數(shù)學(xué)必修1：集合的概念
        教學(xué)目標(biāo)：

    （1）使學(xué)生初步理解集合的概念，知道常用數(shù)集的概念及其記法
    （2）使學(xué)生初步了解“屬于”關(guān)系的意義
    （3）使學(xué)生初步了解有限集,、無限集,、空集的意義
    教學(xué)重點(diǎn)：集合的基本概念
    教學(xué)過程：
    1．引入
    （1）章頭導(dǎo)言
    （2）集合論與集合論的創(chuàng)始者-----康托爾（有關(guān)介紹可引用附錄中的內(nèi)容）
    2．講授新課
    閱讀教材，并思考下列問題：
    （1）有那些概念,？
    （2）有那些符號,？
    （3）集合中元素的特性是什么？
    （4）如何給集合分類?
    （一）有關(guān)概念:
    1,、集合的概念
   （1）對象：我們可以感覺到的客觀存在以及我們思想中的事物或抽象符號,，都可以稱作對象.
   （2）集合：把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構(gòu)成的集合.
   （3）元素：集合中每個對象叫做這個集合的元素.
    集合通常用大寫的拉丁字母表示，如A,、B,、C、……元素通常用小寫的拉丁字母表示,，如a,、b、c,、……
    2,、元素與集合的關(guān)系
   （1）屬于： 如果a是集合A的元素，就說a屬于A,，記作a∈A
   （2）不屬于：如果a不是集合A的元素,，就說a不屬于A，記作
    要注意“∈”的方向,，不能把a(bǔ)∈A顛倒過來寫.
    3,、集合中元素的特性
   （1）確定性：給定一個集合，任何對象是不是這個集合的元素是確定的了.
   （2）互異性：集合中的元素一定是不同的.
   （3）無序性：集合中的元素沒有固定的順序.
    4,、集合分類
    根據(jù)集合所含元素個屬不同,，可把集合分為如下幾類：
   （1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф
   （2）含有有限個元素的集合叫做有限集
   （3）含有無窮個元素的集合叫做無限集
    注：應(yīng)區(qū)分 ， ,， ,，0等符號的含義
    5、常用數(shù)集及其表示方法
    （1）非負(fù)整數(shù)集（自然數(shù)集）：全體非負(fù)整數(shù)的集合.記 作N
    （2）正整數(shù)集：非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集.記作N* 或N+
    （3）整數(shù)集：全體整數(shù)的集合.記作Z
    （4）有理數(shù)集：全體有理數(shù)的集合.記作Q
    （5）實(shí)數(shù)集：全體實(shí)數(shù)的集合.記作R
     注：

    （1）自然數(shù)集包括數(shù)0.
    （2）非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集.記作N*或N+,，Q,、Z、R等其它數(shù)集內(nèi)排除0的集,，也這樣表示,，例如，整數(shù)集內(nèi)排除0的集,，表示成Z*
    課堂練習(xí)：教材第5頁練習(xí)A,、B
    小結(jié)：本節(jié)課 我們了解集合論的發(fā)展，學(xué)習(xí)了集合的概念及有關(guān)性質(zhì)
    課后作業(yè)：第十頁習(xí)題1-1B第3題
    附錄：
    集合論的誕生
    集合論是德國著名數(shù)學(xué)家康托爾于19世紀(jì)末創(chuàng)立的.十七世紀(jì)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了一門新的分支：微積分.在之后的一二百年中這一嶄新學(xué)科獲得了飛速發(fā)展并結(jié)出了豐碩成果.其推進(jìn)速度之快使人來不及檢查和鞏固它的理論基礎(chǔ).十九世紀(jì)初,，許多迫切問題得到解決后，出現(xiàn)了一場重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的運(yùn)動.正是在這場運(yùn)動中,，康托爾開始探討了前人從未碰過的實(shí)數(shù)點(diǎn)集,，這是集合論研究的開端.到1874年康托爾開始一般地提出“集合”的概念.他對集合所下的定義是：把若干確定的有區(qū)別的（不論是具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個整體,，就稱為一個集合,，其中各事物稱為該集合的元素.人們把康托爾于1873年12月7日給戴德金的信中最早提出集合論思想的那一天定為集合論誕生日.
    康托爾的不朽功績
    前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫戈洛夫評價康托爾的工作時說：“康托爾的不朽功績在于他向無窮的冒險邁進(jìn)”.因而只有當(dāng)我們了解了康托爾在對無窮的研究中究竟做出了些什么結(jié)論后才會真正明白他工作的價值之所在和眾多反對之聲之由來.
    數(shù)學(xué)與無窮有著不解之緣，但在研究無窮的道路上卻布滿了陷阱.因?yàn)檫@一原因，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程中,，數(shù)學(xué)家們始終以一種懷疑的眼光看待無窮,，并 盡可能回避這一概念.但試圖把握無限的康托爾卻勇敢地 踏上了這條充滿陷阱的不歸路.他把無窮集這一詞匯引入數(shù)學(xué)，從而進(jìn)入了一片未開墾的處女地,，開辟出一個奇妙無比的新世界.對無窮集的研究使他打開了“無限”這一數(shù)學(xué)上的潘多拉盒子.下面就讓我們來看一下盒子打開后他釋放出的是什么.
　　“我們把全體自然數(shù)組成的集合簡稱作自然數(shù)集,，用字母N來表示.”學(xué)過集合那一章后，同學(xué)們應(yīng)該對這句話不會感到陌生.但同學(xué)們在接受這句話時根本無法想到當(dāng)年康托爾如此做時是在進(jìn)行一項(xiàng)更新無窮觀念的工作.在此以前數(shù)學(xué)家們只是把無限看作永遠(yuǎn)在延伸著的,，一種變化著成長著的東西來解釋.無限永 遠(yuǎn)處在構(gòu)造中,，永遠(yuǎn)完成不了，是潛在的,，而不是實(shí)在.這種關(guān)于無窮的觀念在數(shù)學(xué)上被稱為潛無限.十八世紀(jì)數(shù)學(xué)王子高斯就持這種觀點(diǎn).用他的話說,，就是“……我反對將無窮量作為一個實(shí)體，這在數(shù)學(xué)中是從來不允許的.所謂無窮,，只是一種說話的方式……”而當(dāng)康托爾把全體自然數(shù)看作一個集合時,，他是把無限的整體作為了一個構(gòu)造完成了的東西，這樣他就肯定了作為完成整體的無窮,，這種觀念在數(shù)學(xué)上稱為實(shí)無限思想.由于潛無限思想在微積分的基礎(chǔ)重建中已經(jīng)獲得了全面勝利,，康托爾的實(shí)無限思想在當(dāng)時遭到一些數(shù)學(xué)家的批評與攻擊是無足為怪的.然而康托爾并未就此止步，他以完全前所未有的方式,，繼續(xù)正面探討無窮.他在實(shí)無限觀念基礎(chǔ)上進(jìn)一步得出一系列結(jié)論,，創(chuàng)立了令人振奮的、意義十分深遠(yuǎn)的理論.這一理論使人們真正進(jìn)入了一個難以捉摸的奇特的無限世界.
    最能顯示出他獨(dú)創(chuàng)性的是他對無窮集元素個數(shù)問題的研究.他提出用一一對應(yīng)準(zhǔn)則來比較無窮集元素的個數(shù).他把元素間能建立一一對應(yīng)的集合稱為個數(shù)相同,，用他自己的概念是等勢.由于一個無窮集可以與它的真子集建立一一對應(yīng)――例如同學(xué) 們很容易發(fā)現(xiàn)自然數(shù)集與正偶數(shù)集之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系――也就是說無窮集可以與它的真子集等勢,，即具有相同的個數(shù).這與傳統(tǒng)觀念“全體大于部分”相矛盾.而康托爾認(rèn)為這恰恰是無窮集的特征.在此意義上，自然數(shù)集與正偶數(shù)集具有了相同的個數(shù),，他將其稱為可數(shù)集.又可容易地證明有理 數(shù)集與自然數(shù)集等勢,，因而有理數(shù)集也是可數(shù)集.后來當(dāng)他又證明了代數(shù)數(shù)集合也是可數(shù)集時，一個很自然的想法是無窮集是清一色的,，都是可數(shù)集.但出乎 意料的是,，他在1873年證明了實(shí)數(shù)集的勢大于自然數(shù)集.這不但意味著無理數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多 于有理數(shù)，而且顯然龐大的代數(shù)數(shù)與超越數(shù)相比而言也只成了滄海一粟,，如同有人描述的那樣：“點(diǎn)綴在平面上的代數(shù)數(shù)猶如夜空中的繁星,；而沉沉的夜空則由超越數(shù)構(gòu)成.”而當(dāng)他得出這一結(jié)論時，人們所能找到的超越數(shù)尚僅有一兩個而已.這是何等令人震驚的結(jié)果,！然而,，事情并未終結(jié).魔盒一經(jīng)打開就無法再合上，盒中所釋放出的也不再限于可數(shù)集這一個無窮數(shù)的怪物.從上述結(jié)論中康托爾意識到無窮集之間存在著差別,，有著不同的數(shù)量級,，可分為不同的層次.他所要做的下一步工作是證明在所有的無窮集之間還存在著無窮多個層次.他取得了成功,，并且根據(jù)無窮性有無窮種的學(xué)說，對各種不同的無窮大建立了一個完整的序列,，他稱為“超限數(shù)”.他用 希伯萊字母表中第一個字母“阿列夫”來表示超限數(shù)的精靈,，最終他建立了關(guān)于無限的所謂阿列夫譜系
    它可以無限延長下去.就這樣他創(chuàng)造了一種新的超限數(shù)理論，描繪出一幅無限王國的完整圖景.可以想見這種至今讓我們還感到有些異想天開的結(jié)論在當(dāng)時會如何震動數(shù)學(xué)家們的心靈了.毫不夸張地講,，康托爾的關(guān)于無窮的這些理論,，引起了反對派的不絕于耳的喧囂.他們大叫大喊地反對他的理論.有人嘲笑集合論是一種“疾病”，有人嘲諷超限數(shù)是“霧中之霧”,，稱“康托爾走進(jìn)了超限數(shù)的地獄”.作為對傳統(tǒng)觀念的一次大革新,，由于他開創(chuàng)了一片全新的領(lǐng)域，提出又回答了前人不曾想到的問題,，他的理論受到激烈地批駁是正常的.當(dāng)回頭看這段歷史時,，或許我們可以把對他的反對看作是對他真正具有獨(dú)創(chuàng)性成果的一種褒揚(yáng)吧.
    公理化集合論的建立
　　集合論提出伊始，曾遭到許多數(shù)學(xué)家的激烈反對,，康托爾本人一度成為這一激烈論爭的犧牲品.在猛烈的攻擊下與過度的用腦思考中,，他得了精神分裂癥，幾次陷于精神崩潰.然而集合論前后經(jīng)歷二十余年,，最終獲得了世界公認(rèn).到二十世紀(jì)初集合論已得到數(shù)學(xué)家們的贊同.數(shù)學(xué)家們?yōu)橐磺袛?shù)學(xué)成果都可建立在集合論基礎(chǔ)上的前景而陶醉了.他們樂觀地認(rèn)為從算術(shù)公理系統(tǒng)出發(fā),，借助集合論的概念，便可以建造起整個數(shù)學(xué)的大廈.在1900年第二次國際數(shù)學(xué)大會上,，著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣布“……數(shù)學(xué)已被算術(shù) 化了.今天,，我們可以說絕對的嚴(yán)格已經(jīng)達(dá)到了.”然而這種自得的情緒并沒能持續(xù)多久.不久，集合論是有漏洞的消息迅速傳遍了數(shù)學(xué)界.這就是1902年羅素得出的羅素悖論.羅素構(gòu)造了一個所有不屬于自身（即不包含自身作為元素）的集合R.現(xiàn)在問R是否屬于R,？如果R屬于R,，則R滿足R的定義，因此R不應(yīng)屬于自身,，即R不屬于R,；另一方面，如果R不屬于R,，則R不滿足R的定義,，因此R應(yīng)屬于自身，即R屬于R.這樣,，不論何種情況都存在著矛盾.這一僅涉及集合與屬于兩個最基本概念的悖論如此簡單明了以致根本留不下為集合論漏洞辯解的余地.絕對嚴(yán)密的數(shù)學(xué)陷入了自相矛盾之中.這就是數(shù)學(xué)史上的第三次數(shù)學(xué)危機(jī).危機(jī)產(chǎn)生后,，眾多數(shù)學(xué)家投入到解決危機(jī)的工作中去.1908年，策梅羅提出公理化集合論,，后經(jīng)改進(jìn)形成無矛盾的集合論公理系統(tǒng),，簡稱ZF公理系統(tǒng).原本直觀的集合概念被建立在嚴(yán)格的公理基礎(chǔ)之上，從而避免了悖論的出現(xiàn).這就是集合論發(fā)展的第二個階段：公理化集合論.與此相對應(yīng),，在1908年以前由康托爾創(chuàng)立的集合論被稱為樸素集合論.公理化集合論是對樸素集合論的嚴(yán)格處理.它保留了樸素集合論的有價值的成果并消除了其可能存在的悖論,，因而較圓滿地解決了第三次數(shù)學(xué)危機(jī).公理化集合論的建立，標(biāo)志著著名數(shù)學(xué)家希耳伯特所表述的一種激情的勝利,，他大聲疾呼：沒有人能把我們從康托爾為我們創(chuàng)造的樂園中趕出去.從康托爾提出集合論至今,，時間已經(jīng)過去了一百多年，在這一段時間里,，數(shù)學(xué)又發(fā)生了極其巨大的變化,，包括對上述經(jīng)典集合論作出進(jìn)一步發(fā)展的模糊集合論的出現(xiàn)等等.而這一切都是與康托爾的開拓性工作分不開的.因而當(dāng)現(xiàn)在回頭去看康托爾的貢獻(xiàn)時，我們?nèi)匀豢梢砸卯?dāng)時著名數(shù)學(xué)家對他的集合論的評價作為我們的總結(jié).
　　它是對無限最深刻的洞察,，它是數(shù)學(xué)天才的最優(yōu)秀作品,，是人類純智力活動的最高成就之一.
　　超限算術(shù)是數(shù)學(xué)思想的最驚人的產(chǎn)物，在純粹理性的范疇中人類活動的最美的表現(xiàn)之一.
　　這個成就可能是這個時代所能夸耀的最偉大的工作.
　　康托爾的無窮集合論是過去兩千五百年中對數(shù)學(xué)的最令人不安的獨(dú)創(chuàng)性貢獻(xiàn)之一.
    注：整系數(shù)一元n次方程的根,，叫代數(shù)數(shù).如一切有理數(shù)是代數(shù)數(shù).大量無理數(shù)也是代數(shù)數(shù).如根號2.因?yàn)樗欠匠蘹2-2=0的根.實(shí)數(shù)中不是代數(shù)數(shù)的數(shù)稱為超越數(shù).相比之下,，超越數(shù)很難得到.第一個超越數(shù)是劉維爾于1844年給出的.關(guān)于π是超越數(shù)的證明在康托爾的研究后十年才問世.

                            高一數(shù)學(xué)集合的概念

    高一數(shù)學(xué)集合的概念教學(xué)設(shè)計(jì)

    題：1.1集合－集合的概念

    教學(xué)目的：

    （1）使學(xué)生初步理解集合的概念，知道常用數(shù)集的概念及記法

    （2）使學(xué)生初步了解“屬于”關(guān)系的意義

    （3）使學(xué)生初步了解有限集,、無限集,、空集的意義                        

    教學(xué)重點(diǎn)：集合的基本概念及表示方法

    教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用集合的兩種常用表示方法——列舉法與描述法，正確表示一些簡單的集合

    授課類型：新授課

    課時安排：1課時

    教    具：多媒體,、實(shí)物投影儀

    內(nèi)容分析：
    1．集合是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要的基本概念 在小學(xué)數(shù)學(xué)中，就滲透了集合的初步概念,，到了初中,，更進(jìn)一步應(yīng)用集合的語言表述一些問題 例如，在代數(shù)中用到的有數(shù)集,、解集等,；在幾何中用到的有點(diǎn)集 至于邏輯,，可以說,，從開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就離不開對邏輯知識的掌握和運(yùn)用，基本的邏輯知識在日常生活,、學(xué)習(xí)、工作中,，也是認(rèn)識問題,、研究問題不可缺少的工具 這些可以幫助學(xué)生認(rèn)識學(xué)習(xí)本章的意義,，也是本章學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)
    把集合的初步知識與簡易邏輯知識安排在高中數(shù)學(xué)的最開始，是因?yàn)樵诟咧袛?shù)學(xué)中,，這些知識與其他內(nèi)容有著密切聯(lián)系,，它們是學(xué)習(xí)、掌握和使用數(shù)學(xué)語言的基礎(chǔ) 例如,，下一章講函數(shù)的概念與性質(zhì)，就離不開集合與邏輯
    本節(jié)首先從初中代數(shù)與幾何涉及的集合實(shí)例入手,，引出集合與集合的元素的概念,，并且結(jié)合實(shí)例對集合的概念作了說明 然后,，介紹了集合的常用表示方法,，包括列舉法、描述法,，還給出了畫圖表示集合的例子
    這節(jié)課主要學(xué)習(xí)全章的引言和集合的基本概念 學(xué)習(xí)引言是引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,，使學(xué)生認(rèn)識學(xué)習(xí)本章的意義 本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是集合的基本概念 
    集合是集合論中的原始的,、不定義的概念 在開始接觸集合的概念時，主要還是通過實(shí)例,，對概念有一個初步認(rèn)識 教科書給出的“一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個集合，也簡稱集 ”這句話,，只是對集合概念的描述性說明

    教學(xué)過程：

    一,、復(fù)習(xí)引入：

    1．簡介數(shù)集的發(fā)展,，復(fù)習(xí)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)，質(zhì)數(shù)與和數(shù),；

    2．教材中的章頭引言,；

    3．集合論的創(chuàng)始人——康托爾（德國數(shù)學(xué)家）（見附錄）；

    4．“物以類聚”,，“人以群分”,；

    5．教材中例子（P4）

    二,、講解新課：  

    閱讀教材第一部分，問題如下：

    （1）有那些概念,？是如何定義的,？

    （2）有那些符號？是如何表示的,？

    （3）集合中元素的特性是什么,？

    （一）集合的有關(guān)概念：

    由一些數(shù)、一些點(diǎn),、一些圖形,、一些整式、一些物體,、一些人組成的.我們說,，每一組對象的全體形成一個集合，或者說,，某些指定的對象集在一起就成為一個集合,，也簡稱集.集合中的每個對象叫做這個集合的元素.

    定義：一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個集合．

    1、集合的概念

    （1）集合：某些指定的對象集在一起就形成一個集合（簡稱集）

    （2）元素：集合中每個對象叫做這個集合的元素

    2、常用數(shù)集及記法

    （1）非負(fù)整數(shù)集（自然數(shù)集）：全體非負(fù)整數(shù)的集合 記作N,，

    （2）正整數(shù)集：非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集 記作N*或N+

    （3）整數(shù)集：全體整數(shù)的集合 記作Z ,

    （4）有理數(shù)集：全體有理數(shù)的集合 記作Q ,

    （5）實(shí)數(shù)集：全體實(shí)數(shù)的集合 記作R

    注：（1）自然數(shù)集與非負(fù)整數(shù)集是相同的,，也就是說，自然數(shù)集包括數(shù)0 （2）非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集 記作N*或N+ Q、Z,、R等其它數(shù)集內(nèi)排除0的集,，也是這樣表示，例如,，整數(shù)集內(nèi)排除0的集,，表示成Z*

    3、元素對于集合的隸屬關(guān)系

    （1）屬于：如果a是集合A的元素,，就說a屬于A,，記作a∈A

    （2）不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A,，記作

    4、集合中元素的特性

    （1）確定性：按照明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)給定一個元素或者在這個集合里,， 或者不在,，不能模棱兩可

    （2）互異性：集合中的元素沒有重復(fù)

    （3）無序性：集合中的元素沒有一定的順序（通常用正常的順序?qū)懗觯?

    5、⑴集合通常用大寫的拉丁字母表示,，如A,、B,、C、P,、Q…… 元素通常用小寫的拉丁字母表示,，如a、b,、c,、p、q…… ⑵“∈”的開口方向,，不能把a(bǔ)∈A顛倒過來寫

    三、練習(xí)題：

    1,、教材P5練習(xí)1,、2

    2、下列各組對象能確定一個集合嗎,？

    （1）所有很大的實(shí)數(shù) （不確定）

    （2）好心的人        （不確定）

    （3）1,，2,，2，3,，4,，5．（有重復(fù)）

    3、設(shè)a,b是非零實(shí)數(shù),，那么 可能取的值組成集合的元素是_-2,0,2__

    4、由實(shí)數(shù)x,－x,｜x｜, 所組成的集合,，最多含（  A  ）

    （A）2個元素  （B）3個元素  （C）4個元素  （D）5個元素

    5,、設(shè)集合G中的元素是所有形如a＋b （a∈Z, b∈Z）的數(shù)，求證：

    (1) 當(dāng)x∈N時, x∈G; 

    (2) 若x∈G,，y∈G,，則x＋y∈G，而 不一定屬于集合G

    證明(1)：在a＋b （a∈Z, b∈Z）中,，令a=x∈N,b=0,

    則x= x＋0* = a＋b ∈G,即x∈G

    證明(2)：∵x∈G,，y∈G,，

    ∴x= a＋b （a∈Z, b∈Z）,y= c＋d （c∈Z, d∈Z）

    ∴x+y=( a＋b )+( c＋d )=(a+c)+(b+d)

    ∵a∈Z, b∈Z,c∈Z, d∈Z

    ∴(a+c) ∈Z, (b+d) ∈Z

    ∴x+y =(a+c)+(b+d)  ∈G，

    又∵ ＝

    且 不一定都是整數(shù)，

    ∴ ＝ 不一定屬于集合G

    四,、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：

    1．集合的有關(guān)概念：（集合,、元素、屬于,、不屬于）

    2．集合元素的性質(zhì)：確定性,，互異性，無序性

    3．常用數(shù)集的定義及記法

    五,、課后作業(yè)：

    六,、板書設(shè)計(jì)（略）

    七、課后記：

    八,、附錄：康托爾簡介 
    發(fā)瘋了的數(shù)學(xué)家康托爾（Georg Cantor，1845－1918）是德國數(shù)學(xué)家,，集合論的創(chuàng)始者  1845年3月3日生于圣彼得堡,，1918年1月6日病逝于哈雷  康托爾11歲時移居德國，在德國讀中學(xué).1862年17歲時入瑞士蘇黎世大學(xué),，翌年入柏林大學(xué),，主修數(shù)學(xué)，1866年曾去格丁根學(xué)習(xí)一學(xué)期.1867年以數(shù)論方面的論文獲博士學(xué)位.1869年在哈雷大學(xué)通過講師資格考試,，后在該大學(xué)任講師,，1872年任副教授，1879年任教授.由于研究無窮時往往推出一些合乎邏輯的但又荒謬的結(jié)果(稱為“悖論”)，許多大數(shù)學(xué)家唯恐陷進(jìn)去而采取退避三舍的態(tài)度.在1874—1876年期間,，不到30歲的年輕德國數(shù)學(xué)家康托爾向神秘的無窮宣戰(zhàn).他靠著辛勤的汗水，成功地證明了一條直線上的點(diǎn)能夠和一個平面上的點(diǎn)一一對應(yīng),，也能和空間中的點(diǎn)一一對應(yīng).這樣看起來,，1厘米長的線段內(nèi)的點(diǎn)與太平洋面上的點(diǎn)，以及整個地球內(nèi)部的點(diǎn)都“一樣多”,，后來幾年,，康托爾對這類“無窮集合”問題發(fā)表了一系列文章，通過嚴(yán)格證明得出了許多驚人的結(jié)論.

　　康托爾的創(chuàng)造性工作與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)觀念發(fā)生了尖銳沖突,，遭到一些人的反對,、攻擊甚至謾罵.有人說，康托爾的集合論是一種“疾病”,，康托爾的概念是“霧中之霧”,，甚至說康托爾是“瘋子”.來自數(shù)學(xué)權(quán)威們的巨大精神壓力終于摧垮了康托爾，使他心力交瘁,，患了精神分裂癥,，被送進(jìn)精神病醫(yī)院. 

    真金不怕火煉,，康托爾的思想終于大放光彩.1897年舉行的第一次國際數(shù)學(xué)家會議上,，他的成就得到承認(rèn)，偉大的哲學(xué)家,、數(shù)學(xué)家羅素稱贊康托爾的工作“可能是這個時代所能夸耀的最巨大的工作”可是這時康托爾仍然神志恍惚,，不能從人們的崇敬中得到安慰和喜悅.1918年1月6日，康托爾在一家精神病院去世. 

   集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),，康托爾在研究函數(shù)論時產(chǎn)生了探索無窮集和超窮數(shù)的興趣.康托爾肯定了無窮數(shù)的存在，并對無窮問題進(jìn)行了哲學(xué)的討論,，最終建立了較完善的集合理論,，為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)
 

康托爾創(chuàng)立了集合論作為實(shí)數(shù)理論，以至整個微積分理論體系的基礎(chǔ). 從而解決17世紀(jì)牛頓（I.Newton,，1642－1727）與萊布尼茨（G.W.Leibniz,，1646－1716）創(chuàng)立微積分理論體系之后，在近一二百年時間里,，微積分理論所缺乏的邏輯基礎(chǔ)和從19世紀(jì)開始,，柯西（A.L.Cauchy，1789－1857）,、魏爾斯特拉斯（K.Weierstrass,，1815－1897）等人進(jìn)行的微積分理論嚴(yán)格化所建立的極限理論
 
    克隆尼克（L.Kronecker,，1823－1891）,，康托爾的老師，對康托爾表現(xiàn)了無微不至的關(guān)懷.他用各種用得上的尖刻語言,，粗暴地,、連續(xù)不斷地攻擊康托爾達(dá)十年之久.他甚至在柏林大學(xué)的學(xué)生面前公開攻擊康托爾 
橫加阻撓康托爾在柏林得到一個薪金較高,、聲望更大的教授職位.使得康托爾想在柏林得到職位而改善其地位的任何努力都遭到挫折.法國數(shù)學(xué)家彭加勒（H.Poi-ncare,，1854－1912）：我個人，而且還不只我一人,，認(rèn)為重要之點(diǎn)在于,，切勿引進(jìn)一些不能用有限個文字去完全定義好的東西.集合論是一個有趣的“病理學(xué)的情形”，后一代將把（Cantor）集合論當(dāng)作一種疾病,，而人們已經(jīng)從中恢復(fù)過來了.德國數(shù)學(xué)家魏爾（C.H.Her-mann Wey1,，1885－1955）認(rèn)為，康托爾關(guān)于基數(shù)的等級觀點(diǎn)是霧上之霧.菲利克斯．克萊因（F.Klein,，1849－1925）不贊成集合論的思想.數(shù)學(xué)家H．A．施瓦茲,，康托爾的好友，由于反對集合論而同康托爾斷交.從1884年春天起,，康托爾患了嚴(yán)重的憂郁癥,，極度沮喪，神態(tài)不安,，精神病時時發(fā)作,，不得不經(jīng)常住到精神病院的療養(yǎng)所去,變得很自卑,，甚至懷疑自己的工作是否可靠,他請求哈勒大學(xué)當(dāng)局把他的數(shù)學(xué)教授職位改為哲學(xué)教授職位,健康狀況逐漸惡化，1918年,，他在哈勒大學(xué)附屬精神病院去世.流星埃．

    伽羅華（E.Galois,，1811－1832），法國數(shù)學(xué)家伽羅華17歲時,，就著手研究數(shù)學(xué)中最困難的問題之一一般π次方程求解問題.許多數(shù)學(xué)家為之耗去許多精力,，但都失敗了.直到1770年，法國數(shù)學(xué)家拉格朗日對上述問題的研究才算邁出重要的一步 伽羅華在前人研究成果的基礎(chǔ)上，利用群論的方法從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的整體上徹底解決了根式解的難題 他從拉格朗日那里學(xué)習(xí)和繼承了問題轉(zhuǎn)化的思想,，即把預(yù)解式的構(gòu)成同置換群聯(lián)系起來，并在阿貝爾研究的基礎(chǔ)上,，進(jìn)一步發(fā)展了他的思想,，把全部問題轉(zhuǎn)化成或者歸結(jié)為置換群及其子群結(jié)構(gòu)的分析上 同時創(chuàng)立了具有劃時代意義的數(shù)學(xué)分支——群論,，數(shù)學(xué)發(fā)展史上作出了重大貢獻(xiàn) 1829年，他把關(guān)于群論研究所初步結(jié)果的第一批論文提交給法國科學(xué)院 科學(xué)院委托當(dāng)時法國最杰出的數(shù)學(xué)家柯西作為這些論文的鑒定人 在1830年1月18日柯西曾計(jì)劃對伽羅華的研究成果在科學(xué)院舉行一次全面的意見聽取會 然而，第二周當(dāng)柯西向科學(xué)院宣讀他自己的一篇論文時,，并未介紹伽羅華的著作 1830年2月，伽羅華將他的研究成果比較詳細(xì)地寫成論文交上去了 以參加科學(xué)院的數(shù)學(xué)大獎評選,，論文寄給當(dāng)時科學(xué)院終身秘書J．B．傅立葉，但傅立葉在當(dāng)年5月就去世了,，在他的遺物中未能發(fā)現(xiàn)伽羅華的手稿 1831年1月伽羅華在尋求確定方程的可解性這個問題上，又得到一個結(jié)論,，他寫成論文提交給法國科學(xué)院 這篇論文是伽羅華關(guān)于群論的重要著作 當(dāng)時的數(shù)學(xué)家S．K．泊松為了理解這篇論文絞盡了腦汁 盡管借助于拉格朗日已證明的一個結(jié)果可以表明伽羅華所要證明的論斷是正確的,，但最后他還是建議科學(xué)院否定它 1832年5月30日，臨死的前一夜,，他把他的重大科研成果匆忙寫成后,，委托他的朋友薛伐里葉保存下來，從而使他的勞動結(jié)晶流傳后世,，造福人類 1832年5月31日離開了人間 死因參加無意義的決斗受重傷 1846年，他死后14年,，法國數(shù)學(xué)家劉維爾著手整理伽羅華的重大創(chuàng)作后,，首次發(fā)表于劉維爾主編的《數(shù)學(xué)雜志》上

    高二數(shù)學(xué)集合的概念教案

    第1課時    集合的概念
 
    一、集合
    1．集合是一個不能定義的原始概念,，描述性定義為：某些指定的對象        就成為一個集合,，簡稱       ．集合中的每一個對象叫做這個集合的        ．
    2．集合中的元素屬性具有：
    (1) 確定性；  (2)          ,； (3)           ．
    3．集合的表示法常用的有           ,、           和韋恩圖法三種，有限集常用           ,，無限集常用           ,，圖示法常用于表示集合之間的相互關(guān)系．
    二、元素與集合的關(guān)系
    4．元素與集合是屬于和           的從屬關(guān)系,，若a是集合A的元素,，記作          ，若a不是集合B的元素,，記作           ．但是要注意元素與集合是相對而言的．
    三,、集合與集合的關(guān)系
    5．集合與集合的關(guān)系用符號           表示．
    6．子集：若集合A中           都是集合B的元素，就說集合A包含于集合B（或集合B包含集合A）,，記作           ．
    7．相等：若集合A中           都是集合B的元素,，同時集合B中           都是集合A的元素,，就說集合A等于集合B，記作           ．
    8．真子集：如果           就說集合A是集合B的真子集,，記作           ．
    9．若集合A含有n個元素,，則A的子集有           個，真子集有           個,，非空真子集有           個．
    10．空集 是一個特殊而又重要的集合,，它不含任何元素， 是任何集合的           ,， 是任何非空集合的           ,，解題時不可忽視 ．
    例1. 已知集合 ，試求集合 的所有子集.
    
    例2. 設(shè)集合 ,， ,， ，求實(shí)數(shù)a的值.
    例3. 已知集合A={x|mx2-2x+3=0,，m∈R}.（1）若A是空集,，求m的取值范圍；（2）若A中只有一個元素,，求m的值,；（3）若A中至多只有一個元素，求m的取值范圍.
    例4. 若集合A＝{2,，4,， }，B＝{1,，a＋1,， ， ,、  },，且A∩B＝{2，5},，試求實(shí)數(shù) 的值．
    變式訓(xùn)練1.若a,b R,集合 求b-a的值.
    變式訓(xùn)練2：（1）P＝{x|x2－2x－3＝0},，S＝{x|ax＋2＝0}，S P,，求a取值,？
   （2）A＝{－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1},，B A,求m,。
    變式訓(xùn)練3.（1）已知A={a+2，(a+1)2,，a2+3a+3}且1∈A,，求實(shí)數(shù)a的值,；
   （2）已知M={2，a,，b},，N={2a，2,，b2}且M=N,，求a，b的值.
    變式訓(xùn)練4.已知集合A＝{a,，a＋d,，a＋2d}，B＝{a,，aq,，  }，其中a≠0,，若A＝B,，求q的值 
    1．本節(jié)的重點(diǎn)是集合的基本概念和表示方法，對集合的認(rèn)識,，關(guān)鍵在于化簡給定的集合,，確定集合的元素，并真正認(rèn)識集合中元素的屬性,，特別要注意代表元素的形式,，不要將點(diǎn)集和數(shù)集混淆．
    2．利用相等集合的定義解題時,，特別要注意集合中元素的互異性,，對計(jì)算的結(jié)果要加以檢驗(yàn)．
    3．注意空集φ的特殊性，在解題時,，若未指明集合非空,，則要考慮到集合為空集的可能性．
    4．要注意數(shù)學(xué)思想方法在解題中的運(yùn)用，如化歸與轉(zhuǎn)化,、分類討論,、數(shù)形結(jié)合的思想方法在解題中的應(yīng)用．
    第2課時    集合的運(yùn)算
    一、集合的運(yùn)算
    1．交集：由           的元素組成的集合,，叫做集合A與B的交集,，記作A∩B，即A∩B＝            ．
    2．并集：由            的元素組成的集合,，叫做集合A與B的并集,，記作A∪B，即A∪B＝           ．
    3．補(bǔ)集：集合A是集合S的子集,，由           的元素組成的集合,，叫做S中子集A的補(bǔ)集,，記作 ，即 ＝           ．
    二,、集合的常用運(yùn)算性質(zhì)
    1．A∩A＝          ,，A∩ ＝          ，A∩B=B∩A,，A∪A＝          ,，A∪ ＝       ，A∪B＝B∪A
    2． ＝          ,， ＝          ,，            ．
    3．           ，           ,，
    4．A∪B＝A           A∩B＝A           
    例1. 設(shè)全集 ,， 方程 有實(shí)數(shù)根 ， 方程 有實(shí)數(shù)根 ,，求 .
    例2. 已知 , 或 .(1)若 ,求 的取值范圍;(2) 若 ,求 的取值范圍.
    變式訓(xùn)練1.已知集合A= B=   當(dāng)m=3時,，求 .
    變式訓(xùn)練2：設(shè)集合A= B 
    （1）若A B 求實(shí)數(shù)a的值；（2）若A B=A,，求實(shí)數(shù)a的取值范圍,；
    1．在解決有關(guān)集合運(yùn)算題目時，關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解題目中符號語言的含義,，善于轉(zhuǎn)化為文字語言．
    2．集合的運(yùn)算可以用韋恩圖幫助思考,，實(shí)數(shù)集合的交、并運(yùn)算可在數(shù)軸上表示,，注意在運(yùn)算中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想．
    3．對于給出集合是否為空集,，集合中的元素個數(shù)是否確定，都是常見的討論點(diǎn),，解題時要有分類討論的意識.

    高三數(shù)學(xué)集合的運(yùn)算
    課題：集合的運(yùn)算
    教學(xué)目標(biāo)：理解交集,、并集、全集,、補(bǔ)集的概念,，掌握集合的運(yùn)算性質(zhì)，能利用數(shù)軸文氏圖進(jìn)行集合的運(yùn)算,，進(jìn)一步掌握集合問題的常規(guī)處理方法．
    教學(xué)重點(diǎn)：交集,、并集、補(bǔ)集的求法,，集合語言,、集合思想的運(yùn)用．
    教學(xué)過程：
    （一）主要知識：
    1．交集： ；并集： ；補(bǔ)集：若 ,；
    2． , ,；
    3． ． ；
    4.. ,， ,。
    （二）主要方法：
    1．求交集、并集,、補(bǔ)集,，要充分發(fā)揮數(shù)軸或文氏圖的作用； 
    2．含參數(shù)的問題,，要有討論的意識,，分類討論時要防止在空集上出問題；
    3．集合的化簡是實(shí)施運(yùn)算的前提,，等價轉(zhuǎn)化常是順利解題的關(guān)鍵．
    （三）高考回顧：
    考題1：(2006安徽理) 設(shè)集合 ,， ，則 等于                                                     (     )
    A．                B．      C．             D．  
    考題2：（2006安徽文）設(shè)全集 ,，集合 ,， ，則 等于                                                     （     ）
    A．         B．       C．        D． 
    考題3：（2006福建文）已知全集 且 則 等于                                                      (      )
   （A） 　　　?。˙） 　　　?。–） 　　　　（D）  
    考題4：（2006遼寧文）設(shè)集合 ,，則滿足 的集合 的個數(shù)是（　?。?
    Ａ．1  Ｂ．3  Ｃ．4  Ｄ．8
    考題5：（2006全國卷I理）已知集合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|log2x＞1｝,，則M∩N＝
                                                                    （    ）
    （A）                          （B）｛x|0＜x＜3｝
    （C）｛x|1＜x＜3｝                （D）｛x|2＜x＜3｝
    考題6：（2006陜西理）已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2+x－6≤0}, 則P∩Q等于                                                             (     )
      A. {2}     B.{1,2}   C.{2,3}  D.{1,2,3}
    （四）典型例題：
    例1．設(shè)全集 ,，若 ， ,， ,，則           ，            ．
    例2．已知集合 ,， ，則           ,，          ,； 
    例3．已知集合 ， ,，若 ,， ，求實(shí)數(shù) ,、 的值． 
    說明：區(qū)間的交,、并,、補(bǔ)問題，要重視數(shù)軸的運(yùn)用． 
    例4．已知集合 ,， ,，若 ，求實(shí)數(shù) 的取值范圍．  
    例5．已知集合 ,， ,，若 ，求實(shí)數(shù) 的取值范圍．
    分析：本題的幾何背景是：拋物線 與線段 有公共點(diǎn),，求實(shí)數(shù) 的取值范圍． 
    （五）鞏固練習(xí)：
    1．設(shè)全集為 ,，在下列條件中，是 的充要條件的有           （     ） 
① ,，② ,，③ ，④ ,，
   個           個           個           個
    2．集合 ,， ，若 為單元素集,，實(shí)數(shù) 的取值范圍為            ．
    （六）課后作業(yè)：
    1．設(shè)全集I={1,，2，3,，4,，5}，若A B={2},，  ={4},，  ={1，5},，則下列結(jié)論正確的是                                        （    ）                  
    A．     B．     C．       D． 
    2．已知M= ,，N= ，則M N=                 （    ）
    A．               B．M             C．N                D．R
    3．設(shè)A= ,，B= ,，C= ，且A B=C,，則a=    b=    ,。
    4．設(shè)含有4個元素的集合的全部子集數(shù)為S，其中由3個元素組成的子集個數(shù)為T,，則 =    ,。
    5．集合A= ，B= ，若A B中有且僅有一個元素,，則r=          ,。
    6.設(shè)集合A= ，B= ,，求集合C,，使其同時滿足下列三個條件：（1） ；（2）C有兩個元素,；（3） .
    7.設(shè)集合P= ,，Q= 
    I．若P Q，求實(shí)數(shù)a的取值范圍,；
    II．若 ,；求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
    III．若 ,，求實(shí)數(shù)a的值,。