先聲明一句,，這篇帖子為了使非數(shù)學專業(yè)的人能夠閱讀下去,，對主要概念的來源和主要定理的證明進行了一些簡化，可能導致不嚴謹,。所以只能歸類于瞎扯范疇。專業(yè)的數(shù)學工作者不要過于苛責,。我為了簡明扼要說清楚，不得不在嚴謹上做妥協(xié),，甚至有的地方可能是錯的。 

這篇帖子目的是介紹數(shù)學是如何從研究計算進化到研究結構的,。 

伽羅華是數(shù)學從計算轉向結構的關鍵人物,，或者說是數(shù)學從古代轉向近代的關鍵人物,。在伽羅華之前,，數(shù)學本質是靠計算來解決問題,，伽羅華以超凡的洞察力,，構建了從數(shù)學結構來研究數(shù)學本質問題的框架。這時從具體到抽象的一步巨大跨越。 

我想用一個具體例子說明人類是如何從具體事物進化到抽象概念的,。 

為了非數(shù)學系的人能夠知道我說的內容,，我用了大量描述性語言，所以不夠嚴謹,。在通俗和嚴謹之間,，只能做此取舍,。 

人類第一個真正的抽象學科是抽象代數(shù),，抽象代數(shù)是從伽羅華群論發(fā)展起來,。為了理解抽象代數(shù),，我們介紹一下伽羅華群論的來歷,，這樣便于以后有興趣看抽象代數(shù),，進入本質更快一點,。 

由于篇幅和豆瓣對符號的限制,，一般抽象代數(shù)就無法介紹了，有興趣的自己去看書,。這里只做點科普,。 

我們已經(jīng)在以前討論數(shù)學基礎的帖子里知道,，現(xiàn)代數(shù)學主要研究從現(xiàn)實世界中抽象出的空間形式和數(shù)量關系,，也即結構及結構之間的關系,，而結構進入數(shù)學只有100年的歷史，是由群的概念引進而開始的,。群的概念的引入就是伽羅華,，他也是第一位在有意識地以結構的研究代替計算的人,。群論徹底解決了代數(shù)方程的根式求解問題 此發(fā)展了一整套關于群和域的理論,。 

但是群的概念并不是伽羅華發(fā)明的，而是產生于拉格朗日研究代數(shù)方程的解過程中：拉格朗日已經(jīng)意識到一元n次方程的根是一個置換群,，而且也猜想一般五次以上方程無根式解，但是拉格朗日沒能證明這個猜想,，后來魯菲力和阿貝爾都企圖證明這個猜想,，其中魯菲力的論文有560多頁，阿貝爾有幾頁,，不過證明被驗證后都是錯的或邏輯不完備的,。 

而置換群的性質，柯西在1815年就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了,，可是柯西沒能把其與一元n次方程的解結合起來，錯過了這一數(shù)學史上最偉大的發(fā)現(xiàn),。 

伽羅華的重大發(fā)現(xiàn)不是發(fā)明了群的概念，而是發(fā)現(xiàn)每個一元n次方程的解都與一個置換群對應,，而置換群的群結構決定了解的特性,。所以不需要計算解，只需要研究置換群的結構,，就能了解解的性質,。也即把數(shù)學計算改為研究數(shù)學結構。 

抽象代數(shù)是研究數(shù)學結構的,，代數(shù)結構=集合上按照公理體系定義的運算規(guī)則（集合包括包括實數(shù),、復數(shù)、向量（vector）,、矩陣（matrix）,、變換（transformation）等集合，運算規(guī)則包括加法,，乘法等等）,。 

按照教科書定義，抽象代數(shù)是研究各種抽象的公理化代數(shù)結構的學科,，如群（group）,、環(huán)（ring）、域（domain）等等。 

下面先說說目前抽象代數(shù)對其研究的主要代數(shù)結構的抽象定義,，不過這些定義不是我們的重點,，看不看無所謂。只是想表明一下抽象的格式是什么,，不是我想講的,。 

群的定義是： 

假設一個非空集合， 上面有一個二元運算,，如果滿足以下條件： 

(1) 封閉性：若a,b∈G,，則存在唯一確定的c∈G ，使得a.b=c ,； 

(2) 結合律成立,，即對G 中任意元素 都有(a.b).c=a.(b.c) ； 

(3) 單位元存在：存在 e ∈G,，對任意a ,，滿足a.e=e.a=a 。e稱為單位元,，也稱幺元,； 

(4) 逆元存在：任意a∈G ，存在b ,，a.b=b.a=e （e 為單位元）,，則稱a 與b 互為逆元素，簡稱逆元,。記作a^-1 ,； 

則稱G 對 . 構成一個群。 

環(huán)的定義是： 

R是一個非空集合,，若定義了兩種代數(shù)運算+和 （不一定是我們常識的加與乘,，是一種抽象運算規(guī)則），且滿足： 

（1）,、集合R在+運算下構成阿貝爾群(Abel group,，交換群，也即對任意的a,b∈G,有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b),，并不是所有群都是阿貝爾群，比如矩陣的乘法不滿足交換律,，所以n階可逆方陣關于乘法組成的群不是交換群）,； 

（2）、關于 有結合律,，即 ,， 

.R對 構成一個半群； 

（3）、分配律與結合律對成立,，即 ,，有：； 

稱代數(shù)系統(tǒng) 是一個環(huán)(Ring),。 

域的定義有兩種方式： 

其一是D是一個有單位元e（≠0）的交換環(huán)（即對于乘法運算可交換）,如果D中每個非零元都可逆,，稱D是一個域。（比如有理數(shù)域,，剩余類域,，典型域，有理函數(shù)域,，半純函數(shù)域等等）,。 

第二種定義，設<R,，+,，* >是環(huán)，如果<R,，+>和<R-{0},*>都是交換群（“0”為<R,+>的幺元）且滿足分配律,，則稱<R，+,，*>是域,。比如D是一個含有非零數(shù)的數(shù)集，如果D對于數(shù)的四則運算都封閉,，那么稱代數(shù)系統(tǒng)（D,+,，－，×,，÷）為一個域,。 

有理數(shù)域（Q,+,*)，實數(shù)域（R,+,*）,，復數(shù)域（C,+,*）,，連續(xù)函數(shù)域（R^R,+，·）都是域,。但整數(shù)集Z不是域,，因為1/x不是整數(shù)。（整數(shù)集Z是一個環(huán),，是整環(huán)）,。 

線性代數(shù)就是域的一個特例。 

抽象代數(shù)與數(shù)學其它分支相結合產生了代數(shù)幾何,、代數(shù)數(shù)論,、代數(shù)拓撲,、拓撲群等新的數(shù)學學科。抽象代數(shù)已經(jīng)成了當代大部分數(shù)學的通用語言,。 

在抽象代數(shù)研究的代數(shù)結構中,，最簡單的是群（Group）。它只有一種符合結合率的可逆運算,，通常叫“乘法”,。如果這種運算也符合交換率，那么就叫阿貝爾群 （Abelian Group）,。 

群論是伽羅華（Galois）在研究多項式方程根式求解過程中提出的,，是抽象代數(shù)的起點。 

所以想理解抽象代數(shù),，就得先理解群論,，想理解群論，就得先理解伽羅華理論,，想理解伽羅華理論,，就得先了解拉格朗日的代數(shù)方程工作。 

1,、代數(shù)方程的歷史 

我們在初中就知道的一元一次和一元二次方程的求解方法其實在古巴比倫時代就存在了,，但是一元三次方程解的公式直到十六世紀初才由意大利人塔塔里亞發(fā)現(xiàn)。 

三次方程被解出來后,，一般的四次方程很快就被意大利人的費拉里解出,。 

先補充介紹一下一元一次方程到一元四次方程的解法，這個與后來的群的思想有關,。 

一次方程：ax+b=0,，只要是學過初等代數(shù)的都會解：x=-b/a。 

二次方程：ax^2+bx+c=0,解是:x=（-b±(b^2-4ac)^1/2）/2a,，這個用因式分解很容易,。 

在公元前巴比倫人已能解這種形式的方程。 

三次方程：ax^3+bx^2+cx+d=0和四次方程ax^4+bx^3+cx^2+dx+e =0的解法比解一次,，二次的方程難得多了,。 

對一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0，先除掉a,，令b/a=a,，c/a=b，d/a=c,，原方程變成： 

x^3+ax^2+bx+c=0,， 

令y=x+a/3，得：y^3+py+q=0,。（1） 

其中p=b－a^2/3,，q=2a^3/27－ab/3+c，考慮等式（u+v）^3=u^3+v^3+3（u+v）uv. 

即（u+v）^3－3（u+v）uv－（u^3+v^3）=0,。（2） 

比較（1）和（2）,，令y=u+v，則方程（2）變?yōu)椋?nbsp;
（u+v）^3+p（u+v）+q=0,，其中p=－3uv,q=－(u^3+v^3),。 

即u^3v^3=－p^3/27，u^3+v^3=－q,。（3） 

則得到v^6+qv^3-p^3/27=0 

把v^3當成x,則是一個二次函數(shù),，易解得，u^3=－q/2+(q/2)^2+p^3/27)^1/2,，v^3=－q/2-(q/2)^2+p^3/27)^1/2,；由于u,v對稱，所以也有v^3=－q/2+(q/2)^2+p^3/27)^1/2,，u^3=－q/2-(q/2)^2+p^3/27)^1/2同時成立,； 

所以可得到: 

y=（－(q/2)+(p^3/27+q^2/4)^1/2)^1/3+（－(q/2)-(p^3/27+q^2/4)^1/2)^1/3，進而可得到原方程根x的值,。 

同理整理四次方程,，對于x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0，令y=x+a/4,，則原方程可變?yōu)椋?nbsp;

y^4+py^2+qy+r=0,。（4） 

其中p=b－6(a/4)^2，q=c－(a/c)b+(a/2)^3,，r=d－(a/4)c+(a/ 
4)^2b－3(a/4)^4 

（4）移項,，得：y^4+py^2=－qy－r。（5） 

（5）等式左邊配方,，得：(y^2+p/2)^2=－qy－r+(p/2)^2.

在左端括號內加u得：(y^2+p/2+u)^2=－qy－r+(p/2)^2+2uy^2+pu+u^2,。（6） 

則右端應為完全平方數(shù)，故有：Δ=q^2-4×2u(p^2/4+pu+u^2－r)=0,。（二次方程可以分解為（x-（-b+(b^2-4ac)^1/2）/2a)(x-（-b-(b^2-4ac)^1/2）/2a),，如果Δ不等于零，就無法滿足右端完全平方數(shù)條件,。（Δ=b^2-4ac）,。 

即：8u^3+8pu^2+（2p^2－8r）u－q^2=0。（7） 

（7）顯然為可解的三次方程,，解答該方程就可得到u的值,。 

而且（6）就變?yōu)?y^2+p/2+u)^2=((2uy)^1/2－(q/2(2u)^1/2))^2。 

因此有y^2+p/2+u=(2uy)^1/2－(q/2(2u)^1/2) 

由于u已經(jīng)解出（按照三次方程解法,，有兩組,，每組三個值）,，p,q,r都是已知的方程系數(shù)（見（4））所以這個二次方程很容易得到y(tǒng)的值，進而得到原方程的根x的值,。 

上面工作都是初等數(shù)學,，學過初中一年級因式分解，理解毫無問題,。 

注意,，數(shù)學家的大招馬上就來，一步從初中跨入大學,。當然后面內容也是檢驗一個人抽象思維能力的試金石,，看不懂的話，也就沒法從事數(shù)學工作了,。 

2,、拉格朗日工作 

在介紹拉格朗日工作前，我們先得介紹韋達定理,。 

★韋達定理： 

設x1,x2,......xn是方程x^n+a1x^(n-1)+a2x^(n-2)+.......+an-1x+an的n個根,，則： 

x1+x2+......+xn=-a1 
x1x2+x1x3+......+x1xn+x2x3+......xn-1xn=a2 
...... 
x1x2....xn=(-1)^n*an 

韋達定理很容易用數(shù)學歸納法證明。 

下面介紹一下簡單置換的記號： 

x1,x2,x3,....xn,如果進行置換,，例如x1置換成x2,x2置換成x3,......xn置換成x1,記成（123......n）,，置換不變，記為1,。顯然n元素所有的置換是一個n!元素的集合,。 

先介紹拉格朗日的發(fā)現(xiàn)，然后介紹其發(fā)現(xiàn)過程,。 

拉格朗日發(fā)現(xiàn)： 

★解一元三次方程需要預解二次輔助方程,，解一元四次方程需要預解三次輔助方程。 

★要解高次方程主要是解它的輔助方程,。 

★輔助方程的次數(shù)必須小于原方程的次數(shù),，不然原方程一般不可解。 
（當然解三次方程時的輔助方程是六次的,，是因為可按二次方程求,，所以本質還是降階了） 

★由于輔助方程解的表達式可以任意交換其系數(shù)a,b,c的位置（因為對稱），即3次方程的解的表達式有 3!=3×2=6個,。（Lagrange原話是：方程的解其實不依賴a, b, c 的值,，而是依賴輔助方程結構在原方程根下置換出的不同值的個數(shù)）。 

至此,，解代數(shù)方程必有置換的想法已正式形成（也即n次方程的n個根的排列順序有n!個,，或者說這n！個排列組合的根,，都是方程的解,，也即方程根時對稱的）,。 

這是一個很重要的發(fā)現(xiàn)：也即方程解必須滿足置換條件，這也就是伽羅華從研究求解轉為研究代數(shù)方程結構的起點,，他通過研究根組成的集合（置換群）的性質,，證明了：大于五次的方程的根組成的置換群其性質導致其不可通過輔助方程降階，也即不可以用有理運算和方根求解）,。 

★輔助方程的關鍵是找到根的表達式——預解式（為原方程根的函數(shù)），解方程只需要找到預解式,。 

所以解代數(shù)方程實際是要解輔助方程,，因此要尋找一個預解式，此預解式在原方程根的置換下取不同值的個數(shù)即為輔助方程的次數(shù),，找到了合適的預解式就得到了輔助方程（輔助方程的系數(shù)可由原方程的系數(shù)表示）,，解答了輔助方程就可以順利的得到原方程的根。 

因為只要有了預解式,，就很容易得到它在原方程根下置換出不同值的個數(shù),，那么輔助方程的次數(shù)就確定了。 

下面介紹拉格朗日的工作過程,。 

先用二次方程來解釋他的思考過程,。 

考慮二次方程x^2+px+q=0，設x1,x2是其兩個解,，構造預解式r1=x1-x2,，r2=x2-x1，顯然r1,r2在置換S(2)（包括置換1和（12）,，其實1和（12）就是一個2階置換群）下,，有r1-->r1，r2-->r2,；r1-->r2,，r2-->r1。 

構造以r1,，r2為根的輔助方程（也稱預解方程）： 

Φ（X）=（X-r1）*（X-r2）,，這個方程顯然在S（2）下不變， 

根據(jù)韋達定理,，r1+r2=-p,r1*r2=q,，能夠得到Φ（X）=X^2-（p^2-4q） 

對一般n次方程，由于Φ（X）是根組成的置換群,，是對稱的,，可以按照高中代數(shù)學過的牛頓多項式定理，得到：Φ（X）=原方程系數(shù)構成的初等多項式表達,，也即Φ（X）可以用原來方程的系數(shù)表達出來,。 

顯然X有兩個解：r1,r2,（p^2-4q）^1/2和-（p^2-4q）^1/2,，（當然r1,r2具體取值，是一個2,！的排列組合） 

r1=x1-x2,r2=x2-x1,，原方程滿足x1+x2=-p，那么原方程解得到： 

x1,，x2=（-p±（p^2-4q）^1/2)/2,，具體x1,x2取值，也是2,！個組合,。 

對一般三次方程x^3+px+q=0(參見前面介紹，任意三次方程總能整理成這個模式）,，假設x1,x2,x3是其根,，引入預解式： 

r1=x1+wx2+w^2x3,（其中x^3=1的三個根表達為1，w,，w^2） 

x^n=1的解可以這樣考慮,，令x=r(isinθ+cosθ),由于x^n=1，所以r=1,，nθ=2πk,，k=1,2,......n-1，方程的n個解分別為1,，w,w^2,w^3......w^(n-1),，其中w=e^(i2π/n)，e是歐拉常數(shù),。（這是大學微積分常識） 

用S(3)做置換計算得到（S(3)包括：1,，（132），（321）,，（213）,（231）,(312)等六個置換,，這是一個六階置換群） 

1=x1+wx2+w^2x3, 

r2=wx1+w^2x2+x3, 

r3=w^2x1+x2+wx3 

r4=x1+w^2x2+wx3 

r5=wx1+x2+w^2x3 

r6=w^2x1+wx2+x3 

做這種置換，是要用韋達定理把根與系數(shù)的關系建立起來. 

定義預解方程Φ（X）=（X-r1）*（X-r2）......（X-r6） 

顯然1+w+w^2=0,，w^3=1（w是x^3=1的三個根之一）,。 

得到：Φ（X）=（X^3-r1^3）*（X^3-r2^3）=0 

令r1^3=u,r2^3=v,x^3=t,則轉化為一個二次方程，也即形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式應該為x=A^(1/3)+B^(1/3)型,，即為兩個開立方之和,。 

（1）將x=A^(1/3)+B^(1/3)兩邊同時立方可以得到 

（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3)) 

（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)， 

所以（2）可化為 x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x,， 

移項可得 

（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0,， 

和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比較，可知 

(5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化簡得 

（6）A+B＝－q,，AB＝-（p/3）^3 

（7）這樣其實就將一元三次方程的求根公式化為了一元二次方程的求根公式問題,，因為A和B可以看作是一元二次方程的兩個根，而(6)則是關于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程兩個根的韋達定理,，即 

（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a 

(9)對比（6）和（8）,，可令A＝y(tǒng)1，B＝y(tǒng)2,，q＝b/a,，-（p/3）^3＝c/a 

(10)由于型為ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式為 
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)；y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) 可化為 

(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) ,，2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) 

將(9)中的A＝y(tǒng)1,，B＝y(tǒng)2，q＝b/a,，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得 

(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) 

(13)將A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得 

(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3) 式 

(14)只是一元三方程的一個實根解,，按韋達定理一元三次方程應該有三個根,，不過按韋達定理一元三次方程只要求出了其中一個根，另兩個根就容易求出了,。 

對于一般一元四次方程,，ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0，拉格朗日照樣構造預解方程r1=x1+ix2-x3-ix4,然后經(jīng)S（4）置換,，出來24組,， 

然后構造Φ（X）=（X-r1）*（X-r2）....(X-r24） 

根據(jù)上面解三次方程方法，拉格朗日解決了四次方程求根辦法（具體寫起來太復雜,，純粹是力氣活,，沒創(chuàng)意，省略）,。 

按照拉格朗日方法,，一元四次求根公式這種方法來解一元四次方程，只需求解一個一元三次方程即可,。 

根據(jù)上述結果,，拉格朗日認為：解三次方程方法，輔助方程為二次的,，解四次方程,，輔助方程為3次的，那么解n次方程,，只要找到n-1輔助方程,，就可以解。 

為這個目標,，Lagrange利用1的任意n次單位根 （x^ n =1）,引進了預解式1+x+ x^2+ x^3+…+ x^n-1來試圖找到n次方程解法,，但是用這種方法,，Lagrange進行五次及五次以上方程的嘗試都失敗了。 

因為按照他的方法,，解一元五次方程需要預解二十四次的輔助方程 （ Tschirnaus,、Bezut、Euler也得到同樣的結果）,。由此,，他開始懷疑五次以上方程是無根式解的。 

1771年,，拉格朗日發(fā)表長篇論文《關于方程的代數(shù)解法的思考》提出了這個懷疑,。（不過德國數(shù)學家高斯在1801年，他解決了分圓方程x^p-1=0（p為質數(shù)）可用根式求解,，這表明并非所有高次方程不能用根式求解,。因此，可用根式求解的是所有高次方程還是部分高次方程的問題需進一步查明）,。 

根據(jù)拉格朗日的判斷,，魯菲力（Ruffini）1813年，從反面論證高于五次的方程可能沒有一般代數(shù)解,，不過他的證明不嚴謹,。 

1826年，阿貝爾嚴格證明：如果一個方程可以根式求解,，則出現(xiàn)在根的表達式中的每個根式都可表示成方程的根和某些單位根的有理數(shù),。并且利用這個定理又證明出了阿貝爾定理： 

一般高于四次的方程不可能代數(shù)地求解，這些方程的根不能用方程的系數(shù)通過加,、減,、乘、除,、乘方,、開方這些代數(shù)運算表示出來。但是阿貝爾沒有回答每一個具體的方程是否可以用代數(shù)方法求解的問題,。 

阿貝爾還在在高斯分圓方程可解性基礎上,，證明了： 

任意次的一類特殊方程的可解充分必要條件是全部根都是其中一個根（假設為x）的有理函數(shù)，并且任意兩個根q1(x)與q2(x)滿足q1q2(x)=q2q1(x),，q1,，q2為有理函數(shù)。（現(xiàn)在稱這種方程為阿貝爾方程）,。 

其實這就是群,，只是阿貝爾沒能意識到，也沒有明確地構造方程根的置換集合（因為若方程所有的根都用根x1來表示成有理函數(shù)qj(x1)，j=1,2,3,…,n,，當用另一個根xi代替x1時,，其中i≤n ，那么qj(xi)是以不同順序排列的原方程的根,，j=1,2,…,n,。也即根xi=q1(xi),q2(xi),…,qn(xi)是根x1,x2,…,xn的一個置換），阿貝爾僅僅考慮了根的可交換性：q1q2(x)=q2q1(x),，并證明方程只要滿足這種性質,，便可簡化為低次的輔助方程，輔助方程可依次用根式求解,。 

所以阿貝爾解決了構造任意次數(shù)的代數(shù)可解的方程的問題,，卻沒能解決判定已知方程是否可用根式求解的問題。 

3,、伽羅華出場了 

伽羅華的思想來自于拉格朗日用置換的思想進行代數(shù)方程求解,。 

（1）、伽羅華從拉格朗日方程根的置換思想入手 

為了介紹伽羅華從拉格朗日工作飛躍,，我們用一個簡單例子來解釋,。 

拉格朗日已經(jīng)意識到，如果一元n次方程能夠變成[x-x(1)][x-x(2)]...[x-x(n)]這樣徹底地分解因式,，那么方程的解就得到了,。但往往不能,，必須擴張系數(shù)的數(shù)域才行,。例如： 

f(x)=x^2+1 

這個多項式在實數(shù)范圍內是不能分解的，如果允許把虛數(shù)單位i作為系數(shù)的話,，這個式子可以分解成： 

f(x)=(x+i)(x-i) 

也即：當域的范圍越大,，在這個域中進行的因式分解就越徹底，當一個n次多項式可以被分解為n個一次多項式的乘積時,，方程的n個解就找出來了,。這個域叫做f(x)的分裂域。 

通過一系列的擴域就能把多項式的系數(shù)域擴張到多項式的分裂域,，方程就找到解了,。可是這里有一個核心問題：系數(shù)域可擴張為分裂域的充分必要條件是什么,，或者是不是分裂域都是存在的（也即等價于一元n次方程都是有解的）,。 

由于域定義了四種運算（例如四則運算），拉格朗日發(fā)現(xiàn)域是一種非常難以把握的集合,。而且一元n次方程涉及的大部分域都是無限域（有無限多的元素,，比如實數(shù)域，有理數(shù)域），要準確地給出系數(shù)域可以擴張為分裂域的充分必要條件是非常困難的,。 

（2）,、伽羅華的工作 

伽羅華首先是對一元n次多項式方程可解的定義進行改進： 

簡單說是指經(jīng)過有限次加、減,、乘,、除、乘方和開方運算可以表示出方程的根,。（這個定義的嚴格表達是：如果一個集合包含方程的系數(shù),，且對加、減,、乘,、除、乘方和開方封閉,，那么求根公式的存在性等價于根在這個集合中的存在性,。這個結論是顯然的，多想一下就明白）,。 

所以一個代數(shù)方程是否有解,，要看我們對于解所加的限制條件而定，例如如果允許x可以是負數(shù)的話,，x+5=3是可解的,，但是如果限定x不能是負數(shù)，那么這個方程就無解了,。 

同樣,，假使x表示有理數(shù)，方程2x+3=10是可解的,。如果x表示整數(shù),，這方程就無解了，因為x=3.5在整數(shù)里面沒有意義,。 

再例如,，要三等分任意一角，若只準用直尺與圓規(guī),，這是不可能的,，但是若許用別的儀器，就可能了,。 

所以關鍵的一個要點來了：一個多項式是可以因式分解的或不可因式分解的,，要看在什么數(shù)域中分解而定。例如x^2+1在實數(shù)域中就是不可分解的,，但是在復數(shù)域中卻是可分解的,，因為x^2+1=(x+i)(x-i),i=（-1）^1/2,。所以，單說一個多項式是不是可因式分解的,，而不說出在什么數(shù)域內,，這其實是廢話。 

同理,，一個命題在什么范圍中是對的,，在什么范圍中是錯的，甚而至于在什么范圍中是絕對沒有意義的也是這個道理,。 

伽羅華要解決的問題是：一般高于四次的方程不能用根式解,。 

不能用根式解，就是說方程的根不能用方程的系數(shù)通過有限次的有理運算（加,，減,，乘，除）和開方得到（或者說等價于方程的根不能表達成方程系數(shù)通過有理運算形成的函數(shù)）,。 

例如一次方程ax+b=0,，方程的根是x=-b/a，也即x的值可以用a除b而得,，這是一個有理運算,。 

二次方程ax^2+bx+c=0，兩根是x=（-b±(b^2-4ac)^1/2）/2a,，這也可以由方程系數(shù)經(jīng)過有限次的有理運算和開方而得,。 

同樣，一般的三次,，四次方程的根也表達成用有限次的有理運算和開方方程系數(shù)的函數(shù),。 

顯然乘方是乘法的特例（反復乘法）。開方顯然不是四則運算（域中被定義的運算只有加減乘除四種）,，所以必須把開方通過擴域的方式被加入到求根公式允許的運算方式中,。 

所以伽羅華發(fā)展出了第一個重要的概念：擴域,。也即伽羅華發(fā)現(xiàn)了：從包含方程系數(shù)的最小的域出發(fā),，通過域的擴張逐漸添加元素，直到把方程的所有解包含在某個擴域中為止：如果我們能這樣做到,，方程就是有解的,，否則，方程就沒有一般的求根公式,。 

（3）,、伽羅華定理 

基于上述發(fā)現(xiàn)，伽羅華繼續(xù)努力,。 

對有理系數(shù)的n次方程 x^n+a1x^n-1+a2x^n-2+…+an-1x+an=0,， 

假設它的n個根是x1,x2,…,xn,，伽羅華證明： 

每個方程對應一個域（由方程系數(shù)和全部根組成，這個域定義為伽羅華域）,，每一個域與一個伽羅華群對應,。 

這也就意味著，伽羅華發(fā)現(xiàn)了研究一元n次方程解結構問題,，可以轉為研究伽羅華群結構性質,。 

伽羅華群定義：某個數(shù)域上任意一個一元n次多項式方程,它的根的置換群里面某些置換所構成的一個子群，滿足如下條件就被定義作該方程的伽羅華群： 

對任意一個取有理數(shù)值關于根的多項式函數(shù),，伽羅華群中的每一個置換都使函數(shù)的值不變,。同時，如果伽羅華群中每一個置換都使根的一個多項式函數(shù)的值不變,，則這個多項式函數(shù)的值是有理的,。

伽羅華域定義：對有理系數(shù)的n次方程 x^n+a1x^n-1+a2x^n-2+…+an-1x+an=0， 
假設它的n個根是x1,x2,…,xn,，方程系數(shù)生成的域是F,，E是把n個根添加到F上生成的域，又叫伽羅華擴域或伽羅華擴張,。 

伽羅華定理：假定G為這個方程的伽羅華群,，一元n次方程是否有根式解的充分必要條件是：假定F是含有這個方程的系數(shù)及x^n=1的各次方根的最小域，那么F是否可以經(jīng)過有限次添加根式擴張,，成為E,。 

也即是否存在有限多個中間域Fi(i=1,......k),使F<F1<F2<......<Fk<E，其中每個Fi都是由Fi-1添加Fi-1數(shù)的根式產生的擴域,。F是方程系數(shù)和1的n次方根組成的最小域,。 

那么如何把伽羅華域伽羅華群聯(lián)系起來呢？ 

伽羅華定義了域上自同構群,。域上的自同構群概念的引入,，使域與群發(fā)生了聯(lián)系，即建立了伽羅華 域的子域與伽羅華群的子群之間的一一對應關系：保 持F元素不動的的每個自同構決定方程根的一個置換,它屬于伽羅瓦群G,反之,G中每 個置換引起的一個自同構,它使F的元素不動,。 

這樣就建立了E的自同構群和方程的伽羅瓦群之間的同構,。由此建立E的子域(包含F(xiàn))和 G的子群之間的一一對應：保持子域Fi不動的G中全部置換構成的一個子群Gi,讓Gi與Fi對應,而且反過來也可 用Gi來刻劃Fi,即Fi是E中被Gi的每個置換保持不動的元素全體。也即Fi和Gi存在一一對應關系,。 

這就是伽羅瓦基本定理,。顯然利用這種一一對應關系，就可由群的性質刻劃域的性質,反之亦 然,。因此,伽羅華的理論是群與域這兩種代數(shù)基本結構綜合的結果,。 

那么怎么用伽羅華群性質證明方程是否可解呢？ 

伽羅華在拉格朗日方法基礎上,，認為解方程,，必須從預解式開始,，當他構造二項方程作為預解方程時，發(fā)現(xiàn)其相應的置換子群應是正規(guī)子群且指數(shù)為素數(shù)才行,。利用正規(guī)子群概念可以區(qū)分合成群與單群的概念,，利用它的性質就可以判別已知方程能否轉化為低次方程的可解性問題。這是伽羅華的第二個重要發(fā)現(xiàn),。 

伽羅華的的思想是： 

首先定義正規(guī)子群的概念：群G的子群N是G的正規(guī)子群,，是指對每個g∈G，g^-1Ng=N,； 

其次是尋找極大正規(guī)子群列,，確定極大正規(guī)子群列的一系列合成因子。 

伽羅華證明：伽羅華域F,，如果每次所添加的根式均為素數(shù)次根,，那么,那么F可以經(jīng)過有限次添加根式擴張，成為E（也即方程有根式解）,。這時中間域Fi的結構等價于使Fi-1保持不變的的Fi自同構置換群的結構,。這樣的自同構群是素數(shù)階的循環(huán)群,且階數(shù)為〔Fi:Fi-1〕。 

伽羅華因此定義：如果一個群所生成的全部合成因子都是素數(shù),，則稱這個群為可解的,。 

這樣就利用可解群的概念全面刻劃了用根式解方程的特性，給出了一個方程可用根式解的判別準則是：一個方程可用根式解的充要條件是這個方程的伽羅華群是可解群,。 

這樣伽羅華證明了：一元n次多項式方程能用根式求解的一個充分必要條件是該方程的伽羅華群為可解群,。這時是1832年。 

由于高于四次的一般方程的伽羅華群不是可解群,，也就直接推論出高于四次的一般方程的不可解性,。 

也即伽羅華發(fā)現(xiàn)本質就是：域的無數(shù)種擴張方式其實就是有限階的群。n階對稱群對應著n次一元方程,，而5階和5階以上的對稱群不是可解群,，也就是五次和五次以上的代數(shù)方程沒有求根公式。 


（4）,、伽羅華的創(chuàng)造 

★先不忙考慮求解方法,，先證明解是不是存在，不然就是無用功,，也即伽羅華把存在性證明與數(shù)的計算相分離,，這是人類偉大的一步,。 

★通過研究根式擴張和根對稱性得出代數(shù)方程是否可解,。也即發(fā)現(xiàn)方程解的對稱性和解的結構，決定是否可以根式解,。 

具體說就是伽羅華發(fā)現(xiàn)：一個多項式方程有根式解的話,，各個根的對稱性要滿足一定關系：出現(xiàn)在根的表達式中的每個根式,，一定可以表成方程諸根及某些單位根的有理函數(shù)。五次以上的方程這個關系不一定滿足,。 

伽羅華的發(fā)現(xiàn)證明：計算不如結構重要,。 

伽羅華定義的群本質就是方程根形成的集合必須具有對稱性質。 

如果解集上定義某種兩兩映射（同構）,，如果能保持解集不變,，解集就是對那個自同構對稱的。 

事實上,，如果解集存在,，保持解集不變的自同構一定是存在的（很容易證明）。因為至少有一個恒等自同構,，即從自身映射到自身,。再比如一元二次方程有兩個根x1和x2，那么x1到x2的映射也是一個自同構,。 

這就是說,，如果某個擴張域是存在的，擴張所對應的自同構也一定存在,，這兩個存在性是等價的,。所以擴域的研究自然而然地變成了對自同構的研究。 

至此為止,，我們把伽羅華的基本思想介紹完了,。至于細節(jié)，我們在下面簡單介紹一下,，對不想麻煩的人,，不看也可以。 

附：五次以上方程不可解性的嚴格證明（給一個抽象代數(shù)教科書典型的證明定理的例子） 

證：若S5（五階置換群）是可解的,，則存在正規(guī)子群N使S5/N可交換,。設f為S5到S5/N的自然同態(tài)，考察三項循環(huán)（a,，b,，c）∈S5，再取另兩元d,，e,。令x=（d，b,，a）,，y=（a，e,，c）,。x^-1y^-1xy的f像為x‘^-1y'^-1x'y'∈S5/N,，由S5/N可交換知x‘^-1y'^-1x'y'=1，即有x^-1y^-1xy=（a,，b,，c）∈N。故N包含所有三輪換,，同理其正規(guī)群列均包含三輪換,，所以不可能結束于1。這就是5次以上一元方程不可解的證明,。 

4,、說點細節(jié) 

其實伽羅華關鍵工作我們已經(jīng)介紹完了。下面說點細節(jié),。 

伽羅華定義的的群并不是現(xiàn)在抽象代數(shù)定義的群（最前面介紹的）,，伽羅華定義群是方程根的置換。從直覺來看,，方程的解顯然和它們的順序無關,，所以當置換作用于方程的解集合時，方程對這種變換而言是對稱的,。 

伽羅華發(fā)現(xiàn)滿足這些條件的集合（群）的結構是非常固定的,。舉個最簡單的例子：包含三個元素的群的結構一定是 (0,1,-1)，其中0是恒等元,，-1是1的逆元,。（但是5階以上的對稱群不一定是可解群，所以5次以上的代數(shù)方程沒有一般的求根公式）,。 

在1831年的論文中,，伽羅華首次提出了群這一術語，把具有封閉性的置換的集合稱為群,，首次定義了置換群的概念,。他發(fā)現(xiàn)置換群是解方程的關鍵，方程的根是一個置換群,。他從此開始把解方程問題轉化為置換群結構問題(其實群這個概念不是伽羅華原創(chuàng),，柯西在1813年就提出了，只是沒能進一步發(fā)現(xiàn)：群的基本性質對稱結構對一元n次多項式方程解的關系）,。 

（1）,、群的定義 

★（封閉性）集合中任意兩個元素用規(guī)定的運算時，所得的結果還是系統(tǒng)中的一個元素,。也即集合G,，任意x,y屬于G，集合G上定義的運算為*，x*y也一定屬于G,。（這個運算*的定義是廣義的,，既可以是加減乘除等運算,，也可以是旋轉,，置換等等一切行為）。 

例如：一個整數(shù)加到另一個整數(shù)上去的結果還是一個整數(shù),；兩個有理數(shù)相乘的結果還是一個有理數(shù),；一個置換將x1變成x2,x2變成x3,x3變成x1,另外一個置換是將x2變成x1,x3,x3變成x2,x1變成x3，那末這兩個置換結合仍然是一個置換,；平面一個60度的旋轉（逆時針方向）之后跟著一個120度的旋轉(逆時針方向),，結果是一個180度的旋轉(逆時針方向)，仍然是一個旋轉等等,。 

★結合律必須成立,。也即任意x,y,z屬于G，(x*y)*z=x*(y*z),。 

★集合中必須含有單位元,，也即與集合中任意另一個元素運算的結果仍是那另一個元素。也即集合G存在單位元e,，任意一個x屬于G,，e*x=x。 

例如,，在定義加法的整數(shù)中,，單位元是0，因為0與任何整數(shù)相加的結果還是那個整數(shù),；在定義乘法的有理數(shù)中,，單位元是1，因為任意一個有理數(shù)用1乘了之后的積還是那個有理數(shù),；在置換中,，單位元就是那個將x1變成x1，x2變成x2,，x3變成x3的置換,，因為任意一個置換和這個置換結合的結果還是那個置換；在平面旋轉中,，單位元就是那個360度的旋轉,，因為集合中任意一個旋轉和這個旋轉結合的結果還是那個旋轉等等。 

★每個元素必須有一個逆元素：一個元素和他的逆元素用集合上定義的運算結合的結果是單位元,。也即任意x屬于G,，存在x^-，x^-*x=e。 

例如,，在整數(shù)集合中,，定義加法，3的逆元素就是—3,，因為3加上—3的和是0,；在有理數(shù)集合中定義乘法，則a/b的逆元素是b/a,因為a/b和b/a相乘的積是1,；在置換中,，將x1變成x2,x2變成x3,x3變成x1的置換的逆元素是那個將x2變成x1,x3變成x2，x1變成x3的置換,，因為這兩個置換結合的結果是那個將x2變成x2,x3變成x3,x1變成x1的置換,；在平面旋轉中，那個60度的旋轉（逆時針方向）的逆元素是一個一個順時針方向的60度的旋轉,，因為這兩個旋轉結合的結果和那個360度的旋轉一樣,。 

滿足上述的四條性質，就是一個群,。 

如果在整數(shù)上定義加法,，但是若把0去掉，就不成為群了,，因為沒有單位元,；一切整數(shù)用乘法作集合中的運算不是群，例如3的逆元素1/3不在整數(shù)集合中,。 

所以一個集合是否是群,，不但與元素有關，也與運算有關,。 

前面已經(jīng)說了,，群的元素不必一定是數(shù)，可以是一種運動（如平面旋轉）,，也可以是一種動作（例如置換）,；運算不必一定要是加法或乘法，或尋常算術,，抽象代數(shù)中所稱為的運算,，可以是任何定義，例如乘法可以是一個置換跟著另一個置換,，也可以說是一個置換乘另一個置換,。這個乘法與普通算術或代數(shù)中乘法不是一個概念，千萬不要蒙,，而且群定義的廣義的乘法的性質可以和普通乘法的性質大異,，例如，在普通的乘法中，2*3=3*2（普通的乘法是適合交換律的）,，也即普通乘法中因子的次序可以交換,，結果相同?？墒?，置換中的“乘法”，交換律就不成立了,，例如將x1變成x3,，x3變成x1,，x2變成x2的置換和一個將x1變成x2,，x2變成x3，x3變成x1的置換就沒有交換律,，如果先進行第一個置換然后進行第二個置換于式子x1x2+x3,，那末，這式子先變成x3x2+x1,，再變成x1x3+x2,；如果將置換的次序交換一下，那末,，原來的式子先變成x2x3+x1,，再變成x2x1+x3，這個結果顯與前面一個不同,。所以群里面定義的“乘法”是不需要適合交換律的,，因此，相乘時元素的次序很重要,；兩個元素用運算結合時當照一定的次序結合,。 

（2）、置換群 

伽羅華用來解方程的是置換群(SubstitutionGroup),，下面先介紹一下記號,。 

一個將x1變成x2,x2變成x3,x3變成x1的置換，可以用簡單記號來表示：x可以省去,，只要用1,2,3來代表于是這個置換可以記作(123),，這記號的意思是說：1變作2，2變作3,，3變作1,。也即：x1變作x2，x2變作x3,，x3變作x1,。（每個數(shù)變作他后一個數(shù)，而最后的一數(shù)則變成最先的一數(shù)，如此完成一個循環(huán)） 

同樣,，一個將x2變成x3,x3變成x1,x1變成x2的置換可以記作(231),；同樣(132)表示一個將x1變成x3,x3變成x2,x2變成x1的置換；又如(13)(2)或(13)表示一個將x1變成x3,x3變成x1,x2變成x2的置換,，所以前面講乘法交換律時所說兩個置換相乘的例子,，若照第一種次序是(13)(123)=(23)；若照第二種次序是(123)(13)=(12),，由這兩個式子就知道這種乘法是不適合交換律的,，將一個元素右乘或左乘另一個元素，他的結果是完全不同的,。 

一個群的一部分元素構成一個群,，這種群稱為子群(Subgroup)。例如整數(shù)集定義加法成為群,，單拿偶數(shù)集,，定義加法，也成一群：因為群的四個性質都能適合： 

★兩個偶數(shù)的和還是偶數(shù),； 

★零是單位元,； 

★一個正偶數(shù)的逆元素是一個負偶數(shù)，而一個負偶數(shù)的逆元素是正偶數(shù),； 

★結合律成立,。 

所以單是偶數(shù)全體對于加法而言是一個群，這個群就是是那個由一切整數(shù)定義加法而成的群的子群,。 

再例如,，一個置換群（即是以置換作元素的群）也可以有子群。 

例如,，1,(12),(123),(132),(13),(23)六個置換構成一個群（1表示那個不動置換,，即是將x1變成x1,x2變成x2,x3變成x3的置換)，因為群的四條性質都成立：這六個置換中每兩個的積還是這六個中的一個置換,，例如(12)(123)=(13),，(123)(132)=1,(13)(23)=(123)，(123)(123)=(132),，等等）單位元是1,；每個元素的逆元素都在這六個元素之中，比如(123)的逆元素是(132),，(12)的逆元素是(12)等等,；結合律成立。 

現(xiàn)在從這六個置換中取出1和(12)兩個來,，這兩個元素也成為一個群,，這是原來那個群的子群,。 

很容易證明：子群的元數(shù)(即集合中元素的個數(shù))是原來的群的元數(shù)的約數(shù)（拉格朗日定理）。 

（3）,、不變子群 

最重要的子群是不變子群,。 

變換的直觀定義：群中一個元素若以另一個元素右乘，再用這另一個元素的逆元素左乘,，所得結果稱為元素應用另一個元素的變換,。 

例如一個元素(12),我們用另一個元素(123)去右乘他，再用(123)的逆元素(132)去左乘他,，結果是(132)(12)(123)=(23),，(23)就稱為(12)應用(123)的變換。 

定義：一個子群中任何元素應用原來的群中任何元素的變換,，若仍是子群中的元素,，這子群就稱為原來那個群的不變子群。 

對伽羅華理論來講,，不變子群是很重要的概念,。 

定義：設H是G的不變子群,，假如G中沒有包含H而且比H大的不變真子群存在時,，H就稱為G的一個極大不變真子群。 

定義：假設G是一個群,，H是G的一個極大不變真子群,，K是H的一個極大不變真子群.......若將G的元數(shù)用H的元數(shù)去除，H的元數(shù)用K的元數(shù)去除,，......如此所得的系列數(shù),，就稱為群G的組合因數(shù)，假設這些組合因數(shù)都是素數(shù),，就說G是一個可解群（可解的含義后面再介紹）,。 

在有些群中，群中的一切元素都是某一個元素(不是單位元)的乘冪,，比如在群1,(123),(132)中,，2(123)=(123)(123)=(132)3(123) =(123)(123)(123)=1，這群中的元素都是(123)的乘冪,，像這種群,，稱為循環(huán)群。 

在一個置換群中,，如果每個元素都有一個而且只有一個置換將元素換成其他某一個元素(這個元素也可以和原來那個元素相同),，那末，這個群就稱為正置換群,。 

例如前面所說的群1,(123),(132)在1中x1變成x1,在(123)中x1變成x2,在(132)中x1變成x3,，......所以這是一個循環(huán)正置換群,。這種群在方程的應用上很重要。 

伽羅華證明：對于一個一定的數(shù)域,，方程x^n+a1x^n-1+......+an-1x+an=0的根都能構造一個置換群,，群的階數(shù)是n!。 

例如對三次方程：ax^3+bx^2+cx+d=0,，假定它的三個根x1,x2,x3是不同的,，隨便取一個這三個根的函數(shù)，例如x1x2+x3,，在這函數(shù)中,，我們若將這些x互相替換，那末,，一共有多少種置換呢,？ 

顯然只有1,(12),(13),(23),(123),(132)六個置換（3！）,。 

(12)置換,，也即將x1x2+x3變成x2x1+x3；(13)置換,，就是將x1x2+x3變成x3x2+x1等等,。 

(123)置換就是把原來的函數(shù)變成x2x3+x1。而1就是不動置換了,。所以對于這三個x,，一共有3!種可能的替換。 

同理,，對于四個x有4,！種可能的置換，一般的情形,，n個x就有n!可能的替換,。 

當然一個函數(shù)進行一個置換的時候，函數(shù)的值可以因此而變,，也可以仍舊不變,，例如若將(12)這個置換施行于函數(shù)x1+x2，這函數(shù)的值不變,，可是,，若將(12)施行于函數(shù)x1-x2，函數(shù)的值就由x1-x2一變而為x2-x1了,。 

計算一個已知n次方程的伽羅華群是很困難的,，因此伽羅華認為目標不在于計算伽羅華群，而是證明： 

對任意n次方程,，其伽羅華群是方程根的最大置換群S(n),，S(n)是由n!個元素集合構成的,，S(n)中的元素乘積實際上是指兩個置換之積。現(xiàn)在把S(n)中的元素個數(shù)稱為階,，S(n)的階是n!,。 

伽羅華找出方程系數(shù)域中的伽羅華群G后，找到它的最大真子群H1,，用有理運算來構造根的一個函數(shù)Φ1（x) ,，Φ1（x) 的系數(shù)屬于方程的系數(shù)域R，并且在H1的置換下不改變值,，但在G的所有別的置換下改變值,。 

再用上述方法，依次尋找H1的最大子群H2,，再找到一個函數(shù)Φ1（x) ,，Φ1（x) 的系數(shù)屬于方程的系數(shù)域R1；再找到H2的最大子群H3,，…于是得到H1,H2,…,Hm,，直到Hm里的元素恰好是恒等變換（即Hm為單位群1）。 

在得到一系列子群與逐次的預解式的同時,，系數(shù)域R也隨之一步步擴大為R1,R2,…,Rm,，每個Ri對應于群Hi。當Hm=1時,，Rm就是該方程的根域,，其余的R1,R2,…,Rm-1是中間域。 

我們從拉格朗日工作已經(jīng)知道一個方程可否根式求解與根域的性質密切相關,。 

于是，伽羅華引出了根式求解原理,，并且還引入了群論中的一個重要概念“正規(guī)子群” 

（4）,、正規(guī)子群 

正規(guī)子群定義：設H是G的一個子群,，如果對G中的每個g都有gH=Hg,，則稱H為G的一個正規(guī)子群。 

伽羅華證明：當作為約化方程的群(如由G 約化到H1)的預解式是一個二項方程x^p=A (p為素數(shù))時,，則H1是G的一個正規(guī)子群,。反之,，若H1是G的正規(guī)子群，且指數(shù)為素數(shù)p,，則相應的預解式一定是p次二項方程,。 

極大正規(guī)子群：如果一個有限群有正規(guī)子群，則必有一個子群,，其階為這有限群中所有正規(guī)子群中的最大的,，這個子群稱為有限群的極大正規(guī)子群,。 

一個極大正規(guī)子群又有它自己的極大正規(guī)子群，這種序列可以逐次繼續(xù)下去,。因而任何一個群都可生成一個極大正規(guī)子群序列,。 

把一個群G生成的一個極大正規(guī)子群序列標記為G、H1,、H2,、H3…, 則可以確定一系列的極大正規(guī)子群的合成因子[G/H1]，[H1/H2],，[H2/H3]…,。合成因子[G/H]=G的階數(shù)/ H的階數(shù)。例如對上面的四次方程x^4+px^2+q=0,，H1是G的極大正規(guī)子群,， H2是H1的極大正規(guī)子群，H3又是H2的極大正規(guī)子群,，即對方程x^4+px^2+q=0的群G 生成了一個極大正規(guī)子群的序列G,、H1、H2,、H3,。 

伽羅華在此基礎上定義可解群：如果它所生成的全部極大正規(guī)合成因子都是素數(shù)。也即伽羅華群生成的全部極大正規(guī)合成因子都是素數(shù)時,，方程可用根式求解,。若不全為素數(shù)，則不可用根式求解,。

或者說：當且僅當一個方程系數(shù)域上的群是可解群時,，該方程才可用根式求解。 

可解性的性質在某一意義上是可繼承的,，如： 

若G為可解的,，且H為G的子群，則H也是可解的,。 

若G是可解的,，且H為G的正規(guī)子群，則G/H也是可解的,。 

若G是可解的,，且存在一G滿射至H的同態(tài)，則H也是可解的,。 

若H及G/H為可解的,，則G也是可解的。 

若G及H為可解的,，則其直積G × H也是可解的,。 

例如x^4+px^2+q=0,，它的[G/H1]=8/4=2，[H1/H2]=2/1=2,，2為素數(shù),，所以x^4+px^2+q=0是可用根式解的。 

再看一般的n次方程,，當n=3時,，有兩個二次預解式t^2=A和t^3=B，合成序列指數(shù)為2與3,，它們是素數(shù),，因此一般三次方程可根式解。同理對n=4,，有四個二次預解式,，合成序列指數(shù)為2，3,，2,，2，于是一般四次方程也可根式求解,。 

（5）,、5次以上一元方程不可解 

一般n次方程的伽羅華群是s(n)，s(n)的極大正規(guī)子群是A(n) (A(n)是由s(n)中的偶置換構成的一個子群,。如果一個置換可表為偶數(shù)個這類置換之積,，則叫偶置換。),，A(n)的元素個數(shù)為s(n)中的一半,，且A(n)的極大正規(guī)子群是單位群1，因此[s(n)/A(n)]=n!/(n!/2)=2,，[A(n)/I]=(n!/2)/1=n!/2,， 2是素數(shù)，但當n ≥5時,，n！/2不是素數(shù),，所以一般的高于四次的方程是不能用根式求解的,。 

例如，四次方程 x^4+px^2+q=0 ,， p與q獨立,，系數(shù)域R是添加字母或未知數(shù)p、q到有理數(shù)中而得到的域,，先計算出它的伽羅華群G,。 

G是S(4)的一個8階子群,，G={E，E1,，E2,，…E7}，其中 E=1,，E1=（1234）,，E2=（2134），E3=（2143）,，E4=（3412）,，E5=（4312）， E6=（3421）,， E7=（4321）,。 

要把R擴充到R1，需在R中構造一個預解式:t^2-(p^2-4q)=0,， 

則添加預解式的根((p^2-4q))^1/2到R中得到一個新域R1,，于是可證明原方程 x^4+px^2+q=0關于域R1的群是H1，H1={E,，E1,，E2，E3},，并發(fā)現(xiàn)預解式的次數(shù)等于子群H1在母群G中的指數(shù)8÷4=2（即指母群的階除以子群的階）,。 

然后構造第二個預解式t^2-2(-p-(p^2-4q)^1/2)， 

解出根(2(-p-(p^2-4q)^1/2))^1/2在域R1中添加得到域R2,，同樣找出方程 x^4+px^2+q=0在R2中的群H2,，H2={E，E1}. 

此時第二個預解式的次數(shù)也等于群H2在H1中的指數(shù)4÷2=2,。 

再然后構造第三個預解式t^2-2(-p+(p^2-4q)^1/2),，得它的根2(-p+(p^2-4q)^1/2))^1/2 ，把添加到R2中得擴域R3,，此時方程 x^4+px^2+q=0在R3中的群為H3,，H3={E}，即H3=1,，則R3是方程 x^4+px^2+q=0的根域,，且該預解式的次數(shù)仍等于群H3在H2中的指數(shù)2÷1=2。 

在這個四次方程中,，系數(shù)域到根域的擴域過程中每次添加的都是根式,，則方程可用根式解。 

這種可解理論對于一般的高次方程也同樣適用，只要滿足系數(shù)域到根域的擴域過程中每次都是添加根式,，那么一般的高次方程也能用根式求解,。 

現(xiàn)仍以四次方程x^4+px^2+q=0為例，伽羅華從中發(fā)現(xiàn)了這些預解式實質上是一個二次的二項方程,，既然可解原理對高次方程也適用,，那么對于能用根式求解的一般高次方程，它的預解式方程組必定存在,，并且所有的預解式都應是一個素數(shù)次p的二項方程x^p=A,。由于高斯早已證明二項方程是可用根式求解的。因此很容易得到：如果任一高次方程所有的逐次預解式都是二項方程,，則能用根式求解原方程,。 

至此，伽羅華完全解決了方程的可解性問題,。 

（6）,、用直尺與圓規(guī)的作圖 

伽羅華解決了用直尺與圓規(guī)的作圖難題。 

伽羅華發(fā)現(xiàn)了判別方程能否用根式解的方法后,，他還解決了如何求一個能用根式解的方程的根的方法,，這方法是利用一組輔助方程，這些輔助方程的次數(shù)恰是原來那個方程的群的組合因數(shù),。 

基本流程如下：先把第一個輔助方程的根加入數(shù)域F中,，將數(shù)域擴大了可以增加P(y)分解因數(shù)的可能性，也能將P(y)的不可約部分減少,，因此能將方程的群變小,，當然，必須數(shù)域擴大了之后的確能繼續(xù)分解P(y)的因數(shù),，才會成立,。 

現(xiàn)在假設數(shù)域經(jīng)第一個輔助方程的根加入而擴大了，而且使分解因數(shù)的工作因之可以再繼續(xù)下去,，結果使方程在這擴大了的數(shù)域F1中的群是H,。 

再將第二個輔助方程的根加入F1中，使方程的群變?yōu)镵,，如此持續(xù),，直到后來，方程在那個最后擴大成的數(shù)域Fm中的群是1,。函數(shù)x1顯然不能被群1中的置換變更他的值,，所以x1必在數(shù)域Fm中。仿此,，其余的根也都在Fm中。 

這樣先決定了方程的群和此群的組合因數(shù)，才知道輔助方程的次數(shù),。由此我們可以知道什么樣的數(shù)應該加入原來的數(shù)域里去,，而把方程的群變?yōu)?。于是可以決定方程的根存在于怎樣一個數(shù)域中,。 

現(xiàn)在用方程x^3-3x+1=0為例,，這個方程在有理數(shù)域中的群是由1,(123),(132)三個置換構成的，其唯一極大不變真子群是1,，所以組合因數(shù)是3,所以有一個次數(shù)是3的輔助方程,，而這個輔助方程的根含有一個立方根，所以這個立方根必須加入數(shù)域中,，才能使方程的群變?yōu)?,，這樣原來的方程的根可以從有理數(shù)域中的數(shù)及這個立方根用有理數(shù)運算得出。 

直尺與圓規(guī)作圖等價于直線和圓作交點圖,。也即求一次和二次方程的交點,，只要解一個二次方程就可以把交點的坐標用有理運算和平方根表作系數(shù)的函數(shù)。所以凡是能用直尺與圓規(guī)作出的圖都可以有限次的加,，減,，乘，除和平方根表出,，而且假使給了兩線段a,b和單位長度,，我們可以用直尺與圓規(guī)作出他們的和a+b,差a-b,積ab,商a/b,以及這些量的平方根如(ab)^1/2,b^1/2之類，這種運算當然可以重復應用于一切已經(jīng)作出的線段,。 

一個作圖單用直尺,，圓規(guī)是否可能時，必須作出一個表示這作圖的代數(shù)方程：假使這方程在數(shù)域中可以分解成單是一次和二次的代數(shù)式,，那么,，一切實數(shù)根當然都能用直尺與圓規(guī)作出。即使方程不能分解成上述的樣子,，只要方程的實數(shù)根能用有限次的有理運算與平方根作已知的幾何量的函數(shù),，那末這作圖單用直尺，圓規(guī)還是可能的,，否則這作圖就不可能了,。 

也即立方根是無法靠直尺和圓規(guī)作出的。 

如果能夠找到一個三等分角的方程是不能用直尺與圓規(guī)三等分,，那末用直尺和圓規(guī)三等分任意角的作圖就不可能了,。 

取120度角來三等分。假定這角位于一個半徑是單位長的圓中心,。假使能作出cos40度來,，那末，只要取OA=cos40,于是a就是一只40度的角，而三等分120度的作圖就完成了,。 

應用三角恒等式2cos3α=8cosα^3-6cosα,，令x=2cosα, 

(證明：cos3α =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos^2 a-1)cosa-(2sinacosa)sina =2cos^3 a-cosa-2sin^2 acosa =2cos^3 a-cosa-2(1-cos^2 a)cosa =2cos^3 a-cosa-2cosa+2cos^3 a =4cos^3 a-3cosa） 

則有：2cos3α=x^3-3x

因為3α=120度，cos3α=-1/2,，所以上面的方程可以寫作 
x^3-3x+1=0 

這正是以前討論過的方程,。 

現(xiàn)在作一個半徑是單位長的圓，而且可以作OB=1/2,，于是角AOC=120度,。因為所給的只有單位長，所以數(shù)域限定在有理數(shù)域,。 

所以要解這個方程,，必須將一個立方根加入于有理數(shù)域中，然而一個立方根是不能用直尺與圓規(guī)作出的,，這樣,，我們可以知道：用直尺與圓規(guī)三等分任意角是不可能的。 

以相似的方法,，不難證明用直尺,，圓規(guī)解決立方倍積問題也是不可能的，對于這個問題,，方程是x^3=2 

數(shù)域是有理數(shù)域,，這方程在這個數(shù)域中的群含有六個置換?？梢援斪C明須加入一個平方根和一個立方根于有理數(shù)域中,，方程的群才會變成1。又因一個立方根是不能用直尺,，圓規(guī)作出的,，所以我們這個立方倍積問題是不可能的。 

類似的,，也可以可以應用群論去探討正多邊形作圖的問題,。 

附：伽羅華的關鍵定理的思想脈絡： 

問題：要證明一個方程若有一個伽羅華可解群，這方程就可用根式解,。 

伽羅華的思想脈絡如下：在二次方程x^2+bx+c=0的兩個根x1,x2中,，用韋達定理有x1+x2=-b與x1x2=c的關系，那么為什么不從這兩個方程中去解x1,x2呢,？因為這條路是走不通的,，因為經(jīng)過計算的結果是與原來的二次方程絲毫也沒分別。 

但是,，如果能得到一對都是一次的方程,，x1和x2就可以求得了,。 

假設方程f(x)=0有n個相異的根，而且由方程的系數(shù)及x^n=1的n次根決定的數(shù)域中,，此方程的群是一個元數(shù)為素數(shù)的循環(huán)正置換群,。 

為什么伽羅華要先引進這個1的n個n次根呢？ 

先看看1有三個立方根：1,，-1/2+1/2*(-3)^1/2,-1/2-1/2*(-3)^1/2，(通常都記作1,，ω,，ω^2)（在一般的情形，1有n個n次根,，這n個n次根記作1,ρ,ρ^2,......ρ^(n-1)） 

1的三個立方根只包含有理數(shù)和有理數(shù)的根數(shù),，同樣1的n個n次根也只包含有理數(shù)和有理數(shù)的根數(shù)，所以這種數(shù)加入數(shù)域中去時并不影響到方程是能用根式解的命題,。 

因為前面假定這個方程的群是一個元數(shù)為素數(shù)的循環(huán)正置換群,，群中元素都是置換群，群中的元素都是置換(123......n)的乘冪,，這個置換的n次乘冪就是不動置換,。 

現(xiàn)在構造一組一次方程（n個）： 

x1 + (ρ^k) x2 + ( ρ^2k) x3 + ......+(ρ^(n-1)k) xn = γk 

此處k的值為0與n-1間之任何整數(shù)。 

例如當k=0時,，上式就成為： 

x1+x2+x3+......+xn=γ0 

當k=1時,，上式就成為： 

x1+ρx2+ρ^2x3+......+ρ^(n-1)xn=γ1等等。 

因為一個方程的最高次項系數(shù)是1,，則諸根之和等于方程中第二項的系數(shù)的負值,，所以γ0之值可以直接從方程的系數(shù)中求得。 

現(xiàn)在要將置換(1234.....n)作用于上面方程組的左端,，左端就成為： 

x2+(ρ^k)x3+(ρ^2k)x4+......+(ρ^(n-1)k)x1等等,， 

若將左端用ρ^(-k)一乘，也可得出同樣的結果,，這是因為ρ^n=1的緣故,。所以置換(1234.....n)將γk之值變?yōu)棣裗(-k)γk。 

又因ρ^n=1,，所以γk^n=(ρ^(-k)γk)^n 

所以置換(1234......n)不變更γk^n的值,。同樣，群中其他的置換也不變γk^n,。 

這樣群中一切置換都不變更γk^n之值,，γk^n之值必在數(shù)域中。因此,，γk是數(shù)域中某一個數(shù)的n次根,，這就是說：所有γ的值都可由根式得到（對于定義的數(shù)域而言）,。而上面方程組中可以將x用ρ與γ表出，于是這組方程是可以用根式解的,。這些x就是方程f(x)=0 根,。 

所以已經(jīng)證明：如果方程在一數(shù)域中的群是元數(shù)為素數(shù)的循環(huán)正置換群，則此方程必可用根式解,。

舉例來說：方程x^3-3x+1=0在有理數(shù)域中的群是1,，(123),(132)；這是一個元數(shù)為素數(shù)的循環(huán)正置換群,，所以可以從 

x1+x2+x3=0 
x1+ωx2+ω^2x3=γ1 
x1+ω^2x2+ωx3=γ2 

這三個一次方程求解,。此處ω表示1的一個虛立方根，γ1與γ2可以由數(shù)域中的數(shù)的根數(shù)而得,。換句話說,，如果把根加入到數(shù)域中去，則x都存在于擴大的數(shù)域中,。 

假使方程的群是一個可解群時,，由于組合因數(shù)都是素數(shù)，這方程還是能用根式解的,，因為這時候每個輔助方程在那個用前幾個輔助方程的根擴大成的數(shù)域中的群是一個元數(shù)為素數(shù)的循環(huán)正置換群,，這些輔助方程都能用根式解。因為這些加入原來的數(shù)域去的輔助方程的根,，都只不過是原來的數(shù)域中的數(shù)的根數(shù)而已,。所以只要方程的群是可解群，方程就是能用根式解的,。 

在一般的情形,，取： 

y^2 =(x(1)-x(2))^2*(x(1)-x(3))^2 ....(x(n-1)- x(n))^2作第一個輔助方程,，此式右端是所有每兩個根之差的平方之積,。假若方程的第一項系數(shù)是1的話，則上式的右端正是方程的判別式,例如二次方程x^2+bx+c=0的兩個根x1,x2之差之平方是(x1-x2)^2=(x1+x2)^2- 4x1x2=b^2-4c,，這恰是方程的判別式,。同樣，高次方程的判別式也可從系數(shù)求得?，F(xiàn)在第一個輔助方程的兩個根就是這判別式的兩個平方根,，將這兩個平方根加入數(shù)域中，方程式在這新的數(shù)域F1中的群是H,，再照同樣方法用其余的輔助方程進行下去,。 

設若所要解的方程是一個一般的三次方程，將第一個輔助方程的根加入原來的數(shù)域之后,，方程的群變?yōu)镠,，在這情形,，H是一個元數(shù)為素數(shù)的循環(huán)正置換群，所以我們可以利用 

x1+x2+x3=0 
x1+ωx2+ω^2x3=γ1 
x1+ω^2x2+ωx3=γ2 

這三個一次方程來解原來的三次方程,，此中的γ1,，γ2可由數(shù)域(由三次方程的系數(shù)以及第一個輔助方程式的根決定）中的數(shù)的根數(shù)求得。換句話說,，假使把γ1,，γ2的值也加入數(shù)域中，則方程的群變?yōu)?,，這也就是說,，x1,x2,x3存在于這個最后經(jīng)γ1，γ2之加入而擴大成的數(shù)域中,。 

如此就已經(jīng)證明：方程在一個由其系數(shù)與1之n個n次根而決定的數(shù)域中的群若是一個可解群，則此方程是可以用根式解的,。 

當然,，如果方程在一個含有其系數(shù)的數(shù)域中的群是可解群，則對于這數(shù)域而言,，此方程是可以解的,。 

至此伽羅華解決了為何五次以上之方程式?jīng)]有公式解，而四次以下有公式解,。 

他也解決了古代三大作圖問題中的兩個：“不能任意三等分角”,，“倍立方不可能”。 

對上述思想再舉一個簡單例子： 

二次方程x^2+3x+1=0,有兩個根x1,x2,因為只有兩個根,，所以可能的置換只有1和(12)兩種（也即是S（2）置換群）,，所以這方程的伽羅華群或者含有這兩個置換，或者只有1一個,，至于是什么,，這就要憑在什么數(shù)域中而決定了。 

現(xiàn)在取函數(shù)x1-x2,，從韋達定理中我們知道：二次方程x^2+bx+c=0的兩個根之差是x1-x2=(b^2-4c)^1/2,，b=3,c=1,所以x1-x2=5^1/2，如果所討論的數(shù)域是有理數(shù)域,，這個函數(shù)的值不在數(shù)域中,，所以群中必有一個置換，他能變更這函數(shù)的值,。而1和(12)兩個置換中只有(12)變更函數(shù)x1-x2的值,。所以伽羅華群中必含有(12),因此，這方程在有理數(shù)域中的伽羅華群是由1,(12)兩個置換構成的,。 

如果所討論的數(shù)域是實數(shù)域,，顯然5^1/2在其中,，所以S（2）群中一切置換都不改變函數(shù)x1-x2的值。所以(12)不能在伽羅華群中,，這方程在實數(shù)域中的伽羅華群是由1一個置換構成的,。 

再以方程x^3-3x+1=0為例，假設三個根為x1,x2,x3,，所以至多有六種可能的置換,，即是1,(12),(13),(23),(123),(132)（即S（3）置換群）。 

求這方程在有理數(shù)域中的伽羅華群,，我們應用(x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)這個函數(shù),，根據(jù)韋達定理，(x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)之值是±(-4c^3 -27d^2)^1/2?，F(xiàn)在c=-3,d=1,所以(x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)=±9,，±9是有理數(shù)，在有理數(shù)域中,，伽羅華群中一切置換都不能變更函函數(shù)的值,。但在上列六個置換中，只有1,，(123),(132)不變更這數(shù)的值,，所以這個三次方程在有理數(shù)域中的伽羅華群的元素或者就是這三個置換，或者只是1一個,，所以單利用函數(shù)(x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)還不能決定這個方程在有理數(shù)域中的伽羅華群,。我們再應用另外一個函數(shù)x1，如果群中只有1一個元素,，那么,，1不會變更函數(shù)x1的值，所以x1,，必在有理數(shù)域中,，換句話說，這個三次方程的根x1必須是有理數(shù),，同樣的道理,，x2,x3也須是有理數(shù)，但是,，這個三次方程沒有一個根是有理數(shù),，所以，他在有理數(shù)域中的伽羅華群不能單含1一個元素,，個伽羅華群必定是由1,(123),(132)三個元素構成的,。 

如此，我們利用(x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)和x1兩個函數(shù)而決定了這個方程在有理數(shù)域中的伽羅華群,。 

上面討論的這個三次方程也是討論直尺圓規(guī)三等分任意角問題的基本方程,。 

至此,，我們已經(jīng)知道什么叫做一個方程在一個數(shù)域中的伽羅華群，而且知道如何去求,。 

根據(jù)前面介紹的伽羅華定理,，我們知道一個方程在一個含有他的系數(shù)的數(shù)域中的群若是可解群，則此方程就能用根式求解,，而且僅滿足這個條件的方程才能用根式解,。 

例如對一般的二次方程:ax^2+bx+c=0，設兩個根是x1,x2,在一個含有他的系數(shù)的數(shù)域中的置換群的元素是1和(12),這個置換群的唯一的極大不變真子群是1,，所以此群的組合因數(shù)是2/1=2是一個素數(shù),，因此，根據(jù)伽羅華定理,，二次方程都可用根式解,。 

再例如，一般的三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0,，三個根x1,x2,x3,，在一個含有他的系數(shù)的數(shù)域中，他的群含有1,(12),(13),(23),(123),(132)六個置換,，此群的唯一極大不變真子群H含有1,(123),(132)三個置換，而H的唯一極大不變真子群是1,，所以組合因數(shù)是6/3=2,與/1=3,兩個都是素數(shù),，所以三次方程都是可用根式求解。 

再例如四次方程ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,，在一個含有其系數(shù)的數(shù)域中的群的元數(shù)是4!=24,按照前面計算,，能夠得到這個群的組合因數(shù)是2,3,2,2,這些都是素數(shù)，所以四次方程也都可以用根式解,。 

對于一般的五次方程,，G含有5!個置換，G的極大不變真子群H含有5!/2個置換,，而H的唯一極大不變真子群是1,，所以組合因數(shù)是2與5!/2，5!/2當然不是素數(shù),，所以一般的五次方程是不能用根式解的,。 

其實，對于一般的n次方程,，n若是大于4,，組合因數(shù)便是2與n!/2而后者當然不是素數(shù)。 

這樣就得到了用方程結構來決定一個方程是否能用根式求解,。 

但是如果方程的群是一個元數(shù)為素數(shù)的循環(huán)正置換群,，這方程的確可以通過輔助方程降階簡化,，也即可以根式解。 

5,、感想 

一般說來,，一個抽象的集合不過是一組元素而已，無所謂結構,，沒有結構的集合,，是沒有意義的。數(shù)學研究的集合是定義了運算或者變換的（系統(tǒng)科學研究的集合,，上面定義的可能是正反饋,，負反饋，延遲,，發(fā)散,，收斂等等），這些運算或變換,，就形成了集合的結構,，也即定義了集合中元素的關系。伽羅華群結構思想是人類第一次將對象按照結構進行研究,，并不管研究對象和運算具體是什么（群上面定義的運算,，可以是加法，也可以是變換等等）,。 

伽羅華思想的價值是開啟了現(xiàn)代數(shù)學的大門,，使數(shù)學從運算轉向研究運算性質，也即集合的結構,。所以伽羅華思想是開啟后來法國布爾巴 基學派以數(shù)學結構觀 念統(tǒng)一數(shù)學的先導（布爾巴基學派簡介在上一篇介紹數(shù)學基礎時介紹過）,，布爾巴基實現(xiàn)了伽羅華沒有實現(xiàn)的理想，他們把康托爾的集合論及希爾伯特的公理化方法作為統(tǒng)一數(shù)學的基礎,，從抽象群的公理理論出發(fā),，通過分析抽象群結構，搞清楚了人類的抽象結構概念是如何產生的,，例如他們通過群就是在某一集合中定義有結合性,，么元和逆元的一個運算（這三個性質叫群結構公理），就抽象出結構概念的一般特點是：滿足一定條件公理的關系集合,。所以布爾巴基認為集合上的關系是數(shù)學至關重要的概念,，因為關系是各種運算的抽象，是構成一個結構的基礎,，不同的關系可以構成不同的結 構,。布爾巴基學派就從結構觀點出發(fā)，選出三種基本結構：代數(shù)結構、序結構,、拓撲結構,，作為元結構，通過從簡單到復雜,，從一般到 特殊的層次概念,，構造出各種不同的結構，如復合結構,、 多重結構,、混合結構，建立了各種公理理論,，在此基礎上,，統(tǒng)一了人類目前所有的數(shù)學學科。這其實是伽羅華思想的進一步發(fā)展：數(shù)學本質就是研究結構的,。布爾巴基所做的只是把伽羅華已經(jīng)確定的觀念推廣而已,。 

群的抽象定義是凱萊提出的，到20世紀初,，已經(jīng)成為數(shù)學的核心概念,，幾乎所有大數(shù)學家都認為其是數(shù)學的中心概念和統(tǒng)一數(shù)學的基礎概念。如外爾就說過：沒有群就不可能理解近代數(shù)學,。龐加萊也曾說 過：可以說群論就是那摒棄其內容化為純粹形式的整個數(shù)學,。 

總之，群論是十九世紀最杰出的數(shù)學成就,，是人類擺脫幼年思維的標志,，也即從此擺脫了依賴直觀+計算來理解世界。群論以結構研究代替計算,，把人類從偏重計算研究的思維方式轉變?yōu)橛媒Y構觀念研究的思維方式，是物理學和化學發(fā)展的重要推動,。 

抽象的力量是巨大的,，F(xiàn)eynman認為用代數(shù)角度而不是偏微分方程來理解量子力學要容易得多，因為代數(shù)的抽象恰好可以避免望文生義和誤入歧途,。而且偏重計算的偏微分方程會導致學生舍本求末,，陷入細節(jié)而難以抓住本質。 

代數(shù)雖然沒幾何直觀,，但是面對N維空間時,，其實幾何直觀優(yōu)勢已經(jīng)蕩然無存（所以克萊因才要用抽象代數(shù)統(tǒng)一幾何）。面對直觀以外的世界,，我們唯一可以依靠的只有抽象+邏輯,。 

幾何與代數(shù)的特點很像以現(xiàn)象研究為對象的初等物理和以本質研究（不變量研究）為主的理論物理。 

代數(shù)通過不斷的抽象來提煉更加基本的概念，例如兩個群,，不論它們的元素真實背景是什么（這些元素不管描述的是膨脹,、收縮、轉動,、反演,、振動、聲音,、流體,、電磁波等等)，只要運算性質相同,，彼此就是同構的,，并且可以因此認為是相同的代數(shù)結構而不加區(qū)別。 

代數(shù)的每一次抽象都是學科升級的過程,。 

例如克萊因用群論來把幾何中的許多互不相干的分支之間建立了內在的聯(lián)系,。 

克萊因對幾何學的定義：幾何學是當集合S的元素經(jīng)受某變換群T中所包含的變換時集合S保持不變的那些性質的研究，為方便起見,這種幾何學以符號G(S,T)表示,。 

也即任何一種幾何學可以用公理化方法來構建,，也可以把變換群和幾何學聯(lián)系起來。 

例如集合S叫做空間,，S的元素叫做點,，S的子集A和B叫做圖形，凡是等價的圖形都屬于同一類（圖形等價類）,。 

同一類里的一切圖形所具有的幾何性質必是變換群G下的不變量,，因而可用變換群來研究幾何學（Erlangen綱領），例如在正交變換群下保持幾何性質不變的便是歐式幾何,，在仿射變換群下保持不變的便是仿射幾何,，在射影變換群下保持不變的便是射影幾何，在微分同胚群下保持不變的便是微分幾何,。 

稍微具體一點,，平面歐幾里得度量幾何為設S為通常平面上所有點的集合,考慮由平移、旋轉和線上的反射組成的所有S的變換的集合T,。因為任何兩個這樣的變換的乘積和任何這樣的變換的逆變換還是這 樣的變換,所以,T是一個變換群,。長度、面積,、全等,、平行、垂直,、圖形的相似性,點的共線性和線的共點性這樣的一些性質在群T下是不變的,而這些性質正是平面歐幾里得度量幾何所研究的,。 

仿射幾何就是把平面歐幾里得度量幾何的變換群T擴大, 除了平移,、旋轉和線上的反射外,再加上仿射變換（換句話說，就是從歐幾里得空間的距離概念抽象化出單比的概念,，就從歐式幾何中舍棄距離不變而保留更普遍的單比不變,，就從歐氏幾何升級到仿射幾何）。在此擴大的群下,像長度面積和全等這類性質不再保持不變,因而不再作為研究的課題,。但平行垂直圖形的相似性,點的共線性,線的共點性仍然是不變的性質,因而仍然是這種幾何中要研究的課題.

射影幾何所研究的是平面上的點經(jīng)受所謂射影變換時仍然保持不變的性質從單比抽象到交比概念（換句話說,，從仿射幾何中舍棄單比不變而保留更普遍的交比不變，升級射影幾何）,。在前面講的那些性質中,點的共線性和線的共點性仍然保持不變,因而是這種幾何所要研究的課題 

在上述的幾何中,使某變換群的變換起作用的基本元素是點,因此,上述幾何均為點幾何的例子,。還有線幾何, 圓幾何,球幾何和其他幾何的例子。 

在建立一種幾何時,人們首先是不受拘束地選擇幾何的基本元素,，其次是自由選擇這些元素的空間或流形,，自由選擇作用于這些基本元素的變換群,這樣,新幾何的建立就成為相當簡單的事了。也即從歐式空間（長度,，夾角）到內積空間（模,，不嚴格的夾角）再到賦范空間（范，完全拋棄夾角）,，不斷的抽象,，最后甚至連范數(shù)（最不愿拋棄的度量或度規(guī)）也拋棄了，從不嚴格的距離發(fā)展到不確定的距離,，也即由歐式空間的連續(xù)函數(shù)抽象出度量空間的連續(xù)映射,，一直到抽象出拓撲空間中的同胚映射，最后得到了拓撲空間的概念,，這是人類目前為止在抽象上最深刻的極限,。可以說克萊因用群論來研究幾何學是人類思想的突破,。 

總之,，群是數(shù)學中最有影響的概念，不了解群,，就不可能了解現(xiàn)代數(shù)學,。群論直接推動了代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何,、函數(shù)論、微分方程與特殊 函數(shù)論和代數(shù)拓撲的產生和發(fā)展,，甚至很多經(jīng)典數(shù)學領域,，因為群論的引入而現(xiàn)代化。 

其實數(shù)學上這種抽象過程,，也推動了理論物理學的發(fā)展,，例如狹義相對論發(fā)展就是要擺脫坐標而直接度量時空的過程，而廣義相對論發(fā)展就是擺脫時空度量概念，走向空間同胚概念的過程,。 

目前群論已經(jīng)是現(xiàn)代物理的主要工具,。群論廣泛用于基本粒子、核結構,、原子結構和晶體結構等,，因為對稱性是物質世界最普遍的性質，例如各種物體（分子,、晶體或圖形）都可以用特定的對稱性群來描述其結構（晶體的空間對稱性可以用點群描述,，其實晶體X射線衍射的圖案直接與其點群相關）；再例如時空存在對稱性,，可以用彭加萊群描述不同表示對應不同自旋的粒子,，例如標量粒子、旋量粒子,、矢量粒子,；再例如量子力學里的全同粒子就是對稱性的（基本粒子的規(guī)范對稱性可以由李群描述，其實李群的結構常數(shù)直接決定了規(guī)范玻色子,，比如膠子,、W、Z玻色子的自相互作用）,。 

現(xiàn)代化學也離不開群論,。例如化學中分子的性質受到分子對稱性的影響（因為分子的對稱性反映出分子中原子核和電子云的分布情況），所以可以根據(jù)分子對稱性判斷該分子的一些基本性質,，例如判斷是否具有旋光性（判別分子是否具有旋光性的常用的方法是比較實物和它的鏡像,，看它們能否完全重合，凡不能和鏡像重合的分子都具有旋光性,；反之,，如果兩者能夠重合，則分子就沒有旋光性）,，所以可以用分子的對稱元素和所屬對稱群來判斷其是否具有旋光性,。 

同樣，根據(jù)分子的對稱性,，也可以判斷分子有無偶極距,。分子偶極距大小決定于分子正負電重心間的距離與電荷量，其方向規(guī)定為從正至負,。因為分子所具有的對稱性是分子中原子核和電子云對稱分布的反映,，分子正負電重心一定處于分子的對稱元素上。所以分子的永久偶極矩是分子的靜態(tài)性質,，靜態(tài)性質的特點就是它在分子所屬點群每一對稱操作下必須保持不變,，為此μ向量必須落在每一元素上,，因此可以根據(jù)“分子對稱元素是否只交于一點”來預測分子有無永久μ。如果分子有對重心落在同一點上,，因而無偶極距,。若不存在上述的對稱元素時，則分子的正負電重心不落在同一點上,，就有偶極矩,。 

如果分子具有對稱中心，那么分子的所有對稱元素都交于此點,，此點亦即分子正負電荷的重心,。因此，具有對稱中心的分子沒有偶極矩,。如果分子有兩個對稱元素交于一點,，比如有一個對稱面和垂直于此面的對稱軸，或者有兩個以上不相重合的對稱軸,，那么分子的正負電荷中心必重合于此交點,，因而也沒有偶極矩。分支雖有對稱面和對稱軸,，但他們若不相較于一點,，而且對稱軸為對稱面所包含，則他們具有偶極矩,。 

按照這一判據(jù),，可將分子所屬點群和它是否具有偶極矩的關系總結為：對于具有偶極矩的分子可以進一步推斷：當分子有C2 軸時，偶極矩必沿著此軸,；當分子有對稱面時,，偶極矩必位于此面上；當分子有幾個對稱面時則偶極矩必沿著他們的交線,。 

再例如化學位移等價性的判別質子或其他的原子核,，在一定的交變磁場的作用下，由于分子中所處的化學環(huán)境不同,，從而將在不同的共振磁場下顯示吸收峰,。這一現(xiàn)象就叫做化學位移?；瘜W位移是核磁共振波普中反映化合物結構特征最重要的信息之一,。 

氫氣(H1)譜亦即質子譜，在核磁共振波普中應用最為廣泛,。氫譜中的各個峰與分子中的不同環(huán)境的質子相對應,。這樣便可根據(jù)分子對稱性識別等價院子或基團，進而可以判別氫譜中化學位移的等價性,。全同質子（通過旋轉操作課互換的質子）在任何化學環(huán)境中都是化學位移等價的,。對映異位質子（存在對稱操作使分子中兩個質子互換的質子）在非手性溶劑中具有相同的化學性質，也是化學位移等價的,，但在光學活性或酶產生的手性環(huán)境中就不再是化學等價的,，在核磁共振波普中可以顯示偶合現(xiàn)象。此外,，非對映異位質子（不能通過操作達到互換的質子）在任何化學環(huán)境中都是化學位移不等價的,。分子中化學位移等價的核構成一個核組，相互作用的許多核組構成一個自旋系統(tǒng),?？紤]分子的對稱性，有利于對它們進行分類,，因而群論就是最基礎的,。 

群論也廣泛用于分子結構判斷，因為分子外形的對稱性通過分子波函數(shù)與分子結構聯(lián)系,，而分子波函數(shù)可以作為分子所屬點群的不可約表示的基,。 

雜化軌道理論主要是研究分子的幾何構型，而構型和雜化的原子軌道在空間的分布和方向有密切的聯(lián)系,。由于在微觀世界中,，分子都具有一定的對稱性，而對稱性不同時,，則其分子構型也必然不同,，因此分子對稱性就與其雜化軌道有內在的聯(lián)系。群論的方法可以告訴我們：在具有一定形狀的分子的化學成鍵中,，中心原子可能采用什么樣的雜化方式,。運用群論的知識還可以知道中心原子提供哪些原子軌道去構成合乎對稱性要求的雜化軌道，而且還可以進一步求出雜化軌道的數(shù)學表達式,。 

當然群論還有實際工程應用,，例如先進陶瓷材料研發(fā)。我們都知道,，先進陶瓷材料現(xiàn)在用途極為廣泛,，例如渦扇發(fā)動機用的陶瓷涂層材料，或陶瓷基復合葉片,，甚至在尾噴管,，燃燒室等等都開始使用陶瓷復合材料，以及在導彈某些關鍵部位的應用,。 

而大家不知道的是：群論在先進（陶瓷）材料的結構篩選中是基本工具,。 

因為晶粒對陶瓷的性能起著關鍵性的作用，所以研究晶粒是獲得新材料性能的關鍵,，例如由晶體的各向異性性,，可以通過控制外界工藝條件使晶粒在某個晶向優(yōu)先生長,，從而可能具有某些前所未有的性能，在力學上使結構陶瓷得到更好的晶須增韌效果,，在物理性能上或者在力學性質上增強,，使功能陶瓷獲得更好的韌性，剛性,，抗切變性,，或者是在電學性能上增強，例如獲得更好的壓電性能,、熱釋電性,、倍頻效應，或者使人工晶體獲得更好的旋光性等光學性能等等,。 

目前通常做法是通過對這些具有一定力學性能,、物理性能的材料的微觀本質的分析，可以利用對稱群分析計算,，篩選出摻雜物質和優(yōu)化結構構造方式等等,，來改變晶體的晶格，以獲得性能更佳,，物理效應更顯著的晶體,。 

用對稱群為工具也可以研究非晶態(tài)材料和非平衡態(tài)材料結構。非晶體與晶體相比有著大量的缺陷,，原子或離子間的結合也不如晶體那般整齊有序,，所以比同類晶體具有更大的內能，因此當非晶態(tài)向晶態(tài)轉變或者反過來晶態(tài)向非晶態(tài)轉變時將吸收或放出大量的能量,，選擇適當?shù)牟牧巷@然在某些場合可以考慮由此而用來存儲能量,。 



本篇帖子由于豆瓣不能上數(shù)學公式，所以用一直奇特的模式寫,，痛苦不堪,，可能錯誤比較多，發(fā)現(xiàn)錯誤請指出來,。 

再順便感概一下,，現(xiàn)在大學老師基本都是照本宣科，把教科書在課堂朗讀一遍拉倒,，純粹是誤人子弟,。 

我在中國科大數(shù)學系上學時，任意一門數(shù)學課的老師教課都是這個模式：任何一個重要概念的實際背景（包括但不限于工程,，物理,，軍事等等問題），來龍去脈，要解決什么問題,，結果解決什么問題,，這些抽象概念的基本思想和原型是什么等等，都要讓學生知其然,，也知其所以然,。 

一個蒙查查的老師，一般不太可能教出什么明白學生,。大學之間的水平差距，其實在老師之間的差距,。上大學,，如果不想被教成蒙查查，最好上最好的大學,，不然人家勇猛奮進的四年光景,，你不過是混日子的四年。 

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編輯 ∑Pluto