數(shù)學(xué)發(fā)展史大致可以分為四個階段：

1. 數(shù)學(xué)起源時期

2. 初等數(shù)學(xué)時期

3. 近代數(shù)學(xué)時期

4. 現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期

一、數(shù)學(xué)起源時期 （ 遠(yuǎn)古 —— 公元前5世紀(jì) ）

這一時期：建立自然數(shù)的概念,；認(rèn)識簡單的幾何圖形,；算術(shù)與幾何尚未分開,。

? 數(shù)學(xué)起源于四個“河谷文明”地域：非洲的 尼羅河；西亞的 底格里斯河與幼發(fā)拉底河,；中南亞的 印度河與恒河；東亞的 黃河與長江

? 當(dāng)對數(shù)的認(rèn)識(計數(shù))變得越來越明確時,，人們感到有必要以某種方式來表達(dá)事物的這一屬性,，于是導(dǎo)致了記數(shù)。人類現(xiàn)在主要采用十進(jìn)制,，與“人的手指共有十個”有關(guān),。 而記數(shù)也是伴隨著計數(shù)的發(fā)展而發(fā)展的。

記數(shù)：刻痕記數(shù)是人類最早的數(shù)學(xué)活動,，考古發(fā)現(xiàn)有3萬年前的狼骨上的刻痕,。

? 古埃及的象形數(shù)字出現(xiàn)在約公元前3400年；

? 巴比倫的楔形數(shù)字出現(xiàn)在約公元前2400年,；

? 中國的甲骨文數(shù)字出現(xiàn)在約公元前1600年,。

? 古埃及的紙草書和羊皮書及巴比倫的泥板文書記載了早期數(shù)學(xué)的內(nèi)容，年代可以追溯到公元前2000年,，其中甚至有“整勾股數(shù)”及二次方程求解的記錄,。

? 捷克摩拉維亞狼骨（約三萬年前）

? 莫斯科紙草書

? 2 0世紀(jì)在兩河流域有約50萬塊泥版文書出土，其中300多塊與數(shù)學(xué)有關(guān)西安半坡遺址：中國西安半坡遺址反映的是約公元前6000年的人類活動,，那里出土的彩陶上有多種幾何圖形,，包括平行線、三角形,、圓,、長方形、菱形等,。

? 埃及金字塔：建于約公元前2900年的埃及法老胡夫 的金字塔,，塔基每邊長約230米，塔基的正方程度與水平程度的平均誤差不超過萬分之一,。

? 中國的《周髀算經(jīng)》（公元前200年成書）：宋刻本《周髀算經(jīng)》（西周,，前1100年）

《周髀算經(jīng)》中關(guān)于勾股定理的記載

二、初等數(shù)學(xué)時期 （ 前6世紀(jì)——公元16世紀(jì) ）

也稱常量數(shù)學(xué)時期,，這期間逐漸形成了初等數(shù)學(xué)的主要分支：算術(shù),、幾何、代數(shù),、三角,。 該時期的基本成果，構(gòu)成現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容,。

這一時期又分為三個階段： 古希臘,；東方,；歐洲文藝復(fù)興。

1．古希臘（前6世紀(jì)——公元6世紀(jì)）

畢達(dá)哥拉斯 —— “ 萬物皆數(shù)“ 歐幾里得 —— 幾何《原本》

阿基米德 —— 面積,、體積 阿波羅尼奧斯 —— 《圓錐曲線論》

托勒密 —— 三角學(xué) 丟番圖 —— 不定方程

2．東方 （公元2世紀(jì)——15世紀(jì)）

1） 中國

① 西漢（前2世紀(jì)） ——《周髀算經(jīng)》,、《九章算術(shù)》

②魏晉南北朝（公元3世紀(jì)——5世紀(jì)）——劉徽、祖沖之出入相補(bǔ)原理,，割圓術(shù),，算π

③ 宋元時期 （公元10世紀(jì)——14世紀(jì)）

宋元四大家——李冶 （1192～1279）、 秦九韶（約1202～約1261）,、 楊輝 （13世紀(jì)下半葉）,、朱世杰（13世紀(jì)末～14世紀(jì)初）

天元術(shù)、正負(fù)開方術(shù) —— 高次方程數(shù)值求解,；

大衍總數(shù)術(shù) —— 一次同余式組求解

2）印度

現(xiàn)代記數(shù)法（公元8世紀(jì)）——印度數(shù)碼，有0,，負(fù)數(shù),；

十進(jìn)制（后經(jīng)阿拉伯傳入歐洲，也稱阿拉伯記數(shù)法）

數(shù)學(xué)與天文學(xué)交織在一起

阿耶波多——《阿耶波多歷數(shù)書》（公元499年） 開創(chuàng)弧度制度量

婆羅摩笈多——《婆羅摩修正體系》,、《肯特卡迪亞格》 代數(shù)成就可貴

婆什迦羅——《莉拉沃蒂》,、《算法本源》（12世紀(jì)） 算術(shù)、代數(shù),、組合學(xué)

3）阿拉伯國家（公元8世紀(jì)——15世紀(jì)）

花拉子米——《代數(shù)學(xué)》（阿拉伯文《還原與對消計算概要》）曾長期作為歐洲的數(shù)學(xué)課本,，“代數(shù)”一詞，即起源于此,；阿拉伯語原意是“還原”,，即“移項”；此后,，代數(shù)學(xué)的內(nèi)容,，主要是解方程。

阿布爾．維法 奧馬爾．海亞姆

3．歐洲文藝復(fù)興時期（公元16世紀(jì)——17世紀(jì)初）

1）方程與符號：意大利－ 塔塔利亞,、卡爾丹,、費拉里 三次方程的求根公式

法國 － 韋達(dá) 引入符號系統(tǒng)，代數(shù)成為獨立的學(xué)科

2）透視與射影幾何 ：畫家 － 布努雷契,、柯爾比,、迪勒、達(dá)．芬奇

數(shù)學(xué)家 － 阿爾貝蒂,、德沙格,、帕斯卡、拉伊爾

3）對數(shù)：簡化天文、航海方面煩雜計算,，把乘除轉(zhuǎn)化為加減,。

英國數(shù)學(xué)家 － 納皮爾

三、近代數(shù)學(xué)時期（公元17世紀(jì)——19世紀(jì)初）

家庭手工業(yè),、作坊 →→ 工場手工業(yè) →→ 機(jī)器大工業(yè)

貿(mào)易及殖民地 →→ 航海業(yè)空前發(fā)展

對運動和變化的研究成了自然科學(xué)的中心→→變量,、函數(shù)

1．笛卡爾的坐標(biāo)系（1637年的《幾何學(xué)》）

２．牛頓和萊布尼茲的微積分 （17世紀(jì)后半期）

微積分的起源，主要來自對解決兩個方面問題的需要：

? 一是力學(xué)的一些新問題,，已知路程對時間的關(guān)系求速度,，及已知速度對時間的關(guān)系求路程；

? 二是幾何學(xué)的一些老問題,，作曲線在某點的切線問題，及求面積和體積的問題,。

３．微分方程,、變分法、微分幾何,、復(fù)變函數(shù),、概率論

? 微分方程論研究的是這樣一種方程，方程中的未知項不是數(shù),，而是函數(shù),。

? 變分法研究的是這樣一種極值問題，所求的極值不是點或數(shù),，而是函數(shù),。

? 微分幾何是關(guān)于曲線和曲面的一般理論。

? 與微分幾何相聯(lián)系的解析幾何在18世紀(jì)也有長足的發(fā)展,，被推廣到三維情形,，并突破了笛卡爾當(dāng)年解析幾何僅僅作為求解幾何問題的代數(shù)技巧的界限。

微積分及其中變量,、函數(shù)和極限等概念,，運動、變化等思想,，使辯證法滲入了全部數(shù)學(xué),；并使數(shù)學(xué)成為精確地表述自然科學(xué)和技術(shù)的規(guī)律及有效地解決問題的得力工具。

4．代數(shù)基本定理（1799年）高斯

? 這一時期代數(shù)學(xué)的主題仍然是代數(shù)方程,。

? 18世紀(jì)的最后一年,，高斯的博士論文給出了具有重要意義的“代數(shù)基本定理”的第一個證明。

? 該定理斷言,，在復(fù)數(shù)范圍里,，n次多項式方程有n個根。

“分析”、“代數(shù)”,、“幾何”三大分支

在18世紀(jì),，由微積分、微分方程,、變分法等構(gòu)成的“分析”,，已經(jīng)成為與代數(shù)、幾何并列的數(shù)學(xué)的三大學(xué)科,，并且在這個世紀(jì)里,，其繁榮程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了代數(shù)和幾何。

第三時期（近代數(shù)學(xué)時期）的基本結(jié)果,，如解析幾何,、微積分、微分方程,，高等代數(shù),、概率論等，已成為高等學(xué)校數(shù)學(xué)教育的主要內(nèi)容,。

四,、現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期（19世紀(jì)20年代—— ）

進(jìn)一步劃分為三個階段：現(xiàn)代數(shù)學(xué)醞釀階段（1820——1870年）；

現(xiàn)代數(shù)學(xué)形成階段（1870——1950年）,；

現(xiàn)代數(shù)學(xué)繁榮階段（1950——現(xiàn)在）,。

１．康托的“集合論”

2．柯西、魏爾斯特拉斯等人的“數(shù)學(xué)分析”

3．希爾伯特的“公理化體系” 4．高斯,、羅巴契夫斯基,、波約爾、黎曼的“非歐幾何”

5．伽羅瓦創(chuàng)立的“抽象代數(shù)”

6．黎曼開創(chuàng)的“現(xiàn)代微分幾何”

7．龐加萊創(chuàng)立的“拓?fù)鋵W(xué)” 8. 其它：數(shù)論,、隨機(jī)過程,、數(shù)理邏輯、組合數(shù)學(xué),、計算數(shù)學(xué),、分形與混沌 等等

第二節(jié) 數(shù)學(xué)發(fā)展中心的遷移

一． 數(shù)學(xué)發(fā)展中心遷移的規(guī)律：數(shù)學(xué)的發(fā)展與其它科學(xué)的發(fā)展一樣，有一些要素：第一要有客觀需求,，第二要有經(jīng)濟(jì)保障,，第三要有文化環(huán)境，第四要有大批人才,。 第四點是標(biāo)志,，而前三點是產(chǎn)生第四點的基礎(chǔ)。

粗線條的遷移路徑

①公元前600年——公元前后

古希臘 （古代奴隸制社會鼎盛的中心） 泰勒斯,、畢達(dá)哥拉斯,、歐幾里得,、阿基米德、阿波羅尼奧斯

②公元前后——公元14世紀(jì) 中國,、印度,、阿拉伯（封建經(jīng)濟(jì)的繁榮）

中國：劉徽、祖沖之,、泰九韶,、楊輝、沈括,、李冶,、朱世杰

印度：阿耶波多、波羅摩笈多,、馬哈維拉,、婆什迦羅 阿拉伯：花拉子米、奧馬·海亞姆

③15世紀(jì)——17世紀(jì) 意大利,、法國 （資本主義興起,、文藝復(fù)興）

意大利：達(dá)·芬奇、塔塔利亞,、卡爾丹 法 國：韋達(dá),、笛卡兒,、費馬,、卡瓦列里

④17世紀(jì)——18世紀(jì) 英國 （資產(chǎn)階級革命帶來的海上霸權(quán)） 納皮爾、巴羅,、牛頓,、泰勒、麥克勞林

⑤18世紀(jì)——19世紀(jì)前半 法國,、德國（法國大革命）

達(dá)朗貝爾,、拉普拉斯、拉格朗日,、勒讓德,、柯西、傅立葉,、伽羅瓦,、歐拉（瑞士）、高斯

⑥19世紀(jì)后半——20世紀(jì)30年代 德國,、法國（德國統(tǒng)一運動）

黎曼,、克萊因、魏爾斯特拉斯,、克羅涅克爾,、勒貝格、康托、龐加萊,、希爾伯特,、嘉當(dāng)

⑦20世紀(jì)40年代——現(xiàn)在 美國 （資本主義的高度發(fā)達(dá)；移民政策）

馮·諾依曼,、諾特,、波利亞、阿廷,、外爾