自古套路得人心

【題目】

（2018·臨沂）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，∠ACB=90°,，OC=2OB,，tan∠ABC=2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,，0）．拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A,、B兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一點(diǎn),，過點(diǎn)P作PD垂直x軸于點(diǎn)D,，交線段AB于點(diǎn)E，使PE=1/2DE．

①求點(diǎn)P的坐標(biāo),；

②在直線PD上是否存在點(diǎn)M,，使△ABM為直角三角形？若存在,，求出符合條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在,，請說明理由．

【答案】 

解：（1）∵B（1,，0），∴OB=1,，

∵OC=2OB=2,，∴C（﹣2，0）,，

Rt△ABC中,，tan∠ABC=2，

∴AC/BC=2,，∴AC/3=2,，

∴AC=6，∴A（﹣2,，6）,，

把A（﹣2，6）和B（1,，0）

代入y=﹣x2+bx+c得：-4-2b+c=6,，-1+b+c=0，

解得：b=-3,，c=4,，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣3x+4；

備注：根據(jù)線段長及比例關(guān)系,，求出點(diǎn)坐標(biāo),，待定系數(shù)法求解析式。

（2）①∵A（﹣2，6）,，B（1,，0），

易得AB的解析式為：y=﹣2x+2,，

設(shè)P（x,，﹣x2﹣3x+4），則E（x,，﹣2x+2）,，

∵PE=1/2DE,，

∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=1/2（﹣2x+2）,，

x=1（舍）或﹣1,，

∴P（﹣1,，6）；

備注：設(shè)未知數(shù),，利用線段的等量關(guān)系建立方程,，得點(diǎn)P的坐標(biāo)。

②∵M(jìn)在直線PD上,，且P（﹣1,，6），

設(shè)M（﹣1,，y）,，

∴AM2=（﹣1+2）2+（y﹣6）2=1+（y﹣6）2，

BM2=（1+1）2+y2=4+y2,，

AB2=（1+2）2+62=45,，

分三種情況：

i）當(dāng)∠AMB=90°時(shí),，有AM2+BM2=AB2,，

∴1+（y﹣6）2+4+y2=45，

解得：y=3±√11,，

∴M（﹣1,，3+√11）或（﹣1，3﹣√11）,；

ii）當(dāng)∠ABM=90°時(shí),，有AB2+BM2=AM2，

∴45+4+y2=1+（y﹣6）2,，

y=﹣1,，

∴M（﹣1，﹣1）,，

iii）當(dāng)∠BAM=90°時(shí),，有AM2+AB2=BM2，

∴1+（y﹣6）2+45=4+y2,，

y=13/2,，

∴M（﹣1,，13/2）,；

綜上所述,，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：∴M（﹣1,，3+√11）或（﹣1,，3﹣√11）或（﹣1,，﹣1）或（﹣1,，13/2）．

備注：兩定一動(dòng)直角三角形的存在性問題，思路有三：

①設(shè)未知數(shù),，利用勾股建立等量關(guān)系，分類討論求解,；

②兩圓一線,，利用直角構(gòu)造三垂直得相似,，由比例得線段長；

③利用高中兩直線互相垂直k1·k2=-1,，可以求出直線解析式,，求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可。