就比如這個(gè)：

→.→剛體歐拉轉(zhuǎn)動(dòng)定理←.←

什么？歐拉怎么又弄出一個(gè)定理來(lái),？暈~+_+
   剛體歐拉轉(zhuǎn)動(dòng)定理是怎么說(shuō)的呢,？又是怎么證明的呢？我們一起來(lái)看看吧~

剛體歐拉轉(zhuǎn)動(dòng)定理的表述

剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的任意位移,，可以通過(guò)繞該定點(diǎn)的某個(gè)軸一次轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn),。

也就是說(shuō)——當(dāng)你玩陀螺的時(shí)候，陀螺在任何一個(gè)時(shí)間段內(nèi)的的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（假如陀螺腳底不打滑）都可以看成是陀螺在繞著過(guò)陀螺腳那一點(diǎn)的“軸”進(jìn)行了一次轉(zhuǎn)動(dòng),。

能證明嗎,？？,？

當(dāng)然可以了,！
    沒(méi)學(xué)好線性代數(shù)的筒子們要注意了啊，趕緊復(fù)習(xí)一下,，以免“感動(dòng)”到哭~

證明思路

     要想證明剛體歐拉定理,，我們肯定要先找到這個(gè)“軸”，這個(gè)“軸”在哪呢,？
嗯,，很難回答。其實(shí),，我們的任務(wù)不是去為每一個(gè)陀螺找“軸”,，這很難實(shí)現(xiàn)。我們的任務(wù)是來(lái)證明這個(gè)“軸”確實(shí)存在,，只要證明了“軸存在”,，那就說(shuō)明歐拉定理是真的成立的。

開始我們的證明,！

第一節(jié)：一個(gè)大膽的猜想

    假設(shè)設(shè)在靜止坐標(biāo)系內(nèi)有一個(gè)剛體（什么樣的剛體就別管啦）,，正在以點(diǎn)為基點(diǎn)做定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，此處應(yīng)有圖↓

    有另外一個(gè)坐標(biāo)系與剛體固連,，并且假設(shè)兩個(gè)坐標(biāo)系在初始時(shí)刻完全重合,。靜止坐標(biāo)系和固連坐標(biāo)系的單位基矢分別為和，其中.有同學(xué)會(huì)說(shuō)：你這是搞什么??？弄得那么“反人類”！O(∩.∩)O嘿嘿~ “反人類”的東西還在后面呢,！

    這句話無(wú)非就是說(shuō)靜止坐標(biāo)系和固連坐標(biāo)系的的三個(gè)坐標(biāo)單位矢量分別是：,、、和、,、 . 咱們還是得盡量熟悉一下這種數(shù)學(xué)表述?。?br>   相信大家的線性代數(shù)已經(jīng)學(xué)(wang)好(guang)了（趕緊復(fù)習(xí)?。?，聰明的你會(huì)立即反應(yīng)過(guò)來(lái)，兩組坐標(biāo)基矢之間存在變換關(guān)系,！我們把這個(gè)變換矩陣叫做,，于是有：
（1）
   我們考慮一下這些量的“含時(shí)性”. 所謂“含時(shí)”就是指這個(gè)量會(huì)跟隨時(shí)間變化，具體到表達(dá)式,，就是這個(gè)量是時(shí)間的函數(shù).由于剛體一直在運(yùn)動(dòng),，所以固連于剛體的坐標(biāo)系的基矢方向也時(shí)刻在改變，所以說(shuō)：是含時(shí)的,，(1)式右側(cè)一定會(huì)有含時(shí)項(xiàng). 那么含時(shí)項(xiàng)是誰(shuí)呢,？當(dāng)然是啦！靜止坐標(biāo)系的基矢是不可能動(dòng)的,！
我們將(1)式高度簡(jiǎn)化（“反人類”開始~）：
（2）
    我們來(lái)研究一下變化矩陣的性質(zhì). 之前我們講到,，與在時(shí)是重合的，也就是說(shuō),，這不正是說(shuō)明在初始時(shí)刻是三階單位矩陣嗎,！我們還是用線性代數(shù)的語(yǔ)言寫出來(lái)：
（3）

    既然這個(gè)變換矩陣在初始時(shí)刻為單位矩陣，那么在其他時(shí)刻會(huì)是怎樣的呢,？

我們做一個(gè)大膽的猜想：

的行列式始終為1,！

很多人就好奇了，為什么做這樣一個(gè)猜想呢,？這個(gè)猜想正不正確呢,？我們先不解釋為什么做這個(gè)猜想，但是我們要來(lái)證明一下,，這個(gè)猜想確實(shí)是對(duì)的.

第二節(jié)：大膽的猜想,，竟得出了一個(gè)重要引理

    如果真的想證明這個(gè)猜想，我們只需要證明就夠了（是單位矩陣哈）.因?yàn)橐坏?span>成立了,，那么一定有,，而我們又知道，所以就得出了.
   運(yùn)動(dòng)是連續(xù)的??！是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，而初始時(shí)刻它的值又是1,，所以我們可以確定它的值不會(huì)躍變到-1. 所以,，我們的任務(wù)就變?yōu)榱俗C明這個(gè)表達(dá)式：
（4）
   這可怎么證明呢？我們貌似看到了問(wèn)題的困難：擺在我們面前的是一堆抽象的符號(hào),，我們很難直接想到一種思路來(lái)證明這極其“抽象”的表達(dá)式. 或許,，從線性代數(shù)的角度出發(fā)，把上面的具體化一下,，我們也許就能得到一些有用的式子.怎么“具體化”呢,？我們這樣做：因?yàn)?span>是一個(gè)的矩陣，我們不妨假設(shè)它的各個(gè)元素是,，于是有：

（5）

    于是,，就寫成了：

（6）

    相信大家滿臉問(wèn)號(hào)：這也看不出什么啊,？,！別著急嘛！還沒(méi)說(shuō)完呢. 我們先來(lái)看一個(gè)很簡(jiǎn)單的運(yùn)算符號(hào)：直角坐標(biāo)系中基矢間點(diǎn)乘的結(jié)果可以通過(guò)運(yùn)算來(lái)表示,，運(yùn)算的定義如下：

（7）

    這個(gè)運(yùn)算理解起來(lái)比較容易,，比如，而. 我們現(xiàn)在來(lái)對(duì)系中的坐標(biāo)基矢進(jìn)行運(yùn)算

例如：
（8）
   我們聯(lián)系(2),、(5)式（忘了是什么,？快回去看！）,，把(8)式中的    進(jìn)行展開計(jì)算：
（9）
   ?。√嗔?！我們還可以計(jì)算諸如,、等共計(jì)9個(gè)運(yùn)算，也就是的所有表達(dá)式. 我這里偷個(gè)懶哈,，大家自己去算喲（斜眼笑ing）~
   觀察(9)式,，我們發(fā)現(xiàn)，(9)式的結(jié)果不正是(6)式中矩陣乘積結(jié)果的第1行,、第2列的值嗎,！不僅如此，我們經(jīng)過(guò)計(jì)算還能發(fā)現(xiàn)：的第一個(gè)下角標(biāo)代表了(6)式中矩陣乘積結(jié)果的行號(hào),，而第二個(gè)下角標(biāo)則代表了列號(hào),！多么驚人的發(fā)現(xiàn)！,！那么,，我們之前所寫的就可以寫成：

（10）

   那么，若要證明我們的猜想（快看(4)式?。?，我們只需要證明：

（11）

    聰明的你一眼就看出來(lái)了,，這不是很顯然的嘛！根據(jù)(7)式,，在時(shí),，有，而在時(shí),，（）,，這下看得出來(lái)了吧！(11)式中的矩陣恰好為單位矩陣,！
   得來(lái)全不費(fèi)工夫（自行取反~）,！我們的猜想是對(duì)的！我們驚奇地得到了一個(gè)引理：
（12）
   有人還會(huì)問(wèn)：好像還有個(gè)問(wèn)題沒(méi)有解答啊,，為什么要做這個(gè)猜想呢,？我們繼續(xù)賣個(gè)關(guān)子，請(qǐng)各位接著往下看~

第三節(jié)：我們要證轉(zhuǎn)動(dòng)軸的存在性,！

    下面就要真正開始證明剛體歐拉定理了. 我們做好了充足的前期準(zhǔn)備,，只等最后的奮斗！
假設(shè)有一個(gè)固連于剛體的質(zhì)點(diǎn),，它的位置矢量在和系中表示為：
（13）
    假設(shè)質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的位矢為
（14）
    其對(duì)應(yīng)在系中的坐標(biāo)為. 好的,，現(xiàn)在我們又要回憶線性代數(shù)中的知識(shí)了：在坐標(biāo)的線性變換中我們學(xué)過(guò)，線性變換前后的坐標(biāo)之間通過(guò)一個(gè)變換矩陣來(lái)連接. 在這一問(wèn)題里面,，就表示成為：
（15）
    其中,，是含時(shí)的，我們用一個(gè)坐標(biāo)變量來(lái)代表三個(gè)坐標(biāo),，于是,，表示為：
（16）
   于是，我們就把(15)式的表達(dá)搞得很簡(jiǎn)單：
（17）
   聯(lián)系一下運(yùn)動(dòng)學(xué),，我們可以這樣講：(17)式,，便是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程. 回想一下，我們的目標(biāo)是找到一個(gè)“軸”,，這個(gè)“軸”有什么性質(zhì)呢,？對(duì)！在這個(gè)軸上的所有點(diǎn)都是不時(shí)變的,！也就是說(shuō),，在這個(gè)軸上的所有點(diǎn)都必然滿足
（18）
    我們只需要證出滿足(18)式所描述的點(diǎn)的存在性即可！

第四節(jié)：證明一系列不時(shí)變點(diǎn)真的存在,！

    假設(shè)真的有這么一個(gè)軸,，這個(gè)軸上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)不時(shí)變. 將這些點(diǎn)的坐標(biāo)記為. 很多人又開始迷糊了：好端端的不用，為何又要用呢,？其實(shí),，完全是為了方便觀察. 于是,，我們得到了：
（19）
   準(zhǔn)備好啊，我們要開始大量計(jì)算了,！
    將(19)式代入(17)式,，得到，這里仍然是為了方便,，將簡(jiǎn)寫成了.對(duì)這個(gè)式子兩側(cè)轉(zhuǎn)置（注意別忘了“穿透法則”?。┑玫剑?span>,，這樣的形式還不是有利于觀察的,！我們最后把它左右調(diào)換位置，寫成：
（20）
   這不正是線性代數(shù)中的特征值定義方程嘛,！忘了的同學(xué)一起來(lái)復(fù)習(xí)哈：線性代數(shù)中給出了矩陣的特征值的定義方程,，即滿足方程的的值為矩陣的特征值，其中稱為特征值對(duì)應(yīng)的特征向量.
對(duì)比(20)式的和特征值定義方程,，我們很容易就發(fā)現(xiàn),，如果此轉(zhuǎn)動(dòng)軸存在，則必然說(shuō)明：存在非零的,，滿足：是矩陣的特征值1所對(duì)應(yīng)的特征向量.
    到這里,，大家應(yīng)該一下子就明白了之前的疑問(wèn)，為什么要再引入一個(gè)“”,？當(dāng)然,，只是為了有利于我們的觀察. 否則，一個(gè)變量搞來(lái)搞去,，不一會(huì)就糊涂了~
   碰巧的是,，線性代數(shù)還給出了特征值方程中特征向量存在且具有非零解的充分必要條件是：.因此，我們只需要證明就可以了.

第五節(jié)：最后一點(diǎn)運(yùn)算??

    為了表述方便,，令,，結(jié)合(12)式中給出的，我們?cè)诘仁接覀?cè)乘以,，得到：
（21）
    繼續(xù)對(duì)的表達(dá)式進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算和處理：

我們看到希望啦,！！??！也就是說(shuō)我們證明出了！
    至此,，我們已經(jīng)完全證明了滿足的點(diǎn)構(gòu)成的軸確實(shí)存在. 剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的任意位移,，都可以通過(guò)繞該定點(diǎn)的某個(gè)軸一次轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn).多么美妙的一個(gè)定理！

參考文獻(xiàn)

·  H. 戈德斯坦. 經(jīng)典力學(xué)（第2版）

·  A. 馬爾契夫. 理論力學(xué)（第3版）. 李俊峰 譯

[本文作者施鵬毅系北京師范大學(xué)物理學(xué)系二年級(jí)本科生,。指導(dǎo)老師：涂展春]