二元一次方程是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容,，上承一元一次方程,，下接不等式組。之前的文章內(nèi)容中我們先后講述了有關(guān)一元一次方程和一元二次方程的內(nèi)容,，那么,，我們接著來學(xué)習(xí)有關(guān)二元一次方程的知識點：

復(fù)習(xí)要求

1、認識二元一次方程（組）,；

2,、了解二元一次方程（組）的解以及求二元一次方程的正整數(shù)解；

3,、解決有關(guān)二元一次方程（組）的實際應(yīng)用,。

二元一次方程的基本內(nèi)容

1、二元一次方程

（1）二元一次方程的概念

含有兩個未知數(shù),，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程,。

二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0（a≠0，b≠0）,。

判定二元一次方程必須同時滿足三個條件：

①方程兩邊的代數(shù)式都是整式——整式方程,；

②含有兩個未知數(shù)——“二元”；

③含有未知數(shù)的項的次數(shù)為 1——“一次”,。

（2）二元一次方程的解

使二元一次方程左,、右兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解,。一般情況下,，一個二元一次方程有無數(shù)個解。

2,、二元一次方程組

（1）二元一次方程組的概念

由幾個一次方程組成并且含有兩個未知數(shù)的方程組,，叫二元一次方程組。

注意：二元一次方程組不一定由兩個二元一次方程合在一起：方程可以超過兩個,，有的方程可以只有一元（一元方程在這里也可看作另一未知數(shù)系數(shù)為 0 的二元方程）,。

（2）二元一次方程組的解

二元一次方程組的解必須滿足方程組中的每一個方程，同時它也必須是一個數(shù)對,，而不能是一個數(shù),。

（3）二元一次方程組的解法

●a.代入消元法

代入消元法是解二元一次方程組的基本方法之一。

通過等量代換,，消去方程組中的一個未知數(shù),，使二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程,，從而求得一個未知數(shù)的值，然后再求出被消去未知數(shù)的值,，從而確定原方程組的解的方法,。

步驟：

①從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，將這個方程中的一個未知數(shù),，例如 y,，用另一個未知數(shù)如 x 的代數(shù)式表示出來，即寫成 y = ax + b 的形式,；

② y = ax + b 代入另一個方程中,，消去 y ，得到一個關(guān)于 x 的一元一次方程,；

③解這個一元一次方程，求出 x 的值,；

④回代求解：把求得的 x 的值代入 y = ax + b 中求出 y 的值,，從而得出方程組的解。

●b.加減消元法

加減法是消元法的一種,，也是解二元一次方程組的基本方法之一,。加減法不僅在解二元一次方程組中適用，也是今后解其他方程（組）經(jīng)常用到的方法,。

步驟：

①變換系數(shù)：把一個方程或者兩個方程的兩邊都乘以適當?shù)臄?shù),，使兩個方程里的某一個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等；

②加減消元：把兩個方程的兩邊分別相加或相減,，消去一個未知數(shù),，得到一個一元一次方程；

③解這個一元一次方程,，求得一個未知數(shù)的值,；

④回代：將求出的未知數(shù)的值代入原方程組中，求出另一個未知數(shù)的值,。

●加減消元方法的選擇：

1,、一般選擇系數(shù)絕對值最小的未知數(shù)消元；

2,、當某一未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)時,，用加法消元；當某一未知數(shù)的系數(shù)相等時,，用減法消元,；

3、某一未知數(shù)系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時,，直接對一個方程變形,，使其系數(shù)互為相反數(shù)或相等,，再用加減消元求解；

4,、當相同的未知數(shù)的系數(shù)都不相同時,，找出某一個未知數(shù)的系數(shù)的最小公倍數(shù)，同時對兩個方程進行變形,，轉(zhuǎn)化為系數(shù)的絕對值相同,，再用加減消元求解。

二元一次方程的應(yīng)用

數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活,，我們把生活實際中的問題,，用設(shè)未知數(shù)的方法用二元一次方程來刻畫，就把實際問題,，轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問題,，這種解題就是數(shù)學(xué)中的建模思想，它能化難為易化抽象為具體,，也是我們學(xué)習(xí)方程的重點,。

列方程組與列一元一次方程基本類似，只不過列二元一次方程組解應(yīng)用題時,，應(yīng)從題目中找出兩個獨立的相等關(guān)系,，根據(jù)這兩個相等關(guān)系列方程組求解。尤其是在七年級沒學(xué)好一元一次方程的同學(xué),，需要及時有效的補缺,。

一、列方程組解應(yīng)用題的基本思想

列方程組解應(yīng)用題是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法,，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來,，找出題目中的相等關(guān)系。

所列方程必須滿足：

(1) 方程兩邊表示的是同類量,；

(2) 同類量的單位要統(tǒng)一,；

(3) 方程兩邊的數(shù)值要相等。

二,、二元一次方程組的應(yīng)用步驟

（1）審題：弄清題意及題目中的數(shù)量關(guān)系

（2）設(shè)未知數(shù)：可直接設(shè)元,，也可間接設(shè)元

（3）找等量關(guān)系：根據(jù)相關(guān)公式變量等，找出題目中的等量關(guān)系

（4）列方程組：根據(jù)題目中能表示全部含義的等量關(guān)系列出方程,，并組成方程組

（5）解方程組：利用消元法等方法解所列的方程組

（6）檢驗：檢驗解的正確性,，是否滿足實際問題

（7）答話：回答題目問題

三、常用的基本等量關(guān)系

1）行程問題：

(1)追擊問題：追擊問題是行程問題中很重要的一種,，它的特點是同向而行,。這類問題比較直觀，畫線段,，用圖便于理解與分析,。

其等量關(guān)系式是:兩者的行程差＝開始時兩者相距的路程,。

(2)相遇問題：相遇問題也是行程問題中很重要的一種，它的特點是相向而行,。這類問題也比較直觀,，因而也畫線段圖幫助理解與分析。

這類問題的等量關(guān)系是：雙方所走的路程之和＝總路程,。

(3)航行問題：

①船在靜水中的速度＋水速＝船的順水速度,；

②船在靜水中的速度－水速＝船的逆水速度；

③順水速度－逆水速度＝2×水速,。

注意：飛機航行問題同樣會出現(xiàn)順風(fēng)航行和逆風(fēng)航行,，解題方法與船順水航行、逆水航行問題類似,。

2,、利潤問題：

(1)利潤＝售價－成本(進價)；

(2)利潤＝成本（進價）×利潤率,；

(3)標價＝成本(進價)×(1＋利潤率),；

(4)實際售價＝標價×打折率；

注意：“商品利潤＝售價－成本”中的右邊為正時,，是盈利,；為負時,，就是虧損,。打幾折就是按標價的十分之幾或百分之幾十銷售。

（例如八折就是按標價的十分之八即五分之四或者百分之八十）

3,、儲蓄問題：

■(1)基本概念

①本金：顧客存入銀行的錢叫做本金,。

②利息：銀行付給顧客的酬金叫做利息。

③本息和：本金與利息的和叫做本息和,。

④期數(shù)：存入銀行的時間叫做期數(shù),。

⑤利率：每個期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫做利率。

⑥利息稅：利息的稅款叫做利息稅,。

■ (2)基本關(guān)系式

①利息＝本金×利率×期數(shù)

②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期數(shù)＝本金× (1＋利率×期數(shù))

③利息稅＝利息×利息稅率＝本金×利率×期數(shù)×利息稅率

④稅后利息＝利息× (1－利息稅率)

⑤年利率＝月利率×12

注意：當題目中涉及免稅利息時,，需要明晰免稅利息=利息

4、數(shù)字問題：

解決這類問題,，首先要正確掌握自然數(shù),、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念,、特征及其表示,。如當n為整數(shù)時，奇數(shù)可表示為2n+1(或2n-1),，偶數(shù)可表示為2n等,。

有關(guān)兩位數(shù)的基本等量關(guān)系式為：兩位數(shù)=十位數(shù)字10+個位數(shù)字

5,、其他問題：

（1）工程問題：工作效率×工作時間=工作量

（2）增長率問題：原量×(1＋增長率)＝增長后的量；原量×(1－減少率)＝減少后的量

（3）和差倍分問題：較大量＝較小量＋多余量,，總量＝倍數(shù)×倍量

（4）幾何問題：解決這類問題的基本關(guān)系式有關(guān)幾何圖形的性質(zhì),、周長、面積等計算公式

（5）年齡問題：解決這類問題的關(guān)鍵是抓住兩人年齡的增長數(shù)是相等,，兩人的年齡差是永遠不會變的

老劉有話說：

涉及二元一次方程需要注意以下要點：

(1)解實際應(yīng)用問題必須寫“答”,，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理,，不符合題意的解應(yīng)該舍去

(2)“設(shè)”,、“答”兩步，都要寫清單位名稱

(3)一般來說,，設(shè)幾個未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個方程并組成方程組,。

(4)列方程組解應(yīng)用題應(yīng)注意的問題：

①弄清各種題型中基本量之間的關(guān)系；

②審題時注意從文字,，圖表中獲得有關(guān)信息,；

③注意用方程組解應(yīng)用題的過程中單位的書寫，設(shè)未知數(shù)和寫答案都要帶單位,，列方程組與解方程組時,，不要帶單位；

④正確書寫速度單位,，避免與路程單位混淆,；

⑤在尋找等量關(guān)系時，應(yīng)注意挖掘隱含的條件,；

⑥列方程組解應(yīng)用題一定要注意檢驗,。