前面我們講了導(dǎo)數(shù)/微分： “導(dǎo)數(shù)”是函數(shù)的原因,，函數(shù)是“導(dǎo)數(shù)”的結(jié)果,。 引出了積分： 不定積分，是把函數(shù)降維投影,，求到了一系列的投影 F(x) +C,。 定積分，是“原因”f(x) 經(jīng)過一段過程（a to b）所造成的結(jié)果改變,。  微分方程如果您從前面的專欄一路學(xué)過來,，就會(huì)有一種感覺，“微積分”的核心對(duì)象并不是“微分”與“積分”,，其實(shí)應(yīng)該是： 原函數(shù) 與 導(dǎo)函數(shù) 而微分積分只是研究原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間關(guān)系的一種方法,。 規(guī)律,，就是函數(shù) 如果，我們知道原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系,，如何求出原函數(shù)呢,？這就是： 微分方程（Differential equation，DE） 比如,，函數(shù) y=x 的導(dǎo)數(shù)為1,，那么反過來問：什么函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為1呢——
這就是最簡單的微分方程了。解就是：
微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù),，叫做微分方程的—— 階 所以上面就是一階微分方程,。 那為啥解里多個(gè) C 呢，因?yàn)楹茱@然,，x+C 的導(dǎo)數(shù)也是1呀,，它也滿足方程給出的條件。 除非再加個(gè)條件：
這樣,，解就只能是 y=x 了,，這種條件叫做 微分方程的初始條件 微分方程——DE 微分方程的應(yīng)用微分方程的應(yīng)用太多太多，甚至我們可以說,，微積分能有今天這種科學(xué)基石的地位,，很大一部分來自微分方程。 例幾個(gè)應(yīng)用一看便知： 力學(xué)
熱力學(xué)
 電磁學(xué)
流體力學(xué)
 導(dǎo)管中氣流的仿真：納維－斯托克斯方程 材料學(xué)
生物學(xué)
經(jīng)濟(jì)學(xué)
太多了
根本數(shù)不過來,，可以說,，沒有微分方程，就沒有現(xiàn)代科學(xué),。 為啥應(yīng)用這么廣還記得我們前面講過的么—— “導(dǎo)數(shù)”是函數(shù)的原因,，函數(shù)是“導(dǎo)數(shù)”的結(jié)果。 要解釋物體的位移現(xiàn)象,，就要研究速度,；要解釋速度，就要研究加速度,。 研究一個(gè)量的導(dǎo)數(shù)的規(guī)律,，才有可能從根本上理解這個(gè)量的規(guī)律。 微積分——研究世界的內(nèi)在規(guī)律 解微分方程列出微分方程就算是解決了一大半問題,，另一半就是解方程了,。 然而事實(shí)上，微分方程不太好解,，教材上一般也就列舉了幾種很特殊的微分方程的解法,，但其實(shí)真到了使用微分方程的時(shí)候，往往不在這幾種列舉的范圍之內(nèi),。 所以,，除要考試或以數(shù)學(xué)為專業(yè)外,，建議不要花時(shí)間在學(xué)習(xí)如何手算解微分方程上。 這個(gè)時(shí)代,，直接用計(jì)算機(jī)求解唄,！這么好的工具，一定要擅于使用,。
計(jì)算機(jī)是最好的幫手 MATLAB求解微分方程解析解求微分方程的解析解,，就是要求出函數(shù)的表達(dá)式,。 MATLAB中，一般用這個(gè)函數(shù)就能搞定： dsolve 例,，解方程：  syms a y(t)eqn = diff(y,t) == a*y;dsolve(eqn)ans =C2*exp(a*t) 簡單吧,，注意方程里的等號(hào)，要寫成“==”,。 （MATLAB中,，==表示等于，=表示賦值） 高階的也一樣?。?/p>  syms y(t) aeqn = diff(y,t,2) == a*y;ySol(t) = dsolve(eqn)ySol(t) =C2*exp(-a^(1/2)*t) + C3*exp(a^(1/2)*t) 如果有初始條件,，就把初始條件也寫成一個(gè)方程的形式，跟在方程后面,，如：  syms y(t) aeqn = diff(y,t) == a*y;cond = y(0) == 5;ySol(t) = dsolve(eqn,cond)ySol(t) =5*exp(a*t) 微分方程數(shù)值解其實(shí),，能求出解析解的微分方程并不多，基本都是“線性微分方程”和“低階的特殊微分方程”,，一般的非線性微分方程根本求不出解析解,，只能求出數(shù)值解。 |
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