， 雷盛運(yùn)

“哲學(xué)不應(yīng)當(dāng)從自身開(kāi)始,。而應(yīng)當(dāng)從它的反面,，從非哲學(xué)開(kāi)始”①。自然科學(xué)是哲學(xué)的基礎(chǔ),。數(shù)學(xué),、物理學(xué)、化學(xué),、生物學(xué),、天文學(xué)等等，蘊(yùn)含著極其豐富哲學(xué)思想,。微積分是研究變數(shù)的科學(xué),。從本質(zhì)上看是辯證法在數(shù)學(xué)上的運(yùn)用。因此,，微積分中的哲學(xué)思想比起初等數(shù)學(xué)更豐富,、更明顯。如果將其全部抽象出來(lái),，可以構(gòu)成一部完整的自然哲學(xué),。本文試從微積分與現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)系及其辯證內(nèi)容略作粗淺探討。 關(guān)于微積分的本原問(wèn)題微積分的本原問(wèn)題是指它同現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)系問(wèn)題,，即它是產(chǎn)生于存在還是產(chǎn)生于純思微積分的本原問(wèn)題是指它同現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)系問(wèn)題,，即它是產(chǎn)生于存在還是產(chǎn)生于純思維的問(wèn)題。唯物主義與唯心主義有著根本不同的看法,。唯心主義認(rèn)為純數(shù)學(xué)產(chǎn)生于純思維,。它可以先驗(yàn)地，不需利用外部世界給我們提供的經(jīng)驗(yàn),，而從頭腦中創(chuàng)造出來(lái),。杜林、康德,、貝克萊等唯心主義者就是這種觀點(diǎn)的代表②,。牛頓、萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者,。他們分別在研究質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和曲線(xiàn)的性質(zhì)中,，不自覺(jué)地把客觀世界中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題引進(jìn)了數(shù)學(xué)。各自獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分,。這個(gè)功勞是應(yīng)該肯定的,。但是,，他們沒(méi)有很好注意到微積分同現(xiàn)實(shí)世界的親緣關(guān)系。其運(yùn)算出發(fā)點(diǎn)是先驗(yàn)的,。所以,，馬克思把牛、萊的微積分稱(chēng)為“神秘的微分學(xué)”③,。唯物主義認(rèn)為,，微積分同所有的科學(xué)一樣，它起源經(jīng)驗(yàn),，然后又脫離外部世界,，具有高度抽象性和相對(duì)獨(dú)立性的一門(mén)嶄新的科學(xué)。恩格斯指出：“數(shù)學(xué)是從人的需要中產(chǎn)生的”④微積分是從生產(chǎn)斗爭(zhēng)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)的需要中產(chǎn)生的,。生產(chǎn)實(shí)踐對(duì)微積分的創(chuàng)立起著決定的作用,。從十五世紀(jì)開(kāi)始，資本主義在西歐封建社會(huì)內(nèi)部逐漸形成,。到十七世紀(jì),，資本主義生產(chǎn)方式有了巨大發(fā)展。隨著生產(chǎn)發(fā)展,，自然科學(xué)技術(shù)也雨后春筍般地發(fā)展起來(lái)了,。它們跑出來(lái)向數(shù)學(xué)敲門(mén)，提出了大量研究新課題,。微積分的創(chuàng)立就是為了處理十六,、十七世紀(jì)在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中所遇到的一系列新問(wèn)題。這些問(wèn)題歸納起來(lái)大致分為四類(lèi)：一是已知物體運(yùn)動(dòng)的路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系,，求速度和加速度,；反過(guò)來(lái)，已知物體運(yùn)動(dòng)的速度和加速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系,，求路程,。二是求曲線(xiàn)的切線(xiàn)。三是求函數(shù)的極大值,、極小值,。四是求曲線(xiàn)的弧長(zhǎng),，求曲線(xiàn)所圍成的面積,，曲面所圍成的體積等求積問(wèn)題。上述四類(lèi)問(wèn)題,，形式各不相同,，但有著共同的本質(zhì)，即都是反映客觀事物的矛盾運(yùn)動(dòng)過(guò)程,。其中的量都在不斷變化著,。因此,，研究常量的初等數(shù)學(xué)無(wú)法解決這些問(wèn)題。生產(chǎn)和科研的需要,，促使數(shù)學(xué)由研究常量向研究變量轉(zhuǎn)化,。于是微積分在傳統(tǒng)代數(shù)學(xué)的長(zhǎng)期孕育中，經(jīng)《解釋幾何》這個(gè)“助產(chǎn)婆”的接生“而分娩了”,。所以,，恩格斯說(shuō)：“數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)。有了變數(shù),，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué),。有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué),。有了變數(shù),，微分學(xué)和積分學(xué)也就立刻成了必要的了”⑤微積分不僅是適應(yīng)生產(chǎn)和科學(xué)發(fā)展需要的產(chǎn)物。而且,，它的概念,、運(yùn)算法則、定理,、推論等在客觀世界中都各有其現(xiàn)實(shí)的原型,。微分與積分的現(xiàn)象在自然界中普遍存在。自然界的蒸發(fā)與凝結(jié)過(guò)程,，就是微分與積分及其相互轉(zhuǎn)化的辯證過(guò)程恩格斯是這樣描述自然界中的微分與積分現(xiàn)象及其矛盾的相互轉(zhuǎn)化：“如果一杯水的最上面一層分子蒸發(fā)了,，那么水層的高度x就減少了dx。這樣一層分子又一層分子繼續(xù)蒸發(fā),，事實(shí)上就是一個(gè)連續(xù)不斷的微分,。如果熱的水蒸汽在一個(gè)容器中由于壓力和冷卻又凝結(jié)成水，而且分子一層又一層地積累起來(lái)……,，直到容器滿(mǎn)了為止,。那么這里就真正進(jìn)行了一種積分。這種積分和數(shù)學(xué)的積分不同地方只在于：一種是由人的頭腦有意識(shí)地完成的,。另一種是由自然界無(wú)意識(shí)地完成的,。”⑥不僅如此,。自然界中的微分,、積分過(guò)程還表現(xiàn)在機(jī)械運(yùn)動(dòng)與熱運(yùn)動(dòng)的相互轉(zhuǎn)化；分子的分解與化合,；物質(zhì)的構(gòu)造等多個(gè)方面,。當(dāng)機(jī)械運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為熱，即轉(zhuǎn)變?yōu)榉肿舆\(yùn)動(dòng)的時(shí)候,，宏觀的機(jī)械運(yùn)動(dòng)被微分了,。反過(guò)來(lái),，當(dāng)水蒸汽的分子在蒸汽機(jī)的汽缸中積累起來(lái)，把活塞舉高一定的距離,，這時(shí)熱運(yùn)動(dòng)又變成了宏觀的機(jī)械運(yùn)動(dòng),，它是一個(gè)積分的過(guò)程。在化學(xué)反應(yīng)中表示物體分子組合的一切化學(xué)方程式,，就形式來(lái)說(shuō)是微分方程式,。這些方程式實(shí)際上是表示這些分子的原子量而積分起來(lái)了。以上說(shuō)的是一次微分的情況,。高次微分是否也有其現(xiàn)實(shí)原型呢,？結(jié)論是肯定的。我們以上說(shuō)的是一次微分的情況,。高次微分是否也有其現(xiàn)實(shí)原型呢,？結(jié)論是肯定的。我們從微商的力學(xué)意義中知道：瞬時(shí)速度U（t）是路程函數(shù)S（t）的一階微商,，即U（t）=S＇（t）;加速度a（t）又是速度函數(shù)U(t)的微商,，也是路程函數(shù)S(t)微商的微商，稱(chēng)之為二次微商,，即a(t)=S'(t),。根據(jù)自然辯證法和現(xiàn)代物理學(xué)的觀點(diǎn)。自然界是由無(wú)數(shù)個(gè)層次組成的系統(tǒng),。按其質(zhì)量的相對(duì)的大小可作如下排列：……總星系——恒星系——太陽(yáng)系——地球上的物體——分子和原子——基本粒子……如果我們把前一個(gè)層次當(dāng)作一個(gè)原函數(shù)看待,，那么后一個(gè)層次便是微分所得到的“導(dǎo)數(shù)”或稱(chēng)“微商”。這樣連續(xù)地微分下去,，可以得到一次微分dx,；二次微分dx2；三次微分dx3……直到n次微分dxｎ,。由此看出高次微分處處有自己的原型,。它與物質(zhì)世界的各個(gè)層次建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。物質(zhì)是無(wú)限可分的,。微分過(guò)程也是無(wú)限的,。物質(zhì)不滅，微分不止,。這就是微積分同物質(zhì)世界的對(duì)應(yīng)關(guān)系,。微分或積分的過(guò)程正是反映了物質(zhì)的不同層次之間物質(zhì)形態(tài)的相互轉(zhuǎn)化和運(yùn)動(dòng)形態(tài)的相互轉(zhuǎn)化。我們肯定微積分的客觀基礎(chǔ),，并不否認(rèn)純思維對(duì)純數(shù)學(xué)的能動(dòng)作用,。微積分來(lái)源于客觀世界。但這種反映不是消極被動(dòng)的,。人的意識(shí)具有主觀能動(dòng)性和相對(duì)獨(dú)立性,。微積分作為一種科學(xué)理論，它屬于意識(shí)范疇,，同其他科學(xué)一樣,，當(dāng)它從客觀世界中抽象出來(lái)后，就和現(xiàn)實(shí)世界相脫離,，作為某種獨(dú)立的東西,，而與現(xiàn)實(shí)世界相對(duì)立，并在自己的領(lǐng)域中開(kāi)始獨(dú)立的矛盾運(yùn)動(dòng),。它通?？梢圆皇軄?lái)自外部的明顯影響，而憑借經(jīng)驗(yàn)的摸索,，借助邏輯的方法,，巧妙地開(kāi)發(fā)出數(shù)學(xué)“王國(guó)”中豐富的寶藏。微分三角形就是思維能動(dòng)性的自由創(chuàng)造,。,，是一種幻想的量。所以列寧說(shuō)：“在數(shù)學(xué)上也是需要幻想的,，甚至沒(méi)有它就不可能發(fā)明微積分”⑦,。唯心主義者抓住這一點(diǎn)大做文章，鼓吹微積分是數(shù)學(xué)家的“天才”頭腦的產(chǎn)物,。他們不懂得思維與存在的辯證關(guān)系,，不懂得思維的獨(dú)立性依然要以現(xiàn)實(shí)客觀為基礎(chǔ)?？茖W(xué)的幻想不是胡思亂想,，需要憑借經(jīng)驗(yàn)的摸索。前面談到的微分三角形,，它是在處理差分三角形經(jīng)驗(yàn)的啟示下,，通過(guò)思維的加工制作，才創(chuàng)造出一種處于純粹狀態(tài)的微分三角形,。所以,，微積分的高度抽象，不但沒(méi)有掩蓋它起源于現(xiàn)實(shí)的本質(zhì),，反而更深刻地反映著現(xiàn)實(shí),。它使人們逐步揭示了事物量的關(guān)系的本質(zhì)聯(lián)系。反映各種不同類(lèi)型的具體對(duì)象中量的共同規(guī)律,，從而使微積分廣泛地運(yùn)用到各種不同的具體對(duì)象中去,。比如： F(x)-F(x0)F′(x)== lim ------------- x→x0 x-x0這一抽象的形式可以刻劃物體運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)速度，也可以刻劃切線(xiàn)的斜率、物質(zhì)的比熱,、這一抽象的形式可以刻劃物體運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)速度,，也可以刻劃切線(xiàn)的斜率、物質(zhì)的比熱,、電流的強(qiáng)度,。又如雙曲線(xiàn)偏微分方程，在彈性力學(xué)中描寫(xiě)震動(dòng),，在流體力學(xué)中描寫(xiě)流體動(dòng)態(tài),，在聲學(xué)中表現(xiàn)為聲壓方程，在電學(xué)中表現(xiàn)為電報(bào)方程,。雙曲線(xiàn)偏微方程,，反映著這些不同對(duì)象在數(shù)量上的共同屬性。正如列寧說(shuō)的：“自然界的統(tǒng)一性顯示在關(guān)于各種現(xiàn)象領(lǐng)域的微分方程式的‘驚人的類(lèi)似'中,?！雹嘁虼耍⒎e分的高度抽象性不是離現(xiàn)實(shí)世界愈來(lái)愈遠(yuǎn),，而是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界認(rèn)識(shí)愈深,，揭示了多樣性物質(zhì)世界的統(tǒng)一性。 微積分的辯證內(nèi)容恩格斯說(shuō)：“變數(shù)的數(shù)學(xué)——其中最重要的部分是微積分——本質(zhì)上不外是辯證法在數(shù)學(xué)方面的運(yùn)用,?！雹徇@段話(huà)深刻地揭示了微積分的本質(zhì)。是對(duì)微積分的哲學(xué)思想的高度概括,。我們周?chē)奈镔|(zhì)世界是由無(wú)數(shù)相互聯(lián)系,、相互依存、相互制約,、相互作用的事物構(gòu)成的統(tǒng)一整體,。它充滿(mǎn)著矛盾和斗爭(zhēng)。數(shù)學(xué)是研究客觀世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué),。因此,，客觀世界中的質(zhì)量互變規(guī)律、對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律和否定之否定規(guī)律等辯證內(nèi)容必然在數(shù)學(xué)中反映出來(lái),。微積分是研究變量的數(shù)學(xué),，處處充滿(mǎn)著矛盾，其辯證法內(nèi)容更加豐富,。下面從微積分與代數(shù)學(xué),，微積分的概念、運(yùn)算中的矛盾運(yùn)動(dòng)等方面剖析微積分中的辯證法思想,。一,、代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為微分運(yùn)算——量變到質(zhì)變的飛躍微積分是從代數(shù)和幾何的領(lǐng)域中發(fā)展起來(lái)的,。代數(shù)方法向微分方法轉(zhuǎn)化，代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果轉(zhuǎn)化為微分運(yùn)算的出發(fā)點(diǎn),，是數(shù)學(xué)發(fā)展中的一條極重要的規(guī)律,。促進(jìn)這種轉(zhuǎn)化的動(dòng)因是數(shù)學(xué)本身內(nèi)部的矛盾運(yùn)動(dòng)，即客觀事物內(nèi)部矛盾運(yùn)動(dòng)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的抽象,。這一規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和總結(jié),，首先應(yīng)歸功于馬克思,。是他第一次把代數(shù)運(yùn)算與微分運(yùn)算聯(lián)系起來(lái)了,，闡明了微分是怎樣起源于代數(shù)，而后又怎樣開(kāi)始自己獨(dú)立的矛盾運(yùn)動(dòng),。他指出了從代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)槲⒎诌\(yùn)算是一個(gè)否定之否定過(guò)程,。是量變到質(zhì)變的飛躍。為了說(shuō)明這一點(diǎn),，不妨先回顧一下微積分學(xué)發(fā)展的歷史,。將牛頓、萊布尼茨創(chuàng)立的微積分同馬克思的《數(shù)學(xué)手稿》中的有關(guān)論述進(jìn)行比較,，看看馬克思是怎樣運(yùn)用辯證法來(lái)說(shuō)明微積分與代數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系的,。微分學(xué)的發(fā)展歷史，從牛頓,、萊布尼茨開(kāi)始,，大體經(jīng)歷了五個(gè)階段，即神秘的微分學(xué),；理性的微分學(xué),；柯西的極限理論；魯濱遜等人的非標(biāo)準(zhǔn)分析,。牛,、萊等一批數(shù)學(xué)家在實(shí)踐中不自覺(jué)地把辯證法運(yùn)用于數(shù)學(xué)領(lǐng)域，突破了代數(shù)的框框,，進(jìn)入了微分的領(lǐng)地,。可是他們的思想方法卻依然停留在形而上學(xué)階段,，沒(méi)有把微分看成是事物矛盾運(yùn)動(dòng)的產(chǎn)物,。因此，他們?cè)谶\(yùn)算過(guò)程中遇到了無(wú)法克服的矛盾,。最后被“野蠻”的“暴力鎮(zhèn)壓”⑩請(qǐng)看：牛頓的方法：設(shè)y=x2記無(wú)限小時(shí)間之間隔X的增量為X′（X的微分）,，隨之ｙ的增量為y′（ｙ的微分）.則有：ｙ﹢y′﹦（x+x′）2 ﹦x2＋2xx′＋x′兩邊減去函數(shù)y﹦x2。便有：y′﹦2xx′＋x′2抹去（注意,！牛頓在使用暴力）等式右邊最后一項(xiàng)x′2得：y′﹦2xx′由此得出兩增量之比為：y′/x′=2x 萊布尼茨的方法是：設(shè)y=x2記x的增量dx,；y的增量為dy，則有：y＋dy﹦（x＋dx）2﹦x2＋2xdx＋dx2兩邊減去原函數(shù)y﹦x2，便有：dy﹦2xdx＋dx2由此得出：dy/dx﹦2x比較牛,、萊的方法,，我們發(fā)現(xiàn)只是符號(hào)不同，本質(zhì)是一樣的,。他倆一開(kāi)始就把x看成比較牛,、萊的方法，我們發(fā)現(xiàn)只是符號(hào)不同,，本質(zhì)是一樣的,。他倆一開(kāi)始就把x看成是增長(zhǎng)著的量。這是正確的,。事實(shí)上已經(jīng)把運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)引進(jìn)了數(shù)學(xué)之中,。然而由于十七世紀(jì)機(jī)械唯物主義的傳統(tǒng)思想禁錮著他們的頭腦，他們沒(méi)有把x的微分與y的微分看成為x與y自身矛盾運(yùn)動(dòng)的產(chǎn)物,，而是認(rèn)為一開(kāi)始就存在著的,，是“一下子造成的東西”，是從微分過(guò)程外部引進(jìn)來(lái)的,。引進(jìn)后,，在整個(gè)微分過(guò)程中又始終是一種“僵化的東西”、“不變的東西”,。至于微分經(jīng)歷怎樣的矛盾運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生,，在牛、萊的方法中看不到了,。他們開(kāi)始把dx′當(dāng)作無(wú)窮小量,。這是正確的。但是他們?cè)谡归_(kāi)二項(xiàng)式（x＋dx′）2過(guò)程中無(wú)法去掉dx2這個(gè)“尾巴”,。 “尾巴”的存在使dy（y′）與dx（x′）之比得不到一個(gè)確定的值,，這使牛、萊惱火,。于是他們對(duì)dx2（x2′）實(shí)行了“暴力鎮(zhèn)壓”,，半路上把（dx2）（x2′） “打扮”成“0”，揮刀把它砍去,。牛,、萊在這里失足了。這種“暴力鎮(zhèn)壓”使他們陷入悖謬之中,。開(kāi)始把x′（dx）當(dāng)作無(wú)窮小量,，后來(lái)又把它看成“0”。這種自相矛盾的作法顯然是違背邏輯的,，而且也違背事實(shí),。因?yàn)?，既然承認(rèn)x′（dx）是一個(gè)無(wú)窮小量，那么無(wú)論它多么地小,，畢竟是一個(gè)現(xiàn)實(shí)的量,，不能當(dāng)作“0”來(lái)處理，（x2′）（dx2）應(yīng)與2xx′（2xdx）一樣有存在的權(quán)利,。牛,、萊將它隨意抹去的作法是錯(cuò)誤的。如果按照“（dx2）﹦0”的方法行事,，那么全部運(yùn)算變成“0﹦0”,，一切消失了，什么也得不到,。然而,，盡管牛,、萊運(yùn)算的方法是錯(cuò)誤的,，但結(jié)果卻是正確的。錯(cuò)誤的運(yùn)算得出了正確結(jié)果,，本身就是一個(gè)矛盾,。它揭示了在一定條件下荒謬也可以轉(zhuǎn)化為正確。牛,、萊從錯(cuò)誤的運(yùn)算方法出發(fā),，通過(guò)“變魔術(shù)”的方法，求出了函數(shù)y﹦x2的微商即y′﹦（x2）′﹦2x,，實(shí)現(xiàn)荒廖向正確轉(zhuǎn)化,。馬克思科學(xué)地分析了微分學(xué)從牛頓、萊布尼茨到拉格朗日的歷史發(fā)展過(guò)程,，指出牛,、萊“這個(gè)在數(shù)學(xué)上正確的結(jié)果，是基于在數(shù)學(xué)根本錯(cuò)誤的假設(shè)”,。11他肯定了牛,、萊計(jì)算的正確結(jié)果，批判了他們的形而上學(xué)方法,，,，揭露了微分過(guò)程的辯證法，澄清了在此以前微分學(xué)理論思維的矛盾和混亂,。他在《數(shù)學(xué)手稿》中,，精辟地闡述了微分中的自變量x和因變量y的產(chǎn)生與消失、前進(jìn)的變化與后退的變化這一矛盾的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,，指出微分過(guò)程是否定之否定,，量變到質(zhì)變,，個(gè)別轉(zhuǎn)化為一般的過(guò)程。仍以y﹦x2為例,，看看馬克思是如何科學(xué)闡明從代數(shù)到微分運(yùn)算的矛盾運(yùn)動(dòng)過(guò)程,。設(shè)y﹦x2首先取差：令自變量x連續(xù)變化到x1,得到有限差△x﹦△x1-△x。因變量y隨之變化到達(dá)y1,，則有:△y=y1-y=x12-x2=(x1+x)(x1-x)其次求預(yù)備導(dǎo)數(shù)（即有限差之比）：△y y1-y (x1+x)(x1-x)---﹦------﹦---------------- ﹦x1+x△x x1-x x1-x 最后取極限：令x1再變回到x,，隨之y1也變回到y(tǒng)。則有：△x=x-x=0; △y=y-y=0.得：0/0=2x.用dy/dx代替0/0,。讓它穿上“節(jié)日制服”,。得到dy/dx﹦2x。這里,，馬克思根本沒(méi)有動(dòng)用“暴力鎮(zhèn)壓”（抹去dx2）,。卻得到了同牛、萊完全一致的結(jié)果,。等式左邊是0/0,，本來(lái)是不確定的?？梢匀∪我庵?。然而，右邊卻等于一個(gè)完全確定的值2x,。這種由不確定到確定的轉(zhuǎn)化,，在形而上學(xué)眼里純屬荒廖絕倫?？墒寝q證法卻承認(rèn)它是天經(jīng)地義的,。這是為什么？原因就在于微積分突破了初等數(shù)學(xué)只研究常量的傳統(tǒng)觀念,，進(jìn)入了變數(shù)的領(lǐng)域,，，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué),。函數(shù)和自變量動(dòng)起來(lái)了,。它首先變化到x1，這樣產(chǎn)生了對(duì)事物的運(yùn)動(dòng)位置,、狀態(tài)的第一次否定,，得到有限差△x﹦x1-x;△y﹦?(x1)-?(x).這就把一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與其周?chē)倪\(yùn)動(dòng)狀態(tài)聯(lián)系起來(lái)了，使我們?cè)谶\(yùn)動(dòng)中把握著運(yùn)動(dòng),。接著又令x1變回到x,，于是，產(chǎn)生了對(duì)運(yùn)動(dòng),、狀態(tài)的第二次否定,，即否定之否定,。經(jīng)過(guò)以上兩次否定，我們不是回到了出發(fā)點(diǎn),，而是實(shí)現(xiàn)了代數(shù)向微分轉(zhuǎn)化的一次飛躍,，解決了初等數(shù)學(xué)無(wú)法解決的矛盾。x1退回到x,，但這個(gè)x已不是當(dāng)初的x,。它在第一次否定中起了變化，只是按名稱(chēng)來(lái)說(shuō)還叫它為變量x,。由于x1的后退運(yùn)動(dòng),，△x和△y都消失了，變成了0/0的形式（穿上了“節(jié)日制服”后為dy/dx）,。但是,，“在0/0中沒(méi)有有顯示出是什么東西消失了；僅僅表達(dá)了量的方面,，即分子消失了,，分母也消失了，從而關(guān)系本身也消失了,；沒(méi)有表達(dá)出質(zhì)的關(guān)系,。質(zhì)的關(guān)系是存在著的。因?yàn)榉肿又械?僅僅是分母中的0的結(jié)果,。從而它就是表示變量的函數(shù)對(duì)于變量的依賴(lài)關(guān)系?！?2△x和△y在第二次否定過(guò)程中,，僅僅是量的消失，而它們之間質(zhì)的關(guān)系即二者之比的值保留下來(lái)了,。在第二次否定中,，x否定了x1。但x1不是被消滅,，而是辯證地?fù)P棄,，是既被克服，又被存在,?！鞍雌湫问絹?lái)說(shuō)是被克服了，按其現(xiàn)實(shí)的內(nèi)容來(lái)說(shuō)是被保存了”,。13它通過(guò)部分地與自己結(jié)合,，部分地與原函數(shù)中的x結(jié)合，轉(zhuǎn)化為一種新的形式——原函數(shù)的導(dǎo)數(shù),。由此看出,，代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為微分運(yùn)算是在兩次否定過(guò)程中完成的,。它通過(guò)函數(shù)自變量x前進(jìn)與后退的矛盾運(yùn)動(dòng)，由量變發(fā)展到質(zhì)變,，使代數(shù)運(yùn)算發(fā)展為微分運(yùn)算,，常量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為變量運(yùn)算，有限量的運(yùn)算飛躍為無(wú)限量的運(yùn)算,。代數(shù)與微分由導(dǎo)數(shù)這座橋梁聯(lián)系起來(lái)了,。導(dǎo)數(shù)是代數(shù)發(fā)展的終點(diǎn)，又是微積分的起點(diǎn),。所以馬克思說(shuō)：微分學(xué)“本身是用代數(shù)方法推出來(lái)的”“只有從微分起著計(jì)算的出發(fā)點(diǎn)的作用時(shí)開(kāi)始,，代數(shù)向微分方法的轉(zhuǎn)換才告結(jié)束。從而微分學(xué)本身就作為一種獨(dú)特,、專(zhuān)門(mén)的變量的計(jì)算方法而出現(xiàn),。”14 二,、極限——量與質(zhì),、有限與無(wú)限的對(duì)立統(tǒng)一 極限理論是整個(gè)微積分的理論基礎(chǔ)，它貫穿于微積分學(xué)的始終,。微積分基本問(wèn)題的解極限理論是整個(gè)微積分的理論基礎(chǔ),，它貫穿于微積分學(xué)的始終。微積分基本問(wèn)題的解決,，主要概念的建立,，都依賴(lài)于極限方法。極限概念是客觀事物質(zhì)的規(guī)定性和量的規(guī)定性的辯證統(tǒng)一,，即質(zhì)和量的辯證統(tǒng)一,。數(shù)學(xué)上的極限概念和哲學(xué)的“度”的概念是一致的。辯證法認(rèn)為：一切發(fā)展變化的事物在其發(fā)展的各個(gè)階段上總要保持自己質(zhì)的數(shù)量界限,。在這個(gè)界限內(nèi)事物就存在,。超出了這個(gè)界限，該事物便轉(zhuǎn)化為他事物,。變化著的事物,，在變化過(guò)程逐步趨近于一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言說(shuō)即趨向于某一個(gè)“常量”,。這種趨于穩(wěn)定的過(guò)程,，數(shù)學(xué)上叫做極限過(guò)程。這個(gè)“常量”就是數(shù)學(xué)中的極限,。哲學(xué)上稱(chēng)之為“度”,。當(dāng)客觀事物在極限（度）范圍內(nèi)變化時(shí)，相對(duì)而言主要是量的變化，而無(wú)明顯質(zhì)的變化,。從而保持了該事物的相對(duì)穩(wěn)定性,。一旦變化達(dá)到了極限的位置，就會(huì)出現(xiàn)質(zhì)的飛躍,，原來(lái)的事物消失了,，新的事物誕生了。極限概念又是一個(gè)有限與無(wú)限的對(duì)立統(tǒng)一,。有限與無(wú)限是客觀世界中普遍存在的一對(duì)矛盾,。物質(zhì)、運(yùn)動(dòng),、時(shí)間,、空間等等，從量的方面來(lái)說(shuō)都是有限與無(wú)限的對(duì)立統(tǒng)一?，F(xiàn)實(shí)世界中的有限與無(wú)限,，反映到人們的頭腦中，經(jīng)過(guò)思維的加工,，構(gòu)成了數(shù)學(xué)中“量”的有限與無(wú)限的矛盾運(yùn)動(dòng),，即它們之間的相互轉(zhuǎn)化。微積分在研究變量的關(guān)系時(shí),，突破了有限,，一直深入到無(wú)限之中去。它巧妙和不斷地運(yùn)用有限與無(wú)限的相互轉(zhuǎn)化取得了一批批重大成果,。而這個(gè)巧妙的方法就是極限方法,。下面舉兩個(gè)例子，看看微積分是如何巧妙運(yùn)用極限理論來(lái)實(shí)現(xiàn)有限與無(wú)限轉(zhuǎn)化的,。例1,、 求運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度。設(shè)S（t）為某物體作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程函數(shù),。當(dāng)時(shí)間從t變到t1，其改變量（增量）△t﹦t1-t,。路程就從S(t)變到S(t1)=S(t+△t),，其改變量是：△S﹦S(t1)-S(t)﹦S(t+△t)-S(t)那么，在t到t1這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為： _ △S S(t+△t)-S(t)U﹦---﹦--------------- △t t1-t從上式中看出,，不論△t怎么樣小,，△S/△t仍然是平均速度，不是該運(yùn)動(dòng)物體在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度,。怎樣才能由平均速度轉(zhuǎn)化為瞬時(shí)速度呢,？它是通過(guò)極限方法來(lái)實(shí)現(xiàn)的。設(shè)△t逐步地縮小,，并把這一過(guò)程推向無(wú)限即△t→（無(wú)限接近）0那么平均速度△S/△t就經(jīng)歷一個(gè)無(wú)限變動(dòng)過(guò)程,，最后轉(zhuǎn)化為瞬時(shí)速度,。描述這一轉(zhuǎn)化過(guò)程的表達(dá)式是： △S S(t+△t)-S(t)l?m ---- ﹦ l?m ----------------△t→0 △t △t→0 △t這個(gè)式子告訴我：求瞬時(shí)速度問(wèn)題是一個(gè)化有限為無(wú)限，又從無(wú)限認(rèn)識(shí)有限的過(guò)程,。實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化的橋梁是極限方法,。例2、求變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程,。已知物體運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)為U=U（t）,。如何求物體在時(shí)間區(qū)間（a?b)內(nèi)所走過(guò)的路程？我們從初等數(shù)學(xué)中勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的公式知道：路程﹦速度×?xí)r間,。但現(xiàn)在要求的是變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),，速度不是常量，而是隨時(shí)間變化的變量,。這就遇到了“變”與“不變”的矛盾,。如何解決這一矛盾？還是老辦法,，就是突破有限,，深入無(wú)限，利用有限與無(wú)限的相互轉(zhuǎn)化,，解決“變”與“不變”,、“勻”與“不勻”的矛盾。實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)變的數(shù)學(xué)工具還是極限方法,。其轉(zhuǎn)化的具體過(guò)程是：第一步：“化整為零”:把時(shí)間區(qū)間（b?a）分點(diǎn)a﹦t0＜tl＜t2……＜tn-l＜tn﹦分為n段,，各段的區(qū)間為：△t0﹦tl-t0?△tl﹦t2-tl?△t2﹦t3-t2……△tn-l﹦tn-tn-l，△tn﹦tn-tn-l物體在第i個(gè)區(qū)間內(nèi)所走的路程為△Si第二步“以勻代變”：把物體在極短的第i個(gè)時(shí)間間隔中運(yùn)動(dòng)的狀態(tài),，近似地看作勻速運(yùn)動(dòng),，即以勻速U(t)代替變速，于是有：ΔS≈U(ti)△t　(i﹦0?l?2?3……n-l),。第三步“積零為整”：把物體在各區(qū)間內(nèi)所走過(guò)的路程的近似值加起來(lái),，所得到的總路程S的近似值： n-lS≈U(t0)Δt0+U(tl)(△tl)+???……U(tn-l)△tn-l﹦∑ U(ti)△ti ｉ﹦0到目前為止尚未完成“勻”與“不勻”的轉(zhuǎn)化，這里的S還不是變速運(yùn)動(dòng)物體在時(shí)間區(qū)間（ａ?ｂ）內(nèi)所走過(guò)的路程的精確值,。要達(dá)到預(yù)定目的,，需要把有限（ａ?ｂ）時(shí)間區(qū)間，轉(zhuǎn)化為無(wú)限變動(dòng)的極限過(guò)程來(lái)研究,。于是進(jìn)入最后一步：第四步“取極限”：把時(shí)間區(qū)間（ａ?ｂ)無(wú)限細(xì)分,，使Ｓ進(jìn)入無(wú)限運(yùn)動(dòng)過(guò)程。當(dāng)Δtｉ→第四步“取極限”：把時(shí)間區(qū)間（ａ?ｂ)無(wú)限細(xì)分,，使Ｓ進(jìn)入無(wú)限運(yùn)動(dòng)過(guò)程,。當(dāng)Δtｉ→0時(shí)，就得到了變速運(yùn)動(dòng)的路程的準(zhǔn)確值： nlS＝lim ∑ U(ti)Δtｉ Δt→0 i=0比較上述兩個(gè)例子，盡管它們各屬不同研究范疇,，前一個(gè)問(wèn)題是微分學(xué)所研究的,。后一個(gè)問(wèn)題是前一個(gè)問(wèn)題的逆運(yùn)算，它是微分學(xué)研究的內(nèi)容,。然而,，它們有著共同的特征，那就是運(yùn)用極限方法,，做“有限”與“無(wú)限”的轉(zhuǎn)化工作,，從有限到無(wú)限再到有限，經(jīng)過(guò)兩次否定,，微積分中的“直”與“曲”,、“變”與“不變“勻”與“不勻”等基本矛盾解決了。人們從有限中認(rèn)識(shí)了無(wú)限,，把握了無(wú)限,。在“有限——無(wú)限——有限”這個(gè)公式中，體現(xiàn)了事物發(fā)展否定之否定過(guò)程,。最后那個(gè)“有限”不是回到了原來(lái)的出發(fā)點(diǎn),，它比前面那個(gè)“有限”高了一級(jí)。因?yàn)樗鼛е鉀Q問(wèn)題的結(jié)果回來(lái)了,。由此可知,，極限概念包含兩個(gè)方面：它不僅包含極限過(guò)程，而且也包含極限結(jié)果,。從過(guò)程來(lái)看表現(xiàn)為有限向無(wú)限轉(zhuǎn)化,；從結(jié)果來(lái)看，無(wú)限又轉(zhuǎn)化為有限,。極限概念正是這種過(guò)程與結(jié)果,、有限與無(wú)限、常量與變量,、量與質(zhì)的對(duì)立統(tǒng)一,。 三、“直”與“曲”在微積分中的同一性恩格斯說(shuō)：“高等數(shù)學(xué)的主要基礎(chǔ)之一是這樣一個(gè)矛盾：在一定條件下直線(xiàn)和曲線(xiàn)應(yīng)當(dāng)是一回事”15這句話(huà)高度概括了微積分的基本思想,。全部微積分學(xué)就是建立在解決“直”與“曲”的矛盾,，實(shí)現(xiàn)這一矛盾相互轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)上。形而上學(xué)者聽(tīng)到這句話(huà)目瞪口呆,。大叫“荒謬！荒謬,！”在他們眼里直就是直,，曲就是曲，怎能等同起來(lái)呢？“直線(xiàn)和曲線(xiàn)在微積分中終于等同起來(lái)了”16的觀點(diǎn),，是無(wú)法理解和接受的,。這是因?yàn)樗麄冇渺o止、孤立,、片面的觀點(diǎn)看世界,。不管他們承認(rèn)不承認(rèn)這一點(diǎn)。然而,，生活常識(shí)畢竟如此,。比如一條畢直的鐵路，就其某一段這個(gè)局部來(lái)講,，它確實(shí)是直的,。但這條鐵路是鋪設(shè)在地球表面，而地球是橢圓形球體,。筆直的鐵路是地球表面的一段弧,。因此它又千真萬(wàn)確是曲的。宇宙中恒星照射到地球上光線(xiàn)一貫被人們視為絕對(duì)的“直”,。然而,，愛(ài)因斯坦的相對(duì)論告訴我們，由于引力強(qiáng)作用,，空間和時(shí)間都會(huì)發(fā)生彎曲,。光線(xiàn)受引力場(chǎng)作用也變曲了。因此,，世界上沒(méi)有絕對(duì)的“直”與“曲”,，只存在著“直”與“曲”的對(duì)立統(tǒng)一體。它們?cè)谝欢l件下相互轉(zhuǎn)化,，“直”與“曲”等同起來(lái)了,。哲學(xué)上稱(chēng)之為直與曲的同一性。當(dāng)然,，“直”與“曲”的等同和相互轉(zhuǎn)化是相對(duì)的,、有條件的，絕對(duì)不是無(wú)條件無(wú)差異的同一,。微積分是“直”與“曲”轉(zhuǎn)化的橋梁,。在微積分中，直與曲轉(zhuǎn)化的條件是“細(xì)分“,。直線(xiàn)與曲線(xiàn)的等同是在細(xì)分過(guò)程中實(shí)現(xiàn)的,。例如，在微積分中求曲線(xiàn)y＝x2與x軸和直線(xiàn)x＝l所圍成的曲邊三角形的面積,，其方法是：第一步“化整為零”：把曲邊三角形等分為若干個(gè)小曲邊梯形,，并記第ｉ小曲邊梯形為第一步“化整為零”：把曲邊三角形等分為若干個(gè)小曲邊梯形,，并記第ｉ小曲邊梯形為ΔS第二步“以直代曲”：對(duì)于每個(gè)ΔSｉ用相應(yīng)的矩形面積近似代替，則有：ΔSｉ＝xｉ2Δxｉ(ｉ＝0,，l,，……ｎ-l)第三步“積零為整）：把所有的小矩形面積加起來(lái)求出階梯形面積Sｎ，它是曲邊三角形面積S的一個(gè)近似值： ｎ-lS≈Sｎ＝ ∑ xｉ2Δxｉｉ=0 第四步“取極限”：把曲邊三角形無(wú)限細(xì)分,，當(dāng)Δxｉ→0時(shí),，這時(shí)每個(gè)無(wú)限小的矩形面積就轉(zhuǎn)化為微分，近似值變?yōu)闇?zhǔn)確值,，從而得到積分： ｎ-1∫1xｄx＝ｌｉｍ ∑ xｉΔxｉ 0 x→0 ｉ＝0 ｎ-1等式左邊是曲邊三角形面積,，右邊的 ∑ xｉ2Δxｉ是階梯形面積。兩者在極限ｉ=0 幫助下終于等同起來(lái)了,，不僅階梯形的面積等于曲邊三角形的面積,。而且此時(shí)各無(wú)限小曲邊形中的“曲邊”與相應(yīng)的無(wú)限小矩形中的“直邊”也等同起來(lái)了。,。當(dāng)然,，還應(yīng)看到，這里“直”與“曲”的等同不是絕對(duì)的,、無(wú)條件的,、簡(jiǎn)單地相等，而是有矛盾有差異的等同,，是辯證的等同,。從曲邊三角形的面積和階梯形面積的等同上看，它們相差了一個(gè)高階無(wú)窮小量,。這個(gè)無(wú)窮小量就是這樣一個(gè)量：它是“0”而又非“0”,，趨向“0”而又不等于“0”。它可以完成非“0”的一切運(yùn)算,。但在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)又可以當(dāng)作“0”用,，并不影響計(jì)算結(jié)果。微積分中“直”與“曲”的轉(zhuǎn)化就是在這個(gè)無(wú)窮小量的幫助下完成的,。微積分中的“直”與“曲”的等同和轉(zhuǎn)化,，突破了初等數(shù)學(xué)“山窮水盡疑無(wú)路”的困境，開(kāi)辟了由“直”認(rèn)識(shí)“曲”的廣闊途征,，給數(shù)學(xué)帶來(lái)了“柳暗花明又一村”,。 啊,！偉大的微積分,。你是數(shù)學(xué)的哲學(xué)，又是哲學(xué)的數(shù)學(xué),。哲學(xué)`,、數(shù)學(xué)在你身上獲得了