肖博數(shù)學小題專練·(七) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

一,、選擇題

1.下列函數(shù)中，最小正周期為 π 且圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)是

( )

A.y=cos?

?

?

?

?

?

2x+

π

2

B.y=sin?

?

?

?

?

?

2x+

π

2

C.y=sin2x+cos2x D.y=sinx+cosx

答案 A

解析 y=cos?

?

?

?

?

?

2x+

π

2 =-sin2x,，最小正周期 T=

2π

2 =π,，且為奇

函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱,，故 A 正確;y=sin?

?

?

?

?

?

2x+

π

2 =cos2x,，最

小正周期為 π，且為偶函數(shù),，其圖象關(guān)于 y 軸對稱，故 B 不正確;C,、

D 均為非奇非偶函數(shù),，其圖象不關(guān)于原點對稱,，故 C,、D 不正確。

2.(2017·海南聯(lián)考)已知 f(x)=2sin?

?

?

?

?

?

2x+

π

6 ,，若將它的圖象向右平

移

π

6個單位長度,，得到函數(shù) g(x)的圖象，則函數(shù) g(x)圖象的一條對稱

軸的方程為( )

A.x=

π

3

B.x=

π

4

C.x=

π

6

D.x=

π

12

答案 A

解析 f(x)=2sin?

?

?

?

?

?

2x+

π

6 ,，若將它的圖象向右平移π

6個單位長度,，

得到函數(shù) g(x)=2sin?

?

?

?

?

?

2

?

?

?

?

?

?

x-

π

6 +

π

6 =2sin?

?

?

?

?

?

2x-

π

6 的圖象，令 2x-

π

6=kπ

+

π

2,，k∈Z,，求得 x=

kπ

2 +

π

3，故函數(shù)的圖象的一條對稱軸的方程為 x

2

=

π

3,，故選 A,。

3.(2017·全國卷Ⅲ)函數(shù) f(x)=

1

5

sin?

?

?

?

?

?

x+

π

3 +cos?

?

?

?

?

?

x-

π

6 的最大值為

( )

A.

6

5

B.1

C.

3

5

D.

1

5

答案 A

解析 因為 cos?

?

?

?

?

?

x-

π

6 =cos?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

x+

π

3 -

π

2 =sin?

?

?

?

?

?

x+

π

3 ，所以 f(x)=

6

5

sin?

?

?

?

?

?

x+

π

3 ,，于是 f(x)的最大值為6

5,，故選 A。

4.若 f(x)=sin(2x+φ)+b，對任意實數(shù) x 都有 f

?

?

?

?

?

?

x+

π

3 =f(-x),，

f

?

?

?

?

?

2π?

3 =-1,，則實數(shù) b 的值為( )

A.-2 或 0 B.0 或 1

C.±1 D.±2

答案 A

解析 由 f

?

?

?

?

?

?

x+

π

3 =f(-x)可得 f(x)的圖象關(guān)于直線 x=

π

6對稱，∴

2×

π

6+φ=

π

2+kπ,，k∈Z,。當直線 x=

π

6經(jīng)過最高點時，取 φ=

π

6;當直

線 x=

π

6經(jīng)過最低點時,，取 φ=-

5

6

π,。若 f(x)=sin?

?

?

?

?

?

2x+

π

6 +b，由 f

?

?

?

?

?

2 ?

3

π =

-1,，得 b=0;若 f(x)=sin?

?

?

?

?

?

2x-

5

6

π +b,，由 f

?

?

?

?

?

2 ?

3

π =-1，得 b=-2,。

所以 b=-2 或 b=0,。

5.將函數(shù) f(x)=sin?

?

?

?

?

?

2x+

π

6 的圖象向左平移 φ

?

?

?

?

?

?

0<φ≤

π

2 個單位長

度，所得的圖象關(guān)于 y 軸對稱,，則 φ=( )

3

A.

π

6

B.

π

4

C.

π

3

D.

π

2

答案 A

解析 將函數(shù) f(x)=sin?

?

?

?

?

?

2x+

π

6 的圖象向左平移 φ

?

?

?

?

?

?

0<φ≤

π

2 個單位

長度,，得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式為 y=sin?

?

?

?

?

?

2(x+φ)+

π

6 =

sin?

?

?

?

?

?

2x+2φ+

π

6 ，由題知,，該函數(shù)是偶函數(shù),，則 2φ+

π

6=kπ+

π

2，k∈Z,，

又 0<φ≤

π

2,，所以 φ=

π

6，選項 A 正確,。

6.(2017·甘肅蘭州一模)函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)

?

?

?

?

?

?

x∈R,，ω>0，|φ|<

π

2

的部分圖象如圖所示,，如果 x1+x2=

2π

3 ,，那么 f(x1)+f(x2)=( )

A.

3

2

B.

2

2

C.0 D.-

1

2

答案 C

解析 由題圖知，T=π,，ω=2,，∴f(x)=sin(2x+φ)，將?

?

?

?

?

π ?

3,，0 代

入函數(shù),，根據(jù) φ 的范圍，得 φ=

π

3,，∴f(x)=sin?

?

?

?

?

?

2x+

π

3 ,?！邎D象關(guān)于?

?

?

?

?

π ?

3，0

4

中心對稱,，x1+x2=

2π

3 ,，∴x1，x2的中點為π

3,，則 f(x1)+f(x2)=0,。

7.(2017·哈爾濱一模)已知函數(shù) f(x)= 3sinωx+cosωx(ω>0)，y

=f(x)的圖象與直線 y=2 的兩個相鄰交點的距離等于 π,，則 f(x)的單

調(diào)遞增區(qū)間是( )

A.?

?

?

?

?

?

kπ-

π

12,，kπ+

5π

12 ，k∈Z

B.?

?

?

?

?

?

kπ+

5π

12,，kπ+

11π

12 ,，k∈Z

C.?

?

?

?

?

?

kπ+

π

6，kπ+

2π

3 ,，k∈Z

D.?

?

?

?

?

?

kπ-

π

3,，kπ+

π

6 ，k∈Z

答案 D

解析 因為 f(x)=2sin?

?

?

?

?

?

ωx+

π

6 ,，所以最小正周期 T=

2π

ω,。又由題

設(shè)可知 T=π，故 T=

2π

ω=π?ω=2,，故 f(x)=2sin?

?

?

?

?

?

2x+

π

6 ,，其單調(diào)遞

增區(qū)間為 2kπ-

π

2≤2x+

π

6≤2kπ+

π

2，即 kπ-

π

3≤x≤kπ+

π

6,，k∈Z，故

選 D,。

8.(2017·安徽宿州一模)將函數(shù) f(x)=3sin?

?

?

?

?

?

2x-

π

4 的圖象先向左平

移

π

4個單位長度,，再向下平移 4 個單位長度，得到函數(shù) g(x)的圖象,，

則函數(shù) f(x)的圖象與函數(shù) g(x)的圖象( )

A.關(guān)于點(-2,0)對稱

B.關(guān)于點(0,，-2)對稱

C.關(guān)于直線 x=-2 對稱

D.關(guān)于直線 x=0 對稱

答案 B

5

解析 將函數(shù) f(x)=3sin?

?

?

?

?

?

2x-

π

4 的圖象先向左平移π

4個單位長度，

再 向 下 平 移 4 個 單 位 長 度 ,， 得 到 函 數(shù) g(x) 的 解 析 式 g(x) =

3sin?

?

?

?

?

?

2

?

?

?

?

?

?

x+

π

4 -

π

4 -4=3sin?

?

?

?

?

?

2x+

π

4 -4=-3sin?

?

?

?

?

? -2x-

π

4 -4=-f(-x)

-4,，故兩個函數(shù)的圖象關(guān)于點(0，-2)對稱,，故選 B,。

9.已知函數(shù) f(x)=sin(ωx+φ)

?

?

?

?

?

?

ω>0，|φ|<

π

2 的最小正周期為 π,，且

其圖象向右平移π

6個單位后得到函數(shù) g(x)=sinωx 的圖象,，則函數(shù) f(x)

的圖象( )

A.關(guān)于直線 x=

5π

12對稱

B.關(guān)于直線 x=

π

12對稱

C.關(guān)于點?

?

?

?

?

π ?

12,，0 對稱

D.關(guān)于點?

?

?

?

?

5π ?

12，0 對稱

答案 B

解析 依題意得 T=

2π

ω=π,，ω=2,，f(x)=sin(2x+φ)，將 f(x)的圖

象向右平移π

6個單位后得到函數(shù) y=sin?

?

?

?

?

?

2

?

?

?

?

?

?

x-

π

6 +φ =sin2x 的圖象,，因

此 φ-

π

3=2kπ,，k∈Z，φ=2kπ+

π

3,，k∈Z,，又|φ|<π

2，因此 φ=

π

3,，f(x)

=sin?

?

?

?

?

?

2x+

π

3 ,。f

?

?

?

?

?

5π?

12 =sin?

?

?

?

?

?

2×

5π

12+

π

3 =-

1

2，f

?

?

?

?

?

5π?

12 ≠±1 且 f

?

?

?

?

?

5π?

12 ≠0,，因

此 f(x)的圖象不關(guān)于直線 x=

5π

12對稱,，也不關(guān)于點?

?

?

?

?

5π ?

12，0 對稱,。f

?

?

?

?

?

π ?

12 =

sin?

?

?

?

?

?

2×

π

12+

π

3 =1,，因此 f(x)的圖象關(guān)于直線 x=

π

12對稱，故選 B,。

6

10.(2017·泉州模擬)已知函數(shù) f(x)=2sin

x+φ

2

cos

x+φ

2 ?

?

?

?

?

?

|φ|<

π

2 ,，且

對于任意的 x∈R，f(x)≤f

?

?

?

?

?

π?

6 ,，則( )

A.f(x)=f(x+π) B.f(x)=f

?

?

?

?

?

?

x+

π

2

C.f(x)=f

?

?

?

?

?

π ?

3-x D.f(x)=f

?

?

?

?

?

π ?

6-x

答案 C

解析 函數(shù) f(x)=2sin

x+φ

2

cos

x+φ

2 =sin(x+φ)

?

?

?

?

?

?

|φ|<

π

2 ,，若對任意的

x∈R，f(x)≤f

?

?

?

?

?

π?

6 ,，則 f

?

?

?

?

?

π?

6 等于函數(shù)的最大值,，即π

6+φ=2kπ+

π

2

(k∈Z)，

則 φ=2kπ+

π

3,，k∈Z,，又|φ|<π

2，∴φ=

π

3,，∴f(x)=sin?

?

?

?

?

?

x+

π

3 ,，∴f(x)的周

期為 T=2π，A,，B 錯誤;又 f(x)圖象的對稱軸是 x=kπ+

π

6,，k∈Z，C

正確,，D 錯誤,。故選 C,。

11.(2017·全國卷Ⅰ)函數(shù) y=

sin2x

1-cosx

的部分圖象大致為( )

答案 C

解析 因為函數(shù) f(x)=

sin2x

1-cosx

的定義域為{x|x≠2kπ，k∈Z},，f(-

7

x)=

sin(-2x)

1-cos(-x)

=

-sin2x

1-cosx

=-f(x),，所以 y=

sin2x

1-cosx

為奇函數(shù)，其圖

象關(guān)于原點對稱,，故排除 B;因為 f

?

?

?

?

?

π?

2 =

sinπ

1-cos

π

2

=0,，f

?

?

?

?

?

3π?

4 =

sin

3π

2

1-cos

3π

4

=

-1

1+

2

2

<0，排除 A;f(π)=

sin2π

1-cosπ

=0,，排除 D,。故選 C。

12.(2017·東北三校聯(lián)考)已知函數(shù) f(x)=sin(ωx+φ)(0<ω≤12,，ω

∈N*,0<φ<π)圖象關(guān)于 y 軸對稱,，且在區(qū)間?

?

?

?

?

π ?

4，

π

2 上不單調(diào),，則 ω 的可

能值有( )

A.7 個 B.8 個

C.9 個 D.10 個

答案 C

解析 由題知,，f(x)為偶函數(shù)，f(0)=sinφ=±1,，又 0<φ<π,，所以

φ=

π

2，f(x)=sin?

?

?

?

?

?

ωx+

π

2 =cosωx,。令 t=ωx,，f(x)=cost，則 y=cost 在

?

?

?

?

?

π ?

4

ω,，

π

2

ω 上不單調(diào),。令 ω=1，y=cost 在?

?

?

?

?

π ?

4,，

π

2 是單調(diào)減函數(shù),，所以

ω≠1;令 ω=2，y=cost 在?

?

?

?

?

π ?

2,，π 是單調(diào)減函數(shù),，所以 ω≠2;令 ω

=3,，y=cost 在?

?

?

?

?

3 ?

4

π,，

3

2

π 不單調(diào)，所以 ω=3 符合題意;令 ω=4,，y

=cost 在[π,，2π]是單調(diào)增函數(shù)，所以 ω≠4;依次類推,，可得當 ω=

5,6,，7,，…，12 時均符合題意,，所以 ω 取 3,5,6,7,8,9,10,11,12 時,，f(x)

在?

?

?

?

?

π ?

4，

π

2 上不單調(diào),，所以 ω 的可能值有 9 個,。

二、填空題

8

13.已知函數(shù) f(x)=2sin(ωx+φ)對任意的 x 都有 f

?

?

?

?

?

π ?

6+x =f

?

?

?

?

?

π ?

6-x ,，

則 f

?

?

?

?

?

π?

6 =________,。

答案 ±2

解析 函數(shù) f(x)=2sin(ωx+φ)對任意的 x 都有 f

?

?

?

?

?

π ?

6+x =f

?

?

?

?

?

π ?

6-x ，

則其對稱軸為 x=

π

6,，所以 f

?

?

?

?

?

π?

6 =±2,。

14.函數(shù) y=sin2x 與函數(shù) y=tanωx 有相同的零點，則 y=tanωx

的單調(diào)遞增區(qū)間為____________________,。

答案 ?

?

?

?

?

? -

π

4+

kπ

2 ,，

π

4+

kπ

2

(k∈Z)

解析 根據(jù)題意可知，y=tanωx 的周期為 y=sin2x 的周期的一

半,，即 T=

1

2×

2π

2 =

π

2,，∴ω=

π

T=2，∴y=tan2x,。令-π

2+kπ<2x<

π

2+kπ(k

∈Z),，得 y=tan2x 的單調(diào)遞增區(qū)間為?

?

?

?

?

? -

π

4+

kπ

2 ，

π

4+

kπ

2

(k∈Z),。

15.函數(shù) y=2sin?

?

?

?

?

πx ?

6 -

π

3

(0≤x≤9)的最大值與最小值之差為

________,。

答案 2+ 3

解析 因為 0≤x≤9，所以-π

3≤

πx

6 -

π

3≤

7π

6 ,，因此當

πx

6 -

π

3=

π

2時,，

函數(shù) y=2sin?

?

?

?

?

πx ?

6 -

π

3 取得最大值，即 ymax=2×1=2,。當πx

6 -

π

3=-

π

3時,，

函數(shù) y=2sin?

?

?

?

?

πx ?

6 -

π

3 取得最小值，即 ymin=2sin

?

?

?

?

?

? -

π

3 =- 3,，因此 y

=2sin?

?

?

?

?

πx ?

6 -

π

3

(0≤x≤9)的最大值與最小值之差為 2+ 3,。

16.將函數(shù) y=sinx+ 3cosx 的圖象向右平移 φ(φ>0)個單位長度，

9

再向上平移 1 個單位長度后,，所得圖象經(jīng)過點?

?

?

?

?

π ?

4,，1 ，則 φ 的最小值

為________,。

答案 7π

12

解析 依題意,，將 y=2sin?

?

?

?

?

?

x+

π

3 的圖象向右平移 φ 個單位長度得

到曲線 y=2sin?

?

?

?

?

?

x-φ+

π

3 ,，再向上平移 1 個單位長度得到曲線 y=

2sin?

?

?

?

?

?

x-φ+

π

3 +1，又該曲線經(jīng)過點?

?

?

?

?

π ?

4,，1 ,，于是有 2sin?

?

?

?

?

π ?

4-φ+

π

3 +1

=1，即 sin?

?

?

?

?

7π ?

12-φ =0,，φ-

7π

12=kπ,，k∈Z，φ=kπ+

7π

12,，k∈Z,，因此

正數(shù) φ 的最小值是7π

12。