1. 定義

在統(tǒng)計學(xué)中,，一個樣本的置信區(qū)間是對總體參數(shù)的一個區(qū)間估計,。置信區(qū)間給出的是，聲稱總體參數(shù)的真實值在測量值的區(qū)間所具有的可信程度或者說是概率,。這個概率又叫做置信水平,。舉例來說：再一次大選中，上帝視角看到某人的支持率是55%,，而置信水平0.95上的置信區(qū)間是(50%,60%),，那么他的真實支持率落在50%到60%之間的概率為95%，如果分布是對稱的,，那么他支持率不足50%的概率只有2.5%,。

對于一個給定的情況,，置信水平越高，置信區(qū)間就會越大,。置信區(qū)間表示具體的某個范圍,，置信水平是一個概率，表示真實值落在這個區(qū)間內(nèi)的概率,。

2. 參數(shù)估計

置信區(qū)間屬于參數(shù)估計中的區(qū)間估計

參數(shù)估計主要包括點估計和區(qū)間估計,。其中點估計包括：一階矩、二階矩估計,、極大似然估計,、最小二乘法估計。而置信區(qū)間屬于區(qū)間估計,。

3. 置信區(qū)間

我們通過對人類身高的估計來講解什么是置信區(qū)間,。

3.1 上帝視角

對于人類的平均身高，沒有辦法全部統(tǒng)計,，因為人太多,。但是這個數(shù)據(jù)肯定是真實存在的，我們可以說,，上帝知道,。也就是說上帝視角可以看到人類身高的真是分布，假設(shè)滿足正態(tài)分布：均值145,，標準差1.4.

3.2 點估計

愚蠢的人類想要統(tǒng)計平均身高,，沒有別的辦法，只能進行抽樣統(tǒng)計

比如在一次抽樣過程中,，我們把算出來的樣本均值畫在圖上,，藍色點表示：

那么這個抽樣的身高均值就是對真是平均身高的一次點估計。通過一次又一次的抽樣,，我們可以得到很多個不同的點估計：

現(xiàn)在,，關(guān)閉上帝視角，根本無法判斷哪個點估計更好：

總結(jié)：對于點估計來說,，直接用樣本的均值去估計真實的均值,。看上去好像比區(qū)間估計要精確,。其實不是這樣的,，如果只用點估計，那么估計正確的概率為0.P(u1 = u) = 0

置信區(qū)間雖然依舊不知道哪個估計更好,，但是可以給出一個概率,。

3.3 置信區(qū)間

提供的是一種區(qū)間估計的辦法。不再是直接估計參數(shù)的值，而是估計區(qū)間包含真實值的概率,。比如95%置信區(qū)間就是指,，給出的這個置信區(qū)間有95%的可能會包含真實值。（一般不說：參數(shù)的真實值會以95%的概率落在這個區(qū)間中,。因為參數(shù)的真實值不是隨機的,，他就一個值，而我們的區(qū)間才是隨機的變化的）,。

用點估計給出的估計是X‘ 而用區(qū)間估計給出的是區(qū)間[X’-1, X’+1],區(qū)間估計估計正確的概率是：

依舊是之前估計人類身高的問題,，假設(shè)我們用一個固定長度的區(qū)間去估計人類身高的均值：

假設(shè)選定這個固定長度后，我們抽取不同的樣本,，得到了不同的估計區(qū)間,。對于某些抽取的樣本來說，估計的區(qū)間包含真實值（比如綠色）,，另一些則不包含（比如紅色）,。如果在100次的抽取樣本實驗過程中，有95次構(gòu)造的估計區(qū)間都包含了真實值,，那么置信度就為95%,。

3.4 置信區(qū)間的長度和中點是怎么得到的

我們以95%的置信區(qū)間來說明

假設(shè)人群身高符合正態(tài)分布：

其中均值不知道，但是方差已經(jīng)知道了,。目標：估計均值,。

我們不斷的對人群進行采樣，得到了一個大小為n的樣本空間,，樣本的均值為：

那么M也服從于正態(tài)分布：

接下來,，我們算出以u為中心，面積為0.95的一個區(qū)間,。在上帝視角看來是這樣的：

即：

那現(xiàn)在我們沒有辦法得到真實的均值,。那么只能用抽樣樣本的均值進行替換了。但是替換之后也出現(xiàn)了一個問題,，樣本均值和真實值之間存在一定偏差,，所以即時區(qū)間長度相同，得到的區(qū)間也不同,。假設(shè)我們抽樣得到了100個區(qū)間,，如下圖：

可以看到，有的區(qū)間包含了真實值,，有的區(qū)間沒有包含真實值,。那么100個區(qū)間，有多少個包含了真實值那,？答案是95%。換個問法：從這100個區(qū)間中隨機取一個區(qū)間，那么包含真實值的概率是多少那,？答案是95%,。

常見正態(tài)分布的圖還是可以記一哈：

3.5 如何評價區(qū)間估計的好壞

常用的標準有兩類：（1）置信度標準 （2）精確度標準

置信度是一個概率，表示估計的區(qū)間包含真實值的概率,。顯然,，置信度越大越好。

置信系數(shù)是置信度在參數(shù)空間上的下邊界,。因為對于不同的參數(shù),，估計出來的置信度不同，顯然,，我們希望最小的置信度也盡可能的大,。所以置信系數(shù)越大越好。

精確度標準很多,，最常用的是隨機區(qū)間的平均長度,，顯然平均長度越小越好。