如圖1,，在Rt△ABC中，∠A=90°,，AB=AC,，點(diǎn)D、E分別在邊AB,、AC上,，AD=AE，連接DC,，點(diǎn)M,、P、N分別為DE,、DC,、BC的中點(diǎn).

（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是            ,，位置關(guān)系是         ,；

（2）探究證明：把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN,，判斷△PMN的形狀,，并說(shuō)明理由；

（3）拓展延伸：把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),，若AD=4,，AB=10，請(qǐng)求出△PMN面積的最小值和最大值.

解析第（1）問(wèn)：

課堂上幾乎所有同學(xué)都能準(zhǔn)確猜想PM=PN且PM⊥PN.

在求證PM⊥PN時(shí),，不少同學(xué)陷入了沉思.的確,，幾何證明往往難在導(dǎo)角.筆者引導(dǎo)同學(xué)們認(rèn)真觀察所要證的∠MPN的構(gòu)成，不難發(fā)現(xiàn),，∠MPN=∠MPD+∠NPD.很快,，何同學(xué)想出如下解法：

點(diǎn)評(píng)：何同學(xué)利用中位線模型，平行導(dǎo)角,，將所要求證的兩角之和轉(zhuǎn)化到已知的Rt△ADC中,，甚妙！

更使我們深刻認(rèn)識(shí)到：三角形中位線在數(shù)量上是第三邊的一半,，在位置上涉及平行,，它起著傳遞角的位置關(guān)系和線段間數(shù)量關(guān)系的雙重功能.

受此啟發(fā)，代同學(xué)緊接著思考出另法：

點(diǎn)評(píng)：此法依舊運(yùn)用中位線平行導(dǎo)角，又想到利用外角定理繼續(xù)分解∠NPD,，最終仍然將所要證的兩角之和轉(zhuǎn)化到已知Rt△ABC中,，令人驚嘆！

此法相較法一,，雖略顯“臃腫”,，但卻不失為一種通法,，且在第（2）小問(wèn)中還有奇效,，暫且按下不表.

學(xué)生們往往會(huì)有出其不意的奇妙思維，舍得讓他們思考,，有時(shí)竟能激發(fā)出多種不同的妙解,，實(shí)乃教師之幸！筆者繼續(xù)引導(dǎo)：若不分解∠MPN能否直接證出直角呢,？

七年級(jí)時(shí)都曾遇到過(guò)這樣的問(wèn)題：若兩個(gè)角的兩邊分別平行,，則這兩個(gè)角之間有何數(shù)量關(guān)系呢？

如上圖易知∠1與∠2相等或互補(bǔ).

而原題中的∠MPN與∠BAC的兩邊不就正好滿(mǎn)足相互平行么,？因此,，還有如下兩法：

點(diǎn)評(píng)：此法著眼于∠MPN的由來(lái)，道出了本題導(dǎo)角的本質(zhì),，通過(guò)兩次平行直接轉(zhuǎn)換已知直角∠A,，可謂絕對(duì)通法.

講完通法，蔣同學(xué)仍不依不饒,，想出下法：

點(diǎn)評(píng)：此法干脆繼續(xù)取中點(diǎn),，連中點(diǎn)，造中位線,，將△PMN補(bǔ)成四邊形PMQN,，巧妙地將證PM⊥PN轉(zhuǎn)化為證正方形，真叫人“大跌眼鏡”,，直呼“這也可以,？”

解析第（2）問(wèn)：

有了第（1）問(wèn)這把“梯子”，第（2）問(wèn)解決起來(lái)將會(huì)得心應(yīng)手.依舊先證PM=PN.

不難發(fā)現(xiàn),，當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),，必然產(chǎn)生“共頂點(diǎn)的雙等腰直角三角形手拉手模型”，特簡(jiǎn)化如下圖：

若連接BD,、CE,，必然有△ABD≌△ACE（SAS），如下圖：

由全等可得BD=CE,，如下圖,，同第（1）問(wèn)由中位線定理可得PM=PN，不再詳述.

關(guān)鍵仍是導(dǎo)角，如何證明∠MPN=90°呢,？

第（1）問(wèn)中何同學(xué)的法一似乎失去了“用武之地”,，而代同學(xué)的法二卻仍能發(fā)揮奇效，且看：

點(diǎn)評(píng)：雖看起來(lái)有些“兜兜轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)”,，但仍緊扣一條主線,，即將所要證的兩角之和轉(zhuǎn)化到已知Rt△ABC中去，故可謂一種通法.

若沿用第（1）問(wèn)中法三法四思想,，則需求出BD與CE的夾角.然而圖中并沒(méi)有此角,，故需自行構(gòu)造，具體如下：

若對(duì)手拉手模型研究透徹,，這個(gè)隱含的直角理應(yīng)“很自然”地想到.回到原題,，產(chǎn)生如下兩法：

點(diǎn)評(píng)：通法就是通法，直達(dá)本質(zhì),，所向披靡,！

至此，猛然驚醒,，何同學(xué)的法一原來(lái)是被“藏起來(lái)了”.

點(diǎn)評(píng)：本題導(dǎo)角方法眾多,，相映成趣，個(gè)中妙味,，唯有身臨者知.

解析第（3）問(wèn)：

把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),，若AD=4，AB=10,，請(qǐng)求出△PMN面積的最小值和最大值.

旋轉(zhuǎn)往往產(chǎn)生最值,，此題中的△PMN面積之所以有最值，概因其三邊長(zhǎng)可變,，且必定在一定的范圍內(nèi)變化.此為第一層思考.

但三邊均變,，對(duì)于解題是非常不利的，故考慮簡(jiǎn)化.既已獲知△PMN為等腰直角三角形,，形狀固定,，知其三邊中的任何一邊均可順利求得面積，故面積最值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)最值問(wèn)題.此為第二層思考.

究竟是求△PMN的斜邊MN還是直角邊PN的最值呢（由于PM,、PN地位等價(jià),，故PM最值略去不談）？此為第三層思考.

不如分而治之.

法一：求斜邊MN最值.

重審上圖,，首先進(jìn)行一番“動(dòng)靜分析”,，不難發(fā)現(xiàn)N為定點(diǎn)，M為動(dòng)點(diǎn),，隨著D,、E動(dòng)而動(dòng),，“眼中有動(dòng)點(diǎn)，心中找軌跡”,，若能找出動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡,，則MN最值可解.

中學(xué)所考動(dòng)點(diǎn)軌跡無(wú)外乎直線（線段）型或圓（圓弧）型,，大致畫(huà)出△ADE的幾個(gè)不同位置,，如下圖：

不難發(fā)現(xiàn)M軌跡為非直線型，故猜想M軌跡可能為圓（圓?。┬?，只需確定軌跡圓的圓心和半徑即可.圓的定義就是到某個(gè)定點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的集合，這個(gè)定點(diǎn)即圓心,，距離即半徑長(zhǎng),，即所謂“圓，一中同長(zhǎng)也”.

值得一提的是,，我們可獲得更好記的結(jié)論：圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最小值=點(diǎn)心距－半徑，最大值=點(diǎn)心距+半徑.

最后,，只需用MN表達(dá)△PMN面積即可.

法二：求直角邊PN最值.

若同上采取“動(dòng)靜分析”,，發(fā)現(xiàn)N定P動(dòng)，在確定點(diǎn)P軌跡時(shí)易知其非直線型,，合理猜想軌跡為圓型,，卻一時(shí)間無(wú)法確定出其軌跡圓圓心，難道就此“無(wú)功而返”了么,？

解題遇到“窮途末路”時(shí),，不妨“回頭望月”.既然PN為BD一半，則可將PN最值轉(zhuǎn)化為BD最值.而B(niǎo)定D動(dòng),，只需確定點(diǎn)D軌跡.顯然,，AD=4為定值，點(diǎn)D軌跡為以定點(diǎn)A為圓心,，4為半徑的圓.

點(diǎn)評(píng)：此法一出,，課堂上同學(xué)們直呼“太簡(jiǎn)單了”，先將面積最值轉(zhuǎn)化為直角邊PN最值,，后將直角邊PN最值再次轉(zhuǎn)化為BD最值,，使問(wèn)題答案“呼之欲出”.正所謂“無(wú)轉(zhuǎn)化，不數(shù)學(xué)”.個(gè)中精妙,，值得不斷玩味,！

既然題已解完，我們不妨再來(lái)“強(qiáng)求”一下剛才困擾我們的點(diǎn)P軌跡.先用畫(huà)板“耍賴(lài)”追蹤一下點(diǎn)P.

發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P軌跡的確是個(gè)圓,，這絕非巧合.事實(shí)上,，我們可以借助“瓜豆原理”來(lái)理解.

正所謂“種瓜得瓜,，種豆得豆”，此處為“圓生圓”也.

點(diǎn)評(píng)：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡圓圓心定點(diǎn)F的構(gòu)造有如“神來(lái)之筆”,，似“天外飛仙”般不可思議,，但通過(guò)運(yùn)用“瓜豆原理”，狠抓“瓜豆三點(diǎn)”,，即“定點(diǎn),、主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)”,，卻十分容易獲得此神秘圓心,，從而取中點(diǎn)，連中點(diǎn),，造中位線,，最后運(yùn)用三邊關(guān)系導(dǎo)出最值，一氣呵成,！

“取中點(diǎn)F,，連接PF”是直接告訴我們軌跡“是什么”，而“瓜豆原理”是幫助我們思考“為什么”,，若能熟練掌握此原理,，完全可以秒殺很多軌跡型最值填選題，若是大題,，雖不適合用此原理進(jìn)行書(shū)寫(xiě),，但完全可借助其破題，從而順利獲得相關(guān)輔助線,，再用已有知識(shí)書(shū)寫(xiě)即可.

值得一提的是,，若隱去此題一些干擾線段，我們還能借助另一處“瓜豆三點(diǎn)”獲得點(diǎn)P軌跡,，具體如下：（由于涉及到九年級(jí)的位似變換,，八年級(jí)學(xué)生若覺(jué)得實(shí)在難以理解可跳過(guò)）

更有趣的是，我們還能從上圖中分離出一個(gè)“共底角頂點(diǎn)的雙等腰直角三角形手拉手模型”,，見(jiàn)下左圖：

點(diǎn)評(píng)：依舊借助“瓜豆”思考軌跡的由來(lái),，作出輔助線后借助熟悉的相似型進(jìn)行過(guò)程書(shū)寫(xiě)，豈不快哉,！

由于八年級(jí)學(xué)生還未學(xué)相似,，這里只是點(diǎn)到為止，且看上圖,，必有“△ANF∽△MNP,，△FNP∽△ANM”，正所謂“旋轉(zhuǎn)相似必成對(duì)”,，可自行體會(huì).

接下來(lái)再提供原題的兩個(gè)變式,，供各位把玩：

變式一：

若將原題中的△ABC改為等邊三角形,，其余條件不變，如圖,，則線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是      ,，∠MPN=      .

△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4,，AB=10,，求△PMN面積最值.

變式二：

若將原題中的△ABC改為∠BAC=120°的等腰三角形，其余條件不變,，如圖,，則線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是     ，∠MPN=     .

△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),，若AD=4,，AB=10，求△PMN面積最值.