01  這道聞名遐邇的哥尼斯堡七橋問題是18世紀(jì)著名古典數(shù)學(xué)問題之一。 這七橋如果放在今天絕對是網(wǎng)紅,，當(dāng)時每天散步過橋已經(jīng)成為當(dāng)?shù)厥忻穹浅衢T且有趣的一項(xiàng)消遣活動,。但在相當(dāng)長的時間里，沒有人能解出來,。 這些每天散步過橋的市民當(dāng)中,，很可能有哥德巴赫和康德,。 喜歡純粹理性批判，和歐拉一樣是獨(dú)眼（歐拉為什么變成獨(dú)眼參見本章末尾）的康德一生都在哥尼斯堡度過,，對他而言,，學(xué)術(shù)乃是生活中第一大事，余皆庸常,。他一生都風(fēng)雨無阻的堅(jiān)持散步,。 歐拉的空間觀（空間是“非經(jīng)驗(yàn)的”與“真實(shí)的”心靈涌現(xiàn)）讓康德深受啟發(fā)，他的著名哲學(xué)概念“直觀空間”就此生根發(fā)芽,?？档碌奶幣饕裙Ь吹丶慕o歐拉過目，希望能從這位權(quán)威那里得到些自信,，并附言：“只有歐拉做出了評價,，康德才會對自己的作品‘有幾分敬重’?！?/p> 哥德巴赫也是哥尼斯堡的兒子,，在還沒有微信和QQ的日子里，他喜歡和歐拉遠(yuǎn)程聊天（寫信）,，聊著聊著就聊出了著名的哥德巴赫猜想,。 這么經(jīng)典的哥尼斯堡七橋難題就是被當(dāng)年僅僅29歲的歐拉圓滿解決了,，他的論文《哥尼斯堡七橋》順手就開創(chuàng)了數(shù)學(xué)新一分支---圖論,。 歐拉巧妙的將過橋難題轉(zhuǎn)化等同為上面圖中的一筆畫問題，很快他就判斷出要一次不重復(fù)走遍哥尼斯堡的7座橋是不可能的,。也就是說,，多少年來，讓無數(shù)人燒腦,、試圖發(fā)現(xiàn)的不重復(fù)的路線,，根本就不存在。 一個號稱最燒腦且困擾無數(shù)人的難題,，居然就是這樣的無解答案,。 在論文中，歐拉將七橋問題抽象出來,，得到歐拉回路關(guān)系： 要使得一個圖形可以一筆畫,，必須滿足如下兩個條件：1. 圖形必須是連通的。2. 圖中的“奇點(diǎn)”個數(shù)是0或2,。（連到一點(diǎn)的數(shù)目如是奇數(shù)條,，就稱為奇點(diǎn)） 記住這兩點(diǎn)，一筆畫對你而言就是小兒科了,。比如說“田”字不能一筆畫,，而“口”字和“串”字就可以一筆畫：  大道至簡,，歐拉硬是天才地把一道著名古典數(shù)學(xué)難題簡化成一道小學(xué)生習(xí)題,，并寫進(jìn)了小學(xué)課本，叫做“七橋問題”,。 七橋問題是圖論的第一個問題,，但是圖論中最著名、出成果最多的問題是四色問題：“是否能做到 只用四種顏色就能為所有地圖染色,，使得任意兩個相鄰的區(qū)域不同色,？”  四色問題出人意料地異常困難,。到目前為止，100多年過去了,，還只能靠計(jì)算機(jī)驗(yàn)證證明,。 四色定理是第一個主要由計(jì)算機(jī)驗(yàn)證成立的著名數(shù)學(xué)定理。 從小學(xué)生習(xí)題入門,，到非常困難的四色問題,，圖論發(fā)展迅速，應(yīng)用廣泛,，甚至成為計(jì)算機(jī)科學(xué)中最重要,、最有趣的領(lǐng)域之一。圖論廣泛地應(yīng)用于物理學(xué)控制論,，信息論,，工程技術(shù)，交通運(yùn)輸,，經(jīng)濟(jì)管理,，電子計(jì)算機(jī)等各項(xiàng)領(lǐng)域。 普遍認(rèn)為歐拉是圖論的創(chuàng)始人,，他也因而被廣泛譽(yù)為“圖論之父”,。 特別難得的是，在解決七橋問題的前一年,，1735年,，歐拉得過一次幾乎致命的發(fā)燒，隨后三年,，他的右眼近乎失明,，弗雷德里克把他譽(yù)為“獨(dú)眼巨人”。 變身“獨(dú)眼巨人”后的歐拉依然是最勤奮的天才,。 02 多面體歐拉定理,，你是在初中時就認(rèn)識它了,。它是指對于簡單多面體，其頂點(diǎn)數(shù)V,、棱數(shù)E及面數(shù)F間的關(guān)系可以用著名的歐拉公式來表述： F – E + V = 2（又一個歐拉公式,，這個可以稱作歐拉第二公式）。  例如，長方體頂點(diǎn)為8個,，邊為12個,，面為6個，它的歐拉公式為 8 - 12 + 6 = 2 (據(jù)說這個公式本來最早由法國數(shù)學(xué)家笛卡爾在1635年左右就證明了,，只是,，除了笛卡爾自己，根本沒人知道,，一直到1860年,，笛卡爾的工作才被發(fā)現(xiàn)。) 而歐拉于1750年獨(dú)立證明了這個公式,，此后該公式也被稱為歐拉-笛卡爾公式,。 在歐拉公式中，令 f(p)=V+F-E,，f(p)叫做歐拉示性數(shù),。定理告訴我們，簡單多面體的歐拉示性數(shù)f (p)=2,。20世紀(jì)最偉大的幾何學(xué)家之一陳省身曾指出歐拉示性數(shù)是很多問題和解決辦法的來源,，對幾何學(xué)的影響是根源性的,。 根據(jù)多面體的歐拉定理,，可以得出這樣一個有趣的事實(shí)：只存在五種正多面體。它們是正四面體,、正六面體,、正八面體、正十二面體,、正二十面體,。  多面體歐拉定理同時也是另一個重要的數(shù)學(xué)分支—-拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ),，而歐拉的柯尼斯堡七橋問題與歐拉示性數(shù)被認(rèn)為是該領(lǐng)域最初的成果。 拓?fù)鋵W(xué)(topology)是研究幾何圖形或空間在連續(xù)改變形狀后（但不包括撕裂或黏合）還能保持不變的一些性質(zhì)的學(xué)科,。 哥尼斯堡七橋問題,、多面體的歐拉定理,、四色問題等都是拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展史上的重要問題。 在歐拉之后,，許多數(shù)學(xué)家加入到拓?fù)鋵W(xué)的研究領(lǐng)域,，19世紀(jì)下半葉，德國數(shù)學(xué)家黎曼和法國數(shù)學(xué)家龐加萊開始了現(xiàn)代拓?fù)鋵W(xué)的系統(tǒng)研究,，并奠定了這門數(shù)學(xué)分支的根基,。 拓?fù)鋵W(xué)中的奇妙曲面有莫比烏斯帶和克萊因瓶，是科幻的喜愛題材,，莫比烏斯帶是只有一面的魔環(huán),，它可以嵌入到三維空間，克萊因瓶則能嵌入到于四維或更高維空間,。  如果你搞明白了莫比烏斯帶,，那么恭喜你,，你至少擁有了對抗一些毒雞湯的能力，比如你至少會讀懂這則冷笑話： 青年向禪師討教,，希望可以讓他的女朋友沒有缺點(diǎn),，只有優(yōu)點(diǎn)。禪師微笑著,，請青年為他找一張只有正面沒有背面的紙,。然后青年掏出了一個莫比烏斯環(huán)…… 關(guān)于魔瓶克萊因瓶，可以這樣設(shè)想,，在我們的三維空間中,，我們不可能不打破蛋殼的而取出蛋黃，但在四維空間里卻可以做到,。 克萊因瓶是一個不可定向的拓?fù)淇臻g,，它沒有內(nèi)外之分，一只蒼蠅可以從瓶子的內(nèi)部直接飛到外部而不用穿過表面,。  克萊因瓶在三維空間中是不可能被制造出來,，就像潘洛斯階梯一樣,。是一個在四維空間中才可能真正表現(xiàn)出來的曲面。如果你在現(xiàn)實(shí)生活中能找到完美克萊因瓶,，那恭喜你,，你找到了蟲洞，它穿過自己的那段就是一個“蟲洞”,。 所以你在某寶上拍到的克萊因瓶,，都是降維打擊后的產(chǎn)物,，是四維物體的投影，表現(xiàn)得似乎是自己和自己相交一樣,。 如果你還是很難理解克萊因瓶,，那也不要緊，只要能看懂下面這個笑話就好： 青年再問禪師：“我的頭腦總是被繁雜的世俗所裝滿,，要如何是好,？”禪師說：“你畫一個沒有瓶口的瓶子。它總有一個盡頭,。你不把它里面的東西倒出來,，怎么裝新的進(jìn)去?”青年若有所思，畫了一個克萊因瓶,。  在現(xiàn)代科學(xué)里,，拓?fù)鋵W(xué)可以用來研究 DNA 的功能,，研究社交媒體以及因特網(wǎng)，正日益成長為20世紀(jì)最豐富多彩的一門數(shù)學(xué)分支,。 2016年諾貝爾物理學(xué)獎頒給三位英美科學(xué)家,，獲獎理由是“理論發(fā)現(xiàn)拓?fù)湎嘧兒屯負(fù)湎辔镔|(zhì)”。 三位物理學(xué)家采用拓?fù)鋵W(xué)作為研究工具,，這一舉動在當(dāng)時讓同行很吃驚,，但成果卻也同樣驚人。 圖論和拓?fù)鋵W(xué)只是歐拉開創(chuàng)性貢獻(xiàn)中的一小部分,，那些認(rèn)為歐拉沒能在數(shù)學(xué)開宗立派的,，據(jù)說文科生占多數(shù)。 數(shù)學(xué)不但很有趣,，而且也是如此有用,。 03
在圣彼得堡,，歐拉用他最青春寶貴的十五年歲月證明了蘇格拉底的人生命題-“未經(jīng)審視的人生,，是不值得度過的”,，帶來的副產(chǎn)品是：他的數(shù)學(xué)名聲傳遍了歐州大陸。 1741,，普魯士國王腓特烈大帝特聘他為柏林科學(xué)院的數(shù)理學(xué)院院長,，宮廷數(shù)學(xué)家，并兼任公主安哈特·蒂蘇的老師,。 歐拉終于逃離了告密者遍布的圣彼得堡,，也逃離了可能被遣送到西伯利亞的命運(yùn),。（數(shù)學(xué)部有位同事因?yàn)閭鞒皇谉o名作者的無題詩，被遣送到西伯利亞） 歐拉在俄國幾乎與世隔絕地沉默了十五年,，后來在普魯士腓特烈大帝的皇宮,，面對接見他的國王和王后，他依然沉默寡言,。 “您為什么不愿意和我說話呢,？”王后不解地問歐拉。 歐拉回答說 ：“我是從那樣的一個國家來的,，在那里,，要是誰愛多講話，誰就會被吊死,?！?/p> 風(fēng)雨如晦，雞鳴不已,，但有時候沉默也是一種力量,。 歐拉在柏林生活了25年，并寫下了不止380篇文章,。在柏林,，他出版了他最有名的兩部關(guān)于分析學(xué)的里程碑式的經(jīng)典著作：關(guān)于函數(shù)方面的文章《無窮小分析引論》和關(guān)于微分的《微積分概論》，在微積分,、微分方程,、幾何、數(shù)論,、變分學(xué)等領(lǐng)域作出了巨大貢獻(xiàn),，從而確定了他18世紀(jì)數(shù)學(xué)巨星和權(quán)威的地位。 作為當(dāng)時數(shù)學(xué)界的武林至尊,，歐拉吸粉無數(shù),，許多學(xué)者粉絲紛紛給他寫信求教，而歐拉在信中總是毫無保留地把自己的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)甚至證明細(xì)節(jié)都告訴對方,。 最膾炙人口的一個軼事是這樣的：一個19歲的大學(xué)生（他在17歲才開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),。在今天看來就是個業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者）給48歲的歐拉教授寫了一封信，說自己解決了半個世紀(jì)來沒人能解決的等周問題,。（這個故事可千萬別成了今天許多民科的雞湯） 等周問題是歐拉已經(jīng)潛心探討多年的問題,，它的研究與解決產(chǎn)生了一個新的數(shù)學(xué)分支“變分法”,這個名詞就是歐拉定的,對于等周問題，歐拉其實(shí)已經(jīng)有了完美的答案,，只是還沒來得及發(fā)表（歐拉的全集從1911年開始系統(tǒng)出版,，到今天都還沒出完）。當(dāng)年,，歐拉的伯樂約翰·伯努利提出的那個著名的“最速降線問題”,，挑戰(zhàn)其他數(shù)學(xué)家,，可看作是“變分法”的起源。 歐拉認(rèn)真讀了下,，發(fā)現(xiàn)這位大學(xué)生沒有吹牛,，而且解法新穎，便故意壓下自己在這方面的作品,，回信鼓勵他繼續(xù)完成整個工作,。 一個非常勵志的結(jié)局是：這位大學(xué)生由于這篇文章和歐拉的推薦，成為“變分法”的開創(chuàng)者,，從此一戰(zhàn)成名,。 這位大學(xué)生就是后來被腓特烈大帝稱做「歐洲最偉大的數(shù)學(xué)家」的 約瑟夫·拉格朗日伯爵（Joseph Lagrange），后來歐拉又把 23歲的拉格朗日推薦到柏林科學(xué)院,，隨后又推薦給德國國王,。可以說,，是歐拉親手一路捧紅了拉格朗日,。 雖然歐拉沒有子承父業(yè)，實(shí)現(xiàn)父親一直以來的愿望---希望歐拉成為一位牧師,，但他一生虔誠,、篤信基督。那浸潤在靈魂深處的信仰,，賜予歐拉一顆仁愛寬厚之心,。 到他晚年的時候，學(xué)術(shù)界的所有人都知道了歐拉是個虔誠的基督徒,，有求必應(yīng),，不嫉妒、更不會占有他人的工作,，歐洲所有的數(shù)學(xué)家都把他當(dāng)作老師,，著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯更是苦口婆心地勸著所有人：'讀讀歐拉、讀讀歐拉,，他是我們大家的老師,！'  讀讀歐拉,，學(xué)學(xué)歐拉，然后閉上雙眼,，讓耳邊回蕩茨威格的聲音：“一個民族,，千百萬人中才能出現(xiàn)一個天才。人世間數(shù)百萬個閑暇的小時流逝過去,，方能出現(xiàn)一個璀璨的時辰,。” 延伸與升華更多精彩,，盡在： 《新未來簡史：區(qū)塊鏈,、人工智能、大數(shù)據(jù)陷阱與數(shù)字化生活》,。該書以30多門前沿科技,、學(xué)科展開深度推演，與《今日簡史》《未來簡史》《人類簡史》至少分別有80項(xiàng),、100項(xiàng)與50項(xiàng)對立觀點(diǎn),。其中，該書用了8萬多字從50多個角度深刻分析人工智能AI,，幾乎摧毀了神話大數(shù)據(jù),、AI、算法等數(shù)十個觀點(diǎn),。如圖：  特別推薦： 人類的終極理想與終極社會,，就是區(qū)塊鏈的社會,，所以人人都應(yīng)了解區(qū)塊鏈。 《區(qū)塊鏈實(shí)用解碼730問》（上下合集）：32大專題,、260多項(xiàng)細(xì)分主題,、47萬字、730問,，實(shí)用,、全面、系統(tǒng),，囊括區(qū)塊鏈基礎(chǔ)理論,、運(yùn)行機(jī)制、核心算法,，以及從1.0到3.0等幾乎所有,、全鏈條式的知識操作、實(shí)踐應(yīng)用的圖書,。如圖： |
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