先復(fù)習(xí)兩個(gè)定理

（1）角平分線定理：如圖,，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線,，則AB:AC=DB:DC．

證明：利用等積法

,，

即AB:AC=DB:DC

（2）外角平分線定理：如圖，在△ABC中,，外角CAE的角平分線AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,，則AB:AC=DB:DC．

不妨將點(diǎn)A、B兩點(diǎn)置于x軸上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,，設(shè)A（-m,，0），則B（m,，0）,，設(shè)P（x,，y）,，PA=kPB，即：

解析式滿足圓的一般方程,，故P點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是圓,，且圓心與AB共線．

如圖,，在Rt△ABC中,，∠C=90°，AC=4,，BC=3,，以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作圓C,，分別交AC,、BC于D,、E兩點(diǎn)，點(diǎn)P是圓C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),，則1/2PA+PB的最小值為______．

【分析】這個(gè)問題最大的難點(diǎn)在于轉(zhuǎn)化1/2PA,，此處P點(diǎn)軌跡是圓，故轉(zhuǎn)化方法與之前有所不同,，如下,，提供兩種思路．

法一：構(gòu)造相似三角形

注意到圓C半徑為2,，CA=4,，連接CP，構(gòu)造包含線段AP的△CPA,，在CA邊上取點(diǎn)M使得CM=2,，連接PM，可得△CPA∽△CMP,，故PA：PM=2:1,，即PM=1/2PA．

問題轉(zhuǎn)化為PM+PB最小值，直接連BM即可．

對(duì)比一下這個(gè)題目的條件,，P點(diǎn)軌跡是圓,，A是定點(diǎn)，我們需要找出另一個(gè)定點(diǎn)M使得PM:PA=1:2,，這不就是把“阿氏圓”的條件與結(jié)論互換了一下嘛,！

而且這種問題里，給定的圓的位置,、定點(diǎn)A的位置,、線段的比例等，往往都是搭配好的,！

P點(diǎn)軌跡圓的圓心C點(diǎn)和A點(diǎn)在直線AC上,，故所求M點(diǎn)在AC邊上，考慮到PM：PA=1:2,，不妨讓P點(diǎn)與D點(diǎn)重合,，此時(shí)DM=1/2DA=1,，即可確定M點(diǎn)位置．

如果對(duì)這個(gè)結(jié)果不是很放心，不妨再取個(gè)特殊的位置檢驗(yàn)一下,，如下圖,，此時(shí)PM=3，PA=6,，亦滿足PM:PA=1:2．

【小結(jié)】法二其實(shí)是開了上帝視角,，在已知其是阿氏圓的前提下，通過特殊點(diǎn)找出所求M點(diǎn)位置,，雖不夠嚴(yán)謹(jǐn),，卻很實(shí)用．

如圖，在△ABC中,，∠ACB=90°,，BC=12，AC=9,，以點(diǎn)C為圓心,，6為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D．連接AD、BD,、CD,，則2AD+3BD的最小值是______．

【分析】首先對(duì)問題作變式2AD+3BD=3（2/3AD+BD），故求2/3AD+BD最小值即可．

考慮到D點(diǎn)軌跡是圓,，A是定點(diǎn),，且要求構(gòu)造2/3AD，條件已經(jīng)足夠明顯．

當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC邊時(shí),，DA=3,，此時(shí)在線段CD上取點(diǎn)M使得DM=2,，則在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中,，始終存在DM=2/3DA．

問題轉(zhuǎn)化為DM+DB的最小值，直接連接BM,，BM長(zhǎng)度的3倍即為本題答案．