數(shù)學起源于人類早期的生產(chǎn)活動,，為古中國六藝之一，亦被古希臘學者視為哲學之起點,。數(shù)學最早用于人們計數(shù),、天文、度量甚至是貿(mào)易的需要,。這些需要可以簡單地被概括為數(shù)學對結(jié)構(gòu),、空間以及時間的研究；對結(jié)構(gòu)的研究是從數(shù)字開始的,，首先是從我們稱之為初等代數(shù)的——自然數(shù)和整數(shù)以及它們的算術(shù)關(guān)系式開始的。更深層次的研究是數(shù)論,；對空間的研究則是從幾何學開始的，首先是歐幾里得幾何和類似于三維空間（也適用于多或少維）的三角學,。后來產(chǎn)生了非歐幾里得幾何，在相對論中扮演著重要角色,。 歐幾里得所著《幾何原本》中的一個證明 —— 被廣泛認為是歷史上最具影響力的教科書 在進入知識可以向全世界傳播的現(xiàn)代社會以前，有記錄的新數(shù)學發(fā)現(xiàn)僅僅在很少幾個地區(qū)重見天日,。目前最古老的數(shù)學文本是《普林頓 322》（古巴比倫，約公元前1900年）,，《萊因德數(shù)學紙草書》（古埃及,，約公元前2000年-1800年），以及《莫斯科數(shù)學紙草書》（古埃及,，約公元前1890年）,。以上這些文本都涉及到了如今被稱為畢達哥拉斯定理的概念，后者可能是繼簡單算術(shù)和幾何后,，最古老和最廣泛傳播的數(shù)學發(fā)現(xiàn)。 在公元前6世紀后,，畢達哥拉斯將數(shù)學作為一門實證的學科進行研究,，他創(chuàng)造了古希臘語單詞μ?θημα（mathema），意為“（被人們學習的）知識學問”,。希臘數(shù)學家在相當大的程度上改進了這些數(shù)學方法（特別引入了演繹推理和嚴謹?shù)臄?shù)學證明）,，并擴大了數(shù)學的主題。中國數(shù)學做了早期貢獻,，包括引入了位值制系統(tǒng),。如今大行于世的印度-阿拉伯數(shù)字系統(tǒng)和運算方法，很可能是在公元后1000年的印度逐漸演化,，并被伊斯蘭數(shù)學家通過花拉子米的著作將其傳到了西方,。伊斯蘭數(shù)學則將以上這些文明的數(shù)學做了進一步的發(fā)展貢獻。許多古希臘和伊斯蘭數(shù)學著作隨后被翻譯成了拉丁文,，引領(lǐng)了中世紀歐洲更深入的數(shù)學發(fā)展,。 從16世紀文藝復(fù)興時期的意大利開始，算術(shù),、初等代數(shù)及三角學等初等數(shù)學已大體完備,。17世紀變數(shù)概念的產(chǎn)生使人們開始研究變化中的量與量的互相關(guān)系和圖形間的互相變換。隨著自然科學和技術(shù)的進一步發(fā)展,，為研究數(shù)學基礎(chǔ)而產(chǎn)生的集合論和數(shù)理邏輯等也開始慢慢發(fā)展,。從古代到中世紀，數(shù)學發(fā)展的歷史時期都伴隨著數(shù)個世紀的停滯,，但從16世紀以來,，新的數(shù)學發(fā)展伴隨新的科學發(fā)展，讓數(shù)學不斷加速大步前進，直至今日,。 史前數(shù)學數(shù)學有著久遠的歷史,。它被認為起源于人類早期的生產(chǎn)活動; 中國古代的六藝之一就有“數(shù)”，數(shù)學一詞在西方有希臘語詞源μαθηματικ??（mathematikós）, 意思是“學問的基礎(chǔ)”,，源于μ?θημα（máthema）（“科學,，知識，學問”）,。 數(shù)學的源頭在數(shù),、量和形之中。現(xiàn)代對動物認知的研究表明,，這并不是人類特有的概念,。這些概念是狩獵者-采集者社會中日常生活的一部分。在一些語言的詞匯中,，保留了“一”,、“二”、“很多”的區(qū)別,，但并沒有大于二的數(shù),，這個事實支持了“數(shù)”的概念是隨時間而演化的說法。 史前的人類就已嘗試用自然的法則來衡量物質(zhì)的多少,、時間的長短等抽象的數(shù)量關(guān)系，如時間－日,、季節(jié)和年,。算術(shù)(加減乘除)也自然而然地產(chǎn)生了。古代的石碑亦證實了當時已有幾何的知識,。 已知最古老的數(shù)學工具是發(fā)現(xiàn)于斯威士蘭列朋波山的列朋波骨,，大約是公元前35,000年的遺物。它是一支狒狒的腓骨,，上面被刻意切割出29個不同的缺口,，使用計數(shù)婦女及跟蹤婦女的月經(jīng)周期。相似的史前遺物也在非洲和法國出土,，大約有35,000至20,000年之久,，都與量化時間有關(guān)。,。發(fā)現(xiàn)于尼羅河上源之一的愛德華湖西北岸伊香茍地區(qū)（位于剛果民主共和國東北部）,，或許有20000年甚至更久，則刻有三組一系列的條紋符號,，每列和骨頭等長,。常見的解釋是已知最早的素數(shù)序列，亦有認為是代表六個陰歷月的紀錄。 學者 Peter Rudman 否認素數(shù)序列的解釋,，他認為素數(shù)的概念只能出現(xiàn)在除法之后,，而他認定除法是在公元前1000年后才出現(xiàn)的，因此在公元500年以前,，素數(shù)是不太可能被理解 的,。他寫道，“一個計數(shù)符號之類的東西為什么要展示2的倍數(shù),，10到20之間的素數(shù),，和一些幾乎是10的倍數(shù)，這是沒人嘗試解釋過的”,。而根據(jù)學者Alexander Marshack 的說法,，這個骨頭可能影響了隨后埃及數(shù)學的發(fā)展。因為埃及算術(shù)就像這塊骨頭一樣,，也使用了2的倍數(shù),，然而，這也是有爭議的,。 其他地區(qū)亦發(fā)現(xiàn)不同的史前記數(shù)系統(tǒng),，如符木或于印加帝國內(nèi)用來儲存數(shù)據(jù)的奇普。 在幾何學方面,，公元前五千年的古埃及前王朝時期即已出現(xiàn)用圖畫表示的幾何圖案,。也有人聲稱，年代大約是公元前三千年的英格蘭和蘇格蘭地區(qū)的巨石文化遺址中,，也發(fā)現(xiàn)了融入幾何觀念的設(shè)計,，包括圓形、橢圓形和畢達哥拉斯三元數(shù),。,。然而上述發(fā)現(xiàn)也全部有爭議，而目前最早的無爭議的數(shù)學史料當前依然是來自古巴比倫和古埃及史后的,。 從歷史時代的一開始,，數(shù)學內(nèi)的主要原理是為了做稅務(wù)和貿(mào)易等相關(guān)計算，為了了解數(shù)字間的關(guān)系,，為了測量土地,，以及為了預(yù)測天文事件而形成的。這些需要可以簡單地被概括為數(shù)學對數(shù)量,、結(jié)構(gòu),、空間及時間方面的研究。 古巴比倫數(shù)學古巴比倫人的數(shù)學表格《普林頓 322》,，斷代為公元前1800年寫成 古巴比倫數(shù)學指從早期蘇米爾到希臘化時期和幾乎是基督教曙光這段時期,，任何美索不達米亞（現(xiàn)伊拉克）人的數(shù)學,。巴比倫的數(shù)學主要來自兩個獨立的時期：公元前2000年的最初的幾百年（舊巴比倫時期）和公元前1000年的幾個世紀（塞琉古帝國時期）。之所以命名為巴比倫數(shù)學,，是因為巴比倫是當時數(shù)學研究中的中心,。接著，在阿拉伯帝國之后,，美索不達米亞,，特別是巴格達,，則再次成為了阿拉伯數(shù)學研究的中心,。 與稀少的埃及數(shù)學史料不同，我們對巴比倫數(shù)學的認識來自1850年以來挖掘出的超過400塊的泥板,。這些泥板以楔形文字,，在濕潤的粘土上寫成,，隨后用火爐或日照烘干。其中的一些泥板看起來是打過分的作業(yè),。 書面數(shù)學的最早證據(jù)可以 / 追溯到最早在美索不達米亞建立文明的古代蘇米爾人,，他們在公元前3000年發(fā)明了一個復(fù)雜的計量法。在公元前2500年左右,，蘇米爾人在泥板上寫下了乘法表,，并開始涉及幾何習題和除法的問題，最早的巴比倫數(shù)字也能追溯到這個時期,。 巴比倫數(shù)學是用60進制的計數(shù)系統(tǒng)寫成的?，F(xiàn)代文明中的60秒是一分鐘，60分鐘是一小時,，一個圓周是360（60x6）度,，以及用“分”和“秒”來表示非 整數(shù)的弧度，都是來自巴比倫的這套計數(shù)系統(tǒng),。之所以選擇60進制，可能是因為60可以被2,、3,、4、5,、6,、10、12,、15,、20和30整除。同時,，不 像埃及,、希臘或羅馬，古巴比倫人使用的是真正的位值制系統(tǒng)，左側(cè)的數(shù)字代表較大的值,，和現(xiàn)代的十進制系統(tǒng)非常相似,。巴比倫計數(shù)系統(tǒng)的強大之處在于，分數(shù) 可以像整數(shù)一樣方便的表示,，而分數(shù)乘法和整數(shù)乘法沒有區(qū)別,，這也和現(xiàn)代計數(shù)系統(tǒng)相似。巴比倫人的計數(shù)法要優(yōu)于文藝復(fù)興之前的任何一個文明,，這套計數(shù)法的力量允許人們 達到非凡計算能力和計算精確度,。例如，巴比倫泥板YBC 7289將根號2計算到了（十進制）小數(shù)點后5位,。然而,，巴比倫人缺乏類似十進制的小數(shù)點，因此要確認一個符號的進位,，通常只能根據(jù)上下文來判斷,。在塞琉 古帝國時期，巴比倫人發(fā)明了零的符號,，作為空數(shù)位的占位符,，然而這只用在數(shù)字的中間，零沒有出現(xiàn)在數(shù)字的末尾,，因此巴比倫人發(fā)明了非常接近但并非真正的進 位系統(tǒng),。 巴比倫數(shù)學涵蓋的其他領(lǐng)域包括分數(shù)、代數(shù),，二次和三次方程,，以及regular reciprocal pairs 的計算。表格則包括乘法表,，以及求解線性,、二次、三次方程的方法,，這在當時是了不起的成就,。舊巴比倫時期的表格還包括了最早對畢達哥拉斯定理的表述。然 而,，和埃及數(shù)學一樣,，巴比倫數(shù)學同樣沒有注意到近似解和確切解的區(qū)別，以及一個問題的可解性,。更重要的是,，沒有數(shù)學證明和邏輯原則。 古埃及數(shù)學古埃及數(shù)學是指用埃及文寫成的數(shù)學,。在希臘化時期之后,，希臘文取代了埃及文成為埃及學者使用的語言,。埃及的數(shù)學研究隨后在阿拉伯帝國成為阿拉伯數(shù)學的一部分得以延續(xù)，而阿拉伯文此時則成為了埃及學者的書面語言,。 最具代表性的埃及數(shù)學著作是萊因德數(shù)學紙草書,，斷定為公元前1650年寫成，不過這很可能是一份于公元前2000-1800年的中埃及寫成的更早文獻的謄抄本,。這是一份寫給學生的代數(shù)和幾何教材,，此外，還包括面積公式,、乘法除法的計算方法和分數(shù)的知識,，此外也有其它數(shù)學知識的證據(jù)，包括素數(shù)和合數(shù),，代數(shù)平均 數(shù),、幾何平均數(shù)以及調(diào)和平均數(shù)，對埃拉托斯特尼篩法和完美數(shù)理論的簡單理解,。它同時也展示了如何求解一階線性方程,，以及代數(shù)和幾何數(shù)列。 另一個重要的埃及數(shù)學文獻是莫斯科紙草書,，同樣來自中埃及時期,，斷代為公年前1890年。 這份紙草書包括了我們今天的應(yīng)用題,，看上去是為了趣味,。其中一 個問題被認為是特別重要的，因為它給出了計算錐臺面積的方法：“如果你知道一個截斷的角錐,，高為4,，底邊為4，頂邊為2,。你需要先計算4的平方,，得16， 然后乘以4,，得8,。計算2的平方，得4,。然后把16、8,、4加起來,，等于28。計算6的三分之一,，等于2,。將28翻倍,，等于56。因此,，答案是56,，這就 是正 確的答案?！?/p> 最后,，柏林紙草書6619（公元前1800年）顯示了古埃及人懂得如何求解二次代數(shù)方程。 古希臘數(shù)學畢達哥拉斯定理,。此定理的最早證明通常歸功于畢達哥拉斯 古希臘數(shù)學指用希臘文寫成,，從泰勒斯以來（約公元前600年）到公元后529年雅典學院關(guān)閉這段時間的數(shù)學成果。希臘數(shù)學家居住在整個東地中海,，從意大利到北非的地帶,，但擁有相同的文化和語言。亞歷山大大帝之后的希臘數(shù)學,，有時也被稱作希臘化數(shù)學,。 古希臘數(shù)學比其他的早期文明發(fā)展出的數(shù)學更加先進復(fù)雜。古希臘數(shù)學之前存留下來的記錄都表明了歸納推理的應(yīng)用,，也就是通過重復(fù)的觀察來建立經(jīng)驗法則,。但希臘數(shù)學正相反，使用演繹推理,。希臘人使用邏輯從定義和公理中推導(dǎo)出結(jié)論,，并在數(shù)學上嚴謹?shù)刈C明它們。 古希臘數(shù)學被認為是源于泰勒斯（公元前624到546年）和畢達哥拉斯（公元前582到507年）,。雖然他們的影響程度依然是有爭議的,，但他們或許受到了埃及和巴比倫數(shù)學的啟發(fā)。根據(jù)傳說,，畢達哥拉斯曾前往埃及向祭司學習數(shù)學,、幾何以及天文學。 在俄克喜林庫斯發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)存最早的歐幾里得《幾何原本》殘片,，推斷是在公園100年左右寫成,。書中插圖是第二卷命題五的配圖。 泰勒斯使用幾何學來解決問題,，例如計算金字塔的高度,，以及船只到海岸的距離。他也被認為是將演繹推理應(yīng)用到幾何學的第一人,。由于推導(dǎo)出了泰勒斯定理的四個推論,，他被譽為是第一個真正的數(shù)學家，以及第一個有署名的數(shù)學發(fā)現(xiàn),。畢達哥拉斯建立了畢達哥拉斯學院,，它的原則是數(shù)學統(tǒng)治著宇宙,，并 有“萬物皆數(shù)”的格言。畢達哥拉斯是“數(shù)學”這個詞語的提出者,，也是因興趣而研究數(shù)學的始作俑者,。畢達哥拉斯猜想的最早證明就歸功于畢達哥拉斯學派，盡管對整個定理的表述已經(jīng)有很長時間的歷史了,。他們也證明了無理數(shù)的存在,。 柏拉圖在數(shù)學史上因啟發(fā)和指導(dǎo)他人而非常重要。他創(chuàng)立的雅典柏拉圖學園成為了公元4世紀時世界數(shù)學的中心,，也是當時一流數(shù)學家的母校,，比如歐多 克索斯。柏拉圖也探討了數(shù)學的基礎(chǔ),，澄清了一些定義（例如直線是“不斷延伸的長度”）,，并對前提做了重新整理。數(shù)學分析的方法也同樣歸功于柏拉圖,，一個計 算勾股數(shù)的公式就以他的名字命名,。 歐多克索斯（公元前408到355年）發(fā)展了窮竭法，是現(xiàn)代積分法的前身,；應(yīng)用了比例論避免了無限小數(shù)所遇到的問題,。前者使計算曲線圖形的面積和體 積成為可能，后者使后來的幾何學家極大推動了幾何學的發(fā)展,。雖然他并沒有具體的數(shù)學發(fā)現(xiàn),，但亞里士多德認為他是把數(shù)學建立在邏輯基礎(chǔ)上的功臣。 在公元前3世紀,，數(shù)學教育和研究的中心在亞歷山大港的繆斯神殿（后世也稱為亞歷山大博物館）,。這是歐幾里得講課和寫下《幾何原本》的地方，后者被認為是歷史上最成功和最具有 影響力的教科書,?！稁缀卧尽酚霉砘椒ㄒ肓藬?shù)學的嚴謹性，并且其中最早的“定義”,、“公理”,、“定理”、“證明”的格式至今依然在數(shù)學中使用,。盡 管絕大多數(shù)《幾何原本》中的內(nèi)容都是已知的,，但是歐幾里得將他們組合成了條理分明的一套邏輯框架體系?！稁缀卧尽芬蛟?0世紀中期前教導(dǎo)了所有的西方人而聞名,，其中的內(nèi)容依然在今天的幾何課上講授。除了歐幾里得幾何中令人熟悉的定理以外，《幾何原本》還是當時所有的數(shù)學科目的入門課本,，例如 數(shù)論、代數(shù)和立體幾何,，包括了2的平方根是無理數(shù),，以及素數(shù)有無窮多個的證明。歐幾里得的著作廣泛,，例如圓錐曲線,、光學、球面幾何學和力學,，但只有一半得以保存下來,。 敘拉古的阿基米德一致被認為是古代最偉大的數(shù)學家，他使用了窮竭法求無窮級數(shù)的和,，計算出了拋物線下的面積,，這種方法在現(xiàn)代的微積分課堂上并不陌 生。他還顯示了通過窮竭法可以將pi的值計算到任何想要的精度,，他還求得了在當時更精確的pi值,，在 3 10/71 < pi="">< 3="" 10/70="" 之間。他還講解了后世以他的名字命名的阿基米德螺線,，發(fā)現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)曲面的面積公式（拋物面,，橢球面和雙曲面），以及一個可以靈活表示極大數(shù)字的系統(tǒng),。盡管他在物理和="" 許多高級機械裝置上的貢獻也廣為人知,，但他本人更看中自己的數(shù)學原則和思想的價值。,。他認為自己最偉大的成就,，是發(fā)現(xiàn)球形的表面=""> 阿波羅尼奧斯最重大的貢獻是研究圓錐曲線，表明了通過改變平面截斷二次錐面的角度,，可以獲得全部三種圓錐曲線,。他創(chuàng)造了我們?nèi)缃袷褂玫娜齻€術(shù)語：“拋物線”（英語：parabola，即齊曲線）,、“橢圓”（英語：ellipse,，即虧曲線）和“雙曲線”（英語：hyperbola，即超曲線）,。他的《圓錐》是古代最著名和至今保存最完好的著作之一,。在書中，他推出的許多定理隨后被證明是數(shù)學家和研究行星運動的天文學家的無價之寶,，例如艾薩克·牛頓,。雖然無論是阿波羅尼奧斯本人，還是其它的希臘數(shù)學家都沒有邁入解析幾何的領(lǐng)域,，但阿波羅尼奧斯對某些橢圓曲 線的處理方式已經(jīng)和現(xiàn)代方法相似,，他的一些著作也預(yù)示了1800年以后笛卡兒解析幾何的出現(xiàn),。 在大概在同一時間，埃拉托斯特尼發(fā)明了尋找素數(shù)的埃拉托斯特尼篩法,。公元前3世紀,，通常認為是希臘數(shù)學的黃金時代，在此之后,，就再也沒有那么多純數(shù)學的研究成果出現(xiàn)了,。盡管如此，這之后的應(yīng)用數(shù)學得到的很大的發(fā)展,，例如最有名的三角函數(shù)很大程度上是為了滿足天文學的需要,。喜帕恰斯被認為是三角函數(shù)的 創(chuàng)始人，他編制了第一張三角函數(shù)表,，360度圓周的系統(tǒng)性應(yīng)用也是自他開始 ,。亞歷山大港的海倫被歸功于發(fā)現(xiàn)通過三邊計算三角形面積的海倫公式，也是認識 到負數(shù)可能開平方的第一人,。亞歷山大港的梅涅勞斯提出了梅涅勞斯定理,，是球面幾何的先驅(qū)。古代最完整和最具影響力的三角函數(shù)著作是托勒密的《天文學大乘》,，這是天文學的里程碑著作,，其中的三角函數(shù)表被隨后的天文學家繼續(xù)使用了一千年。利用三角法求圓內(nèi)接四邊形邊長的托勒密定理也歸功于他本人,，托勒密精確計算出了圓周率為 3.1416,，這直到中世紀歐洲都是很精確的（中國除外）。 在托勒密去世后一個死氣沉沉的時段過去了,，接下來的公元250到公元350年,，有時被稱為希臘數(shù)學的“白銀時代”。在這個時段,，丟番圖在代數(shù),，特別是 不定分析（即“丟番圖分析”）方面，也作出了令人矚目的貢獻,。如今,，丟番圖方程和丟番圖逼近是一個重要的研究領(lǐng)域。丟番圖的主要作品是《算術(shù)》,，其中包括了150 個代數(shù)問題,，研究了方程，特別是不定方程的解析解,?！端阈g(shù)》對隨后的數(shù)學家產(chǎn)生了巨大的影響，例如皮埃爾·德·費馬就是在閱讀《算術(shù)》時，嘗試一般化其中的問題而想到了費馬大定理,。丟番圖對數(shù)學符號的貢獻也很大,，《算術(shù)》是第一個系統(tǒng)性使用代數(shù)符號和syncopation（簡記法？）的實例,。 第一位有歷史記錄的女數(shù)學家是希帕提婭,。她繼承了父親的職位，成為大圖書館的館長,，并且寫了很多關(guān)于應(yīng)用數(shù)學的著作。因為亞里山大港的基督教社群認為她引起了一起政治糾紛,，她便被撕去衣服,，以尖銳的蚌殼（另一說是磚瓦）將她的肉從骨上刮下屠戮致死。 中國數(shù)學九章算術(shù), 現(xiàn)存最古老的中國數(shù)學數(shù)學著作之一（公元2世紀） 早期中國數(shù)學和世界其它地方的數(shù)學有很大不同,，因此可以合理認為是獨立發(fā)展的?，F(xiàn)存最古老的中國數(shù)學文獻是《周髀算經(jīng)》，成書年代有很多說法,，從公元前1200年到公元前100年都有,，但認為是在公元前300年左右似乎是合理的。 中國數(shù)學最特別的一點就是使用了十進制數(shù)位表示法,，獨特的“算籌數(shù)”用來表示從1到10的數(shù)字,，而額外的算籌則被用來表示10的乘方。因 此,，數(shù)字123可以表示為符號1,，緊跟著符號100，接著符號2與符號10,，最后符號3,。這是當時全世界最先進的計數(shù)系統(tǒng)，而且在現(xiàn)代印度-阿拉伯數(shù)字系統(tǒng)引入之前,，顯然已經(jīng)被使用了數(shù)個世紀,。算籌可以表示任意的大數(shù)，并且使得計算可以在中式算盤上進行,。算盤的發(fā)明日期是不確定的,，但最早的書面記錄是在公元 190年，東漢徐岳撰寫的《數(shù)術(shù)記遺》中提到,。 中國現(xiàn)存最古老的幾何學作品來自《墨經(jīng)》,，由墨子的弟子編撰?！赌?jīng)》涉及了關(guān)于物理科學的很多領(lǐng)域的,，也講解了少量的幾何定理。 在 公元前212年，秦始皇下令焚燒一切不被大秦帝國認可的書籍,，史稱焚書坑儒,，盡管命令并沒有被絕對遵守，但這導(dǎo)致了我們對在此之前的中國數(shù)學不甚了解,。在 焚書之后的公元前212 年,，成書于漢朝的，被認為是擴展了數(shù)學的部分相關(guān)著作,，如今也已遺失,。在這類著作中，最重要的是《九章算術(shù)》,，此書完整的標題首次出現(xiàn)在公元 179年,，但在這之前也有提到過部分。本書包括了246個應(yīng)用題,，包含了農(nóng)業(yè),、商業(yè)、求塔的高度,、工程學和測繪學,，還包括了關(guān)于直角三角形的pi數(shù)值的內(nèi) 容,。它還證明了勾股定理,，以及高斯消元的公式。劉徽在公元3世紀所作的注釋中,，給出了精確到小數(shù)點后5位的圓周率,。到了公元5世紀，祖沖之將pi計算到了小數(shù)點后7位，盡管他更多是靠計算上的毅力而不是理論的創(chuàng)新,，但 這依然是之后1000年間最準確的pi值,。他也發(fā)明了現(xiàn)稱為卡瓦列里原理的方法計算球的體積。 中國數(shù)學的最高峰出現(xiàn)在13世紀宋朝,，此時中國代數(shù)得到了發(fā)展。其中最重要的著作是朱世杰的《四元玉鑒》,，研究一元高次方程組的解,，后稱為秦九韶算法,，即后世歐洲的霍納算法?！端脑耔b》中還包括了八次冪的帕斯卡三角,，盡管早在公元1100年就曾出現(xiàn)在中國的數(shù)學著作中。中國也發(fā)明了復(fù)雜的組合數(shù)學方面的圖形,，也就 是幻方和幻圓,，在古代就有記載，后被楊輝完善,。 就算到了文藝復(fù)興之后,，歐洲數(shù)學開始繁榮發(fā)展，歐洲和中國數(shù)學依然是完全獨立的,，而中國對外的數(shù)學思想傳播在13世紀時開始下降,。到16世紀和18世紀之間，耶穌會傳教士利瑪竇等人,，交流了歐洲和中國的數(shù)學思想，盡管此時,，傳入的數(shù)學思想已經(jīng)比傳出的多了,。 印度數(shù)學印度次大陸上最早的文明是印度河流域文明，在公元前2600年到公元前1900年之間,，在印度河畔繁榮發(fā)展,。他們的城市布局是規(guī)則的幾何圖形，但沒有留存下來的數(shù)學檔案,。 印度-阿拉伯數(shù)字是印度的數(shù)學家發(fā)明的,，他們曾經(jīng)叫做“印度數(shù)字”，但后來被歐洲人稱作“阿拉伯數(shù)字”,，因為是阿拉伯商人把這種數(shù)字引入歐洲的,。 在印度-阿拉伯數(shù)字系統(tǒng)中，有許多用來表示數(shù)字的符號,，全部都是從婆羅米數(shù)字演化而來的,。大約十幾種主要的印度手稿都有獨特的數(shù)字符號（在仔細查閱Unicode字符表時就可發(fā)現(xiàn)）。 現(xiàn)存最古老的印度記錄有Sulba Sutras（斷代不同,，在公元前8世紀到公元2世紀）,，這是一份宗教著作的附錄，包括了建設(shè)不同形狀祭壇的簡單規(guī)則,，例如正方形,、長方形、平行四邊 形和其它圖形,。和埃及相似,，數(shù)學最初的祭壇應(yīng)用指明了數(shù)學的起源之一是宗教儀式,。 Sulba Sutras 還給出了構(gòu)造和給定正方形面積（大致）相同的圓的方法，這隱含了對pi值不同精度的計算,。除此之外,，他們還將2的平方根計算到了小數(shù)點后7位，列出了勾股數(shù),，并且說明了勾股定理,。而這一切成果都曾在古巴比倫數(shù)學中出現(xiàn)，表明了美索不達米亞文明的影響,。然而,，目前還不清楚 Sulba Sutras 是否影響了日后的印度數(shù)學。和中國一樣,，印度數(shù)學同樣缺乏連續(xù)性,，重大的突破往往伴隨著長時間的死寂。 波你尼（公元前5世紀）發(fā)明了梵語語法,。他的表示法很接近現(xiàn)代數(shù)學符號,，并且應(yīng)用了元規(guī)則、幾何變換和遞歸,。Pingala在他的詩歌韻律論述文中,，使用了和二進制計數(shù)系統(tǒng)相關(guān)的文學手法。他對音樂節(jié)拍的組合數(shù)學討論,，相當于二項式定理的簡單版本,；Pingala的著作還包括了斐波那契數(shù)列的基本思想 （稱作 mātrāmeru）。 繼 Sulba Sutras之后的下一份重要的數(shù)學檔案是 Siddhantas,，是公元4世紀到公元5世紀寫成的天文學著作,，顯示了來自希臘的強烈影響。它們之所以意義重大,，是因為它是最早基于半弦來定義三角函 數(shù)關(guān)系的,，就像現(xiàn)代幾何學一樣，而非托勒密三角幾何中的全弦,。盡管伴隨著一系列翻譯錯誤,，但正弦（sine）和余弦（cosine）就是來自梵語的 jiya和kojiya。 在公元5世紀,，阿耶波多完成了《阿里亞哈塔歷書》,，一本很薄的著作，用詩篇寫成,，目的是作為天文計算和數(shù)學測量法的補 充,，盡管其中并沒有邏輯和演繹法的應(yīng)用。雖然書中幾乎一半的內(nèi)容都是錯誤的,，但這是十進制進位系統(tǒng)第一次出現(xiàn),，幾個世紀之后,，阿拉伯數(shù)學家阿布·比魯尼表示， 此書是“普通石頭和高貴水晶的混合”,。 公元7世紀,，婆羅摩笈多發(fā)現(xiàn)了婆羅摩笈多定理，婆羅摩笈多性質(zhì)和婆羅摩笈多公式,。并且首次《婆羅摩歷算書》提出了零,。他清晰的闡述了如何將零同時作為占位符和數(shù)字，并且解釋了印度-阿拉伯數(shù)字系統(tǒng),。 從這本印度著作的一本阿拉伯語翻譯（約公元770年）中,，阿拉伯數(shù)學家引進了此計數(shù)系統(tǒng)，并且將其轉(zhuǎn)化為了阿拉伯數(shù)字,。阿拉伯數(shù)學家又將這套數(shù)字系統(tǒng)的知 識在12世紀帶到了歐洲,，并在此時取代了一切更老的數(shù)字。在公元10世紀,，Halayudha對Pingala著作的注釋中,，包括了對斐波那契數(shù)列和帕斯 卡三角的研究，并提出了矩陣,。 在公元12世紀,，居住在印度南部的婆什迦羅第二全面的寫下了關(guān)于數(shù)學所有分支的著作。他的著作包含的數(shù)學概念等價或幾乎等價于我們今天的無窮小量,、導(dǎo)數(shù)、中值定理和正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù),。但他究竟在多大程度上提前發(fā)明了微積分,，依然是一個在被數(shù)學史學家爭議的論題。 在14世紀,，Madhava of Sangamagrama,， Kerala數(shù)學學院的創(chuàng)立者，發(fā)現(xiàn)了π的萊布尼茨序列,，并用該公式的21項計算出圓周率為3.14159265259,。Madhava也發(fā)現(xiàn)了用來計算反正切的Madhava–Gregory 級數(shù)。Nadhava-牛頓公式也給出的正弦和余弦函數(shù)的計算以及它們的泰勒逼近,。在16世紀,，Jye??hadeva將學院的理論統(tǒng)一成了Yukti-bhā?ā。然而,，Kerala學院并沒有發(fā)展出一套微分和積分的完整理論,，也沒有任何直接證據(jù)證明Kerala的成果曾被傳出。 阿拉伯數(shù)學橫跨波斯,、中東,、中亞,、北非、伊比利亞和印度部分地區(qū)的阿拉伯帝國在公元八世紀對數(shù)學做了重要貢獻,。盡管大多數(shù)阿拉伯著作都是用阿拉伯語寫成的,，但多數(shù)作者不是阿拉伯人，這就像是希臘語之于希臘化時期一樣,，阿拉伯語是當時整個伊斯蘭世界非阿拉伯學者的書面語,。 在九世紀，波斯數(shù)學家穆罕默德·伊本·穆薩·花拉子米寫下了很多關(guān)于印度-阿 拉伯數(shù)字和方程解法的重要書籍,。他在公元 825 年寫成的《印度數(shù)字的計算》,，加上肯迪的著作，共同把印度數(shù)學和印度數(shù)字傳入西方,。Algorithm（算法）這個單詞就是來自花拉子米名字的拉丁化拼寫 Algoritmi,；而 algebra（代數(shù)）這個單詞則來自他的一本書，《消去與還原》（Al-Kitāb al-mukhta?ar fī hīsāb al-?abr wa’l-muqābala）,。他對根為整數(shù)的二次方程給出了詳盡的代數(shù)解法,，是為了代數(shù)本身而講授初等形式代數(shù)的第一人。他同時也討論了兩種解方程的基本方法,，“消去”和“平衡”,，也就是把方程一側(cè)被減去的項，轉(zhuǎn)移到方程的另一側(cè),，從而將一側(cè)的項“消去”了,。花拉子米把這種方法稱為 al-jabr,。他的代數(shù)學不再僅僅注重“給出的一系列問題,，而是從基本術(shù)語開始講解，給出所有可能出現(xiàn)的方程形式,，從而明確了真正的研究對象”,。他是為了方程本身而研究方程，他的研究是“在一般意義上的研究,，不僅僅是為了解決一個問題,，而是為了能通過它解決無限多個問題”。 在埃及,，Abu Kamil將代數(shù)推廣到了無理數(shù)的集合,，允許將平方根和四次方根作為二次方程的解和系數(shù)。他也發(fā)展出了解由含有三個未知數(shù)的三個方程聯(lián)立組成的非線性方程組的解法,。他成果中的一個獨特之處,，在于他試圖在一些問題中，去尋找一切可能的解,，他甚至對其中一個問題給出了2676個解,。他的著作成為了代數(shù)學發(fā)展的重要根基,，并且影響了隨后的數(shù)學家，如al-Karaji和斐波那契,。 代數(shù)學的更深遠發(fā)展是由Al-Karaji在他的專著《al-Fakhri》中作出的,。其中，他將數(shù)學方法進行了擴展來incorporate integer powers and integer roots of unknown quantities,。在Al-Karaji在公元1000年左右寫成的一本書中,，出現(xiàn)了一份很接近歸納法的數(shù)學證明，被用來證明二項式定理,、帕斯卡三角形和立體積分求合的命題,。數(shù)學史學家 F.Woepcke，贊揚Al-Karaji是“引入代數(shù)微積分理論的第一人,?！蓖瑯釉诠?0世紀，Abul Wafa將丟番圖的著作翻譯成了阿拉伯語,。lbn al-Haytham 是第一個推導(dǎo)出四次冪和的公式的數(shù)學家,，他使用的方法可以非常容易推廣出能求任意次冪和的公式。他為了求拋物面面積而計算了積分,，并且能夠?qū)⑺慕Y(jié)果推廣 到任何四次以內(nèi)的多項式中,。因此可以說，他差點就發(fā)現(xiàn)了計算多項式積分的通用公式,，然而他并不關(guān)心高于四次的多項式,。 11世紀晚期，Omar Khayyam寫成了《歐幾里得困難的討論》,，對歐幾里得《幾何原本》中他認為存在的缺陷進行了討論,，特別是關(guān)于平行公設(shè)的問題（即著名的第五公設(shè)）。他也是第一個發(fā)現(xiàn)了三次方程幾何上的一般解,，對歷法改革也施加了重要的影響。 13世紀,，Nasir al-Din Tusi推進了球面三角學的發(fā)展,，他也寫下了關(guān)于歐幾里得平行公設(shè)具有影響力的著作。16世紀,，Ghiyath al-Kasi將圓周率的值計算到了小數(shù)點后16位,。Kashi也提出了一個求n次方根的算法，他的這個算法是數(shù)個世紀后保羅·魯非尼和威廉·喬治·霍納提出的方法的一個特例,。 阿拉伯數(shù)學家在同一時期的其它成就,，包括了為阿拉伯數(shù)字加入了小數(shù)點，發(fā)現(xiàn)了除當時已被知曉正弦函數(shù)之外的全部現(xiàn)代三角函數(shù),；al-Kindi將密碼分析和頻率分析引入數(shù)學,；Ibn al-Haytham對解析幾何的發(fā)展,；Omar Khayyam引領(lǐng)了代數(shù)幾何的開端；al-Qalasadi發(fā)明的一類代數(shù)符號,。 在奧斯曼帝國和十五世紀開始的薩非王朝期間,，阿拉伯的數(shù)學發(fā)展陷入蕭條之中。 中世紀歐洲數(shù)學中世紀歐洲,，人們對數(shù)學產(chǎn)生興趣的動機和如今的現(xiàn)代數(shù)學家大不相同,。其中一個動因是，相信數(shù)學是理解神創(chuàng)造的自然秩序的鑰匙 —— 這是常常被論證的主題,，例如柏拉圖在《蒂邁歐篇》中有所表示,，而圣經(jīng)（《所羅門智訓(xùn)》）則說 —— 神“處置一切事物，原有一定的尺度,、數(shù)目和衡量,。” 波愛修斯在他的課程中為數(shù)學提供了一席之地,，在公元6世紀,，他創(chuàng)造了詞匯“四術(shù)”（quadrivium）來指對算術(shù)、幾何,、天文學和音樂的學習,。他著有《De institutione arithmetica》，對希臘哲學家的尼科馬庫斯所寫的《算術(shù)導(dǎo)論》的意譯,。De institutione musica,，同樣是源自希臘文獻；以及對歐幾里得《幾何原本》的一系列摘錄,。他的著作都是理論而非實踐的,，而且在希臘和阿拉伯著作復(fù)原之前，一直都是數(shù)學研究的基礎(chǔ),。 12世紀,，歐洲學者遠游西班牙和西西里島去搜集阿拉伯的科學文獻，找到的文獻包括花拉子米的《消去與還原》,，被Robert of Chester翻譯成拉丁文,；歐幾里得《幾何原本》的完整文本，被Adelard of Bath, Herman of Carinthia,，和Gerard of Cremona翻譯成了多個版本,。 這些新的著作點燃了數(shù)學復(fù)興的星星之火。斐波那契首當其沖,，在1202年寫成并在1254年再版了《Liber Abaci》,，成為了繼埃拉托斯特尼之后第一個做出重大發(fā)現(xiàn)的數(shù)學家，填補了這整整一千多年的空白。印度-阿拉伯數(shù)字相關(guān)的成果也被傳入歐洲,，并且其它相關(guān)的數(shù)學問題也有討論,。 14世紀，為了探究各種各樣不同的數(shù)學問題,，發(fā)展出了許多新的數(shù)學概念,。其中一個重要貢獻是關(guān)于局部運動的數(shù)學發(fā)展。 托馬斯·布拉德華提出,，隨著力（F）與阻力（R）的比例成幾何增長,，速度（V）就會成算術(shù)比例增長。布拉德華以一系列具體的例子來對此加以說明,。雖然對數(shù)在當時還沒有被發(fā)明出來,，但我們可以把他的結(jié)論理解為 V = log(F/R)，雖然這是一個時代錯誤,。布拉德華的分析,，是al-Kindi和Arnald of Villanova兩人研究量化復(fù)合藥劑本質(zhì)時所用的數(shù)學技巧，后來被轉(zhuǎn)移到了另一個完全不同物理問題上的例子,。 14世紀哈佛計算學者成員之一,，William Heytesbury，以一種沒有微積分和極限概念的形式,，提出了通過by the path that would be described by (a body) if... it were moved uniformly at the same degree of speed with which it is moved in that given instant來測量瞬時速度,。 Heytesbury 和其它數(shù)學家，通過把一個物體全部的加速運動進行累計（今日即積分法）,，從而在數(shù)學上求得物體運動的距離,，認為一個恒定運動的物體在加速或者減速運動時在一段時間內(nèi)運動的距離等于相同時間內(nèi)其以平均速度運動過的距離。,。 巴黎大學的尼克爾·奧里斯姆和意大利的Giovanni di Casali獨立的提出了（這個關(guān)系）的圖示,，斷定一條表示均勻加速運動的直線，直線下面積就是物體運動的總路程,。在隨后對歐幾里得《幾何原本》的注解中,，奧里斯姆demonstrated that a body will acquire in each successive increment of time an increment of any quality that increases as the odd numbers. Since Euclid had demonstrated the sum of the odd numbers are the square numbers, the total quality acquired by the body increases as the square of the time. 文藝復(fù)興在文藝復(fù)興期間，數(shù)學的發(fā)展和會計學的發(fā)展是相輔相成的,。雖然代數(shù)和記賬之間并沒有直接的聯(lián)系,，這門學科的教材和書籍也往往是為了給商人的孩子在reckoning學校或者abacus學校學習商業(yè)和貿(mào)易的實用技能而準備的,。確實,，如果只是記賬的話大概是不需要代數(shù)的,。但是,，對于更復(fù)雜的交易，或者復(fù)息利率的計算,，就必須掌握算術(shù),，而代數(shù)知識也就十分有用了,。 皮耶羅·德拉·弗朗切斯卡（約1415-1492）著有關(guān)于立體幾何與透視法的作品，包括De Prospectiva Pingendi (On Perspective for Painting),，Trattato d’Abaco (Abacus Treatise),，和 De corporibus regularibus (Regular Solids)。盧卡·帕西奧利所著的《算術(shù),、幾何,、比例總論》在1494年于威尼斯首次印刷出版，其中包括了一篇27頁的記賬論文《計算和記錄的細節(jié)》,。這主要是編寫和出售給商人將其作為參考書,，給有興趣的人作為娛樂破解其中數(shù)學謎題，以及教育他的兒子,。在《Summa Arithmetica》中,，帕西奧利首次在印刷書籍中引入了加號和減號，隨后成為了意大利文藝復(fù)興時期數(shù)學界的標準符號,?！禨umma Arithmetica》也是已知的第一本在意大利印刷的代數(shù)書。不過,，帕西奧利的不少思想是剽竊自皮耶羅·德拉·弗朗切斯卡的,。 在16世紀上半葉的意大利，希皮奧內(nèi)·德爾·費羅和尼科洛·塔爾塔利亞發(fā)現(xiàn)了三次方程的解法,。吉羅拉莫·卡爾達諾在1545年發(fā)表的著作《Ars Magna》中,，同時還記錄了四次方程的一種解法，這是由他的學生洛多維科·費拉里發(fā)現(xiàn)的,。在1572年,，拉斐爾·邦貝利出版了他的著作《代數(shù)學》，這本書中,，他解釋了如何處理應(yīng)用卡爾達諾公式解三次方程時可能會出現(xiàn)的虛數(shù),。西蒙·斯蒂文的《De Thiende》于1585年在荷蘭首次發(fā)表，首次系統(tǒng)性講解了十進制的處理方法,，對隨后所有關(guān)于實數(shù)系統(tǒng)的工作都有影響,。 因為導(dǎo)航和大面積精確地圖的需求驅(qū)動，三角幾何學成長為數(shù)學的一個重大分支,。Bartholomaeus Pitiscus首次使用了該詞語,，在1595年出版了《三角幾何學》。Regiomontanus的正弦和余弦函數(shù)表則在1533年出版,。 在文藝復(fù)興期間,，藝術(shù)家真實地表現(xiàn)自然世界的需求，與對希臘哲學的重新發(fā)現(xiàn)，引領(lǐng)著藝術(shù)家研究數(shù)學,。藝術(shù)家們同時還是當時的工程師和建筑師,，因此自然無論如何都要用到數(shù)學。繪畫透視法的研究和相關(guān)的幾何學發(fā)展是緊密相連的 ,。 可見,，到了16世紀，算術(shù),、初等代數(shù),、以及三角學等初等數(shù)學已大體完備。 科學革命期間的數(shù)學17 世紀的歐洲涌現(xiàn)出了史無前例的數(shù)學和科學思潮,。伽利略將一個從荷蘭進口的玩具加以改進,，制造了一部望遠鏡，用它觀測到了環(huán)繞木星軌道運動的衛(wèi)星,。第谷·布 拉赫則收集了天空中行星位置的巨量觀測數(shù)據(jù),，而作為第谷的助理，約翰內(nèi)斯·開普勒首次接觸和認真研究了關(guān)于行星運動的主題,。由于對數(shù)已經(jīng)被當時的約翰·納 皮爾和約斯特·比爾吉發(fā)明出來,，因此使開普勒的計算工作變得簡單了。開普勒成功的建立了行星運動的數(shù)學法則,。同時,，勒內(nèi)·笛卡爾發(fā)展出了解析幾何，因此行星的軌道就可以依照笛卡爾坐標系畫出圖像了,。 在 眾多前人工作的基礎(chǔ)之上,，艾薩克·牛頓發(fā)現(xiàn)的物理定律解釋了開普勒定律，牛頓匯集的許多數(shù)學概念就是今天的微積分,。戈特弗里德·萊布尼茨,，可以說是17世 紀最重要的數(shù)學家，也獨立地的發(fā)展出了微積分,，他發(fā)明的很多微積分符號至今仍在使用著,。科學和數(shù)學研究變成了一項國際活動,，隨后將很快遍及全球,。 除 了研究天空的應(yīng)用數(shù)學以外，應(yīng)用數(shù)學伴隨著皮埃爾·德·費馬和布萊茲·帕斯卡的工作而開拓了新的領(lǐng)域,。帕斯卡和費馬奠定了概率論研究的基根,，并對賭博游戲 進行討論而發(fā)展了相應(yīng)的組合數(shù)學。帕斯卡還利用他最新研究出來的概率論提出了帕斯卡賭注,。帕斯卡試圖表明,，皈依宗教的理由在于,，盡管成功的概率很低，但得 到的獎賞卻是無限的,。某種程度上，這預(yù)示了18到19世紀發(fā)展的功利主義的出現(xiàn),。 18 世紀18 世紀最具有影響力的數(shù)學家無疑是萊昂哈德·歐拉,。他的貢獻范圍特別廣泛，從因七橋問題創(chuàng)立圖論,，到標準化大量數(shù)學術(shù)語和符號都包括在內(nèi),。比如說，他將負1 的平方根稱為i,，還推廣了使用希臘字母 pi 來表述圓周率,。他對拓撲學、圖論,、微積分,、組合數(shù)學和復(fù)分析都做出了貢獻，以此為證,，眾多的數(shù)學定理和記號都是以他的名字命名的,。 其他18世紀重要的歐洲數(shù)學家，包括約瑟夫·拉格朗日,，他在數(shù)論,、代數(shù)、微積分和變分法方面做出了開拓性的貢獻,。拉普拉斯則在拿破侖時代做了舉足輕重的工作,，建立了天體力學和統(tǒng)計學的基礎(chǔ)。 現(xiàn)代數(shù)學隨著自然科學和技術(shù)的進一步發(fā)展,，為研究數(shù)學基礎(chǔ)而產(chǎn)生的集合論和數(shù)理邏輯等也開始慢慢發(fā)展,。 19 世紀卡爾·弗里德里希·高斯 在19世紀期間,，數(shù)學的抽象程度顯著增加了,。卡爾·弗里德里?！じ咚故沁@股浪潮的縮影,。姑且不談他對科學的貢獻，他在復(fù)變函數(shù),、幾何學和收斂級數(shù)上做出了革命性的工作,。它也是給出代數(shù)基本定理和二次互反律令人滿意的證明的第一人。 三種幾何學中的平行線 在 這個世紀,，發(fā)展出兩種形式的非歐幾里得幾何,，歐幾里得的平行公設(shè)在這種幾何中就不再成立了,。俄羅斯數(shù)學家尼古拉·羅巴切夫斯基和他的競爭對手匈牙利數(shù)學家鮑耶·亞諾什，都獨自的定義并研究了雙曲幾何,。在雙曲幾何中,，過一點可做的平行線不再是唯一了，而三角形的內(nèi)角和小于180度,。橢圓幾何隨后在19世紀由 德國數(shù)學家波恩哈德·黎曼建立,，在橢圓幾何中，平行線一條也不能做了,，而三角形的內(nèi)角和大于180度,。黎曼也將這三種幾何學加以一般化并統(tǒng)一，發(fā)展出了黎 曼幾何,。黎曼定義了“流形”的概念,，從而將曲線和平面的概念推廣了。 19世紀出現(xiàn)了抽象代數(shù)的偉大思想,，德國的赫爾曼·格拉斯曼想出了最 早的向量空間,。愛爾蘭的威廉·哈密頓則發(fā)展出了不遵循交換律的代數(shù)學。英國數(shù)學家喬治·布爾構(gòu)想出了一種新的代數(shù)學,，隨后演化為了我們今天的布爾代數(shù),。布 爾代數(shù)中只有0和1兩種數(shù)值，是數(shù)理邏輯學的起點,，并且在計算機科學中擁有眾多重要應(yīng)用,。 奧古斯丁·路易·柯西、黎曼和卡爾·魏爾斯特拉斯則以在數(shù)學上更加嚴謹?shù)男问街匦卤硎隽宋⒎e分,。 同時,，數(shù)學的局限性也第一次被發(fā)現(xiàn)了。挪威人尼爾斯·阿貝爾和法國人埃瓦里斯特·伽羅瓦證明了高于四次的多項式方程不存在通行的代數(shù)解法,，也就是阿貝爾-魯菲尼定理,。其它19世紀的數(shù)學家應(yīng)用了這個定理，從而證明了僅靠尺規(guī)作圖將三等分任意角,、將一個立方體擴大兩倍,，或者構(gòu)造一個和正方形面積相等的圓，都是 不可能的,。而自古希臘以來數(shù)學家就在嘗試解決這三個難題了,。在另一方面，幾何學僅有三維的局限性,，因參數(shù)空間和超復(fù)數(shù)的提出而被克服了,。 阿貝爾和伽羅瓦對多項式方程的解的研究，奠定了日后群論和抽象代數(shù)相關(guān)的發(fā)展基礎(chǔ),。20世紀的物理學家和其他科學家發(fā)現(xiàn)群論是研究對稱性的理想工具,。 在19世紀晚期,，格奧爾格·康托爾首次建立了集合論。集合論讓人們可以嚴謹?shù)乇硎緲O限的概念,，并且隨后成為了幾乎所有數(shù)學家的通用語言?？低袪柕募险摵蛿?shù)理邏輯在皮亞諾,、魯伊茲·布勞威爾,、大衛(wèi)·希爾伯特和伯特蘭·羅素手中蒸蒸日上,，也引發(fā)了關(guān)于數(shù)學基礎(chǔ)的長時間爭論,。 在19世紀，大量的國家數(shù)學協(xié)會被建立起來，例如1865年倫敦數(shù)學協(xié)會,、1872年法國數(shù)學協(xié)會,、1884年意大利數(shù)學協(xié)會、1883年蘇格蘭數(shù)學協(xié)會，以及1888年的美國數(shù)學協(xié)會,。而首個國際性的特別興趣協(xié)會 —— 四元數(shù)協(xié)會 —— 在當時矢量等概念還存在爭議的歷史背景下,，成立于1899年。 20 世紀20世紀,，數(shù)學開始成為一門主修專業(yè),。每年,，成百上千人成為新的數(shù)學博士,，而且數(shù)學家既可以留在學術(shù)界，又可以加入工業(yè)界,。Klein百科全書則承擔起了匯總整個數(shù)學和數(shù)學應(yīng)用領(lǐng)域的任務(wù)。 在 1900年國際數(shù)學家大會的演說中,，大衛(wèi)·希爾伯特列出了23個數(shù)學界的未解決問題,。這些問題覆蓋了許多不同的數(shù)學領(lǐng)域,，隨后成為了20世紀數(shù)學研究的中 心,。如今,，10個問題已經(jīng)解決，7個問題部分解決,，而2個問題依然是開放的,；還有4個問題由于太含糊，因此不能判斷有沒有解決,。 此時,，歷 史上有名的不少數(shù)學猜想也終獲證明。1976年,，沃夫?qū)す虾蛣P尼斯·阿佩爾使用計算機證明了四色定理,。安德魯·懷爾斯在他人工作的基礎(chǔ)上成功證明了費馬大定理,。保羅·寇恩和庫爾特·哥德爾則證明了，連續(xù)性假設(shè)本身是獨立于標準公理化集合論而存在的（也就是既不可能從中證明,，也不可能從中反證）,。在 1998年,，托馬斯·黑爾斯證明了開普勒猜想,。 此時，數(shù)學家們合作的規(guī)模與領(lǐng)域已經(jīng)是空前的了。例如在1955年到1983年完成的有限 單群分類（即“宏偉定理”）,，其證明分散在由100多位作者發(fā)表的500多篇期刊論文中,，完整的論文加起來共有10000多頁,；一組法國數(shù)學家，包括讓· 迪厄多內(nèi)和安德烈·韋伊,，使用筆名尼古拉·布爾巴基寫作，嘗試以最極端的嚴謹和泛化來加以表述全部的已知數(shù)學,，他們的成果則是幾十卷著作,，然而這在數(shù)學教 育上留下了有爭議的影響,。 一顆行星環(huán)繞恒星運動的牛頓軌道（紅色）與將廣義相對論考慮在內(nèi)的愛因斯坦軌道（藍色） 愛因斯坦在廣義相對論中使用微分幾何之后，微分幾何也得到了一席之地,；數(shù)學邏輯學,、拓撲學，和馮·諾伊曼的博弈論等新的數(shù)學領(lǐng)域,，則改變了通過數(shù)學方法可以 回答的問題類型,；所有的數(shù)學結(jié)構(gòu)全部通過公理而抽象化為了諸如度量空間,、拓撲空間等概念,；而數(shù)學家所作的這些抽象化工作本身的抽象化則引領(lǐng)人們通向范疇 論,；亞歷山大·格羅滕迪克和讓-皮埃爾·塞爾則將用層論重新鑄造了代數(shù)幾何,；而龐加萊自1890年開始的動態(tài)系統(tǒng)理論的定性研究終于也有了很大進展,；在19世紀和20世紀之間,，測度論被發(fā)展出來。測度論 的應(yīng)用包括了勒貝格積分,，和安德雷·柯爾莫哥洛夫的公理化概率論,，以及遍歷論；紐結(jié)理論極大的擴展了；量子力學引領(lǐng)了泛函分析的發(fā)展,；其它的新領(lǐng)域包括了 洛朗·施瓦茨和分布論,、不動點理論和奇點理論；勒內(nèi)·托姆的突變論,、模型論,，以及本華·曼德博的分形；李論以及李群和李代數(shù)成為了一個主要研究領(lǐng)域,。 亞伯拉罕·魯濱遜引入了非標準分析,，通過將實數(shù)域擴展到了包括無窮大和無窮小量的超實數(shù)域，從而平反了微積分中一時名聲狼藉隨后被極限理論取代的無窮小量方法,；而約翰·何頓·康威發(fā)現(xiàn)了一個和組合博弈論有關(guān),，甚至比超實數(shù)更大的數(shù)字系統(tǒng)：超現(xiàn)實數(shù)。 而 隨著計算機的發(fā)展和不斷進步,，從最初的機械模擬計算機到隨后的電子數(shù)字計算機,，讓工業(yè)界可以處理越來越大量的數(shù)據(jù)，來幫助規(guī)劃大規(guī)模生產(chǎn),、配給和通訊,，新 的數(shù)學領(lǐng)域也因此發(fā)展出來：艾倫·圖靈的可計算性理論、計算復(fù)雜性理論,；德里克·亨利·萊默使用ENIAC促進了數(shù)論發(fā)展,，提出盧卡斯-萊 默檢驗法；克勞德·香農(nóng)的信息論,、信號處理,、數(shù)據(jù)分析、最優(yōu)化和其它運籌學的研究,；在過去的世紀中,，數(shù)學在很大程度上注重微積分和連續(xù)函數(shù)，但因為計算機 和通訊網(wǎng)絡(luò)的崛起,，使離散概念也越發(fā)重要,，還導(dǎo)致了組合數(shù)學，包括圖論的擴張發(fā)展,；數(shù)據(jù)處理速度和能力的提升,，也讓人們可以去研究那些過去需要大量時間進 行紙筆計算的數(shù)學問題，引出了數(shù)值分析和符號計算,。而20世紀最重要的數(shù)學方法和算法包括：單純形法,、快速傅立葉變換、錯誤校驗碼,、源自控制論的卡爾曼濾 波,，以及公鑰密碼學的RSA算法,。 在統(tǒng)一時間，人們開始深入審視數(shù)學的極限,。在1929年到1930年,，數(shù)學家證明了，具有乘法或者加法 其中之一的自然數(shù)系統(tǒng)之內(nèi)的一切命題的真?zhèn)问强蓻Q定的,，也就是可以通過某個算法自動計算出來,。然而在1931年，庫爾特·哥德爾發(fā)現(xiàn),，如果自然數(shù)同時包括 乘法和加法,，那么這個結(jié)論就不再成立了；同時包括乘法和加法的系統(tǒng)就是人們所知的皮亞諾算術(shù),，而這事實上是一個不完備的系統(tǒng)（僅靠皮亞諾算術(shù)就足夠支撐數(shù) 論了,，包括可以表述素數(shù)）。而哥德爾的兩個不完備定理表明,，一個包括了皮亞諾算術(shù)的任何數(shù)學系統(tǒng)（涵蓋了數(shù)學分析和幾何的一切）,，真理永遠凌駕于證明之 上，即總會有在系統(tǒng)中不可能被證明的真命題,。因此,，數(shù)學本身不可能被規(guī)約為數(shù)學邏輯學，而大衛(wèi)·希爾伯特企圖將整個數(shù)學變得完備和一致的夢想也就此破滅而 不得不改變了,。 斯里尼瓦瑟·拉馬努金是20世紀數(shù)學界最耀眼的身影之一,，他是一位自學成才的印度數(shù)學家，猜想和證明了關(guān)于高合成數(shù),、整數(shù)分拆,、漸進分析和仿θ函數(shù)的超過3000個定理，它也對伽馬函數(shù),、模形式,、發(fā)散級數(shù)、廣義超幾何函數(shù)和素數(shù)理論做了深入探索,。 埃爾德什·保羅發(fā)表了有史以來最多的數(shù)學論文,，并和上百名合作者一起工作。由于他的論文實在太多,，以至于數(shù)學家提出了數(shù)學家版本的貝肯數(shù)：埃爾德什數(shù),，描述數(shù)學論文中一個作者與埃爾德什的“合作距離”的一種方式。 埃米·諾特則被許多人認為是數(shù)學史上最重要的女性,。她的研究包括環(huán),、域和域代數(shù)。 就像大部分研究領(lǐng)域一樣,，科學時代的信息爆炸導(dǎo)致了數(shù)學的專門化：在20世紀結(jié)叢時,，有超過上百種數(shù)學的專門領(lǐng)域，而數(shù)學學科分類標準則長達幾十頁,。越來越多的數(shù)學期刊開始出版,，而到該世紀結(jié)叢，因互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展,，又有了在線出版,。 現(xiàn)代數(shù)學數(shù)學從古至今便一直不斷地延展，且與科學有豐富的相互作用,，并使兩者都得到好處,。數(shù)學在歷史上有著許多的發(fā)現(xiàn)，并且直至今日都還不斷地發(fā)現(xiàn)中,。依據(jù)Mikhail B. Sevryuk于美國數(shù)學會通報2006年1月的期刊中所說,，“存在于數(shù)學評論數(shù)據(jù)庫中論文和書籍的數(shù)量自1940年(數(shù)學評論的創(chuàng)刊年份)現(xiàn)已超過了一百九十萬份，而且每年還增加超過七萬五千份的細目,。此一學海的絕大部分為新的數(shù)學定理及其證明,。” 美國的克雷數(shù)學研究所在2000年時提出七個數(shù)學難題,，稱為千禧年大獎難題,，在2003年時俄羅斯數(shù)學家格里戈里·佩雷爾曼對龐加萊猜想的證明有決定性的貢獻，他也因此在同年獲得菲爾茲獎,，但佩雷爾曼并未現(xiàn)身領(lǐng)獎,，也不接受獎金，成為首位拒絕接受菲爾茲獎的數(shù)學家,。 二十一世紀時大部分的數(shù)學期刊除了印刷版外也會有網(wǎng)絡(luò)的版本,，而且有許多新的數(shù)學期刊只有網(wǎng)絡(luò)版本，期刊開放獲取的趨勢更加明顯,，arXiv是期刊開放獲取的一個重要網(wǎng)站,。 數(shù)學的未來數(shù)學的許多發(fā)展趨勢是可以觀察到的，最明顯的趨勢就是這門學科變得越來越龐大,，計算機變得越來越重要和強大,，而數(shù)學在生物信息學上的應(yīng)用領(lǐng)域日發(fā)擴大，而通過計算機分析的工業(yè)界和科學界數(shù)據(jù)則爆炸性增長,。 |
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