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一、引言——數(shù)學(xué)一直很重要

數(shù)學(xué)是理解世界,、公民身份和經(jīng)濟(jì)增長的基石,。

全球教育體系已經(jīng)逐步適應(yīng)了工業(yè)時(shí)代的需求， 正在為迎接創(chuàng)新時(shí)代的來臨做準(zhǔn)備,，為促進(jìn)學(xué)生在快速轉(zhuǎn)型的過程中獲得成功而努力,。19 世紀(jì)后期，社會(huì)和人力資源需求的迅猛增長促進(jìn)了課程的最近一次重大變革,。21 世紀(jì)與19 世紀(jì)的教育課程完全不同,，為了滿足全社會(huì)對(duì)教育的需求，21 世紀(jì)教育應(yīng)該注重對(duì)知識(shí)理解的深度和多樣性的培養(yǎng),。

數(shù)學(xué)是以下各領(lǐng)域的基礎(chǔ)：以科學(xué),、技術(shù)和工程為創(chuàng)新原動(dòng)力的經(jīng)濟(jì)發(fā)展；理解現(xiàn)實(shí)世界與公民身份,。

PISA（國際學(xué)生評(píng)估項(xiàng)目）對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)給出了如下精確描述：^①“一個(gè)具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人,，能認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中所起的作用，能利用數(shù)學(xué)作出有根據(jù)的判斷和決策,，是一個(gè)具有建設(shè)性,、參與意識(shí)和反思能力的公民。”

科學(xué)/ 技術(shù)/ 工程/ 數(shù)學(xué)(STEM) 是課程的重要因素,，尤其是在當(dāng)今世界范圍內(nèi)供不應(yīng)求,，STEM 教育需求很大，而STEM 素養(yǎng)被認(rèn)為是通過創(chuàng)新促進(jìn)增長的關(guān)鍵驅(qū)動(dòng)力,。^①數(shù)學(xué)是STEM 的基礎(chǔ),，也是培養(yǎng)創(chuàng)新者的關(guān)鍵要素，更應(yīng)受到格外關(guān)注,。

如圖1 所示,，在目前的教育系統(tǒng)中，STEM 課程占學(xué)生總學(xué)時(shí)的比例——在經(jīng)合組織（OECD^②）調(diào)查的國家中約占30％的學(xué)時(shí)： 

進(jìn)一步分析可知,，數(shù)學(xué)在STEM 課程總學(xué)時(shí)中約占45% 的學(xué)時(shí),，或者大約占總的授課時(shí)間的11%。（而對(duì)于經(jīng)合組織國家大約占15% 的時(shí)間,，每年為此課程約花費(fèi)2.35 萬億美元,。^③） 

二、應(yīng)對(duì)2021年P(guān)ISA的改進(jìn)理由

我們將描述基于PISA 2015 數(shù)學(xué)框架的非常有效和有意義的概念,，并作為本文的參考（如圖2 所示）,。

（一）數(shù)學(xué)推理是理解世界的鑰匙

正如PISA 數(shù)學(xué)框架中定義的,，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一個(gè)重要方面是個(gè)人的數(shù)學(xué)推理能力。

從數(shù)學(xué)本質(zhì)來說,，任何數(shù)學(xué)問題都離不開數(shù)學(xué)推理,。一些復(fù)雜問題需要分解成一系列簡單問題，然后再求解,。但是,，即使將問題簡化后能產(chǎn)生用“心算” 來計(jì)算的解，也要利用數(shù)學(xué)推理來證明這些解的合理性,。數(shù)學(xué)難題一旦被正確演繹的數(shù)學(xué)推理所解決將會(huì)給世界帶來創(chuàng)新的動(dòng)力：我們得出了這個(gè)不可辯駁的永恒真理,。

在日常生活中從現(xiàn)有事實(shí)推演出合乎邏輯推論的能力是至關(guān)重要的，因?yàn)檫@種能力可以用于數(shù)學(xué)之外的情境,。當(dāng)我們想要在事實(shí)的基礎(chǔ)上準(zhǔn)確地證明我們的觀點(diǎn)時(shí),，就會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)課上學(xué)過的邏輯推理：一個(gè)結(jié)論暗含了另一個(gè)結(jié)論，而一個(gè)精心挑選的反例可以將虛偽對(duì)手的論據(jù)化為灰燼,。

在提出自己的觀點(diǎn)或分析他人的觀點(diǎn)時(shí),，具有建設(shè)性、參與意識(shí)和反思能力的公民會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)推理的能力做出有根據(jù)的判斷和決策,，這是至關(guān)重要的（PISA 2015 數(shù)學(xué)框架草案,，第5 頁）。因此,，數(shù)學(xué)教師應(yīng)特別注意培養(yǎng)學(xué)生這一能力,。培養(yǎng)這種能力比教學(xué)生用常規(guī)方法解決標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)問題要困難得多。在沒有老師直接參與的情況下,，學(xué)生想要取得成功,，就需要構(gòu)建一系列論據(jù)鏈。當(dāng)學(xué)生將這種訓(xùn)練轉(zhuǎn)變成他們的習(xí)慣時(shí),，不僅會(huì)主動(dòng)表達(dá)他們的觀點(diǎn)（例如,，通過點(diǎn)擊Facebook 上的“喜歡”），而且還會(huì)辯護(hù)和捍衛(wèi)自己的觀點(diǎn),。^④ 

（二）全球就業(yè)能力需求的變化

幾十年來,，隨著對(duì)數(shù)學(xué)需求的不斷增長，數(shù)學(xué)已經(jīng)出現(xiàn)了許多新的分支和主題,，這反映在表1 的經(jīng)合組織工業(yè)調(diào)查中,；^①簡言之，現(xiàn)代工業(yè)需要不同的數(shù)學(xué),， 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的分支已經(jīng)超越傳統(tǒng)的分支,，如算術(shù)、幾何和代數(shù)。今天與數(shù)學(xué)相關(guān)的分支和主題已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了15 年以前的范圍,。

顯然，對(duì)測量師和木工的需求表明當(dāng)時(shí)社會(huì)需要精通三角函數(shù)這一數(shù)學(xué)分支的人才,，然而,，現(xiàn)代社會(huì)對(duì)他們的需求量已經(jīng)下降了，取而代之的是對(duì)數(shù)據(jù)分析人才的需求,。谷歌（Google）首席經(jīng)濟(jì)學(xué)家哈爾·瓦里安（Hal Varian）曾表示：^②“我一直在說,，未來十年最令人羨慕的人將是統(tǒng)計(jì)學(xué)家。大家認(rèn)為我是在開玩笑,，但誰會(huì)想到計(jì)算機(jī)工程師會(huì)是20 世紀(jì)90 年代最誘人的職業(yè)呢,？”

三、清晰的推理及過程

PISA 關(guān)于數(shù)學(xué)能力的測試中,，最重視學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)推理來解決問題的能力,。這種推理能力的測試題目， 對(duì)參與的學(xué)生來說,，通常是困難的,。許多學(xué)生不能給出預(yù)期的對(duì)問題分析的一系列論據(jù)鏈。

盡管如此,，許多未通過測試的學(xué)生仍然試圖解決這些測試題目,，因?yàn)樗麄兿矚g做這些有趣而富有挑戰(zhàn)性的問題，不喜歡那些只需要簡單計(jì)算的題目,。正因?yàn)槿绱?，由于?shù)學(xué)推理對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要性，在未來的PISA 測試中評(píng)估這些試圖解決問題的嘗試^③是非常重要的,，以獎(jiǎng)勵(lì)那些使學(xué)生能接受正確教育的教育體系,，通過認(rèn)真篩選將要構(gòu)建的項(xiàng)目，使學(xué)生利用正確的推理方法來解答,，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng),。

因此，我們建議擴(kuò)展數(shù)學(xué)過程的描述（表述,、應(yīng)用,、解釋、評(píng)估）,，并在PISA 數(shù)學(xué)框架內(nèi)確定這些處理過程為數(shù)學(xué)建模的主要組成部分,，其中有七個(gè)最常用于尋找正確推理方法的推理工具，^④如圖3 所示,。

學(xué)生給出的解答中對(duì)上述工具的成功運(yùn)用可以衡量他們使用數(shù)學(xué)推理方法解決問題的能力,。^⑤通過這種方式，學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的測量將變得更加精確,。

2015 年P(guān)ISA 數(shù)學(xué)框架草案規(guī)定：“2015 年P(guān)ISA 數(shù)學(xué)測試題目將分布于以下三個(gè)數(shù)學(xué)過程之一：1. 以數(shù)學(xué)方法表述問題情境,；2. 運(yùn)用數(shù)學(xué)概念,、事實(shí)、過程和推理,；3. 解釋,、應(yīng)用和評(píng)估數(shù)學(xué)結(jié)果?！?/span>

請(qǐng)注意,，解釋原始現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)化結(jié)果的過程， 以及從有用性角度來評(píng)估前面結(jié)果的過程,，在圖2 中是分開呈現(xiàn)的,，在這里放在一起考慮。這是因?yàn)樗鼈冇幸粋€(gè)共同的目標(biāo)：重新評(píng)估數(shù)學(xué)模型的約束條件,， 以確定所獲得的解答是否合理,，或者是否有必要繼續(xù)修改該模型。

當(dāng)以數(shù)學(xué)方法解決問題時(shí),，人們經(jīng)常會(huì)面對(duì)量化的數(shù)據(jù),。單獨(dú)的數(shù)量是沒有任何意義的，它的意義來自與其他數(shù)量的關(guān)系,。為了識(shí)別這些聯(lián)系,，我們有三個(gè)基本工具：比較（comparison）、比例推理（propor-tional reasoning）,、應(yīng)用乘法量表（applying multi-plicative scales）,。在利用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行公式化過程中， 使用這些工具的能力是非常重要的,。

比較：當(dāng)一個(gè)數(shù)量與另一個(gè)相關(guān)的數(shù)量進(jìn)行比較時(shí),，這個(gè)數(shù)量才有意義。例如,，每年1 萬億美元的貨幣利率本身意義不大,，但如果它是政府預(yù)算或GDP 的一部分，那么它就有意義了,。另一個(gè)例子：在一篇報(bào)紙文章中僅僅讀到帶一個(gè)數(shù)字的句子,，例如“100 萬粉絲走上街頭慶祝體育團(tuán)隊(duì)的勝利”（波士頓報(bào)紙上經(jīng)常出現(xiàn)）傳達(dá)的信息很少。只有將100 萬與波士頓和內(nèi)城區(qū)的總?cè)丝冢s為100 萬）進(jìn)行比較時(shí),，這個(gè)數(shù)字才有意義（因?yàn)榱钊朔浅ｋy以置信）,。比例推理：通過比較產(chǎn)生比率。理解比率變化之間的相關(guān)性（例如,，長度加倍可獲得四倍于原來的面積）,，即比例推理的實(shí)質(zhì)，對(duì)于利用數(shù)學(xué)方法描述現(xiàn)實(shí)世界問題是至關(guān)重要的。在PISA 框架之下,，比例推理為PISA 問題的解答提供了簡單的方法,。

應(yīng)用乘法量表（包括指數(shù)增長）：下一個(gè)工具是以比率為單位進(jìn)行計(jì)數(shù)——例如：太陽質(zhì)量大于地球質(zhì)量的多少可以用以2（或10）為底數(shù)的指數(shù)形式來表示?；跀?shù)量有較大范圍的差異,，使用對(duì)數(shù)和指數(shù)尺度來表示數(shù)量。對(duì)數(shù)尺度能表示宇宙中長度,、時(shí)間和能量的巨大的動(dòng)態(tài)數(shù)量范圍。在人類社會(huì)中,，指數(shù)增長模型有助于模擬人口,、經(jīng)濟(jì)、流行病傳播或資源利用的增長,。由于模型的復(fù)雜性,，在數(shù)學(xué)模型中運(yùn)用數(shù)學(xué)概念和公理來推理也很困難。學(xué)生可能會(huì)被模型中出現(xiàn)的許多數(shù)學(xué)符號(hào)的含義搞得暈頭轉(zhuǎn)向,。因此,，簡化模型的能力是數(shù)學(xué)過程中運(yùn)用階段的一個(gè)非常重要的方面。有四種基本的簡化工具,，可幫助我們以可理解的方式表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的復(fù)雜性：拆分（divide and conquer）,、歸并（lumping）、由簡入繁（consider first easy cases）,、概率推理和邏輯推理（Probabilistic and logical reasoning）,。

拆分：這個(gè)工具很久以前就被廣泛使用了。我們將難題分解成許多容易解答的部分,。例如,，在計(jì)算24+ 38 時(shí)，學(xué)生可以將38 分解為6 和32,，然后先計(jì)算24 +6= 30 再計(jì)算30+32=62,。對(duì)于PISA 年齡的學(xué)生來說， 可使用拆分來推理的一大類問題就是所謂的費(fèi)米問題,。例如：“一條繁忙的鐵路能運(yùn)送多少乘客（每小時(shí)運(yùn)送乘客數(shù)）,？”為了解決這個(gè)問題，可將此問題化簡為該鐵路每小時(shí)有多少列車通過,，每列車有多少車箱,， 每節(jié)車廂有多少乘客。費(fèi)米問題有時(shí)也需要進(jìn)行近似估算,，這可由下一個(gè)推理工具——?dú)w并來實(shí)現(xiàn),。

歸并：通過對(duì)數(shù)字的舍入運(yùn)算或利用簡單形狀逼近復(fù)雜形狀的方法，忽略不太重要的細(xì)節(jié)問題，解決主要問題,。因此,，可將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題。例如,，登富士山問題要求學(xué)生計(jì)算一個(gè)人步行的長度,， 這個(gè)人走了22,500 步，總路程9 公里,，登上了富士山,。簡單的歸并計(jì)算給出了近似的估計(jì)：大約20,000 步走了大約10,000 米，意味著每步約0.5 米,。由簡入繁：當(dāng)問題仍然太難時(shí),，可利用該問題的若干特例來理解這個(gè)問題。例如,，在求解數(shù)學(xué)推測時(shí),， 我們首先用n=0 和n=1 的特例來嘗試一下?；蛘?，在個(gè)人和社會(huì)背景下，抵押貸款的利息就像年金保險(xiǎn)一樣,，在某種特殊情況下,，它的利率乘以貸款期遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1；或者,，在另一種特殊情況下,，抵押貸款分期償還， 它的利率乘以貸款期遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1,。在每一種特殊情況下,， 支付額度是容易計(jì)算的，并且這個(gè)計(jì)算過程比一般的情況更容易理解,。

概率推理和邏輯推理：數(shù)學(xué)過程中的完整“推理” 流程要求利用概率推理或邏輯推理,。利用概率推理來表示那些不確定的知識(shí)——特別是利用概率來假設(shè)事件發(fā)生的可能性。如：貝葉斯定理,，它與證據(jù)和可信度有關(guān),，它是通過計(jì)算收集來的數(shù)據(jù)和證據(jù)來推理不確定的知識(shí)，這些知識(shí)用概率來描述它的改變,。概率推理包括邏輯推理：在概率為0（假）或1（真）的簡單（極端）情況下,，概率推理簡化為邏輯推理。解釋和評(píng)估是由原始現(xiàn)實(shí)問題引出的,，并通過比對(duì)數(shù)學(xué)推理所獲得的結(jié)果與現(xiàn)實(shí)生活的實(shí)際約束之間是否存在對(duì)應(yīng)關(guān)系,。從數(shù)學(xué)推理計(jì)算中得到的數(shù)字必須與它所表達(dá)的實(shí)際情況數(shù)據(jù)相吻合,。這樣做的同時(shí)， 幾乎所有前面提到的數(shù)學(xué)過程都可以得到有效利用,。例如,，我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生不符合現(xiàn)實(shí)情況的解答：有人以50 公里/ 小時(shí)的速度行走，或者200 人同時(shí)進(jìn)入電梯,。如果這些學(xué)生養(yǎng)成了應(yīng)用“比較”“比例推理”“量表”或“歸并”算法的習(xí)慣,，他們會(huì)很容易發(fā)現(xiàn)他們不符合現(xiàn)實(shí)情況的解答是不可信的。應(yīng)用簡單的邏輯也可以很容易排除其他類型的錯(cuò)誤,，例如坐在教室里的學(xué)生人數(shù)為負(fù)數(shù),。

四、知識(shí)相關(guān)性

持續(xù)關(guān)注現(xiàn)有重要的知識(shí)領(lǐng)域,，納入新的重要/ 相關(guān)領(lǐng)域,。

弗萊登塔爾研究所在描述“工作場所數(shù)學(xué)”時(shí)說：^①“在許多職業(yè)中，最重要的是數(shù)字,、數(shù)量、估算,、數(shù)據(jù)處理和數(shù)據(jù)的不確定性,；其次是空間和形狀、關(guān)系,、變化,、公式,?！?/span>

英國皇家學(xué)會(huì)描述了以下工作場所的數(shù)學(xué)要求：^② 數(shù)學(xué)建模（例如自來水公司的能源需求,、三明治的成本等）,；軟件使用,，問題應(yīng)對(duì)（例如采油,、污水排放等）,； 成本核算（分配,、爭議管理）（例如醫(yī)院保潔承包合同,、鐵路管理等）,；業(yè)績和比率（例如保險(xiǎn)比率、血糖指數(shù)等）,；風(fēng)險(xiǎn)（例如臨床管理,、保險(xiǎn)等）質(zhì)量/ SPC 控制（例如家具、機(jī)器停產(chǎn)時(shí)間,、軌道偏差等）,；

更一般地說，美國國家科學(xué)基金會(huì)已聲明：^③“更加重視估算,，心理數(shù)學(xué)……”“不太重視紙張/ 鉛筆的演算……”“……代數(shù),，幾何,，預(yù)科微積分和三角學(xué)中的內(nèi)容需要精簡，為重要的新主題騰出空間,?！薄氨仨氁腚x散數(shù)學(xué)，統(tǒng)計(jì)/ 概率和計(jì)算機(jī)科學(xué),?！?/span>

基于本文至此所涉及的所有討論，針對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的領(lǐng)域需求,，以及個(gè)人,、社會(huì)和職業(yè)④需求（同時(shí)尊重PISA 分類和聚焦）的重要性，特提出以下建議（表2,、表3）,。

上述內(nèi)容對(duì)于重點(diǎn)領(lǐng)域的定位，與先前描述的推理/ 過程技能是非常一致的,，并成為數(shù)學(xué)過程不可分割的部分,，并且提供了解決這些領(lǐng)域問題所需的工具， 特別適合于應(yīng)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的各種情境,。

五,、培養(yǎng)能力（技能、品格,、元學(xué)習(xí)）

注意：對(duì)于批判性思維（技能）,，上面關(guān)于顯性推理的部分已經(jīng)描述了一些需要學(xué)習(xí)的高階思維技能， 此外還有技能和元學(xué)習(xí),。有關(guān)創(chuàng)造力（非規(guī)范性答案） 和元認(rèn)知,，CCR( 美國課程再設(shè)計(jì)中心) 在數(shù)學(xué)創(chuàng)造力和元認(rèn)知方面確定了以下發(fā)展過程：使用標(biāo)準(zhǔn)解題思路解答練習(xí)和問題；使用非標(biāo)準(zhǔn)解題思路解答練習(xí)和問題（創(chuàng)新思維）,；發(fā)現(xiàn)新的現(xiàn)實(shí)問題,，并使用標(biāo)準(zhǔn)和非標(biāo)準(zhǔn)解題思路解答（創(chuàng)新思維）；創(chuàng)建新問題,， 并使用標(biāo)準(zhǔn)和非標(biāo)準(zhǔn)解題思路解答（創(chuàng)新思維）,；創(chuàng)建新的問題類（元認(rèn)知擴(kuò)展）并探索可解性。

（一）衡量數(shù)學(xué)思維中的創(chuàng)造力

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生能夠?qū)⑺麄儗W(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí),、技能和工具靈活地應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)中面臨的各種問題和挑戰(zhàn),， 是這些學(xué)生應(yīng)該達(dá)到的基本學(xué)習(xí)要求。這也是PISA 數(shù)學(xué)素養(yǎng)中明確規(guī)定的基本要求之一,。將知識(shí)靈活地應(yīng)用于新情況和新問題通常包含認(rèn)知方法的創(chuàng)新,，尤其是非常規(guī)方法的創(chuàng)新。這被認(rèn)為是教育/ 學(xué)習(xí)難以攀登的高峰,。這種靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的思路是與創(chuàng)造性思維和解決數(shù)學(xué)難題的能力密切相關(guān)的,。

教育工作者在實(shí)現(xiàn)登頂“珠峰”的過程中面臨著巨大的挑戰(zhàn)：學(xué)生如何才能靈活地將他們的知識(shí)從已知領(lǐng)域遷移并應(yīng)用到未知領(lǐng)域,？以標(biāo)準(zhǔn)解答來評(píng)估學(xué)生知識(shí)的傳統(tǒng)多項(xiàng)選擇題，這些題包含基本算法和概念的使用,，這樣的題目是不可能訓(xùn)練出能靈活運(yùn)用知識(shí)并具有創(chuàng)造性思維的學(xué)生的,。要想培養(yǎng)創(chuàng)新思維的學(xué)生，這些題目應(yīng)該要求學(xué)生解釋他們是如何用一種或多種方法來思考解決這個(gè)數(shù)學(xué)問題的,，或者要求學(xué)生說明包括非常規(guī)的解題方法在內(nèi)的幾種不同的解題方法,。這類題目已成功應(yīng)用于衡量教師在數(shù)學(xué)教學(xué)方面的知識(shí)技能^①。以下題目原型展示了一個(gè)例子（如例1 所示）,，用以說明這些題目在嘗試評(píng)估學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)造性方法時(shí)可能會(huì)是什么樣子,。

例1

下面關(guān)注創(chuàng)造力的例子，要求受試學(xué)生評(píng)估四個(gè)樣本學(xué)生分別給出的解答,。學(xué)生Allan 的解答很可能被認(rèn)為是標(biāo)準(zhǔn)解答,，但學(xué)生Cristine 的解答也是正確的。受試學(xué)生必須根據(jù)提供的解題標(biāo)準(zhǔn)來評(píng)估每個(gè)人的解答,。這要求受試學(xué)生不能只是簡單地選擇標(biāo)準(zhǔn)解答,， 還要評(píng)估非標(biāo)準(zhǔn)解答。因此,，他們必須運(yùn)用他們的知識(shí)來評(píng)估所給出的每個(gè)解答,，以便找出正確的選項(xiàng)。只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的（選項(xiàng)6）,。

C 是線段AB 上的點(diǎn)。ACM 和BCN 為等邊三角形,， 請(qǐng)問：AM=BM 是否成立,？

四位學(xué)生所作圖如圖4 所示：

哪位學(xué)生或者哪幾位學(xué)生的圖形滿足上述條件？

（1）Allan 的圖

（2）Betty 的圖

（3）Cristine 的圖

（4）Dave 的圖

（5）Allan 和Betty 的圖

（6）Allan 和Cristine 的圖

（7）Betty 和Dave 的圖

（8）全部四個(gè)人的圖

有些人^②將創(chuàng)造力定義為能利用現(xiàn)有信息做出創(chuàng)新決策,，在PISA 案例中現(xiàn)有信息包含定量的信息,。下面的示例（如例2 所示）包含這種情況：

例2

國防預(yù)算項(xiàng)目：^③ 

在某個(gè)國家，1980 年的國防預(yù)算為3000 萬美元,。該年度的預(yù)算總額為5 億美元,。次年，國防預(yù)算為3500 萬美元,，而預(yù)算總額為6.05 億美元,。兩個(gè)預(yù)算期間的通貨膨脹率為10％。

（1）邀請(qǐng)某人為和平協(xié)會(huì)舉辦講座,。他們想解釋一下這一年國防預(yù)算有所減少,。如何解釋才能說明預(yù)算的減少。

（2）邀請(qǐng)某人到軍事學(xué)院演講,。他們想聲稱這一年國防預(yù)算有所增加,。如何解釋才能說明預(yù)算的增加,。

（二）涉及元認(rèn)知的數(shù)學(xué)能力

在下面的例子（如例3 所示）中，要求受試學(xué)生評(píng)估由三名樣本學(xué)生給出的問題解答,。為了正確評(píng)估這些解答,，學(xué)生必須理解三個(gè)概念：自然數(shù)的定義、數(shù)字平方的定義以及如何確定概率,。一旦受試學(xué)生確定了自己認(rèn)為正確的解答（Monica 的方案）,，就需要解釋余下的兩個(gè)自己認(rèn)為錯(cuò)誤的解答，并說明其錯(cuò)誤的原因,。這要求受試學(xué)生反思每個(gè)學(xué)生給出的推理,， 并找出導(dǎo)致對(duì)問題不恰當(dāng)解答的潛在錯(cuò)誤推理。這類題目要求學(xué)生思考不同的解題方案,，并提出假設(shè),，捕捉不同解題方案中所體現(xiàn)的思想——元認(rèn)知任務(wù)。

例3

John 選擇了一個(gè)任意自然數(shù),，然后加以平方,，取平方后最后一個(gè)數(shù)字，這個(gè)數(shù)是1 的概率是多少,？

下面是三個(gè)學(xué)生的回答：

Lisa：總共有10 位數(shù),。每一個(gè)數(shù)字成為最后一位數(shù)字的機(jī)會(huì)相同，因此概率為1/10=10%,。

Monica：個(gè)位數(shù)的平方只與被選擇的自然數(shù)的個(gè)位數(shù)的平方有關(guān),。個(gè)位數(shù)的平方只有10 個(gè)數(shù)字可能：1，4,，9,，6，5,，6,，9，4,，1,，0。因?yàn)橛袃蓚€(gè)1,，所以概率為2/10=20%,。

Silvia：概率無法確定，因?yàn)橛袩o數(shù)多的自然數(shù),， 無法測試所有可能性,。

以上答案中，哪一個(gè)最恰當(dāng)（只選一個(gè)答案）,？

Lisa…………………（）

Monica………………（）

Silvia…………………（）

下面哪一個(gè)選項(xiàng)最恰當(dāng)?shù)乇硎玖似渌麅蓚€(gè)學(xué)生存在的問題（至多兩個(gè)選項(xiàng)）：

（1）不理解平方是指什么

（2）不理解自然數(shù)是指什么

（3）沒有考慮到最后一位數(shù)已經(jīng)確定是1 了

（4）覺得題目太難放棄了

（5）沒有考慮恰當(dāng)?shù)淖匀粩?shù)

（6）不理解概率是指什么

有關(guān)品格（修復(fù)力/ 堅(jiān)毅）的數(shù)學(xué)能力,，請(qǐng)參閱下面有關(guān)日志數(shù)據(jù)的部分,。

六、創(chuàng)新工具

PISA 近期最重要的教學(xué)方法變化是從紙質(zhì)評(píng)估過渡到基于計(jì)算機(jī)的評(píng)估（CBA）,，大多數(shù)PISA 的參與國在2015 年已經(jīng)實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)變,。這項(xiàng)創(chuàng)新變化提高了評(píng)估的可靠性，并能持續(xù)與社會(huì)數(shù)字化保持同步,。在數(shù)學(xué)素養(yǎng)的評(píng)估中,，CBA 的出現(xiàn)為衡量學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力提供了新的途徑。

（一）數(shù)學(xué)中的計(jì)算

注意：這不是計(jì)算機(jī)輔助教學(xué),！也不是計(jì)算機(jī)科學(xué)或編程,。^① 

從本質(zhì)上講，數(shù)學(xué)是一項(xiàng)解決問題的思維活動(dòng),。根據(jù)PISA 2015 數(shù)學(xué)框架草案,，數(shù)學(xué)是一個(gè)不斷迭代的循環(huán)過程：問題定義—數(shù)學(xué)化轉(zhuǎn)換—結(jié)果計(jì)算—解釋。原來數(shù)學(xué)教育和評(píng)價(jià)都專注于利用紙質(zhì)化來實(shí)現(xiàn)這一循環(huán)過程,。隨著計(jì)算機(jī)在數(shù)學(xué)上應(yīng)用的增長,，這一循環(huán)的關(guān)注點(diǎn)發(fā)生了轉(zhuǎn)移，為PISA 提供了一個(gè)創(chuàng)新的機(jī)遇——引入新的評(píng)估方式來衡量更廣泛的數(shù)學(xué)技能,。

在計(jì)算機(jī)的創(chuàng)意編碼環(huán)境中可以構(gòu)建數(shù)學(xué)技能評(píng)價(jià)的交互式場景,，計(jì)算機(jī)能以受控方式自動(dòng)評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)技能的完整循環(huán)?；谠朴?jì)算的數(shù)據(jù)傳遞確保了對(duì)數(shù)學(xué)技能評(píng)價(jià)的安全便捷,，并確保每位學(xué)生可以獲得唯一和真實(shí)的測試數(shù)據(jù)，想要在傳統(tǒng)紙質(zhì)版本中實(shí)現(xiàn)這樣的測試幾乎是不可能的,。團(tuán)隊(duì)協(xié)作技能也能在計(jì)算機(jī)模擬的逼真情境下得到充分的訓(xùn)練,。

例如，使用短閉合問題將被評(píng)估學(xué)生的能力抽象成編碼,，就可實(shí)現(xiàn)自動(dòng)評(píng)估。這樣的話,，通過更廣泛地拓展任務(wù),，以端對(duì)端的方式，沿著完整問題的解決路徑,，去評(píng)估開放性問題也是可能的,。任務(wù)示例見表4、表5,。

（二）使用日志數(shù)據(jù)

在評(píng)估過程中分析學(xué)生采取的步驟和思路有助于了解學(xué)生如何嘗試解答問題,，如應(yīng)用數(shù)學(xué)推理，遵循反復(fù)學(xué)習(xí)原則,，通過不斷嘗試或簡單地猜測來解答多項(xiàng)選擇題,。為此,，應(yīng)設(shè)計(jì)開發(fā)這樣的數(shù)學(xué)PISA 項(xiàng)目， 項(xiàng)目的解答既可以通過一個(gè)較長時(shí)間反復(fù)的推理過程來解答,，又可以應(yīng)用涉及一定難度的數(shù)學(xué)知識(shí)的快速推理過程來解答,。最終目的是對(duì)評(píng)估結(jié)果錯(cuò)誤/ 正確的二分法的補(bǔ)充，了解了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)推理的能力,。^① 

使用日志數(shù)據(jù)的另一個(gè)作用是衡量學(xué)生的修復(fù)力/ 堅(jiān)毅,，這兩點(diǎn)品質(zhì)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功至關(guān)重要。堅(jiān)毅與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績之間的關(guān)系如圖5 所示,。

參考文獻(xiàn)：