考點(diǎn)三,、定義法求軌跡方程

例3已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1,，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,，圓心P的軌跡為曲線C.求C的方程

[解析]

由已知得圓M的圓心為M(－1,，0)，半徑r1＝1；
圓N的圓心為N(1,，0),，半徑r2＝3.
設(shè)圓P的圓心為P(x，y),，半徑為R.
因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2

由橢圓的定義可知,，曲線C是以M,，N為左、右焦點(diǎn),，長半軸長為2,，短半軸長為3的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為 x24＋y23＝1(x≠－2)

【變式1】將本例的條件“動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切”改為“動(dòng)圓P與圓M,、圓N都外切”,，求圓心P的軌跡方程

[解析]

由已知得圓M的圓心為M(－1，0),，半徑r1＝1,；
圓N的圓心為N(1，0),，半徑r2＝3.
設(shè)圓P的圓心為P(x,，y)，半徑為R,，
因?yàn)閳AP與圓M,，N都外切，

所以|PM|－|PN|＝(R＋r1)－(R＋r2)＝r1－r2＝－2,，
即|PN|－|PM|＝2,，又|MN|＝2

所以點(diǎn)P的軌跡方程為y＝0(x<－2)

【變式2】把本例中圓M的方程換為：(x＋3)2＋y2＝1，圓N的方程換為：(x－3)2＋y2＝1,，求圓心P的軌跡方程

[解析]

由已知條件可知圓M和N外離,，所以|PM|＝1＋R，|PN|＝R－1,，
故|PM|－|PN|＝(1＋R)－(R－1)＝2<|MN|＝6,，
由雙曲線的定義知點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的右支

其方程為x2－y28＝1(x>1)

【變式3】在本例中，若動(dòng)圓P過圓N的圓心,，并且與直線x＝－1相切,，求圓心P的軌跡方程

[解析]

由于點(diǎn)P到定點(diǎn)N(1，0)和定直線x＝－1的距離相等,，
所以根據(jù)拋物線的定義可知,，

點(diǎn)P的軌跡是以N(1，0)為焦點(diǎn),，以x軸為對稱軸,、開口向右的拋物線,，

故其方程為y2＝4x

[類題通法]
應(yīng)用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵在于由已知條件推出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的等量關(guān)系式，由等量關(guān)系結(jié)合曲線定義判斷是何種曲線,，再設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程,，用待定系數(shù)法求解

[對點(diǎn)訓(xùn)練]
設(shè)圓x2＋y2＋2x－15＝0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,，l交圓A于C,，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E
(1)證明|EA|＋|EB|為定值,；
(2)求點(diǎn)E的軌跡方程,，并求它的離心率

[解析]

(1)證明：因?yàn)閨AD|＝|AC|，EB∥AC,，
所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC,，所以|EB|＝|ED|，
故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋y2＝16,，從而|AD|＝4,，
所以|EA|＋|EB|＝4

(2)由圓A方程(x＋1)2＋y2＝16，知A(－1,0)．又B(1,0),，
因此|AB|＝2,，則|EA|＋|EB|＝4>|AB|
由橢圓定義，知點(diǎn)E的軌跡是以A,，B為焦點(diǎn),，長軸長為4的橢圓(不含與x軸的交點(diǎn))
所以a＝2，c＝1,，則b2＝a2－c3＝3
所以點(diǎn)E的軌跡方程為x24＋y23＝1(y≠0)
故曲線方程的離心率e＝ca＝12