米勒問題和米勒定理

1471年，德國數(shù)學(xué)家米勒向諾德爾教授提出了如下十分有趣的問題：在地球表面的什么部位,，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長,？即在什么部位，視角最大,？最大視角問題是數(shù)學(xué)史上100個著名的極值問題中第一個極值問題而引人注目,，因為德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出這類問題，因此最大視角問題又稱之為“米勒問題”,，一般的米勒問題如下：

米勒問題：已知點A,、B是∠MON的邊ON上的兩個定點,，點P是邊OM上的動點，則當(dāng)P在何處時,，∠APB最大,？

對米勒問題有如下重要結(jié)論我們不妨稱之為米勒定理。

米勒定理：已知點A,、B是∠MON的邊ON上的兩個定點,，點P是邊OM上的一個動點，則當(dāng)且僅當(dāng)三角形ABP的外接圓與邊OM相切于點P時,，∠APB最大,。

證明：如圖，設(shè)P′是邊OM上不同于點P的任意一點,，連結(jié)P′A,，P′B，P′A與圓交于點C,，連接CB,，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可知∠ACB>∠AP′B,，根據(jù)圓周角定理可知,，∠APB=∠ACB，因此∠APB>∠AP′B,，也就是當(dāng)且僅當(dāng)三角形ABP的外接圓與邊OM相切于點P時,，∠APB最大。

在解題中的應(yīng)用

最大張角問題在數(shù)學(xué)競賽,、歷屆中考和模擬考試中頻頻亮相，常常以平面幾何和實際應(yīng)用為背景進行考查,。若能從題設(shè)中挖出隱含其中的米勒問題模型,，并能直接運用米勒定理解題，這將會突破思維瓶頸,、大大減少運算量,、降低思維難度、縮短解題長度,，從而使問題順利解決,。否則這類問題將成為考生的一道難題甚至一籌莫展，即使解出也費時化力,。下面舉例說明米勒定理在解決最大角問題中的應(yīng)用,。

例1：如圖所示，某大樓上裝有一塊長方形廣告牌,，上下邊相距6 m ,下底邊距地面11.6m,如果人的眼部高度為1.6m ,那么從遠處正對廣告牌走近時,在何處看廣告牌的效果最好?

解析：如圖,，過A,B兩點作圓O與CE相切于點P,，過O點作OM⊥AB于M，則M為AB中點,，∴BM=3,，又∵OB=OP=10+3=13

由勾股定理得: OM=4√10

例2：如圖,已知足球球門寬AB約為5√2米，一球員從距B點5√2米的C點(點A,、B,、C均在球場底線上)，沿著AC成45°角的CD方向帶球,。試問,，該球員能否在射線CD.上找到一點P，使得點P為最佳射門點(即∠APB最大) ?若能找到,，求出這時點P與點C的距離,；若找不到，請說明理由,。

解析：過A B兩點作圓于CD相切于點P,，此時∠APB最大，同時△CBP∽△CPA

∴CP2=CB·CA=5√2 × 10√2=100

∴CP=10

例3：如圖,，四邊形ABCD中,，AD//BC，CD⊥BC,，∠ABC=60°,，AD=8，BC=12,，問在邊AD上,，是否存在一點P，使得cos∠BPC的值最小,？若存在,，求出此時cos∠BPC的值，若不存在,，請說明理由.

解：如圖所示,，存在點P，使得cos∠BPC的值最小,，作BC的中垂線PQ交BC于點Q,，交AD于點P，連接BP, CP,作△BPC的外接圓O,，圓O與直線PQ交于點N,，則PB=PC.圓心O在PN上，

∵AD//BC,，

∴圓O與AD相切于點P,，

∵PQ=DC=4√3 >6

∴PQ > BQ

:∠BPC<>,，圓心O在弦BC的上方，

在AD上任取一點P’,，連接P’B,，P’C，P’B交圓O于點M,，連接MC,，

∴BPC=∠BMC>∠BP’C,

∴∠BPC最大，cos∠BPC的值最小,，

連接OB,，則∠BON=2∠BPN=∠BPC,

∵OB=OP=4√3-OQ，

在Rt△BOQ中,，根據(jù)勾股定理得:

OQ2+62=(4√3-OQ)2,

解得:OQ=√3/2

∴OB=7√3/2

∴cos∠BPC=cos∠BOQ=OQ/OB=1/7

則此時cos∠BPC的值為1/7,，