三段論是一個包括大前提,、小前提和結論三個部分的論證形式，這是—個基本推理的模式,。三段論有不同的種類，亞里士多德稱它為格,，最初弧里士多德定義了三種格,，后來經(jīng)院學者又增加了第四格,，但現(xiàn)在已經(jīng)證明后三種格可以歸結為第一格,。下面我們比較仔細地分析第一格，我相信,，通過這個分析可以理性地把握數(shù)學證明的形式,，特別是把握基本推理的

邏輯判斷模式。三段論的第一格分為四種型,，分別闡述如下：

全稱肯定型 專業(yè)術語為AAA型,。亞里士多德給出的例子是：

凡人都有死。蘇格拉底是人,，所以蘇格拉底有死,。

上述三句話分別就是大前提、小前提,、結論,。如果用A表示人的集合，用x表示蘇格拉底,，用P表示死這樣的事情,，則上面的推理形式可以為

A→P

x∈A

/x→P (1)

其中／代表“所以”的意思，即／的前面是條件,，／的后面是結論,。顯然，這是一個基本推理,，因為這是從一個命題判斷A→P直接到達另一個命題判斷x→P的過程,，其中過渡的橋梁是x∈A。這個推理模式是不會有任何錯誤的,，因為結論x→P是來源于大前提A→P的定義,，因此，從條件到結果是必然的,。從推理的過程看,，可以認為這個形式的推理是不言而喻的，甚至可以認為這個形式的推理是毫無意義的,，但是,，這個論證形式在日常生活中特別是在數(shù)學證明中卻是非常重要的。

回憶歐幾里得《原本》中的第一個數(shù)學問題,，這個問題的證明可能是現(xiàn)存的能夠被稱為數(shù)學證明的第一個證明,。數(shù)學問題是：對于給定的線段AB，要求在AB上作一個等邊三角形,。歐幾里得首先作出了點C,，然后給出結論：“已經(jīng)證明了CA，CB都等于AB,，因為等于同量的量彼此相等,，所以CA也等于CB。因為三條線段CA,，AB,，BC彼此相等，所以三角形ABC是等邊的,?！保▍⒁姟秷D形抽象的典范》）我們把歐幾里得的證明轉換為三段論的形式：

凡是等量彼此相等。CA,，CB都等于AB,。所以CA等于CB。

如果用集合A表示“所有的等量”,，用命題P表示“彼此相等”,，利用歐幾里得給出的第一個公理：等于同量的量彼此相等,，可以得到大前提A→P。接下來,，用元素x表示關系“CA =AB且CB =AB”,，因為x∈A，那么結論是“三個線段彼此相等”,，即x→P,。可以看到,，數(shù)學的第一個證明就利用了三段論的推理形式,。

事實上，在三段論的推理過程中結論反而不是重要的,，關鍵在于前兩條A→P和x∈A是否成立,，第一條通常是一個已知事實，比如公理,，假設或者定理，因此,，第二條往往是數(shù)學證明的重點,。我們通過三段論的省略形式來分析前兩條的重要性，在我們的日常生活中經(jīng)常會用到這些省略形式,。

省略大前提 往往認為大前提是人所共知的，可以省略,，于是推理形式為：

x∈A

/x→P

這樣,，亞力士多德的那段話就變?yōu)椋骸疤K格拉底是人。所以蘇格拉底有死,。”

省略小前提 往往是為了便捷,，把小前提與結論一起闡述了,，于是推理形式為：

A→P

/x→P

這樣,，亞里士多德的那段話就變?yōu)椋骸胺踩硕加兴馈Ｋ蕴K格拉底有死,?！?/p>

上面的推理形式在我們的日常生活中似乎是可以的，但是,，在數(shù)學的證明過程中一定要慎重使用這種推理形式,，在數(shù)學的證明過程中一定要對大前提和小前提進行明確說明，否則可能會出現(xiàn)錯誤,。

比如,，關于省略大前提的例子：

矩陣的乘法是乘法，所以矩陣乘法可以交換

這個結論是不正確的,，因為我們通常所說的矩陣乘法是不可交換的。那么,，上述推理的問題出在哪里呢,？就在于省略的大前提：“乘法是可以交換的?！本拖裎覀冊?jīng)分析過的，在大前提中所說的乘法是指通常的四則運算中的乘法,；而矩陣的乘法以及群的乘法是在四元數(shù)的啟發(fā)下定義的乘法,，這種乘法是不滿足交換律的，這種乘法只是一種名義定義,，并不是通常在

數(shù)的意義下的乘法。如果用A表示四則運算的乘法或者滿足交換律的乘法,，用x表示矩陣乘法,，那么x∈A不成立.

再比如，關于省略小前提的例子：

凡數(shù)都可以比較大小,。所以復數(shù)可以比較大小。

這個結論顯然也是不對的,，因為在一般情況下復數(shù)是不可以比較大小的,。那么，問題出在什么地方了呢,？回憶我們在《數(shù)的表示》中關于數(shù)的定義：數(shù)字是那些能夠由小到大進行排列的符號，這便是大前提中所說的數(shù),。用A表示這個數(shù)集,，用x表示復數(shù)，因為復數(shù)并不是通常意義的數(shù)（參見《復數(shù)的意義》）,，不具有數(shù)集A所具有的那些性質(zhì)，因此x∈A不成立,。

所以,，在數(shù)學的證明中不能使用三段論的省略形式,，必須注意到：小前提被大前提包含是三段論的核心,，如果用省略形式可能會出現(xiàn)基本概念的混淆，也就是說,，在三段論的論證過程中證明x∈A是不可以忽略的,，這一點也是同一律所要求的。

全稱否定型 專業(yè)術語為EAE型,。亞里士多德給出的例子是：

沒有一條魚是有理性的。所有的鯊魚都是魚,。所以沒有一條鯊魚是有理性的,。

這個推斷在本質(zhì)上與全稱肯定型是一致的，只不過是用了否定的形式,。如果用A表示所有的魚,，用P表示理性,，則A～P述說了大前提；進一步用x表示鯊魚,，那么,，這個三段論形式為

A～P

x∈A

/x～P (2)

這種推理模式得到的結論也是必然的，因為與全稱肯定型一樣,，仍然是結論出自大前提的定義，在這個推理模式中,，重要的工作仍然是驗證小前提是否成立,。我們給出一個數(shù)學的例子：

以有理數(shù)為系數(shù)的方程的根不可能是π。所有的整數(shù)都是有理數(shù),。所以以整數(shù)為系數(shù)的方程的根不可能是π。

這個推論顯然是正確的,。與全稱肯定型比較,，有一個問題是應當注意到的，就是在全稱肯定型中的小前提中涉及的事物是一個元素,，而現(xiàn)在小前提中涉及的事物是一個集合,，亞里士多德沒有注意到這個區(qū)別,，但是在現(xiàn)代邏輯學中,，學者們認為分辨這個區(qū)別是重要的，我們討論如下,。

令A和B為兩個集合，如果B中的任意元素都屬于A,，即x∈B→x∈A,，則稱集合B是集合A的子集合，記為B?A,。可以看到,，在全稱否定型亞里士多德給出的例子中,，所有的鯊魚也是一個集合，如果用B表示這個集合,，三段論的形式應當為

A～P

B?A

/B～P (3)

顯然,，這種推論形式也可以用于全稱肯定型,，即可以在(1)式中把元素x變換為子集合B.羅素認為這個變換是可能出現(xiàn)問題的，比如,，變換亞里士多德最初的例子：

凡人都有死,。所有希臘人都是人。所以所有希臘人都有死,。

針對這個形式。羅素認為有兩個問題是需要注意的,，一個問題是需要驗證“所行的希臘人都是人”這個命題,，因為這個命題應當分解為兩個子命題：“有希臘人存在”和“如果有東西是一個希臘人，那么這個東西是人”,；還有一個問題是判斷“蘇格拉底有死”與判斷“所有希臘人都有死”是不一樣的，因為前者是具體的存在,，而后者是一般的存在,，正如我們在《圖形與圖形關系的抽象》中討論的那樣，一般存在不是現(xiàn)實的存在,，因此要判斷一般存在的屬性是非常困難的。于是羅素認為：“這種純形式的錯誤，是形而上學與認識論中許多錯誤的一個根源,?！?/p>

我并不認為羅素指出的兩個問題有多么嚴重，至少在數(shù)學中是這樣,，因為在數(shù)學中可以認為一個元素也是子集。但是他指出的,，判斷一般存在的屬性要比判斷具體存在的屬性困難,，這是千真萬確的,，我們很容易判斷蘇格拉底是否會死，但很難判斷所有的人是否會死,，可是,，按照這樣的思維邏輯,，三段論似乎是本末倒置了，因為,，在亞里士多德倡導的三段論中，把一個判斷困難的,、具有一般性的命題作為前提,，把一個判斷不困難的,、具有特殊性的命題作為結論。如何理解這個問題呢,？這就涉及了三段論的本質(zhì),。

事實上,，統(tǒng)觀亞里士多德的《工具論》可以知道，亞里士多德提出的前提是有根基的,，典至可以追溯到公理和公沒,，比如在上述歐幾里得的證明中,，大前提“等于同量的量彼此相等”就是一個公理,，因此，我們可以理解大前提中提出的命題是已經(jīng)被確認的,，也就是說，“凡人都有死”這個命題是已經(jīng)由“許許多多”個蘇格拉底有死總結出來的,，而利用三段論推斷的是“這個”蘇格拉底有死,，正是因為判斷具體存在的屬性比判斷一般存在的屬性容易,，因此，日常生活和生產(chǎn)實踐中,，人們通常由具體存在的屬性推斷一般存在的屬性,，這種推理的方法被稱為歸納法，我們將在后續(xù)《數(shù)學中的歸納推理》專題討論這個問題,。經(jīng)典歸納法是由英國哲學家培根(1561～1624)總結出來的，他在總結之前毫不留情地批評了亞里士多德的三段論（參見《數(shù)學的抽象》）,。

我認為,，至少對于數(shù)學的論證，下面的問題是重要的：在直言三段論的論證模式(1)式中,，用子集合B代替元素x時必須慎重，這是因為,，在集合A中不完全成立的命題在子集合B中可能完全成立,，看下面的例子：

所有的三角形至少有一個銳角,。所有的直角三角形都是三角形。所以所有的直角三角形都至少有一個銳角 (4)

這個結論是正確的,，但這個結論是不充分的,，因為直角三角形恰好有兩個銳角。對于數(shù)學的推理而言,，我們總是希望得到恰到好處的結果，很顯然,，結論“所有的直角三角形恰有兩個銳角”要比命題(4)給出的結論更加準確,，這個問題涉及大前提中集合A與命題P之間的關系，我們將在下一節(jié)討論這個關系,，從而給出三段論的一般形式,。

下面繼續(xù)討論三段論第一格中其余兩種類型，通常被稱為特稱型,。

特稱肯定型 專業(yè)術語為AII型,。亞里士多德給出的例子是：

凡人都有理性。有些動物是人,。所以有些動物是有理性的。

特稱否定型 專業(yè)術語為EIO型,。亞里士多德給出的例子是：

沒有一個希臘人是黑色的,。有些人是希臘人。所以有些人不是黑色的,。

與全稱型不同的是，特稱型的推斷中使用了“有些”這樣的詞語,，因此這樣的推斷與全稱型有本質(zhì)的不同：全稱型的小前提是在集合A的內(nèi)部,；特稱型的小前提是在集合A的外部,，比如對于全稱型，“蘇格拉底”是在“人”這個集合的內(nèi)部,，“鯊魚”是在“魚”這個集合的內(nèi)部；但對于特稱型,，“動物”是在“人”這個集合的外部,，“人”是在“希臘人”這個集合的外部，所以在結論中才必須用“有些”這樣的限制詞,。特稱肯定型的符號形式可以描述為：

A→P

A?B

/A∩B→P (5)

特稱否定型的符號形式可以描述為：

A～P

A?B

/A∩B～P (6)

在上述推斷中，集合B包含大前提中的A,，其中符號A∩B表示的也是一個集合,，稱其為集合A與B的交集合,，表示的是集合A和集合B的共同部分，即x∈A∩B意味著x∈A并且x∈B,。顯然,，如果A?B,，那么必然有A∩B=A,。因此，就形式而言(5)和(6)中的結論是一點意義也沒有的,。事實上，三段論的這兩個特稱型的核心是為了換一個稱謂,，比如,，雖然在(5)的結論中A ∩B指的仍然是人，但指的是動物集合B中人的那個部分,；雖然在(6)的結論中A∩B指的仍然是希臘人，但指的是人的集合B中希臘人的那個部分,。

就數(shù)學而言,，如果是為了得到肯定的結論,，那么這種論證是沒有用處的，因為對于數(shù)學,，一個結論在“有些”情況下成立是沒有意義的,，比如，我們在《數(shù)量與數(shù)量關系的抽象》中討論過哥德巴赫猜想,，容易驗證小于100的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)和的形式，于是由(5)可以得到推論：

所有100以下的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)的和,。有些偶數(shù)是100以下的,。所以有些偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和,。

顯然，對于數(shù)學來說,，這樣的結論是一點意義都沒有的,。

但是，為了得到數(shù)學的否定結果,，(6)的論證形式卻是強有力的,，因為對于科學而言,，為了駁倒一個論斷只需要舉出一個反例就可以了。比如,，在《幾何作圖及相關的數(shù)學發(fā)展》中涉及三等分角的問題,，雖然我們只討論了60度角這一種情況,，但我們可以從這種情況出發(fā)進行下面的推論：

60度角是不能三等分的,。有些角是60度角。所以有些角是不能三等分的,。

進而得到結論：三等分角是不可能的,。雖然在上述三段論的大前提中，我們用一個元素代替了集合,，但這種形式在數(shù)學中是更加有效的。

這樣就可以得到結論：對于數(shù)學的推理而言,，全稱肯定、全稱否定,、特稱否定這三種形式的直言三段論是有效的,，也是經(jīng)常被使用的,。