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1,、和差問題   已知兩數(shù)的和與差，求這兩個數(shù),。

例：已知兩數(shù)和是10,，差是2,，求這兩個數(shù)。

【口訣】

和加上差,，越加越大,；除以2，便是大的,；和減去差,，越減越小,；除以2,，便是小的。

按口訣,，則大數(shù)=（10+2）/2=6,，小數(shù)=（10-2）/2=4

2、差比問題   例：甲數(shù)比乙數(shù)大12且甲:乙=7：4,，求兩數(shù),。

【口訣】

我的比你多，倍數(shù)是因果,。

分子實際差,，分母倍數(shù)差。

商是一倍的,，乘以各自的倍數(shù),，兩數(shù)便可求得。

先求一倍的量,，12/（7-4）=4,，

所以甲數(shù)為：4X7=28，乙數(shù)為：4X4=16,。

3,、年齡問題   例1：小軍今年8 歲，爸爸今年34歲,，幾年后,，爸爸的年齡是小軍的3倍？

【口訣】

歲差不會變,，同時相加減,。

歲數(shù)一改變，倍數(shù)也改變,。

抓住這三點，一切都簡單,。

分析：歲差不會變,，今年的歲數(shù)差點34-8=26,，到幾年后仍然不會變。

已知差及倍數(shù),，轉(zhuǎn)化為差比問題,。

26/（3-1）=13，幾年后爸爸的年齡是13X3=39歲,，小軍的年齡是13X1=13歲,，所以應(yīng)該是5年后。

例2：姐姐今年13歲,，弟弟今年9歲,，當(dāng)姐弟倆歲數(shù)的和是40歲時，兩人各應(yīng)該是多少歲,？

分析：歲差不會變,，今年的歲數(shù)差13-9=4幾年后也不會改變。

幾年后歲數(shù)和是40,，歲數(shù)差是4,，轉(zhuǎn)化為和差問題。

則幾年后,，姐姐的歲數(shù)：（40+4）/2=22,，弟弟的歲數(shù)：（40-4）/2=18，所以答案是9年后,。

4,、和比問題  已知整體，求部分,。

例：甲乙丙三數(shù)和為27,，甲:乙:丙=2:3:4，求甲乙丙三數(shù),。

【口訣】

家要眾人合,，分家有原則。

分母比數(shù)和,，分子自己的,。

和乘以比例，就是該得的,。

分母比數(shù)和,，即分母為：2+3+4=9；

分子自己的,，則甲乙丙三數(shù)占和的比例分別為2/9,，3/9，4/9。

和乘以比例,，則甲為27X2/9=6,，乙為27X3/9=9，丙為27X4/9=12

5,、雞兔同籠問題

例：雞免同籠,，有頭36 ，有腳120,，求雞兔數(shù),。

【口訣】

假設(shè)全是雞，假設(shè)全是兔,。

多了幾只腳,，少了幾只足？

除以腳的差,，便是雞兔數(shù),。

求兔時，假設(shè)全是雞,，則免子數(shù)=（120-36X2）/（4-2）=24

求雞時,，假設(shè)全是兔，則雞數(shù) =（4X36-120）/（4-2）=12

6,、 路程問題

【口訣】

相遇那一刻,，路程全走過。

除以速度和,，就把時間得,。

(1)相遇問題

例：甲乙兩人從相距120千米的兩地相向而行，甲的速度為40千米/小時,，乙的速度為20千米/小時,，多少時間相遇？

相遇那一刻,，路程全走過,，即甲乙走過的路程和恰好是兩地的距離120千米。

除以速度和,，就把時間得,，即甲乙兩人的總速度為兩人的速度之和40+20=60（千米/小時），所以相遇的時間就為120/60=2（小時）

(2)追及問題

例：姐弟二人從家里去鎮(zhèn)上,，姐姐步行速度為3千米/小時,，先走2小時后，弟弟騎自行車出發(fā)速度6千米/小時,，幾時追上,？

【口訣】

慢鳥要先飛,，快的隨后追。

先走的路程,，除以速度差,，時間就求對。

先走的路程：3X2=6（千米）

速度的差：6-3=3（千米/小時）

追上的時間：6/3=2（小時）

7,、 濃度問題

(1)加水稀釋

例：有20千克濃度為15%的糖水，加水多少千克后,，濃度變?yōu)?0%,？

【口訣】

加水先求糖，糖完求糖水,。

糖水減糖水,，便是加水量。

加水先求糖,，原來含糖為：20X15%=3（千克）

糖完求糖水,，含3千克糖在10%濃度下應(yīng)有多少糖水，3/10%=30（千克）

糖水減糖水,，后的糖水量減去原來的糖水量,，30-20=10（千克）

(2)加糖濃化

例：有20千克濃度為15%的糖水，加糖多少千克后,，濃度變?yōu)?0%,？

【口訣】

加糖先求水，水完求糖水,。

糖水減糖水,，求出便解題。

加糖先求水,，原來含水為：20X（1-15%）=17（千克）

水完求糖水,，含17千克水在20%濃度下應(yīng)有多少糖水，17/（1-20%）=21.25（千克）

糖水減糖水,，后的糖水量再減去原來的糖水量,，21.25-20=1.25（千克)

8、工程問題

例：一項工程,，甲單獨做4天完成,，乙單獨做6天完成。甲乙同時做2天后,，由乙單獨做,，幾天完成？

【口訣】

工程總量設(shè)為1,，1除以時間就是工作效率,。

單獨做時工作效率是自己的,，一齊做時工作效率是眾人的效率和。

1減去已經(jīng)做的便是沒有做的,，沒有做的除以工作效率就是結(jié)果,。

[1-（1/6+1/4）X2]/（1/6）=1（天）

9、植樹問題

【口訣】

植樹多少棵,，要問路如何,？

直的減去1，圓的是結(jié)果,。

例1：在一條長為120米的馬路上植樹,，間距為4米，植樹多少棵,？

路是直的,，則植樹為120/4-1=29（棵）。

例2：在一條長為120米的圓形花壇邊植樹,，間距為4米,，植樹多少棵？

路是圓的,，則植樹為120/4=30（棵）

10,、盈虧問題

【口訣】

全盈全虧，大的減去小的,；一盈一虧,，盈虧加在一起。

除以分配的差,，結(jié)果就是分配的東西或者是人,。

例1：小朋友分桃子，每人10個少9個,；每人8個多7個,。求有多少小朋友多少桃子？

一盈一虧,，則公式為：（9+7）/（10-8）=8（人）,，相應(yīng)桃子為8X10-9=71（個）

例2：士兵背子彈。每人45發(fā)則多680發(fā),；每人50發(fā)則多200發(fā),，多少士兵多少子彈？

全盈問題,，則大的減去小的,，即公式為：（680-200）/（50-45）=96（人），相應(yīng)的子彈為96X50+200=5000（發(fā)）,。

例3：學(xué)生發(fā)書,。每人10本則差90本,；每人8 本則差8本，多少學(xué)生多少書,？

全虧問題,，則大的減去小，即公式為：（90-8）/（10-8）=41（人）,，相應(yīng)書為41X10-90=320（本）

11.余數(shù)問題

例：時鐘現(xiàn)在表示的時間是18點整,，分針旋轉(zhuǎn)1990圈后是幾點鐘？

【口訣】

余數(shù)有（N-1）個,，最小的是1,，最大的是（N-1）。

周期性變化時,，不要看商，只要看余,。

分析：分針旋轉(zhuǎn)一圈是1小時,，旋轉(zhuǎn)24圈就是時針轉(zhuǎn)1圈，也就是時針回到原位,。1980/24的余數(shù)是22,，所以相當(dāng)于分針向前旋轉(zhuǎn)22個圈，分針向前旋轉(zhuǎn)22個圈相當(dāng)于時針向前走22個小時,，時針向前走22小時,，也相當(dāng)于向后24-22=2個小時，即相當(dāng)于時針向后拔了2小時,。即時針相當(dāng)于是18-2=16（點）

12.牛吃草問題

【口訣】

每牛每天的吃草量假設(shè)是份數(shù)1,，A頭B天的吃草量算出是幾？M頭N天的吃草量又是幾,？大的減去小的,，除以二者對應(yīng)的天數(shù)的差值，結(jié)果就是草的生長速率,。原有的草量依此反推,。

公式：A頭B天的吃草量減去B天乘以草的生長速率。未知吃草量的牛分為兩個部分：一小部分先吃新草,，個數(shù)就是草的比率,；有的草量除以剩余的牛數(shù)就將需要的天數(shù)求知。

例：整個牧場上草長得一樣密,，一樣快,。27頭牛6天可以把草吃完；23頭牛9天也可以把草吃完,。問21頭多少天把草吃完,。

每牛每天的吃草量假設(shè)是1,，則27頭牛6天的吃草量是27X6=162，23頭牛9天的吃草量是23X9=207,；

大的減去小的,，207-162=45；二者對應(yīng)的天數(shù)的差值,，是9-6=3（天）,，則草的生長速率是45/3=15（牛/天）；

原有的草量依此反推——

公式：A頭B天的吃草量減去B天乘以草的生長速率,。

原有的草量=27X6-6X15=72（牛/天）,。

將未知吃草量的牛分為兩個部分：

一小部分先吃新草，個數(shù)就是草的比率,，這就是說將要求的21頭牛分為兩部分,，一部分15頭牛吃新生的草；剩下的21-15=6去吃原有的草,，

所求的天數(shù)為：原有的草量/分配剩下的牛=72/6=12（天）

易錯題分析與對策

一,、概念理解不清楚

（一）計算題

500÷25×4 34－16+14

=500÷（25×4） =34—30

=500÷100 =4

=5

錯誤率：46.43% ； 35.71%,；

錯題原因分析：

學(xué)生在學(xué)了簡便運算定律后但還不太理解的基礎(chǔ)上,，就亂套用定律，一看到題目,，受數(shù)字干擾,，只想到湊整，而忽略了簡便方法在這兩題中是否可行,。例如第1題學(xué)生就先算了25×4等于100,；第2題先算16+14等于30；從而改變了運算順序,，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤,。

錯題解決對策：（1）明確在乘除混合運算或在加減混合運算中，如果不具備簡便運算的因素,，就要按從左往右的順序計算,。

（2）強調(diào)混合運算的計算步驟：a仔細(xì)觀察題目；b明確計算方法：能簡便的用簡便方法計算,，不能簡便的按正確的計算方法計算,。并會說運算順序。 （3）在理解運算定律及四則運算順序的基礎(chǔ)上加強練習(xí)以達(dá)到目的,。

對應(yīng)練習(xí)題：

14.4-4.4÷0.5,； 7.5÷1.25×8； 36.4-7.2+2.8,。

（二）判斷題

1.3/100噸＝3%噸????????????????????（ √ ）

錯誤率：71.43%

錯題原因分析：

百分?jǐn)?shù)是“表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù),?！彼荒鼙硎緝蓴?shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，不能表示某一具體數(shù)量,。而學(xué)生正是由于對百分?jǐn)?shù)的意義缺乏正確認(rèn)識,，所以導(dǎo)致這題判斷錯誤。

錯題解決對策：（1）明確百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的區(qū)別,；理解百分?jǐn)?shù)的意義,。

（2）找一找生活中哪兒見到過用百分?jǐn)?shù)來表示的，從而進一步理解百分?jǐn)?shù)的意義,。

2.兩條射線可以組成一個角,。???????????（ √ ）

錯誤率：64.29%

錯題原因分析：

角是由一個頂點和兩條直直的邊組成的。學(xué)生主要是對角的概念沒有正確理解,。還有個原因是審題不仔細(xì),，沒有深入思考?？吹接袃蓷l射線就以為可以組成一個角,，而沒有考慮到頂點！

錯題解決策略：（1）根據(jù)題意舉出反例,，讓學(xué)生知道組成一個角還有一個必不可少條件是有頂點。 （2）回憶角的概念,。強調(diào)要組成一個角必不可少的兩個條件：一個頂點,、兩條射線。

（3）教育學(xué)生做題前要仔細(xì)審題,，無論是簡單的還是難的題目都要深入多加思考,，絕不能掉以輕心。

（三）填空題

1.兩個正方體的棱長比是1：3,，這兩個正方體的表面積比是（1：3 ）,；體積比是（ 1: 5或1：9）。

錯誤率：42.86%,； 35.71%,。

錯題原因分析：

這題是《比的應(yīng)用》部分的內(nèi)容。目的是考查學(xué)生根據(jù)正方體的棱長比求表面積和體積的比,。所以正方體的表面積和體積的計算公式是關(guān)鍵,。學(xué)生有的是因為對正方體的表面積和體積的計算方法忘記了，有的是因為對比的意義不理解,，認(rèn)為表面積比和棱長比相同,，所以導(dǎo)致做錯。

錯題解決策略：（1）鞏固理解比的意義及求比的方法,。

（2）明確正方體的表面積和體積的計算方法,。

（3）結(jié)合類似的題型加以練習(xí),，進一步鞏固對比的應(yīng)用。

對應(yīng)練習(xí)題：

大圓半徑和小圓半徑比是3：2,，大圓和小圓直徑比是（ 3:2 ）,；大圓和小圓周長比是（3:2 ）；大圓和小圓的面積比是（ 9:4 ）,。

2.圓柱的高一定,，它的底面半徑和體積成（ 正 ）比例。

錯誤率：78.57%

錯題原因分析：

這題是《正比例和反比例》的內(nèi)容,。學(xué)生做錯的主要原因是對正比例和反比例的意義沒有很好的理解和掌握,，從而不會判斷。也有的是因為他們把兩個變量——底面半徑和體積誤看成是底面積和體積了,，而導(dǎo)致這題做錯,。

錯題解決策略：（1）明確比例的意義及判斷方法。兩種相關(guān)聯(lián)的量,，一種量隨著另一種量的變化而變化,，在變化的過程中，這兩個量的比值一定,，那么這兩種量就叫做成正比例的量,；如果兩種量的乘積一定，這兩種量就叫做成反比例的量,。

（2）讓生列出圓柱的體積計算公式,，并根據(jù)題意找出高一定的情況下底面半徑與體積這兩個變量的關(guān)系，從而明確它們的比例關(guān)系,。

（3）結(jié)合類似的題目加強練習(xí)以達(dá)到目的,。

對應(yīng)練習(xí)：

圓的周長和它的半徑成（正 ）比例。

3.10克鹽放入100克水中,，鹽水的含鹽率為（ 10）%,。

錯誤率： 71.43%

錯題原因分析：

一些學(xué)生是因為對“含鹽率”這一概念的不理解，所以不知該如何計算,，而導(dǎo)致做錯,。一些學(xué)生比較粗心，題目當(dāng)中的10克鹽和100克水這樣的數(shù)字也很容易使那些粗心的學(xué)生馬上得出10%這樣的錯誤答案,。

錯題解決策略：（1）理解含鹽率的意義,。并結(jié)合合格率、成活率等類似概念進一步理解,。

（2）結(jié)合求含糖率,、合格率、出勤率等類似題目加強練習(xí)以達(dá)到目的。

（3）教育學(xué)生做題前要養(yǎng)成仔細(xì)審題,、認(rèn)真思考的習(xí)慣,。

對應(yīng)練習(xí)題：

植樹節(jié)那天，五年級共植樹104棵,，其中有8棵沒有成活,。這批樹的成活率是（ 92.31% ）。

4.甲班人數(shù)比乙班多2/5,，乙班人數(shù)比甲班少（2/5或3/5）,。

錯誤率： 60.71%；

錯題原因分析：

學(xué)生把表示具體量25與表示倍數(shù)的25在意義上混同了,。認(rèn)為甲班人數(shù)比乙班人數(shù)多2/5就是乙班人數(shù)比甲班少2/5,。對于數(shù)量與倍數(shù)不能區(qū)分。而且一會兒把甲班人數(shù)當(dāng)成單位“1”,，一會兒把乙班人數(shù)當(dāng)成單位“1”,，概念不清楚。

錯題解決策略：(1)區(qū)分?jǐn)?shù)量與倍數(shù)的不同,。

（2）畫線段圖,，建立直觀、形象的模型來幫助理解,。

（3）明確把乙班人數(shù)看做單位“１”的量,，于是甲班人數(shù)是：（１+2/5）＝7/5.所以乙班人數(shù)比班甲人數(shù)少2/5÷7/5＝2/7。

（4）結(jié)合類似題目加強練習(xí)以達(dá)目的,。

對應(yīng)練習(xí)：

甲數(shù)比乙數(shù)少1/4,，乙數(shù)比甲數(shù)多（1/3）。

判斷：甲堆煤比乙堆煤重1/3噸,，乙煤比甲堆煤少1/3。???（ ×）

5.把一根5/6米的繩子平均分成５段,，每段占全長的（1/6）,，每段長（1/6）。

錯誤率：52%,； 50%,；

錯題原因分析：

每段與全長之間的關(guān)系是1份和5份之間的關(guān)系，即每段占全長的1/5,，5/6÷5＝1/6米,，每段長1/6米。本題考查分?jǐn)?shù)的意義的理解和分?jǐn)?shù)除法的運用,，學(xué)生沒有理解和掌握,。所以因為分不清兩個問題的含義而把兩個答案混淆了。一般這類型的題目在最后一個括號后會寫上單位,。但我為了檢查學(xué)生的細(xì)心程度,，單位沒寫,，于是有些本來會做的人因為粗心而又錯了。

錯題解決策略：（1）理解分?jǐn)?shù)的意義,；弄清楚兩個問題各自的含義,。

（2）教育學(xué)生做題前要養(yǎng)成仔細(xì)審題、認(rèn)真思考的習(xí)慣,。

（3）在理解了分?jǐn)?shù)的意義基礎(chǔ)上加強練習(xí)以達(dá)到目的,。

對應(yīng)練習(xí)題：

判斷：有4/5噸煤準(zhǔn)備燒4天，平均每天燒1/5 ,。?????????（ × ）,。

二、知識負(fù)遷移類

（一）計算題

0.9+0.1－0.9+0.1 =1—1 =0

錯誤率：28.57%

錯題原因分析：

一看到例題,，學(xué)生就想到a×b-c×d形式的題目,，就亂套用定律，只想到湊整,，而忽略了簡便是否可行,。從而改變了運算規(guī)則，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤,。

錯題解決策略：（1）明確在加減混合運算中,，如果不具備簡便運算的因素，就要按從左往右的順序計算,。

（2）強調(diào)混合運算的計算步驟：a仔細(xì)觀察題目,；b明確計算方法：能簡便的用簡便方法計算，不能簡便的按正確的計算方法計算,。并會說運算順序,。

（3）在理解運算定律及四則運算順序的基礎(chǔ)上加強練習(xí)以達(dá)到目的。

對應(yīng)練習(xí)題：

1/4×4÷1/4×4,； 527×50÷527×50,；

（二）選擇題

400÷18＝22??4，如果被除數(shù)與除數(shù)都擴大100倍,，那么結(jié)果是（ A ）

A.商22余4 B.商22余400 C. 商2200余400

錯誤率：64.28%

錯題原因分析：

本題考查與商不變性質(zhì)有關(guān)的知識,。被除數(shù)、除數(shù)都擴大100倍后,，商不變,，但余數(shù)也擴大了100倍，想要得到原來的余數(shù),，需要縮小100倍,。而學(xué)生誤認(rèn)為商不變余數(shù)也不變，所以錯選A，正確答案應(yīng)該選B,。

錯題解決策略：（1）驗算,。請學(xué)生用答案A的商乘除數(shù)加余數(shù)檢驗是否等于被除數(shù)。從而發(fā)現(xiàn)選A是錯誤的,。

（2）明確商不變的性質(zhì),。但是當(dāng)被除數(shù)、除數(shù)都擴大100倍后,，商不變,，但余數(shù)也擴大了100倍。想要得到原來的余數(shù),，需要縮小100倍,。

（3）在理解商不變性質(zhì)有關(guān)知識基礎(chǔ)上加強練習(xí)以達(dá)到目的。

對應(yīng)練習(xí)：

選擇題：2.5除以1.5,，商為1,，余數(shù)是（ D ）。

A.10 B. 0.01 C. 0.1 D. 1

（三）填空題

4/11的分子加上8,，要使分?jǐn)?shù)的大小不變,，分母應(yīng)加上（ 8 ）

錯誤率：21.4%

錯題原因分析：

學(xué)生由于對分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)理解錯誤，把分子,、分母同時乘一個相同的數(shù)與同時加上一個相同的數(shù)混同,，錯誤認(rèn)為分子也應(yīng)該加上8。

錯題解決策略：（1）請學(xué)生將4/11與答案12/19

進行大小比較,，從而發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)大小變了,，引發(fā)思考。

（2）理解分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì),。分?jǐn)?shù)的分子和分母同時乘或除以相同的數(shù)（0除外）,，分?jǐn)?shù)的大小不變。

（3）結(jié)合類似題目加強練習(xí)以達(dá)到目的,。

對應(yīng)練習(xí)題：

把2/3的分母加上12,，要使分?jǐn)?shù)的大小不變，分子應(yīng)加上（ 8 ）,。

三、粗心大意類

1.計算題

7÷7/9－7/9÷7 ＝1－1 ＝0

錯誤率：39.28%

錯題原因分析：

本題是考查學(xué)生分?jǐn)?shù)四則運算,。兩個除法算式中都是7和7/9這兩個數(shù),，由于粗心大意，會認(rèn)為它們商是相等的,。于是等到“1－1＝0”的錯誤答案,。

錯題解決策略：教育學(xué)生做題前要仔細(xì)審題，無論是簡單的還是難的題目都要多加思考，絕不能掉以輕心,。

2,、填空題

一座鐘時針長3厘米，它的尖端在一晝夜里走過的路程是（18.84厘米 ）,。

錯誤率：67.85%

錯題原因分析：

這題是《圓的周長》部分的內(nèi)容,。學(xué)生對于這道題，知道要利用求圓的周長這一知識點來解決,。但對“一晝夜”這詞不理解或是沒有仔細(xì)審題,，因此只計算了時針轉(zhuǎn)一圈所經(jīng)過的周長，最終導(dǎo)到結(jié)果錯誤,。

錯題解決策略：（1）請學(xué)生仔細(xì)讀題并解解釋“一晝夜”的含義,。

（2）提出要求：做題前要仔細(xì)審題和理解。