理想世界的流體方程

1757年,，數(shù)學(xué)家歐拉（Leonhard Euler）發(fā)現(xiàn)了后來被稱為“歐拉方程”的流體方程,，這些方程描述了流體隨時(shí)間的演化，就像牛頓的力學(xué)方程描述臺(tái)球在桌子上的運(yùn)動(dòng)一樣,。

歐拉方程是一種理想化的對(duì)流體運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)描述,，它們在一定的假設(shè)范圍內(nèi)，模擬流體的運(yùn)動(dòng),。更確切地說,，歐拉方程描述了流體中無窮小的粒子的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)。這個(gè)描述包括一個(gè)粒子的速度和它的渦量（即旋轉(zhuǎn)的速度和方向）,?？偟膩碚f，這些信息匯聚成了一個(gè)“速度場”,，描繪了流體在給定時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)情況,。歐拉方程從一個(gè)初始速度場開始，預(yù)測它在未來每一刻會(huì)發(fā)生的變化,。

兩個(gè)多世紀(jì)以來,，它們似乎做到了描述任何情況下的任何流體運(yùn)動(dòng)。然而多年來,，一些數(shù)學(xué)家一直懷疑歐拉方程在某些特定的情況下會(huì)失效,，因?yàn)闅W拉方程并不是對(duì)真實(shí)世界流體的完全描述，它包括幾個(gè)非物理性的假設(shè),。例如,，它們假設(shè)當(dāng)流體的內(nèi)流在流過彼此時(shí)，不會(huì)產(chǎn)生摩擦,；再比如它們還假設(shè)流體是“不可壓縮的”,，這意味著在歐拉方程的世界里，流體是無法被壓縮到比它已經(jīng)占據(jù)的空間更小的空間里的,。

○ 由不可壓縮的歐拉方程支配的理想流體的運(yùn)動(dòng)：u為流體的速度場,，p為內(nèi)壓強(qiáng)的力。

顯然,，真正的流體內(nèi)部是有摩擦的,，歐拉方程的描述將流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)定在了一個(gè)特定的理想化世界中。若要模擬更真實(shí)的流體運(yùn)動(dòng),，則需要使用納維-斯托克斯方程（NS方程）。許多數(shù)學(xué)家和其他研究人員想要知道,，在科學(xué)上仍占有非常崇高地位的歐拉方程,，在無摩擦、不可壓縮的理想化世界中，是否總是能夠精確地描述流體的所有未來運(yùn)動(dòng)狀態(tài),。

終于,，一個(gè)新的證明找到了會(huì)讓歐拉方程失效的特定條件。

尋找歐拉方程的缺陷

今年,，加利福尼亞大學(xué)圣迭戈分校（UCSD）的數(shù)學(xué)家Tarek Elgindi分別于4月和10月向arXiv提交了兩篇論文,，這兩篇論文推翻了這組著名流體方程在幾個(gè)世紀(jì)以來的假設(shè)。

Elgindi證明了,，在一組特定的情況下,，歐拉方程會(huì)開始輸出無意義的東西。他所找到的特例令眾數(shù)學(xué)家們大吃一驚,，因?yàn)檫@一“特例”是過去數(shù)學(xué)家們一直以為總能使方程有效的條件,。但這并不代表歐拉方程從此將失去它在科學(xué)界的重要地位。

從理論上說,，根據(jù)歐拉方程的運(yùn)作原理,，當(dāng)你將當(dāng)前狀態(tài)的值代入方程中之后，就能產(chǎn)生未來某一時(shí)刻的精確值,；再將未來某一時(shí)刻的值代入方程,，就能再次延伸預(yù)測。通常情況下,，這個(gè)過程是一直有效的,，它似乎能延伸到我們可預(yù)見的遙遠(yuǎn)未來。但是,，一旦在這個(gè)過程中歐拉方程開始產(chǎn)生一個(gè)無法繼續(xù)代入計(jì)算的值時(shí),，歐拉方程便失效了。

是什么樣的值無法被繼續(xù)代入計(jì)算,？它們一定是以某種非常不合理的方式放大了流體中的某個(gè)點(diǎn)的速度或渦量,。這種放大非常極端，會(huì)將某一點(diǎn)的速度或渦量在有限的時(shí)間內(nèi)放大到無窮大,。一旦出現(xiàn)無窮大,，方程就會(huì)崩潰，無法再繼續(xù)對(duì)未來狀態(tài)進(jìn)行描述,。

這些致命的極值被稱為“奇點(diǎn)”,。因此當(dāng)數(shù)學(xué)家在詢問“歐拉方程是否總是成立”時(shí)，他們實(shí)際上是在問：歐拉方程是否會(huì)在某些情況下產(chǎn)生奇點(diǎn),？

多數(shù)數(shù)學(xué)家相信答案是肯定的,，但他們從來沒有找到一個(gè)具體的實(shí)例。直到Elgindi的證明出現(xiàn),。他的結(jié)果雖然沒有表明歐拉方程會(huì)在某個(gè)確切條件下產(chǎn)生奇點(diǎn),，但這已經(jīng)是迄今為止最接近這一目標(biāo)的結(jié)果,。

降低復(fù)雜度

為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，Elgindi考慮了一個(gè)簡化版的流體運(yùn)動(dòng)模型,。在真實(shí)的三維流體中,，任何粒子都有三個(gè)可以移動(dòng)的軸，即x軸（左右）,、y軸（上下）和z軸（前后）,，它們有很大的運(yùn)動(dòng)自由度；而且流體中的不同部分的粒子的運(yùn)動(dòng)不一定有任何密切聯(lián)系,。

在Elgindi的研究中,，他簡化了歐拉方程需要處理的工作。他讓流體的運(yùn)動(dòng)關(guān)于z軸對(duì)稱,，這種對(duì)稱在真實(shí)流體中雖然并不存在,，但卻能使得對(duì)速度場的計(jì)算更加容易。他還限制了流體的運(yùn)動(dòng)范圍,，流體中的粒子只可以沿z軸的方向,，或朝著或遠(yuǎn)離z軸運(yùn)動(dòng)，不能繞著z軸旋轉(zhuǎn),。這樣的設(shè)定基本上把問題簡化成一個(gè)二維問題,。

最后，Elgindi對(duì)他輸入歐拉方程中的初始數(shù)據(jù)設(shè)定了一些額外規(guī)定,。從某種意義上說,，這些數(shù)據(jù)比描述真實(shí)世界流體的數(shù)值更加粗糙，更有可能形成奇點(diǎn),。

在現(xiàn)實(shí)世界里,，如果你從流體中的一個(gè)點(diǎn)移動(dòng)非常小的距離到另一點(diǎn)，那么第二個(gè)點(diǎn)的速度和第一個(gè)點(diǎn)的速度應(yīng)該非常相似,，它們的渦量應(yīng)該也非常相似,。具有這種特性的速度場被稱為是“平滑”的，也就是說,，當(dāng)你從一個(gè)點(diǎn)移動(dòng)到下一個(gè)點(diǎn)時(shí),，速度場的值會(huì)連續(xù)平滑地變化，而不是快速變化,。

但在Elgindi對(duì)流體的描述中情況卻不是這樣,，他的數(shù)據(jù)中的渦量變化更大。雖然看起來Elgindi的簡化似乎與現(xiàn)實(shí)的流體行為偏離太多,，但與許多其他數(shù)學(xué)家為研究歐拉公式所做過的簡化相比,，這已經(jīng)是非常溫和的設(shè)定。最終,，Elgindi證明了在這些簡化過的情況下,，歐拉方程已經(jīng)開始產(chǎn)生非常意外的結(jié)果,。

極值出現(xiàn)

在Elgindi的證明中，他設(shè)定的流體是沒有邊界的,，就像是在空間漂浮的一個(gè)點(diǎn)。現(xiàn)在,，我們用水箱中的水為例來理解他的證明,。想象在水箱的兩端有兩個(gè)厚厚的水環(huán)，它們就像漩渦一樣在流體的主體內(nèi)形成有組織的擾動(dòng),。這種現(xiàn)象在自然界中確實(shí)存在,。

現(xiàn)在，假設(shè)這兩個(gè)環(huán)朝著相對(duì)的方向移動(dòng),。在前進(jìn)的過程中,，歐拉方程正常運(yùn)行，計(jì)算出流體在每個(gè)時(shí)刻的速度場,。但當(dāng)環(huán)越靠越近時(shí),，方程就開始出現(xiàn)一些異常值。方程計(jì)算出的結(jié)果顯示,，當(dāng)兩個(gè)環(huán)越靠越近時(shí),，它們就以越來越大的強(qiáng)度相互吸引，導(dǎo)致環(huán)的中央被拉長了,，看起來更像一對(duì)漏斗,。隨著它們的中心越靠越近，它們的速度也越來越快,，最終相撞,。

觀察相撞時(shí)的速度場，就能看到從未在歐拉方程的假設(shè)情況下所看到的東西——奇點(diǎn),。Elgindi證明了歐拉方程在相撞的點(diǎn)能計(jì)算出無窮大的渦量,。

Elgindi的結(jié)果完全改變了數(shù)學(xué)家看待歐拉方程的方式。在此之前,，數(shù)學(xué)家從來沒有證明過,，在沒有邊界的情況下，歐拉方程只在短時(shí)間內(nèi)有效,，而不是永遠(yuǎn)有效,。在這場漫長的尋找歐拉方程中的“弱點(diǎn)”的拉鋸戰(zhàn)中，終于有一位數(shù)學(xué)家作出了突破,。