目錄

三個(gè)初等行（列）變換

• 交換兩行（列）的位置,；

• 將常數(shù)乘以某行(列)向量,；

• 將某行（列）的元素乘以倍加到另一個(gè)行（列）上,。

經(jīng)過初等變換后,，矩陣變化,，但線性系統(tǒng)沒變化

加法(Plus)

兩個(gè)行數(shù),、列數(shù)分別相等的矩陣（同型矩陣）,，加法運(yùn)算才有意義,。

• 交換律：

• 結(jié)合律：

乘法(Multiply)

與數(shù)的乘法

將數(shù)與矩陣中的每一個(gè)元素分別相乘所得的矩陣。

• 結(jié)合律：

• 分配律：

與矩陣的乘法

設(shè)矩陣則A與B的乘積C：

• 行數(shù)與左矩陣A相同,，列數(shù)與右矩陣B相同,。

• C的第i行第j列的元素
  

• 不滿足交換律

哈達(dá)馬乘積（Hadamard product）

約束與加法相同，只是對(duì)應(yīng)元素運(yùn)算變?yōu)槌朔?。記? 或 或 ,。

注意不要混淆，與一些計(jì)算機(jī)語言中的星號(hào)不同,，這里星號(hào)（）不是指乘法（）,。為了避免混淆，一般使用 或 ,。

轉(zhuǎn)置(Transpose)

記作或

方陣的行列式(Determinant)

記作或

• 只有方陣才能定義行列式

• 對(duì)角陣與三角陣的行列式

• AB與BA不一定相等,，但是可能成立

克萊默法則(Cramer)

對(duì)線性方程組，如果有系數(shù)行列式,，則方程組有唯一解

雅可比行列式(Jacobi)

當(dāng)n元變量做線性變換時(shí),，行列式就是其微元倍數(shù)，即

逆(Inverse)

設(shè)A為n階方陣,，如果存在一個(gè)n階方陣B,，使得

秩(Rank)

• 秩的算法：僅用初等行（列）變化把矩陣A化為階梯矩陣,，階梯矩陣中不為0向量的行（列）數(shù)為矩陣A的秩。記作

• 階梯矩陣：從上往下數(shù),，每一行從左到右第一個(gè)不為0的元素所在列嚴(yán)格遞增,。

• 行秩=列秩

由于A的階梯矩陣的前三行是非零向量,，所以

• 零矩陣的秩是0

• 如果，則

• 如果A可逆,，那么

• 如果A是n階方陣,，

• 如果A是n階方陣，

跡(Trace)

方陣A的對(duì)角線之和稱為跡,，記作,，即