這是關于現代合成器的系列文章的第一篇文章,，本文介紹了基本的鎖相環(huán)操作以及各種拓撲結構,。

近年來，頻率合成技術發(fā)生了重大變化,。數十年來,，超低噪聲的分立式VCO一直是低噪聲合成器的核心存在，現在它們發(fā)現正在面臨來自集成VCO的挑戰(zhàn),。目前最好的分立式VCO仍然享有20-30分貝的相位噪聲優(yōu)勢,，但是IC公司正在以完全集成為武器進行一場非對稱的戰(zhàn)斗，以圖主導這個市場,，它們并不追求最低的VCO噪聲,，而是通過架構創(chuàng)新讓自由運行的VCO噪聲變得不再那么重要。

芯片廠商的解決方案是,，在芯片上放置良好的VCO,，通過反饋將噪聲抑制到非常低的水平上，然后把它們分解到應用頻帶內,，以進一步降低相位噪聲,。分立VCO供應商現在面臨的挑戰(zhàn)是如何將它們在應用頻帶內出色的相位噪聲擴展到更高頻率上，同時還能獲得最新合成器的全部架構創(chuàng)新優(yōu)勢,。

本系列文章一共分為五篇,，第一篇將回顧現代先進的設計方法，余下四篇文章中,，有兩篇文章將介紹詳細的噪聲分析,，一篇文章講述實現低噪聲的關鍵部件和工具,，還有一篇將給出需要低噪聲的示例,，以說明當前的最新技術性能。

基本PLL操作和二階歸一化形式

大多數經典教科書提供了標準二階形式的PLL設計,，給出了雖然是近似但仍然非常有用的設計和分析方程,，以及如圖1所示的循環(huán)操作的簡單描述。

圖1：這是一款二階和三階形式帶高壓電荷泵的PLL頻率合成器（C1 = 0表示二階）,。通過可編程的R和N分頻數,，由固件設置頻率。

我們一向習慣于將電壓和電流視為反饋量,，但是,，除此之外,，PLL還將相位和頻率視為小信號頻率域變量。當尋求在較寬的頻率范圍內鎖定時,，現代相位頻率檢測器（PFD）充當驅使壓控振蕩器（VCO）頻率鎖定的頻率檢測器,。 隨著頻率不斷收斂，環(huán)路轉換到鎖相模式,，其中,，相位表現為數字沿的時間差，漸漸趨近于零,。

頻率是相位變化量對時間的導數（ω=dθ/ dt）,，所以可以把相位看做為頻率的積分。由于是壓控震蕩,，VCO充當了輸入電壓到輸出相位的積分器,，它會引入-90度的相移。這也是它的傳遞函數形式為Ko/s的原因,，這是積分環(huán)節(jié)的標準頻域表示,，在傳遞函數中，Ko的單位一般是弧度/秒/伏特,。VCO的數據表通過以MHz/V為單位給出Ko的數值,。為了統(tǒng)一，本文將Hz/V等價為kHz,，Ko為弧度形式,，因此，Ko = 2πKHz,。

前向通道中的積分環(huán)節(jié)引入-90度相移,，負反饋引入-180度相移，由于相移達到-360度時會導致不穩(wěn)定,，所以濾波器環(huán)節(jié)的最大允許相移為90度,。我們通常會在環(huán)路帶寬上留下至少40度的“相位裕度”。該裕度來自于電阻器R2在傳遞函數中引入的零點,，因為如果沒有這個電阻,，電荷泵處的電容器會起到一個積分器的作用，再次引入-90度相移,，這樣會直接導致系統(tǒng)變得不穩(wěn)定,。

現在我們回顧一下對相移的基本分析。參考文獻中給出了環(huán)路的經典“相位傳遞函數”,，定義如下：

Hclassic（s）是從相位檢測器上的參考輸入到反饋輸入的閉環(huán)傳遞函數,，在經典參考文獻中通常簡稱為“H（s）”。 這里的classic下標用于和在大多數現代文獻中用于開環(huán)傳遞函數的“H(s)”進行清楚地區(qū)分。對于上圖,，如果我們對圖中各個環(huán)節(jié)進行變量消除,、替換和求解，會得到Hclassic（s）的具體定義：

從這個等式可以看出,，這是我們所熟悉的二階控制系統(tǒng)形式,，為了幫助理解和計算，我們把它轉換為如下形式的標準二階系統(tǒng)形式：

這兩個方程式形式相同,，根據等式（2）和（3）,，我們可以得到如下兩個參數：

這里的ωn是“自然”角頻率，接近但通常不等于開環(huán)帶寬,。系統(tǒng)穩(wěn)定后,，其瞬態(tài)響應會以固有頻率“反復震蕩”。這里的ζ是“阻尼因子”,，為了保證系統(tǒng)最終能夠趨于穩(wěn)定,，這個參數必須大于零。通常,，我們會將阻尼系數設定為大約0.5,，這將提供大約45度的相位裕度，或者增加一個介于0.7-1之間的額外濾波極點,。

通常的PLL“誤差傳遞函數”定義為：

根據自動控制理論,，He(s)也可以表示為標準形式：

從頻率響應來看，He（s）是高通函數,，而相位傳遞函數Hclassic（s）是低通函數,。而且，從上面公式可以很快看出：

結果表明,，使用這些函數可以方便地表達PLL的許多調制和噪聲響應,，這將有助于理解環(huán)路是如何形成噪聲的。例如,，相位檢測器參考輸入上的相位或相位噪聲變化將轉化為與相位傳遞函數成比例的VCO輸出,。由于相位傳遞函數是一個低通函數，因此,，高于環(huán)路帶寬的噪聲將被抑制掉或者被調制,。環(huán)路帶寬內的壓控振蕩器相位噪聲將根據上面給出的He(s)函數形式被抑制，這部分噪聲包括分壓器噪聲,、電荷泵噪聲和晶體參考噪聲,。

根據上面的各個分析方程式,，我們可以得到以下設計方程：

這兩個方程用于根據所選擇的固有自然角頻率和阻尼因子的數值確定R和C的具體值,。當引入額外的濾波極點時，這些值會發(fā)生變化（特別是電容器會變化很大）,，但用這兩個公式依然可以作為非常有用的起點,，可以用于許多近似值的求取上,，比如建立時間、超調量,，也可以用于尋找環(huán)路濾波器可能的最小熱噪聲,。

三階無源濾波器PLL

這是一種具備高度可用性的最簡單的三階無源濾波器PLL形式，只需要添加一個額外的電容器C1就能實現,。這里引入了另一個濾波器極點,，它可以抵消掉一個零點。這意味著,，對于這個系統(tǒng)的相位頻率響應而言,，存在一個頻率點，相位在該處取得最高峰值,，然后再下降（圖2）,。

圖2：這是一個經過正確設計的三階PLL的開環(huán)增益頻率響應曲線和相位頻率響應曲線。通過設計,，最大相位出現在環(huán)路帶寬位置上,。

環(huán)路濾波器阻抗為：

根據電路分析，上述公式中的參數如下：

開環(huán)增益函數由（G是前向通道增益的傳遞函數,，H為反饋通道的傳遞函數）給出：

我們知道Kd,、Ko和N這三個參數，需要選擇環(huán)路帶寬ωL和相位裕度φm,。為了找到我們上面公式中的三個未知數A0,、T1和T2，需要建立三個等式,。我們從GH的增益（在ωL處為1）,、GH的相位（在ωL處給出φm）以及GH的相位相對于ω的導數（在ωL處為零）求得它們。這也是現代控制理論中的基本方法,。

GH的幅值為：

當ω = ωL時,，該幅值為1，可以求得A0

相位裕度是一個從零度到90度的正數,，它是開環(huán)相位和180度的差值：

將相位裕度視為相移相對于可變頻率的導數,，并在ω=ωL處將該導數設置為零，可以得到：

我們現在對兩個未知數T1和T2有了兩個非線性方程,。 我們可以用數學方法求解出這兩個未知數,，但是有的參考文獻中給出了一個封閉形式的解法：

現在,，我們可以確定如下電路參數的值：

二階濾波器（三階環(huán)路）是能夠實現最低噪聲的濾波器形式。但是，將帶寬推高之后,，通常需要一個額外的濾波極點，以保證相位檢測器的噪聲不會污染VCO的噪聲。

四階無源濾波器PLL

這種形式使用了圖3中所示的三階濾波器，它可能是當前的VCO產品中最常見的濾波器形式,。

圖3：這是四階和五階的濾波器形式

開環(huán)傳遞函數由下式給出：

濾波器（傳遞）阻抗由下式給出：

系數A1和A2是冗長函數中參量的有用縮寫（參見該參量的冗長版本）。

使用開環(huán)傳遞函數中的幅度頻率特性：

我們接下來定義Banerjee所謂的“極值比”,，設計師應根據諸如雜散排斥等因素來選擇合適的極點比值,。從技術上講，這些比值可以更恰當地被稱為時間常數的比率,，但我們將繼續(xù)使用當前控制系統(tǒng)領域已經建立的術語來稱它們?yōu)闃O值比,。

T31用來定義所增加的極點到虛軸的距離，我們必須使用小于1的T31,，而且我們發(fā)現,，將它定位0.5就可以幾乎實現所有可能的雜散抑制。

開環(huán)傳遞函數的相位裕度由下式給出：

相位裕度出現在相位裕度函數的峰值處,。以相位對可變頻率取導數,，然后應用ω=ωL的一階導數為0進行計算，給出：

在選定了合適的極值比T31之后,，T3=T31*T1,，可以對T2和T1進行數值求解。

現在我們來看看Banerjee使用的“Gamma優(yōu)化因子”,。它允許使用近似,，我們可以將T2的早期表達式以近似形式擴展到更高階的循環(huán)（參考文獻7，第5版,，第309頁）,，同時定義γ：

在實際設計中，該參數通常接近1,，范圍為0.7至1.3,。

經過替換，我們可以得到這個近似值（相位裕度為相位和180度的差值）：

在上面這個表達式中,，只需要求解出T1的值,。當x較小時，tan-1可以近似等于x,，計算得出的T1結果是：

再計算其它兩個時間常數：

使用近似方法時：

我們根據以下公式計算A1和A2：

現在,，對于C1、C2,、C3,、R2、R3這五個未知數有了四個等式,，為了求解,，需要找到第五個方程,，Banerjee采用的方法是找到滿足這些等式的C3的最大值。對上面這些等式進行一系列變換操作,，可以找到C3：

使用一階導數檢驗C3的峰值：

到這里為止,，我們可以求解C1了,，將它插入到等式40中求得C3,，最終結果為：

無源濾波器五階PLL

在環(huán)路中增加一個額外的RC環(huán)節(jié)可以在三階濾波器的基礎上對遠距離雜散抑制指標進行適度改善。以一種非常近似的比較,，三階環(huán)路濾波器對二階的改進大約是2到7分貝,，四階濾波器相對于三階濾波器的改進大約是1-3分貝（參考文獻7，第5版,，第7頁）,。

運算放大器有源濾波器PLL

使用運算放大器的主要原因是可以擴展環(huán)路濾波器的電壓范圍，以允許VCO具有較大的調諧范圍,，相比之下,，無源環(huán)路濾波器僅限于相對較低的合成器IC電荷泵輸出范圍。如文獻2和文獻3所示,，有源濾波器方案可以降低Ko,，提高穩(wěn)定性，并降低噪聲,。運算放大器還允許使用阻值更小,、噪聲更低的電阻，并可以在運算放大器后放置一個極值最低的極點,。有源環(huán)路濾波器有幾種拓撲結構,，這里（圖4）以完整的四階形式給出一個優(yōu)選版本。

圖4：這是一個有源四階濾波器和五階PLL,，也可以選擇五階濾波器,。這種濾波器被稱為“慢速震蕩”有源濾波器，因為輸入的RC環(huán)節(jié)降低了對響應速度的要求,。運算放大器的帶寬限制性能有利于使用雙極輸入濾波器選項,，將濾波器轉換為五階，將環(huán)路轉換為六階,。

為運算放大器的正輸入端提供一個低噪聲的直流參考電壓,，環(huán)路和運算放大器的組合可以將運算放大器的負輸入保持在相同的電壓水平上。在這種形式下,，運算放大器的輸出將通過流過Zfor的電流“泵升”,，以承受維持鎖定所需的任何電壓?？梢赃x擇合適的器件參數值,，使這種反相形式的噪聲增益很?。ㄒ姷?條）。

對于傳輸阻抗Z（f）,，我們發(fā)現：

重要的一點是T4應該是最低頻率的極點,。

我們還發(fā)現：

作為jω的函數的開環(huán)增益是：

使用開環(huán)傳遞函數的幅度函數（在循環(huán)帶寬處為1）：

無論是f1較低還是f3較低，最低頻率的極點都應該是f4,。

為了評估A0的值,，我們需要得到T4和T2，然后使用選定的極值比來求得T1和T3,，準確的方程形式為：

最大相位裕度出現在相位裕度函數的峰值位置,，我們用ω=ωL代替出現最大相位裕度時的頻率，通過一階導數測試求?。?/p>

以上這些可以用于求出T2和T4的數值解,，求出T2和T4后，通過選定的極值比導出T1和T3,，對于f4以上的最低極點,，極值比大約為0.5，次低極點的極值比大約為0.25,?？梢詫⑾旅娴慕浦底鳛榍笕抵到獾钠瘘c：

我們可以使用γ= 1，或者根據Banerjee給出的優(yōu)化標準改變它的取值,。剩下的唯一變量就是T4了,，我們可以求得它的數字解，或者求取近似解：

如果使用近似形式,，可以進一步求得T2：

無論是數值解,，還是近似解，根據選定的極值比：

現在,，我們已經有了A0 = C1 + C2這個等式所需的所有變量值了,，然后我們可以找到所有器件的參數值：

現在我們來選擇R3、C3,、R4和C4的值,，這看起來很簡單，因為我們有它們的時間常數（RC乘積）,，但是這里有一些微妙的復雜性需要處理,，而且還要考慮運算放大器的限制。

在運算放大器的輸入端,，乍看起來,，似乎較小的R3可能有助于降低噪聲，但事實恰恰相反,。 R3的熱噪聲以其取值平方根的形式上升,，噪聲增益也會隨著R3而下降,，因此運算放大器輸出上的R3噪聲隨著其取值以平方根的形式下降。 因此,，我們傾向于根據其他限制允許選擇最大的R3,。

Banerjee給出了相位頻率檢測器在頻率鎖定模式下的占空比，它是fref和fout / N之比的函數,，如下所示：

上式中的flower 取fref和fout / N中的最小值,。由于大多數VCO的鎖定頻率和其中心頻率的距離不是很遠，因此占空比很少超過10％（倍頻程型VCO是例外）,。

我們將ΔVmC3定義為在頻率鎖定采集事件期間,，我們希望在C3上施加的最大濾波電壓和Vref的差值（比如為了符合運算放大器的輸入要求）,?；诖耍覀兛梢詫3max寫一個關系式：

此外,，我們需要注意轉換速率限制,。 Banerjee提供了實驗證據，如果運算放大器的轉換速度不夠快,，則環(huán)路帶寬內的1 / f相位噪聲會惡化（通常會降低幾個分貝）,。最壞情況下的壓擺率（最高值）通常對應的是頻率鎖定過程結束時的頻率鎖定情況，由下式給出：

此外,，還需要注意運算放大器的帶寬限制問題,，不過，我們可以通過添加雙極輸入濾波器來減輕它的影響,。它可以幫助在濾波器件對運算放大器進行頻率限制,，以防止有超出其指定帶寬的信號到達它的輸入端。

接下來,，我們考慮運算放大器輸出電流在C4上的限制,。我們習慣于在運算放大器的數據手冊上看到嚴格的負載限制，但是,，當這些負載被直流隔離時,，許多負載可以驅動10Ω甚至更小的負載，即使是大電容也是如此,。不過,，如果PLL上的頻率發(fā)生很大變化，那么該電容會激發(fā)出較大的電流,，可能會超過運算放大器的最大值,，該限制值一般在10mA至100mA范圍內。從根本上說,，我們希望,，在較大的頻率變化期間,，運算放大器最大電流Iopmax能夠以與Dc * Ipd對C2充電相同的速率對C4充電。使用庫侖定律I * t = CV：

由于尺寸和成本的原因,，得到的這個最大值有時會超過我們想要在實際設計中使用的值,，而且，即使進行了直流隔離,，它也可能導致運算放大器的電阻值太小,。在這種情況下，我們先選擇R4的值,，讓它的其熱噪聲遠小于運算放大器的噪聲,，然后再計算C4 = T4 / R4。

后面的系列文章

本文給出的傳遞函數能夠用來揭示第2篇和第3篇文章中的噪聲來源和形狀,，這兩篇文章同時展示了推動完全集成的關鍵創(chuàng)新,，以及分立VCO制造商是如何進行反擊的。第4篇文章將介紹作為低噪聲合成器設計者武器的關鍵部件和CAD工具,。第5篇給出了集成和分立VCO合成器的要求和示例,。