學(xué)過數(shù)值積分的應(yīng)該知道,，有限元中的積分點(diǎn)指高斯積分點(diǎn),，因?yàn)檫@些點(diǎn)的收斂性好，精度高,。

1. 節(jié)點(diǎn)
    在單元內(nèi),，采用形函數(shù)來表述單元內(nèi)變量的分布規(guī)律。而節(jié)點(diǎn)值是在節(jié)點(diǎn)處的對(duì)應(yīng)物理量。
以簡(jiǎn)單矩形單元的溫度為例：四個(gè)節(jié)點(diǎn)i,j,m,n的溫度分別為Ti,Tj,Tm,Tn.
則以單元內(nèi)自然坐標(biāo)(x,y),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)分別為四個(gè)節(jié)點(diǎn),，單元內(nèi)溫度分布為：

T={Si, Sj, Sm, Sn} {Ti, Tj, Tm, Tn}
其中,，Si=1/4(1-x)(1-y)，Sj=1/4(1+x)(1-y)] ,，Sm=1/4(1+x)(1+y),，Sn=1/4(1-x)(1+y)

(單元的形函數(shù)我們可以從手冊(cè)中查到)
從而我們知道了溫度在單元內(nèi)的分布。
2. 積分點(diǎn)
    我們需要對(duì)溫度在單元內(nèi)的面積上進(jìn)行積分時(shí),，因?yàn)?span style="box-sizing: border-box;outline-style: initial;outline-width: 0px;margin: 0px;padding: 0px;font-weight: 700;overflow-wrap: break-word;background: rgb(102, 255, 255);color: rgb(0, 0, 0);">節(jié)點(diǎn)的溫度顯然與x,y無關(guān),，我們只需要考慮對(duì)形函數(shù)積分。采用Gauss_Legendre多項(xiàng)式計(jì)算積分時(shí),，我們只需要計(jì)算根據(jù)特定積分點(diǎn)的值（在自然坐標(biāo)系下是固定的,，可以查手冊(cè)，這些點(diǎn)也叫高斯點(diǎn),、積分點(diǎn)）并加以權(quán)重就可以,。這就把復(fù)雜的積分問題變成了簡(jiǎn)單的代數(shù)問題。因?yàn)樾魏瘮?shù)只與單元有關(guān),，所以積分點(diǎn)也只與單元形狀有關(guān),。
    應(yīng)力一般采用多個(gè)積分點(diǎn)的相互插值或外延來計(jì)算節(jié)點(diǎn)應(yīng)力。這只是為了減少誤差,。因?yàn)樵?span style="box-sizing: border-box;outline-style: initial;outline-width: 0px;margin: 0px;padding: 0px;font-weight: 700;overflow-wrap: break-word;">積分點(diǎn)應(yīng)力比節(jié)點(diǎn)具有更高階的誤差,。
    從理論上說，形函數(shù)已知后,，用Maple或者M(jìn)athematic等軟件進(jìn)行符號(hào)積分的話,，是可以精確計(jì)算出剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，但是這樣做的話,，對(duì)于工程實(shí)際應(yīng)用來說并不合適,。
原因：1，費(fèi)時(shí),；2,，Mindlin中厚板有剪力鎖死問題，有時(shí)候需要采用縮聚積分）,，所以有些書上會(huì)把2節(jié)點(diǎn)梁單元的剛度陣直接寫出來,，但是再?gòu)?fù)雜點(diǎn)的單元，就使用數(shù)值積分（Newton-Cotes積分和高斯積分）
牛頓-科斯的積分點(diǎn)就是節(jié)點(diǎn),，這樣得到的質(zhì)量矩陣是集中質(zhì)量陣形式

個(gè)人理解：

1.節(jié)點(diǎn)作用：構(gòu)造形函數(shù),，節(jié)點(diǎn)的多少描述規(guī)則形狀單元內(nèi)的應(yīng)力的近似分布情況，并獲取節(jié)點(diǎn)上的位移值

2.積分點(diǎn)作用：構(gòu)造規(guī)則形狀單元與曲邊（曲面）單元的轉(zhuǎn)化的變換函數(shù),，積分點(diǎn)的選取多少和選取的位置直接關(guān)系到這種“映射”的精確程度,，剛度矩陣,、邊界條件的轉(zhuǎn)化都用到了坐標(biāo)變換的積分關(guān)系，一般取高斯積分點(diǎn)能使被積函數(shù)計(jì)算精度盡量高,。對(duì)于newton-cote積分點(diǎn)的選取,，這種“映射”看起來，節(jié)點(diǎn)和積分點(diǎn)是同一個(gè)位置或說是同一點(diǎn),，而對(duì)于高斯積分點(diǎn)位置與節(jié)點(diǎn)是不同的,。

故有如下結(jié)果：

 1.由于高斯積分點(diǎn)的這種變換比較高,，在方程求解結(jié)束,，返回積分點(diǎn)上的應(yīng)力解比較準(zhǔn)確。
 2.至于Mindlin中厚板有剪力鎖死問題,，采用縮聚積分,，也是應(yīng)為這種坐標(biāo)的變換關(guān)系（可見《有限單元法基本原理和數(shù)值方法p345頁(yè)10.4.11式可知），力的邊界條件只有剪切,，采用縮聚積分可以較大降低剪切力的影響,，但是也可能引起剛度矩陣的奇異，所以對(duì)于中厚板的積分點(diǎn)選取不同一般的方案,。

1.ANSYS手冊(cè)(Chapter 13)上列出各種單元的積分點(diǎn)位置,。
2.王瑁成的《有限單元法》第五章，有解釋為什么積分點(diǎn)應(yīng)力更加精確,。

3.因?yàn)?span style="box-sizing: border-box;outline-style: initial;outline-width: 0px;margin: 0px;padding: 0px;font-weight: 700;overflow-wrap: break-word;">積分點(diǎn)應(yīng)力更精確,，所以我們一般采用積分點(diǎn)的應(yīng)力內(nèi)插或外延確定節(jié)點(diǎn)應(yīng)力。特殊情況除外,。

單元節(jié)點(diǎn)和積分點(diǎn)是不同的兩個(gè)概念,！
積分點(diǎn)是在進(jìn)行函數(shù)積分的時(shí)候，為了增加精度,，選取的積分點(diǎn),，也就是高斯積分
單元節(jié)點(diǎn)是你選取單元的時(shí)候就已經(jīng)定下的點(diǎn)。

一定有單元節(jié)點(diǎn),，但不一定有積分點(diǎn)

    在網(wǎng)格劃分完了所有的節(jié)點(diǎn)就都給定了,，就是你網(wǎng)格中的每個(gè)點(diǎn)，他是有限元模型中“真實(shí)存在”的點(diǎn),。但是高斯點(diǎn)純粹是因?yàn)楦咚?span style="box-sizing: border-box;outline-style: initial;outline-width: 0px;margin: 0px;padding: 0px;font-weight: 700;overflow-wrap: break-word;background: rgb(102, 255, 153);color: rgb(0, 0, 0);">積分這種積分方式引入的,。數(shù)值分析告訴我們，數(shù)值積分有很多方法,，比如辛普森積分,，高斯積分等，比如說,，如果你采用辛普森積分就不存在高斯點(diǎn)這個(gè)概念,，只有當(dāng)你采用高斯積分才會(huì)有高斯點(diǎn),，不過有限元大多都采用高斯積分。;看過高斯積分就知道高斯點(diǎn)是怎么一回事了,。
有限元求解的結(jié)果是每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移,，然后通過形函數(shù)插值得到單元任何一個(gè)點(diǎn)的位移，當(dāng)然可以計(jì)算出高斯積分點(diǎn)的位移,。至于應(yīng)力,，一般是先求解出高斯點(diǎn)出的應(yīng)力，然后通過平均化的技術(shù)平均到每個(gè)節(jié)點(diǎn)上,，高斯點(diǎn)處的應(yīng)力精度最高,，節(jié)點(diǎn)最差。

   沙漏現(xiàn)象由于積分點(diǎn)過少造成單元變形過大,，剪力自鎖由于沒有中節(jié)點(diǎn),，單元邊界無法彎曲，造成單元變形過小,。二者是相對(duì)立的兩個(gè)現(xiàn)象,，都屬于有限元方法自身上的缺陷。 剪切閉鎖現(xiàn)象一般發(fā)生在出現(xiàn)彎曲變形的線性完全積分單元中（例如CPS4,、CPE4,、C3D8）。線性單元的直邊不能承受彎曲載荷作用,，分析過程中可能出現(xiàn)本來不存在的虛假剪應(yīng)變,，使單元的彎曲剛度過大，計(jì)算的位移值偏小,，即單元的位移場(chǎng)不能模擬由于彎曲而引起的剪切變形和彎曲變形,，這就是所謂的“剪切閉鎖”現(xiàn)象。當(dāng)單元長(zhǎng)度與厚度的數(shù)量級(jí)相同或長(zhǎng)度大于厚度時(shí),，此現(xiàn)象會(huì)更嚴(yán)重,。如果懷疑模型中出現(xiàn)了剪切閉鎖現(xiàn)象，可以考慮采用非協(xié)調(diào)單元或者縮減積分單元,。如果模型中網(wǎng)格扭曲非常厲害,，僅僅改變單元類型往往不會(huì)使計(jì)算結(jié)果得到很大的改進(jìn)，劃分網(wǎng)格時(shí)盡可能保證單元形狀是規(guī)則的,。