楊憶鴻

       在高中學(xué)物理時(shí),，只有基礎(chǔ)的圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力,、向心力的簡單計(jì)算,。隨著對(duì)天文興趣的增加，發(fā)現(xiàn)天體都是橢圓運(yùn)動(dòng),，須要有高等物理的知識(shí)才能進(jìn)一步了解,。許多人問：為什么天體都是橢圓軌道？水星會(huì)不會(huì)墜入太陽,？地球何速才能逃逸出太陽系,？促使我們要進(jìn)一步了解更多的高等物理知識(shí)。

一,、為何天體都是橢圓軌道而沒有純圓軌道

       純圓周運(yùn)動(dòng)的苛刻必要條件：1,、初速或速度要與向心力垂直，2,、以距離作半徑所求出的向心力與萬有引力相等,。

       天體運(yùn)動(dòng)不可能恰巧滿足此苛刻條件，首先初速往往與引力有一個(gè)不垂直的角度，徑向速度會(huì)拉長距離變得不圓,。其次,，若此半徑需要的向心力與引力不等，會(huì)促使改變曲率半徑才能相適應(yīng),。所以,，天體運(yùn)動(dòng)軌道都是橢圓。橢圓每點(diǎn)的曲率半徑是變化的,。

        只是不同的橢圓,，偏心率有大有小，決定扁的程度,。偏心率e就是焦點(diǎn)與中心的距離c在半長軸a上所占的比例c/a,。圓為0，越大越扁,，越小越圓,。

       開普勒三大定律就是橢圓運(yùn)動(dòng)的總結(jié)性規(guī)律，高等物理上對(duì)三定律有嚴(yán)格證明,。 可以用極坐標(biāo)系求出橢圓具體方程,。

       地球雖為橢圓軌道，但接近正圓,。平均半徑為r=1.5億公里,，平均速度v=30公里/秒，周期為恒星年T=365.2464天,。

       問題1：為何初速或速度與向心引力一旦不成90度,，其軌道肯定不是純圓，為什么,？

       掌握了行星橢圓規(guī)律后知道,，因?yàn)闄C(jī)械能必須恒定，切向速度所需向心力還必須等于引力,。

       行星機(jī)械能E=-GMm/2a （見第四節(jié)）,， a為半長軸,  v切^2+v徑^2=v^2,             

       mv切^2/r=GMm/r^2, v切與半徑的向心力首先與引力相等（否則必橢圓）。

       則1/2mv切^2=GMm/2r,，又 E=1/2mv切^2+1/2mv徑^2 -GMm/r,，則有

       GMm/2r+1/2mv徑^2-GMm/r=-GMm/2a

       得到： v徑^2=GM(1/r-1/a) 。徑向速度造成徑向距離的變化即勢能的變化,。

       若v徑>0,  肯定r不等于a，這不可能是圓,。

       若v徑=0,，才有r=a，所以，速度與力成90度交角是純圓軌道的必要條件,。

       第五節(jié)的末尾有證明,，問題2：為什么半徑所需的向心力與引力相等是純圓軌道的必要條件。

  二,、橢圓運(yùn)動(dòng)是否遵守向心力公式且與引力相等

       向心力是圓周運(yùn)動(dòng)所必需的,，根據(jù)半徑r和切向速度用公式計(jì)算出來的向心力必須等于實(shí)際引力，如果不等,，曲率半徑r就會(huì)自動(dòng)調(diào)整以相適應(yīng),，半徑或曲率才是結(jié)果。

       百度上有一篇論文《論行星運(yùn)動(dòng)時(shí)其向心力與萬有引力間的關(guān)系》（參考文獻(xiàn)2）專門講這個(gè)問題,，寫的非常好,，有推導(dǎo)與證明。向心力公式可有條件地繼續(xù)使用,，仍等于萬有引力,。分解成切向速度v，向心a=v^2/r, 問題麻煩在這個(gè)半徑r上,，需要另計(jì)算曲率半徑,，而不是矢徑或距離。橢圓的曲率半徑要一階,、二階導(dǎo)數(shù),，r=|((1+y')^1.5)/y''|。特殊地,，橢圓長軸兩端的曲率半徑Ra=b^2/a,，短軸兩端的曲率半徑Rb=a^2/b。下面以下圖的橢圓圖示為例：

     F1=GMm/d^2=mv1^2/Ra,。 d為距離,，Ra為曲率半徑b^2/a，注意d≠Ra,。 

     F2=GMm/r^2=mv2^2/Ra,。從兩式得到新等式  v2 r=v1 d 。

     這是用向心力公式得到的比值結(jié)果與角動(dòng)量結(jié)果完全一致,，未出現(xiàn)矛盾的地方,。也可直接用角動(dòng)量守恒。

 三,、橢圓運(yùn)動(dòng)遵守的規(guī)律 

      橢圓運(yùn)動(dòng)遵守機(jī)械能守恒和角動(dòng)量守恒及向心力公式,。

    1.機(jī)械勢能以無窮遠(yuǎn)為參照零點(diǎn)，則勢能都是負(fù)值,，Es=-GMm/r,，r為距離,，

機(jī)械能  E=1/2mv1^2-GMm/r1=1/2mv2^2-GMm/r2,  注意：E一般為負(fù)值，否則將逃逸,。

    2.角動(dòng)量p=r x mv, 為矢量叉乘,，大小mvrsinq,  r為矢徑，大小為距離,。比向心力半徑要簡單直接,。 r1 x mv1=r2 x mv2，大小有 mvr1sinq1=mv2sinq2,。角動(dòng)量守恒表現(xiàn)在開普勒定律在單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等,。

四、如何求出橢圓軌道方程

      有了以上預(yù)備知識(shí),，參照高等物理（東南大學(xué)馬文蔚編）的思路,，嘗試求軌道方程了。先假定肯定是橢圓,，就能簡單地用高中一元二次方程韋達(dá)定理知識(shí)求出橢圓軌道方程,。若用極坐標(biāo)系推導(dǎo)，會(huì)涉及有難度的積分,，下一節(jié)講,。

     1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及重要參數(shù)

      橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是 x^2/a^2+y^2/b^2=1 。焦點(diǎn)距2c , c^2=a^2-b^2 , 偏心率e=c/a, 

長軸兩端點(diǎn)的曲率半徑或焦點(diǎn)垂直矢徑Ra=b^2/a,，短軸曲徑Rb=a^2/b,，焦點(diǎn)的兩水平矢徑 r1=a-c，r2=a+c,。

      橢圓的極坐標(biāo)(r,θ) 標(biāo)準(zhǔn)方程  r=Ra/ (1±e cosθ),。 -左焦為原點(diǎn)，+右焦為原點(diǎn),。Ra為長軸曲徑或垂直矢徑b^2/a,。若推導(dǎo)出的方程有sinθ，是因?yàn)闆]有右旋90度,。當(dāng)取負(fù)號(hào)時(shí),，其相當(dāng)于直角坐標(biāo)系 (x-c)^2/a^2+y^2/b^2=1 。

     2. 計(jì)算橢圓軌道的參數(shù)

      已知條件：在橢圓軌道的質(zhì)點(diǎn)機(jī)械能 E0和角動(dòng)量L0,，及天體大小質(zhì)量M,、m。

      先求出長軸兩點(diǎn)的v和兩矢徑r,。

      在長軸兩端點(diǎn),，據(jù)機(jī)械能 1/2mv^2-GMm/r=E0，角動(dòng)量 mvr=L0,，

為簡化計(jì)算令K=GM, L=L0/m, E=-E0/m >0,，則有方程組

     v^2-2K/r+2E=0, 1/r=1/L v ,，方程有兩變量v, 1/r，二式代入第一式,，

     得二次方程:  v^2-2K/L v+2E=0  不需要解方程，兩根v1,、v2恰是兩長軸兩端的速度, 

     r1=a-c, r2=a+c,。據(jù)韋達(dá)定理有  v1+v2=2K/L,  v1v2=2E,  再據(jù)方程組二式 

     有： 1/r1+1/r2=1/L (v1+v2)=2K/L^2,   1/r1.1/r2=2E/L^2  

     得到關(guān)鍵的： r1 r2=L^2/2E,  r1+r2=K/E     又知 r1=a-c, r2=a+c，開始求橢圓參數(shù)：

     2a=(a-c)+(a-c)=r1+r2=K/E,  2c=r1-r2=√(r1-r2)^2=√((r1+r2)^2-4r1r2)

     a=K/2E,   c=√(K^2-2EL^2)  /2,   c^2=(K^2-2EL^2)/4E^2  

     b^2=a^2-c^2=r1.r2=L^2/2E,  Ra=b^2/a=L^2/K,   e=c/a=√(K^2-2EL^2)  /K

     則x-y系方程：   x^2/a^2 + y^2/b^2=1 

     其中a=K/2E=-GMm/2E0,  b^2=L^2/2E=-L0^2/2mE0   (注: E0<0)

     極坐標(biāo)r-θ方程： r=(L^2/K)/(1±ecosθ)  ,  -左焦點(diǎn)為原點(diǎn)o,，+右焦點(diǎn)o,，

     取負(fù)號(hào)時(shí)相當(dāng)于直角坐標(biāo)系  (x-c)^2/a^2+y^2/b^2=1。

     其中 Ra=L^2/K=L0^2/GMm^2      而書P228的系數(shù)A卻是這倒數(shù),。

             e=c/a=√(K^2-2EL^2)  /K=(1+2E0 L0^2/G^2 M^2 m^3)^1/2

            注： 發(fā)現(xiàn)書上P228的G丟了平方,，共兩處印刷錯(cuò)誤。

     另：  據(jù)a=K/2E   得重要通用公式： 行星機(jī)械能E=-GMm/2a

             v1=√(GM/a r1/r2),，v2=√(GM/a r2/r1), r1=a-c, r2=a+c

             角動(dòng)量 L=m√(GMRa)  , Ra=b^2/a

 五,、橢圓軌道的推導(dǎo)

          上節(jié)已計(jì)算出橢圓軌道，但必須推導(dǎo)其過程才能證明是橢圓軌道,，步驟如下：

         為簡化過程,，令 K=GM,  L=L0/m,  E=E0/m <0

         L=L0/m=ωr^2， 有 ω=L/r^2

         E=E0/m=1/2v^2-K/r,  v^2=(dr/dt)^2+(ωr)^2

         有 E=1/2(dr/dt)^2+1/2L^2/r^2-K/r

         dr/dt=√(2E-L^2/r^2+K/r)    dθ/dt=ω=L/r^2  兩式相除

         dθ/dr=L/r√(2Er^2+2Kr-L^2)  這就是不定積分,，查常用不積分表恰有公式：

           因r>0,  得sin(θ+C)=(Kr-L^2)/r√(K^2+2EL^2),，C為待定常數(shù)，表示角度可旋轉(zhuǎn),。

           1/r=K/L^2 (1-√(1+2EL^2/K))sin(θ+C),， 取不定常數(shù)C=±π/2,  

           方程有 r=(L^2/K)/ (1±√(1+2EL^2/K)cosθ)

           這就是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程  r=Ra/ ( 1±e cos(θ)) ,  - 表示左焦點(diǎn)為原點(diǎn)，+右焦點(diǎn)

      Ra=L^2/K=L0^2/(GMm^2) , e=√(1+2EL^2/K)=√(1+2E0 L0^2/G^2 M^2 m^3)

           與上節(jié)計(jì)算的結(jié)果一模一樣,。  這就證明了開普勒第一定律,。

           另： 再討論一下，軌道是純圓的條件要求,。 e=√(1+2E0 L0^2/G^2 M^2 m^3)

           當(dāng)e=0就是圓,，有  r=a,  2E0 L0^2/G^2 M^2 m^3=-1    

           以E0=GMm/-2a， L0=mωr^2, r=a ,  有 GMma=mω^2r^4  

           GMm/r^2=mω^2 r   這是必要條件:   萬有引力F=向心力Fr

           以半徑為r的向心力必須一直等于萬有引力,。就是第一節(jié)提出的純圓必要條件,。

 六、橢圓軌道的周期求法 

         仍用上面的一些橢圓參數(shù),a,、b,、c 、Ra,、L0,、E0,。

        S表示矢徑掃過的面積。則扇形面積dS有：

        dS=1/2r^2dθ,  dS/dt=1/2r^2ω , L0=mr^2ω,  dS/dt=L0/2m

        單位時(shí)間掃過的面積相等,，這就證明了開普勒第二定理,。

        dt=2m/L0 dS, 求積分有 T=2m/L0 S=2m/L0 πab

        T^2=-π^2 G^2 M^2 m^3 /2E0^3    可以求出周期T。

        T^2/a^3=4π^2/GM=常數(shù),  這就證明了開普勒第三定律,。

        T=2πa^(3/2) /√(GM)  

        從公式T和E可以看出,，橢圓半長軸 a 具有軌道半徑r的地位。

 七,、求地球的逃逸速度,？地球多快就能逃離太陽系

       高中學(xué)過第一宇宙速度7.9、第二宇宙速度11.2,、第三宇宙速度16.7,，但求地球的逃逸速度又略有點(diǎn)區(qū)別了。

      地球的繞日公轉(zhuǎn)平均速度v0約29.78公里/秒的,， 實(shí)際在29.29到30.29之間變化,，線速度夠快的，為便于記憶都說30公里/秒,。如果要能逃逸,，它的軌道將成發(fā)散的，目標(biāo)是無窮遠(yuǎn),，無窮遠(yuǎn)的勢能已為參照值0點(diǎn),、動(dòng)能為無窮小的0值，這是最起碼的要求,。

      正常時(shí),，萬有引力等于向心力，有 mv0^2/r=GMm/r^2   

      逃逸時(shí),，機(jī)械能守恒  1/2mv4^2-GMm/r=0 ,。  兩式化簡有，v4=√2 v0  ,。曾記得第二宇宙速度也是第一宇宙的 √2倍,。原來逃逸速度都是公轉(zhuǎn)速度的√2倍（即+41.4%），這是普遍規(guī)律,。地球的逃逸速度為42.4公里/秒,，比公轉(zhuǎn)速度再快12.4就行了。求第三宇宙速度16.7時(shí),，就曾涉及過這12.4,。

八、求地球墜入太陽時(shí)的最大速度,？  慢得掉進(jìn)太陽了,。

       日地距離為1個(gè)天文單位,，N=日地距離/太陽直徑=107.5倍，這是太陽系基本參數(shù),。當(dāng)?shù)厍蚬D(zhuǎn)速度v0=30公里,，突然降到墜落速度v1時(shí)，將變成極扁橢圓軌道,。近日點(diǎn)已觸太陽表面,，如圖示。在近日點(diǎn)速度v2>v1,。設(shè)地球遠(yuǎn)日點(diǎn)v1距離太陽中心距為d，太陽半徑r, 已知N=d/2r=107.5倍,。

       角動(dòng)量矢徑就是距離,，據(jù)角動(dòng)量守恒有 v1d=v2r 

       據(jù)機(jī)械能守恒   1/2mv1^2-GMm/d=1/2mv2^2-GMm/r

       又據(jù)地球正常公轉(zhuǎn)有,向心力公式： mv0^2/d=GMm/d^2

       消去中間變量，得通用公式： v0^2/v1^2=(d+r)/2r,，即v0/v1=√(N+0.5),。

       對(duì)于比值 (d+r)/2r=N+0.5，其實(shí)就是橢圓長軸與太陽直徑的比108：1,， 

       k=v0/v1=10.4,，也就是說地球速度降到v0/k=30/10.4=2.88公里/秒。

      如果以這樣低的速度之前,，地球的的近日點(diǎn)太近,，等于太陽半徑，地球早已被烤焦,。

     水星的公轉(zhuǎn)軌道比地球更近更扁更快,，公轉(zhuǎn)半徑0.3到0.5Au，取0.4Au公轉(zhuǎn)距離,，公轉(zhuǎn)速度約為48公里/秒,，N=107.5x0.4+0.5=43.5，k=6.6,，降到7.3公里/秒才能墜入太陽,，也不容易，畢竟距日有5000萬公里遠(yuǎn)呢,。

九,、結(jié)束語

      本篇介紹了行星橢圓軌道整個(gè)推導(dǎo)與計(jì)算的相關(guān)過程，證明了開普勒三大定律,。并作了具體應(yīng)用,，求地球的公轉(zhuǎn)速度范圍。

      地球公轉(zhuǎn)的速度范圍為(v0/√108,，v0√2）,。至此,，我們對(duì)地球的速度范圍有了深刻了解，這個(gè)公轉(zhuǎn)速度范圍很寬,，杞人不用為地球的公轉(zhuǎn)速度而糾結(jié)了,。

參考文獻(xiàn)：

           1、高等物理上冊                 東南大學(xué) 馬文蔚編        1993.2版

           2,、《論行星運(yùn)動(dòng)時(shí)其向心力與萬有引力間的關(guān)系》  2011-4-6   

                   安徽安慶第二中學(xué)   葉玉琴