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上節(jié)課我們學習了在復合函數(shù)求導法則的基礎上不定積分的換元積分法,，包括第一類換元積分法,、第二類換元積分法。現(xiàn)在我們利用兩個函數(shù)的求導法則,，來推得另一個求積分的基本方法-----分部積分法 設函數(shù)u=u(x)及v=v(x)具有連續(xù)導數(shù),，那么，兩個函數(shù)乘積的導數(shù)公式為 (uv)'=u'v+uv' 移相得 uv'=(uv)'-u'v 對這個等式兩邊求不定積分,，得 ∫uv'dx=uv-∫u'vdx (1) 公式(1)稱為分部積分公式,。如果求∫uv'dx有困難，而求∫u'vdx比較容易時,，分部積分公式就可以發(fā)揮作用了,。 為簡便起見，也可以把公式(1)寫成下面的形式 ∫udv=uv-∫vdu
現(xiàn)在通過列子來說明 列題1.求∫xlnxdx 解：設u=lnx,dv=dx,那么 ∫xlnxdx=∫lnxd(x^2/2) =x^2/2lnx-∫x^2/2d(lnx) =x^2/2lnx-1/2∫xdx =x^2/2lnx-x^2/4+C 列題2.∫arccosxdx 解：設u=arccosx,dv=dx,那么 ∫arccosxdx=xarccosx-∫xd(arccosx) =xarccosx+∫x/√(1-x^2)dx =xarccosx-1/2∫1/(1-x^2)^1/2d(1-x^2) =xarccosx-√(1-x^2)+C 總結1：在分部積分法運用比較熟練以后,，就不必再寫出哪一部分選作u,哪一部分選作dv,，只要把被積函數(shù)表達式湊成φ(x)dv(x)的形式，便可使用分部積分公式 列題3.求∫x^2sin^2xdx 解：首選降冪,，由于sin^2x=1/2(1-cos2x),所以 ∫x^2sin^2xdx=1/2∫x^2(1-cos2x)dx=1/6x^3-1/4∫x^2dsin(2x). 連續(xù)使用分部積分法,得 ∫x^2sin^2xdx=1/6x^3-1/4x^2sin2x+1/2∫xsin2xdx=1/6x^3-1/4x^2sin2x-1/4∫xdcos2x =1/6x^3-1/4x^2sin2x-1/4xcos2x+1/8sin2x+C 列題4.∫x^2e^xdx 解：設u=x^2,dv=e^xdx=d(e^x),那么 ∫x^2e^xdx=∫x^2d(e^x)=x^2e^x-∫e^xd(x^2)-2∫xe^xdx 這里∫xe^xdx比∫x^2e^xdx容易積出,，因為被積函數(shù)中x的冪次前者比后者降低了一次，所以,，對∫xe^xdx再使用一次分部積分法就可以了,，于是 ∫x^2e^xdx=x^2e^x-2∫xe^xdx=x^2e^x-2∫xd(e^x) =x^2e^x-2(xe^x-e^x)+C =e^x(x^2-2x+2)+C 總結2：上面2個列子可以知道，如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,，就可以考慮使用分部積分法,，并設冪函數(shù)為u,，這樣用一次分部積分法就可以使冪函數(shù)的冪次降低一次，直至求出答案,，這里假定的冪指數(shù)是正整數(shù),。 列題5。求∫xarctanxdx 解：∫xarctanxdx=1/2∫arctanxd(x^2) =x^2/2arctanx-1/2∫x^2/(1+x^2)dx =x^2/2arctanx-1/2∫(1+x^2-1)/(1+x^2)dx =x^2/2arctanx-1/2∫[1-1/(1+x^2)]dx =x^2/2arctanx-1/2(x-arctanx)+C =1/2(x^2+1)arctanx-1/2x+C 總結3：如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積,，就可以考慮分部積分法,，并設對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為u. 列題6.∫e^xsinxdx 解：∫e^xsinxdx=∫sinxd(e^x)=e^xsinx-∫e^xcosxdx 等式右端的積分與等式左端的積分是同一類型的，對右端的積分再用一次分部積分法,，得 ∫e^xsinxdx=e^xsinx-∫cosxd(e^x) =e^xsinx-e^xcosx-∫e^xsinxdx 由于上式右端的第三項就是所求的積分∫e^xsinxdx,把它移到等號左端去,，再兩端同除以2，便得 ∫e^xsinxdx=1/2e^x(sinx-cosx)+C 因上式右端已不包含積分項,，所以必須加上任意常數(shù)C 分部積分法三大總結對應的題型,，如果小伙伴們不能夠很好的理解，我們有下面這章表格,，可以更加有利于你們的理解 (1)首先要將它寫成∫udv(或∫uv'dx)的形式
(2)多次應用分部積分法,，每分部積分一次得以簡化，直至最后求出,。 (3)用分部積分法有時可導出∫f(x)dx的方程,，然后解出。 (4)有時用分部積分法可導出遞推公式 在大學高數(shù)學習不定積分用分部積分法時,，一般情況下,，掌握前3種即可，即使考試最后的壓軸題目也逃不出這個范圍,，對于考研的學子(只對數(shù)一)用分部積分法導出遞推公式需要你們自己去多做題,，去理解即可。 如果還有不明白或者不清楚的歡迎大家在下方的評論區(qū)留言,。小編看到會第一時間回復,。點擊收藏分享下吧。 |
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