高中物理

第五章：萬有引力定律 人造地球衛(wèi)星

1．開普勒行星運動三定律簡介（軌道,、面積、比值）

丹麥開文學(xué)家開普勒信奉日心說,，對天文學(xué)家有極大的興趣,，并有出眾的數(shù)學(xué)才華，開普勒在其導(dǎo)師弟谷連續(xù)20年對行星的位置進行觀測所記錄的數(shù)據(jù)研究的基楚上,，通過四年多的刻苦計算,，最終發(fā)現(xiàn)了三個定律。

第一定律：所有行星都在橢圓軌道上運動,，太陽則處在這些橢圓軌道的一個焦點上,；

第二定律：行星沿橢圓軌道運動的過程中，與太陽的連線在單位時間內(nèi)掃過的面積相等,；

第三定律：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等．即

開普勒行星運動的定律是在丹麥天文學(xué)家弟谷的大量觀測數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上概括出的，給出了行星運動的規(guī)律,。

2．萬有引力定律及其應(yīng)用

(1)內(nèi)容：宇宙間的一切物體都是相互吸引的,，兩個物體間的引力大小跟它們的質(zhì)量成積成正比，跟它們的距離平方成反比,，引力方向沿兩個物體的連線方向,。

（1687年）

叫做引力常量,，它在數(shù)值上等于兩個質(zhì)量都是1kg的物體相距1m時的相互作用力,，1798年由英國物理學(xué)家卡文迪許利用扭秤裝置測出。

萬有引力常量的測定——卡文迪許扭秤

實驗原理是力矩平衡,。

實驗中的方法有力學(xué)放大（借助于力矩將萬有引力的作用效果放大）和光學(xué)放大（借助于平面境將微小的運動效果放大）,。

萬有引力常量的測定使卡文迪許成為“能稱出地球質(zhì)量的人”：對于地面附近的物體m，有

（式中R_E為地球半徑或物體到地球球心間的距離），可得到

。

定律的適用條件：嚴格地說公式只適用于質(zhì)點間的相互作用,，當(dāng)兩個物體間的距離遠遠大于物體本身的大小時,，公式也可近似使用，但此時r應(yīng)為兩物體重心間的距離．對于均勻的球體,，r是兩球心間的距離．

當(dāng)兩個物體間的距離無限靠近時,，不能再視為質(zhì)點，萬有引力定律不再適用,，不能依公式算出F近為無窮大,。

注意：萬有引力定律把地面上的運動與天體運動統(tǒng)一起來，是自然界中最普遍的規(guī)律之一,，式中引力恒量G的物理意義是：G在數(shù)值上等于質(zhì)量均為1kg的兩個質(zhì)點相距1m時相互作用的萬有引力．

(3)地球自轉(zhuǎn)對地表物體重力的影響,。

重力是萬有引力產(chǎn)生的，由于地球的自轉(zhuǎn),，因而地球表面的物體隨地球自轉(zhuǎn)時需要向心力．重力實際上是萬有引力的一個分力．另一個分力就是物體隨地球自轉(zhuǎn)時需要的向心力,，如圖所示，在緯度為

的地表處，萬有引力的一個分力充當(dāng)物體隨地球一起繞地軸自轉(zhuǎn)所需的向心力F向=mRcos

·ω²（方向垂直于地軸指向地軸），而萬有引力的另一個分力就是通常所說的重力mg,，其方向與支持力N反向,，應(yīng)豎直向下，而不是指向地心,。

由于緯度的變化,，物體做圓周運動的向心力F向不斷變化，因而表面物體的重力隨緯度的變化而變化,，即重力加速度g隨緯度變化而變化,，從赤道到兩極R逐漸減小，向心力mRcos

·ω²減小，重力逐漸增大,，相應(yīng)重力加速度g也逐漸增大,。

在赤道處,，物體的萬有引力分解為兩個分力F_向和m₂g剛好在一條直線上，則有F＝F_向＋m₂g,，所以m₂g=F一F_向＝G

－m₂Rω_自²,。

物體在兩極時,，其受力情況如圖丙所示，這時物體不再做圓周運動,，沒有向心力,，物體受到的萬有引力F_引和支持力N是一對平衡力，此時物體的重力mg＝N＝F_引,。

綜上所述

重力大?。簝蓚€極點處最大,，等于萬有引力；赤道上最小，其他地方介于兩者之間,，但差別很小,。

重力方向：在赤道上和兩極點的時候指向地心，其地方都不指向地心,，但與萬有引力的夾角很小,。

由于地球自轉(zhuǎn)緩慢，物體需要的向心力很小,，所以大量的近似計算中忽略了自轉(zhuǎn)的影響,，在此基礎(chǔ)上就有：地球表面處物體所受到的地球引力近似等于其重力，即

≈mg

說明：由于地球自轉(zhuǎn)的影響，從赤道到兩極,，重力的變化為千分之五,；地面到地心的距離每增加一千米，重力減少不到萬分之三,，所以,，在近似的計算中，認為重力和萬有引力相等,。

萬有引力定律的應(yīng)用

基本方法：衛(wèi)星或天體的運動看成勻速圓周運動,，F(xiàn)_萬=F_心(類似原子模型)

方法：軌道上正常轉(zhuǎn)：

地面附近：G

=mg

GM=gR²(黃金代換式)

（1）天體表面重力加速度問題

通常的計算中因重力和萬有引力相差不大,，而認為兩者相等，即m₂g＝G

，g=GM/R²常用來計算星球表面重力加速度的大小,，在地球的同一緯度處,，g隨物體離地面高度的增大而減小，即g_h=GM/（R+h）²,，比較得g_h=（

）²·g

設(shè)天體表面重力加速度為g，天體半徑為R,，由mg=

得g=

，由此推得兩個不同天體表面重力加速度的關(guān)系為

（2）計算中心天體的質(zhì)量

某星體m圍繞中心天體m_中做圓周運動的周期為T,，圓周運動的軌道半徑為r,，則：

由

得：

例如：利用月球可以計算地球的質(zhì)量,，利用地球可以計算太陽的質(zhì)量,。

可以注意到：環(huán)繞星體本身的質(zhì)量在此是無法計算的。

（3）計算中心天體的密度

ρ=

=

=

由上式可知,，只要用實驗方法測出衛(wèi)星做圓周運動的半徑r及運行周期T,，就可以算出天體的質(zhì)量M．若知道行星的半徑則可得行星的密度

（4）發(fā)現(xiàn)未知天體

用萬有引力去分析已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的星體的運動，可以知道在此星體附近是否有其他星體,，例如：歷史上海王星是通過對天王星的運動軌跡分析發(fā)現(xiàn)的,。冥王星是通過對海王星的運動軌跡分析發(fā)現(xiàn)的。

人造地球衛(wèi)星

這里特指繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星，實際上大多數(shù)衛(wèi)星軌道是橢圓,，而中學(xué)階段對做橢圓運動的衛(wèi)星一般不作定量分析,。

1、衛(wèi)星的軌道平面：由于地球衛(wèi)星做圓周運動的向心力是由萬有引力提供的,，所以衛(wèi)星的軌道平面一定過地球球心,，球球心一定在衛(wèi)星的軌道平面內(nèi)。

2、原理：由于衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動,，所以地球?qū)πl(wèi)星的引力充當(dāng)衛(wèi)星所需的向心力,，于是有

實際是牛頓第二定律的具體體現(xiàn),。

3、表征衛(wèi)星運動的物理量：線速度,、角速度,、周期等：

（1）向心加速度

與r的平方成反比,。

=

當(dāng)r取其最小值時,，

取得最大值,。

a_向max=

=g=9.8m/s²

（2）線速度v與r的平方根成反比

v=

∴當(dāng)h↑，v↓

當(dāng)r取其最小值地球半徑R時,，v取得最大值,。v_max=

=

=7.9km/s

（3）角速度

與r的三分之三次方成百比

=

∴當(dāng)h↑,，ω↓

當(dāng)r取其最小值地球半徑R時,，

取得最大值,。

_max=

=

≈1.23×10^－3rad/s

（4）周期T與r的二分之三次方成正比,。

T=2

∴當(dāng)h↑,，T↑

當(dāng)r取其最小值地球半徑R時，T取得最小值,。

T_min=2

=2

≈84min

衛(wèi)星的能量：(類似原子模型)

r增

v減小(E_K減小<>_p增加)，所以E_總增加;需克服引力做功越多,，地面上需要的發(fā)射速度越大

應(yīng)該熟記常識：

地球公轉(zhuǎn)周期1年,，自轉(zhuǎn)周期1天=24小時=86400s，地球表面半徑6.4ｘ10³km 表面重力加速度g=9.8m/s²月球公轉(zhuǎn)周期30天