史同樣也是波瀾壯闊的, 尤其是數(shù)學家們經(jīng)過多年的苦心探索, 在某一個歷史時刻靈光乍現(xiàn), 新的思想火花的迸發(fā)實現(xiàn)了歷史性的突破, 其精彩程度不亞于一場驚心動魄的戰(zhàn)役, 有時還是結合了多國數(shù)學家智慧的世界大戰(zhàn)! 而其中的數(shù)學思想是彌足珍貴的財富, 是數(shù)學史教材中應該花大力氣展現(xiàn)的地方, 因為這才能讓后人了解到奇妙的數(shù)學理論的發(fā)展歷程, 領悟到其中閃光的思想, 從而得到借鑒和啟發(fā). 其實每一本數(shù)學教材就是一部數(shù)學思想史, 是前人多年智慧的結晶. 只是大多數(shù)教材都是把數(shù)學理論單獨拿出來, 其中充斥著從天而降的定義、晦澀難懂的命題, 看似精彩但卻莫名奇妙的證明, 這難免令人望而生畏; 再加上多如牛毛的練習, 學生們的好奇心和求知欲逐漸被消磨殆盡了. 等到他們進入大學學習更為系統(tǒng)的理論的時候無所適從, 搞得大學數(shù)學教育也很狼狽. 所以教學中的一個關鍵之處是把略顯枯燥的數(shù)學理論與流水賬式的數(shù)學史更好地結合起來, 引導學生們追隨前人的足跡, 走數(shù)學家走過的路, 切身經(jīng)歷數(shù)學發(fā)展的歷程, 體驗數(shù)學研究的苦與樂, 感知數(shù)學家們在歷史突破的那一瞬間的情懷. 這樣, 學生們通過自己的努力重復前人的發(fā)現(xiàn), 體會“再發(fā)現(xiàn)”的樂趣, 就能更好地欣賞數(shù)學之美, 領悟數(shù)學思想, 體會到數(shù)學好玩, 而不僅僅滿足于記住結論, 會做難題或考個高分. 大部分數(shù)學理論都是從實際問題中來, 最后又回到解決實際問題中去, 所以學生們?nèi)缒軕盟鶎W的數(shù)學知識, 解決身邊的問題, 他們的好奇心會被激發(fā), 求知欲會增強, 探索能力得以培養(yǎng). 當然, “冰凍三尺, 非一日之寒”, 要改變現(xiàn)狀實現(xiàn)目標談何容易! 不過, 也不可小視微薄的個人之力, “愚公移山”,、“蚍蜉撼樹”未必是貶義詞. 錢理群教授在中學進行的語文教育的嘗試失敗了, 如果進行數(shù)學方面的嘗試結果會如何呢? 這是我很想知道的事情. 在數(shù)學教育過程中, 問題引導的方式應該起到關鍵的作用. 當然, 問題的選擇很關鍵, 也是最為困難的. 哪些有趣的數(shù)學問題可以介紹給學生, 供其中力所能及的并且有興趣的學生探索? 初步的選擇自然是課本知識的整理和升華, 這即使是對于考試來說也是不無裨益的. 除此以外, 最好是在數(shù)學發(fā)展史中起到關鍵的推動作用的問題, 沿著歷史足跡走, 按照人類的認知規(guī)律進行教學. 我根據(jù)自己的研究興趣列舉一些有趣的問題, 不過沒有經(jīng)過實踐檢驗, 未必適合大部分中學生. 首先是代數(shù)學. 我正在寫代數(shù)學發(fā)展史方面的系列: 尺規(guī)作圖,、高次方程求根、線性方程組,、線性空間, 后面還有群,、環(huán),、域、表示論等. 這個歷史過程可以參看文獻[2]. 其中的很多問題都是從中學代數(shù)學內(nèi)容中稍微提升一下即可. 其次是在微積分. 中小學階段至少有兩個遺留問題: 圓和矩形的面積公式. 估計有不少人會覺得矩形的面積公式?jīng)]問題, 實際上這需要一個中學證明不了的平行線分線段成比例定理. 這兩個問題的核心就是微積分, 微積分的歷程可以參看文獻[3]. 第三是幾何學. 中學的平面幾何在大學里用得很少, 倒是中學不怎么用的尺規(guī)作圖有用處. 古希臘還有一個杰出成就是知道正多面體只有五個, 這個問題很有意思, 與群論有關, 也與更深刻的數(shù)學理論有對應. 當然更深刻的就是幾何公理尤其是平行公理的獨立性問題, 這引出了非歐幾何. 第四是數(shù)論. 眾所周知的 Goldbach 猜想的影響力并不像它在國內(nèi)的名聲那樣, 真正有趣的是 Fermat 大定理. Simon Singh 的杰作《費馬大定理: 一個困惑了世間智者 358 年的迷》[7] 堪稱此類書籍的典范. 其中會涉及到 Bernoulli 數(shù), 這與
的公式有關, 也與很多數(shù)論問題如 Riemann 猜想關系密切. 當然初等數(shù)論也有很多有趣的問題[1], 不過如果懂一點群論再看初等數(shù)論會好很多, 不論是理解理論本身還是欣賞其中的美. 第五是組合數(shù)學. 有趣的問題很多, 只舉一個我關心的問題------和諧圖. 考慮一個連通圖（也就是由平面上一些點——稱為頂點——和某些頂點之間的連線得到的圖, 整個圖形是連在一起的）, 給每個頂點賦一個正整數(shù)值. 如果存在一種賦值方法使得每個頂點的賦值的 2 倍等于與之相鄰的頂點的賦值之和, 則稱這種圖為和諧圖. 例如 這個圖在代數(shù)里也能見到, 它與前面提到的 Peter McMullen 的鉛筆畫是一回事. 從某種意義上說, 它與正二十面體也是一回事. 算是代數(shù),、幾何,、組合的聯(lián)合體. 當然不僅僅是這一個圖. 讀者可以嘗試把所有的調(diào)和圖都找出來, 它們與所有正多邊形和正多面體有完美的對應關系（McKay 對應）, 也與代數(shù)學的其他分支如 Lie 群 Lie 代數(shù)、箭圖等有密切關系. 結束語以上都是一家之言, 由于對中學教學不是很熟悉而難免有失偏頗. 教育是一個長期的事情, 不能看短期效應. 其中的很多問題需要探索, 很多想法需要實踐檢驗, 需要有思想的數(shù)學教師的參與, 更需要有好奇心和求知欲的學生的參與. 歡迎有想法的同行和感興趣的同學來探討數(shù)學教育問題, 我的郵箱是 [email protected] 或 [email protected]. 參考文獻
本文轉自：數(shù)林廣記,，感謝朱教授授權轉載,。 |
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