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關(guān)于天體的計(jì)算

 三中劉斌 2017-12-08
    關(guān)于天體的計(jì)算,我們可以歸納出這樣幾種典型問(wèn)題:1.重力加速度的計(jì)算;2.中心天體質(zhì)量的計(jì)算;3.第一宇宙速度的計(jì)算;4.中心天體密度的計(jì)算;5.周期與時(shí)間計(jì)算。 例題解讀 1.重力加速度 例1.宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球,經(jīng)過(guò)時(shí)間t小球落回原處;若他在某星球表面以相
    同的初速度豎直上拋同一小球,需經(jīng)過(guò)時(shí)間5t小球落回原處,。(取地球表面重力加速度g=10 m/s2,空氣阻力不計(jì))
    ⑴求該星球表面附近的重力加速度g/;
    ⑵已知該星球的半徑與地球半徑之比為R星:R地=1:4物理論文,求該星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比M星:M地。
    解析:⑴
    所以有:
    ⑵,所以
    可解得:M星:M地=1′12:5′42=1:80,
    點(diǎn)撥:重力加速度的計(jì)算,我們一般這樣處理,。由得,式中R為中心天體的半徑,h為物體距中心天體表面的高度,。
    2.質(zhì)量
    例2.兩個(gè)星球組成雙星,它們?cè)谙嗷ブg的萬(wàn)有引力作用下,繞連線上某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。現(xiàn)測(cè)得兩星中心距離為R,其運(yùn)動(dòng)周期為T(mén),求兩星的總質(zhì)量,。
    解析:此為天體運(yùn)動(dòng)的雙星問(wèn)題,除兩星間的作用外物理論文,其他天體對(duì)其不產(chǎn)生影響,。
    兩星球周期相同,有共同的圓心,且間距不變,其空間分布如圖2所示。
    圖2
    設(shè)兩星質(zhì)量分別為M1和M2,都繞連線上O點(diǎn)做周期為T(mén)的圓周運(yùn)動(dòng),兩星到圓心的距離分別為L(zhǎng)1和L2,由于萬(wàn)有引力提供向心力,
    故有 =M 1 ①
    =M 2 ②
    由幾何關(guān)系知 L1+L2=R, ③
    聯(lián)立解得 M1+M2=
    點(diǎn)撥:天體質(zhì)量的計(jì)算,我們的一般過(guò)程是這樣的,。1.由得;2.由得.
    本題的解答告訴我們,物體在中心天體表面或表面附近時(shí)物理論文,物體所受重力近似等于萬(wàn)有引力,。該式給出了中心天體質(zhì)量,、半徑及其表面附近的重力加速度之間的關(guān)系,是一個(gè)非常有用的代換式。
    3.第一宇宙速度
    例3.若取地球的第一宇宙速度為8 km/s,某行星的質(zhì)量是地球的6倍,半徑是地球的1.5倍,這行星的第一宇宙速度約為 ( )
    A.16 km/s B.32 km/s
    C.4 km/s D.2 km/s
    解析: 此類(lèi)題要結(jié)合第一宇宙速度的計(jì)算公式進(jìn)行對(duì)比分析來(lái)計(jì)算.
    由G=m得v=.
    因?yàn)樾行堑馁|(zhì)量M′是地球質(zhì)量M的6倍,半徑R′是地球半徑R的1.5倍.即M′=6M,R′=1.5R得:
    =2
    即:v′=2v=2×8 km/s=16 km/s.答案為A.
    點(diǎn)撥:計(jì)算第一宇宙速度有兩種方法:1.由G=得:v=;2.由mg=m得:v=,。
    4.密度
    例4.中子星是恒星演化過(guò)程的一種可能結(jié)果,它的密度很大?,F(xiàn)有一中子星,觀測(cè)到它的自轉(zhuǎn)周期為T(mén)=。問(wèn)該中子星的最小密度應(yīng)是多少才能維持該星體的穩(wěn)定,不致因自轉(zhuǎn)而瓦解,。計(jì)算時(shí)星體可視為均勻球體,。(引力常數(shù)G=6.67×10-11m3/kg·s2)
    解析:考慮中子星赤道處一小塊物質(zhì),只有當(dāng)它受到的萬(wàn)有引力大于或等于它隨星體一起旋轉(zhuǎn)所需的向心力時(shí)物理論文,中子星才不會(huì)瓦解。
    設(shè)中子星的密度為ρ,質(zhì)量為M,半徑為R,自轉(zhuǎn)角速度為ω,位于赤道處的小塊物質(zhì)質(zhì)量為m,則有
    由以上各式得
    代人數(shù)據(jù)解得
    點(diǎn)撥:計(jì)算天體密度時(shí),我們要注意下面的兩個(gè)過(guò)程:1.由和得;2.由 和得,。
    5.周期
    例5.神舟五號(hào)載人飛船在繞地球飛行的第5圈進(jìn)行變軌,由原來(lái)的橢圓軌道變?yōu)榫嗟孛娓叨萲m的圓形軌道,。已知地球半徑km,地面處的重力加速度。試導(dǎo)出飛船在 上述圓軌道上運(yùn)行的周期T的公式(用h,、R,、g表示),然后計(jì)算周期T的數(shù)值(保留兩位有效數(shù)字) 設(shè)地球質(zhì)量為M,飛船質(zhì)量為m物理論文,速度為v,圓軌道的半徑為r,由萬(wàn)有引力和牛頓第二定律,有 地面附近 由已知條件 解以上
    各式得
    代入數(shù)值,得
    。
    例6.我國(guó)發(fā)射的“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿近似于圓形軌道繞月飛行,。為了獲得月球表面全貌的信息,讓衛(wèi)星軌道平面緩慢變化,。衛(wèi)星將獲得的信息持續(xù)用微波信號(hào)發(fā)回地球。設(shè)地球和月球的質(zhì)量分別為M和m,地球和月球的半徑分別為R和R1,月球繞地球的軌道半徑和衛(wèi)星繞月球的軌道半徑分別為r和r1,月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的周期為T(mén),。假定在衛(wèi)星繞月運(yùn)行的一個(gè)周期內(nèi)衛(wèi)星軌道平面與地月連心線共面,求在該周期內(nèi)衛(wèi)星發(fā)射的微波信號(hào)因月球遮擋而不能到達(dá)地球的時(shí)間(用M,、m、R,、R1,、r、r1和T表示,忽略月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)遮擋時(shí)間的影響),。
    解析:如圖3所示:
    ??
    設(shè)O和分別表示地球和月球的中心.在衛(wèi)星軌道平面上物理論文,A是地月連心線與地月球表面的公切線ACD的交點(diǎn),D,、C和B分別是該公切線與地球表面、月球表面和衛(wèi)星軌道的交點(diǎn).過(guò)A點(diǎn)在另一側(cè)作地月球面的公切線,交衛(wèi)星軌道于E點(diǎn).衛(wèi)星在圓弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)出的信號(hào)被遮擋.
    設(shè)探月衛(wèi)星的質(zhì)量為m0,萬(wàn)有引力常量為G,根據(jù)萬(wàn)有引力定律有:
    ……………………①
    ……………………②
    ②式中,T1表示探月衛(wèi)星繞月球轉(zhuǎn)動(dòng)的周期.
    由以上兩式可得:…………③
    設(shè)衛(wèi)星的微波信號(hào)被遮擋的時(shí)間為t,則由于衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng),
    應(yīng)有:……………………④
    上式中,.
    由幾何關(guān)系得:………………⑤
    …………………………⑥
    由③④⑤⑥得:……………………⑦

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