1,、問題與數(shù)據(jù)

最大攜氧能力(maximal aerobic capacity, VO2max)是評價人體健康的關(guān)鍵指標(biāo)，但因測量方法復(fù)雜,，不易實(shí)現(xiàn),。某研究者擬通過一些方便、易得的指標(biāo)建立受試者最大攜氧能力的預(yù)測模型,。

目前,，該研究者已知受試者的年齡和性別與最大攜氧能力有關(guān)，但這種關(guān)聯(lián)強(qiáng)度并不足以進(jìn)行回歸模型的預(yù)測,。因此,，該研究者擬逐個增加體重(第3個變量)和心率(第4個變量)兩個變量，并判斷是否可以增強(qiáng)模型的預(yù)測能力,。

本研究中,，研究者共招募100位受試者，分別測量他們的最大攜氧能力(VO2max),，并收集年齡(age),、性別(gender)、體重(weight)和心率(heart_rate)變量信息,，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：

注：心率（heart_rate）測量的是受試者進(jìn)行20分鐘低強(qiáng)度步行后的心率,。

2、對問題的分析

研究者擬判斷逐個增加自變量(weight和heart_rate)后對因變量(VO2max)預(yù)測模型的改變,。針對這種情況,，我們可以使用分層回歸分析(hierarchical multiple regression)，但需要先滿足以下8項(xiàng)假設(shè)：

假設(shè)1：因變量是連續(xù)變量

假設(shè)2：自變量不少于2個（連續(xù)變量或分類變量都可以）

假設(shè)3：具有相互獨(dú)立的觀測值

假設(shè)4：自變量和因變量之間存在線性關(guān)系

假設(shè)5：等方差性

假設(shè)6：不存在多重共線性

假設(shè)7：不存在顯著的異常值

假設(shè)8：殘差近似正態(tài)分布

那么,，進(jìn)行分層回歸分析時,，如何考慮和處理這8項(xiàng)假設(shè)呢？

3,、對假設(shè)的判斷

3.1 假設(shè)1-2

假設(shè)1和假設(shè)2分別要求因變量是連續(xù)變量,、自變量不少于2個。這與研究設(shè)計(jì)有關(guān),，需根據(jù)實(shí)際情況判斷,。

3.2 假設(shè)3-8

為了檢驗(yàn)假設(shè)3-8，我們需要在SPSS中運(yùn)行分層回歸,，并對結(jié)果進(jìn)行一一分析,。

(1)點(diǎn)擊Analyze→Regression→Linear

出現(xiàn)下圖：

(2)將因變量（VO2max）放入Dependent欄,，再將自變量（age和gender）放入Independent欄：

解釋：因研究者已知性別、年齡與最大攜氧能力的關(guān)系,，我們先把這兩個變量放入模型,。

(3)點(diǎn)擊Next，彈出下圖：

解釋：大家可能會注意到Independent(s)框中的標(biāo)簽由-Block 1 of 1- 變?yōu)?Block 2 of 2-,。這說明age和gender變量依舊存在于模型中,，在- Block 2 of 2-中，大家可以點(diǎn)擊Previous查看,。同時,，Method欄應(yīng)設(shè)置為“Enter”，一般是SPSS自動設(shè)置的,；如果不是,，也應(yīng)人工設(shè)置為“Enter”。

(4) 將自變量(weight)放入Independent欄

解釋：放入weight變量是為了檢驗(yàn)加入該變量后對age,、gender-VO2max預(yù)測模型的影響,。

(5)點(diǎn)擊Next，彈出下圖：

解釋：大家可能會注意到Independent(s)框中的標(biāo)簽由-Block 2 of 2- 變?yōu)?Block 3 of 3-,。同樣地,，age,、gender和weight變量依舊存在于模型中,，可以點(diǎn)擊Previous查看。Method欄也應(yīng)設(shè)置為“Enter”,，如果不是,，改為“Enter”。

(6)將自變量(heart_rate)放入Independent欄

解釋：放入heart_rate變量是為了檢驗(yàn)加入該變量后對age,、gender,、weight-VO2max預(yù)測模型的影響。

(7)點(diǎn)擊Statistics,，彈出下圖：

(8)在Regression Coefficient框內(nèi)點(diǎn)選Confidence intervals,，在Residuals框內(nèi)點(diǎn)選Durbin-Watson和Casewise diagnosis，并在主對話框內(nèi)點(diǎn)選R squared change,、Descriptives,、Part and partial correlations和Collinearity diagnosis

(9) 點(diǎn)擊Continue，回到主界面,。

(10)點(diǎn)擊Plots,，彈出下圖：

(11)在Standardized Residual Plots對話框中點(diǎn)選Histogram和Normal probability,并點(diǎn)選Produce all partial plots

(12)點(diǎn)擊Continue回到主對話框

(13) 點(diǎn)擊Save

(14)在Predicted Values框內(nèi)點(diǎn)選Unstandardized，在Distances框內(nèi)點(diǎn)選Cook’s和Leverage values,，在Residuals框內(nèi)點(diǎn)選Studentized和Studentized deleted

(15)點(diǎn)擊Continue→OK

經(jīng)過這些操作,，Variable View 和Data View對話框中會增加5個變量：

這5個變量分別是未標(biāo)化預(yù)測值(unstandardized predicted values,，PRE_1)，學(xué)生化殘差(studentized residuals,，SRE_1),，學(xué)生化刪除殘差(studentized deleted residuals，SDR_1),，Cook距離(Cook's Distance values,，COO_1)以及杠桿值(leverage values，LEV_1),。

根據(jù)這5個新增變量和其他結(jié)果,，我們將逐一對假設(shè)3-8進(jìn)行檢驗(yàn)。

注意：分層回歸對假設(shè)3-8的檢驗(yàn)過程與多重線性回歸基本一致,，為避免重復(fù)講解,，我們在本章節(jié)只介紹基本原理，詳細(xì)內(nèi)容請參見多重線性回歸分析,。

3.2.1  假設(shè)3：具有相互獨(dú)立的觀測值

觀測值之間相互獨(dú)立是分層回歸的基本假設(shè)之一,，主要檢驗(yàn)的是1st-orderautocorrelation，即鄰近的觀測值（主要是殘差）之間沒有相關(guān)性,。我們根據(jù)SPSS中的Durbin-Watson檢驗(yàn)判斷該假設(shè),，如果不滿足，則需要運(yùn)用其他模型,，如時間序列模型等,。

3.2.2 假設(shè)4：自變量和因變量之間存在線性關(guān)系

分層回歸不僅要求因變量與所有自變量存在線性關(guān)系，還要求因變量與每一個自變量之間存在線性關(guān)系,。其中,，我們主要通過繪制未標(biāo)化預(yù)測值(PRE_1)和學(xué)生化殘差(SRE_1)的散點(diǎn)圖檢驗(yàn)因變量與所有自變量之間的線性關(guān)系。

而為檢驗(yàn)因變量與每一個自變量之間是否存在線性關(guān)系,，我們則需要分別繪制每個自變量與因變量的散點(diǎn)圖,。如果假設(shè)4不滿足，我們可以嘗試進(jìn)行數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換或者其他統(tǒng)計(jì)方法,。

3.2.3 假設(shè)5：等方差性

等方差性也可以通過學(xué)生化殘差(SRE_1)與未標(biāo)化預(yù)測值(PRE_1)之間的散點(diǎn)圖進(jìn)行檢驗(yàn),。如果研究結(jié)果提示不滿足等方差性假設(shè)，我們也可以通過一些統(tǒng)計(jì)手段進(jìn)行矯正,，如對自變量進(jìn)行轉(zhuǎn)換或采用加權(quán)最小二乘法回歸方程等,。

3.2.4 假設(shè)6：不存在多重共線性

當(dāng)回歸中存在2個或多個自變量高度相關(guān)時，就會出現(xiàn)多重共線,。它不僅可影響自變量對因變量變異的解釋能力,，還影響整個分層回歸模型的擬合。

為了檢驗(yàn)假設(shè)6,，我們主要關(guān)注相關(guān)系數(shù)(correlationcoefficients)和容忍度/方差膨脹因子(Tolerance/VIF)兩類指標(biāo),。一般來說,，如果自變量之間的相關(guān)系數(shù)大于0.7，或者容忍度小于0.1,，方差膨脹因子大于10,，我們就會懷疑模型存在多重共線性。

3.2.5 假設(shè)7：不存在顯著的異常值

根據(jù)作用方式的不同,，分層回歸的異常值主要分為離群值(outliers),、強(qiáng)杠桿點(diǎn)(leverage points)和強(qiáng)影響點(diǎn)(influential points)3類。異常的觀測值可以符合其中一類或幾類,。但無論是哪一類都對分層回歸的預(yù)測能力有著嚴(yán)重的負(fù)面影響,。好在我們可以通過SPSS檢測這些異常值。

其中,，(1) 離群值是指實(shí)際值與預(yù)測值相差較大的數(shù)據(jù),，可以用Casewise Diagnostics檢驗(yàn)和學(xué)生化刪除殘差(SDR_1)兩種方法進(jìn)行檢驗(yàn)。(2) 我們通過數(shù)據(jù)的杠桿值(LEV_1)檢測強(qiáng)杠桿點(diǎn),。(3) 而強(qiáng)影響點(diǎn)主要通過Cook距離(COO_1)進(jìn)行檢測,。如果存在這些異常值，我們可以根據(jù)實(shí)際情況判斷是否需要剔除或調(diào)整,。

3.2.6 假設(shè)8：殘差近似正態(tài)分布

在分層回歸中,，我們可以使用兩種方法判斷回歸殘差是否近似正態(tài)分布：(1) 帶正態(tài)曲線的柱狀圖或P-P圖；(2) 根據(jù)學(xué)生化殘差繪制的正態(tài)Q-Q圖,。詳細(xì)內(nèi)容參見多重線性回歸分析,。

4、結(jié)果解釋

分層回歸可以得到3個主要結(jié)果：

新增自變量解釋因變量變異的比例

根據(jù)自變量預(yù)測因變量

自變量改變一個單位,，因變量的變化情況

為了更好地解釋和報告分層回歸的結(jié)果,，我們需要統(tǒng)計(jì)以下3個方面：

各模型的比較

模型的擬合程度

回歸系數(shù)

4.1 各模型的比較

比較不同模型是進(jìn)行分層回歸的主要目的,。SPSS輸出變量納入結(jié)果,，如下：

從Model欄可以看出，本研究共有3個模型：Model 1,、Model 2和Model 3,。Variables Entered欄顯示該研究中每個模型較前一個模型增加的變量。

Model 1是第一個模型,，沒有前序變量,，因此該模型的自變量只有g(shù)ender和age。Model 2比前一個模型(Model 1)增加了weight變量,；Model 3比Model 2增加了heart_rate變量,。這3個模型的納入變量與之前的SPSS操作一致，如下：

必須注意的是,，Model 2和Model 3中納入的變量都是在上一個模型基礎(chǔ)上的,。比如,，Model 3是在Model 2的基礎(chǔ)上納入heart_rate變量，即共納入age,、gender,、weight和heart_rate四個變量，而不是heart_rate一個變量,，具體解釋如下：

4.2 判斷分層回歸模型的擬合程度

判斷分層回歸模型擬合程度的指標(biāo)有很多,，我們主要向大家介紹變異的解釋程度、R2值在各模型間的變化和模型的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義3個指標(biāo),。

4.2.1變異的解釋程度

分層回歸中的每個模型都相當(dāng)于一個強(qiáng)制納入變量（Enter method）的多重線性回歸模型,，具體評價指標(biāo)也相似：

Measures of model ‘fit’ for the three models: 分別評價本研究中3個模型的擬合程度

R2是多層回歸的重要指標(biāo)，反映自變量解釋因變量變異的程度,。從上表可以看出,，隨著自變量數(shù)量的增加，模型1-3的R2逐漸增加,，分別是0.188,、0.427和0.710，提示各模型對因變量的預(yù)測能力逐漸加強(qiáng),。

但是分層模型主要是檢驗(yàn)增加自變量是否具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義,，如模型2增加了weight變量后R2的變化是否具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義呢？我們將在4.2.2節(jié)為詳細(xì)大家介紹,。

4.2.2R2值在各模型間的變化

為了判斷新增變量對回歸的影響,，我們需要關(guān)注下表的右半部分：

Assessing model change：對比模型變化

R Square Change欄顯示的是該模型與上一個模型R2的差值，Sig. F Change欄顯示的是該差值的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的P值,。以Model 1為例,，如下：

Initial Model（Model 1）：模型1

模型1是初始模型，在空模型的基礎(chǔ)上增加了age和gender兩個變量,。該模型的R2差值（R Square Change欄）和R2值（R Square欄）相同,，均為0.188。R2差值具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義,，P<0.001（Sig. F Change欄）,。

模型2在模型1的基礎(chǔ)上增加了weight變量，R2值的變化情況如下：

Change between Model 1 and Model 2: 對比模型1和模型2

模型2的R2差值為0.239,，即模型2的R2值(0.427)與模型1的R2值(0.188)的差,。Sig. F Change欄提示，P<0.001,，即模型2的R2差值具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義,。

在本研究中，模型2與模型1的差別僅在于weight變量，提示在回歸中納入weight變量后自變量對因變量變異的解釋能力增加23.9%（P<0.001）,，即納入體重變量對受試者最大攜氧能力的預(yù)測改善有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義,。

解釋：如果我們在模型2中增加了不止一個變量，那么R2值的改變就是所有新增變量共同作用的結(jié)果,，而不是某一個變量的,。

模型3在模型2的基礎(chǔ)上增加了heart_rate變量，R2值的變化情況如下：

Change between Model 2 and Model 3：對比模型2和模型3

模型3的R2差值為0.283,，即模型3的R2值（0.710）與模型2的R2值（0.427）的差,。Sig. F Change欄提示，P<0.001,，即模型3的R2差值具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義,。提示在回歸中納入heart_rate變量后自變量對因變量變異的解釋能力增加28.3%（P<0.001），即納入心率變量對受試者最大攜氧能力的預(yù)測改善有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義,。

4.2.3 模型的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義

分層回歸的每一個模型都相當(dāng)于一個多重線性回歸模型,。SPSS輸出ANOVA表格中包括對每一個模型的評價，如下：

一般來說,，我們習(xí)慣性只匯報最終模型的結(jié)果（本研究的模型3）,，如下：

模型3是全模型，納入gender,、age,、weight和heart_rate四個變量。結(jié)果示,，該模型具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義,，F(xiàn)(4,95)=58.078，P<0.001,，提示因變量和自變量之間存在線性相關(guān),，說明相較于空模型，納入這四個自變量有助于預(yù)測因變量,。

注釋：如果SPSS輸出的結(jié)果中“Sig”值為“.000”,，代表的是P<0.001，而不是P=0.000,。同時,，如果P>0.05,，我們最好在報告中寫清楚具體數(shù)值,，如P=0.092，從而為讀者提供更多的信息,。

4.3回歸系數(shù)

正如前文所述,，分層回歸模型主要關(guān)注的是最終模型，即本研究中的模型3，在對回歸系數(shù)進(jìn)行解釋時也是如此,。

Full model （Model 3）：模型3

我們可以按照多重線性回歸的分析方法對分層回歸系數(shù)進(jìn)行解釋,。連續(xù)變量(如age變量)的回歸系數(shù)表示自變量每改變一個單位，因變量的變化情況,。分類變量(如gender變量)的回歸系數(shù)表示不同類別之間的差異,，詳細(xì)內(nèi)容參見多重線性回歸。

值得注意的是,，我們運(yùn)行分層回歸的主要目的是分析是否有必要增加新的自變量,，而不是進(jìn)行預(yù)測，回歸系數(shù)不是我們主要關(guān)注的結(jié)果,。但是如果在匯報時需要提供回歸系數(shù),，我們也可以把這部分增加在報告中。

5,、撰寫結(jié)論

5.1 簡潔匯報

本研究采用分層回歸,，分析逐步增加體重和心率變量是否可以提高性別、年齡對最大攜氧能力的預(yù)測水平,。最終模型(模型3)納入性別,、年齡、體重和心率4個變量,，具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義R2=0.710,，F(xiàn)(4, 95) = 58.078 (P<0.001)，調(diào)整R2=0.698,。

僅增加體重變量(模型2)后,，R2值增加0.239，F(xiàn)(1, 96) = 40.059(P<0.001),，具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義,。增加心率變量(模型3)后，R2值增加0.283,，F(xiàn)(1, 96) = 92.466(P<0.001),，具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，具體結(jié)果見表1,。

表1. 分層回歸結(jié)果

5.2具體匯報

本研究采用分層回歸,，分析逐步增加體重和心率變量是否可以提高性別、年齡對最大攜氧能力的預(yù)測水平,。通過繪制部分回歸散點(diǎn)圖和學(xué)生化殘差與預(yù)測值的散點(diǎn)圖,，判斷自變量和因變量之間存在線性關(guān)系。

已驗(yàn)證研究觀測值之間相互獨(dú)立（Durbin-Watson檢驗(yàn)值為1.910）,；并通過繪制學(xué)生化殘差與未標(biāo)化的預(yù)測值之間的散點(diǎn)圖,，證實(shí)數(shù)據(jù)具有等方差性,。

回歸容忍度均大于0.1，不存在多重共線性,。異常值檢驗(yàn)中,，不存在學(xué)生化刪除殘差大于3倍標(biāo)準(zhǔn)差的觀測值，數(shù)據(jù)杠桿值均小于0.2,，也沒有Cook距離大于1的數(shù)值,。Q-Q圖提示，研究數(shù)據(jù)滿足正態(tài)假設(shè),。

最終模型（模型3）納入性別,、年齡、體重和心率4個變量,，具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義R2=0.710,，F(xiàn)(4, 95) = 58.078 (P<0.001)，調(diào)整R2 = 0.698,。僅增加體重變量(模型2)后,，R2值增加0.239，F(xiàn)(1, 96) = 40.059 (P<0.001),，具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義,。增加心率變量(模型3)后，R2值增加0.283,，F(xiàn)(1, 96) = 92.466 (P<0.001),，具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，具體結(jié)果見表1,。

表1.分層回歸結(jié)果

解釋：我們?yōu)榱吮M可能地向大家展示分層回歸結(jié)果,，在表1里納入了所有可能需要匯報的指標(biāo)。但在實(shí)際工作中,，大家可能并不需要匯報這么多,，應(yīng)視情況而定。