正方體是最基本最常見的立體圖形,，想象一下其中的點(diǎn),、線、面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,，的確是個(gè)很有意思的問題,。有很多試題都涉及正方體中的計(jì)數(shù)問題，我們選其中一些挑戰(zhàn)一下,，看看能否想得明白,，算得清楚，數(shù)得準(zhǔn)確,。

    問題1：正方體的12條棱所在的直線中,，相互異面的有多少對(duì)？

問題2：正方體的12條棱所在的直線中,，兩兩異面的三條直線為一組,，則不同的直線組有多少組？

問題3：正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中,，能組成四面體的四點(diǎn)組有多少組,？

問題4：正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)確定一條直線，四個(gè)共面的頂點(diǎn)確定一個(gè)平面,，若直線與平面垂直,，成為一組“正交線面對(duì)”，這樣的不同正交線面對(duì)有多少對(duì),？

問題5：正方體的8個(gè)頂點(diǎn),，12條棱的中點(diǎn)，6個(gè)面的中心,，正方體的中心共27個(gè)點(diǎn),，選其中的三個(gè)點(diǎn)，其中恰好共線的三點(diǎn)組有多少組,？

問題6：將正方體的六個(gè)面涂上顏色,，現(xiàn)在有6種顏色可供選擇，使得有公共棱相鄰的兩個(gè)面所涂顏色不同,，則不同的涂色方法有多少種,？（若將正方體旋轉(zhuǎn)或者翻折所涂顏色一致為同一種涂法,。）

【分析】1：每條棱所在直線，與其異面的有4條,，故共有12×4÷2=24對(duì),。因?yàn)楫惷娌环直舜耍墙M合,，故應(yīng)除以2,。

【分析】2：根據(jù)對(duì)稱性，先選定一條棱,，則與其同時(shí)異面的異面直線對(duì)恰好2對(duì),，于是不同的三條直線組有12×2÷3=8組。因?yàn)槿龡l直線組(a,b,c),，先選定a,還是先選b或者c,，重復(fù)計(jì)算了三次。

【分析】3：考慮反面,，四點(diǎn)恰好共面的有6個(gè)表面,，6個(gè)對(duì)角面。8個(gè)點(diǎn)中選4個(gè)的組合數(shù)為70,，故所求四面體個(gè)數(shù)為70-12=58個(gè),。

【分析】4：利用問題3的結(jié)論，若平面為表面,，與每個(gè)面垂直的線有4條,；若平面為對(duì)角面，與每個(gè)面垂直的直線有2條,，故“正交線面對(duì)”共有36對(duì),。

【分析】5：方法一：注意到三點(diǎn)共線時(shí)，總是一條線段及中點(diǎn),，故根據(jù)中點(diǎn)的位置分類計(jì)算線段數(shù)。中點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí),，共12條線段,；中點(diǎn)為各面的中心時(shí)，共有6×4=24條線段,；中點(diǎn)為正方體的中心時(shí),，根據(jù)中心對(duì)稱性，共有26÷2=13條,?？偣矠?/span>49條線段，即有49組三點(diǎn)共線,。

方法二：三點(diǎn)共線組成的線段,，考慮其長度,。若記正方體棱長為1，則三點(diǎn)共線的線段長度有1,，√2,，√3這三種情況。長度為1的線段分三個(gè)方向,，共3×9=27條,；長度為√2的線段也分三個(gè)方向，共3×6=18條,；長度為√3的線段為正方體的對(duì)角線,，共4條。故所求三點(diǎn)共線的線段總數(shù)為49條,。

【分析】6：因?yàn)榭梢孕D(zhuǎn)和翻折,，需要較強(qiáng)的空間想象力。從計(jì)數(shù)角度看,，至少需要3種顏色,，故按所選顏色種數(shù)為3，4,，5,，6分類計(jì)算。

所選3種顏色時(shí),，顏色選定,，其實(shí)只有一種涂法，故相當(dāng)于從6種顏色中選哪三種,，共20種可能,；

所選6種顏色時(shí)，固定上面的顏色,，下面顏色不同則涂法不同,，即有5種不同涂法；側(cè)面可以旋轉(zhuǎn),，即剩下四種顏色的環(huán)排列,，共6種情況，總計(jì)為30種不同涂法,。

所選顏色為5種時(shí),，可以固定上下面顏色相同，有6種可能,。然后從剩下5種顏色中選四種涂在側(cè)面,，此時(shí)不但可以旋轉(zhuǎn)，還可以翻轉(zhuǎn),，即不但是環(huán)排列一樣,，順時(shí)針逆時(shí)針也算一種,，故共有5×3=15種，總計(jì)為90種涂法,。

所選顏色為4種時(shí),，有兩組對(duì)面顏色相同，可以看成是側(cè)面,。選定顏色后只有一種涂法,，上下兩個(gè)面的涂法可以翻轉(zhuǎn)，故共有15×6=90種,。

綜上,，不同的涂色方法共有230種。

小結(jié)：這些問題,，你算對(duì)了嗎,？沒有，是因?yàn)橄胂罅Σ粔?？分類混亂,？排列組合基本功不扎實(shí)？哎,，就是想不到,！