分部積分法的優(yōu)先法則 Vo3.Nlol

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分部積分法的優(yōu)先法則

張敏廖畢文

(武漢軍械士官學?；A部數(shù)學教研室湖北武漢430075) 摘要:本文給出了分部積分法的優(yōu)先法則,并通過例題表明該法則方便,快捷,易理

解.

關(guān)鍵詞:分部積分:優(yōu)先法則;湊微分

【中圖分類號】0172【文獻標識碼】A【文章編號】1671—8437(2011)01-0004-01

分部積分法在高等數(shù)學積分學中占有十分重要的地位,主 要解決被積函數(shù)是兩種不同類型函數(shù)的乘積(如Jx2exdx,J Csinsdx等)的不定積分.分部積分公式為ludv=uv—Jvdu,看似 簡單易記,但應用起來較難,難點在:很少需要求解的不定積分 已經(jīng)具有fudv的形式,使得我們可以直接套用公式.一般情況 下,被積函數(shù)為兩個函數(shù)的乘積f(x)g(x),我們需要保留其中一個 函數(shù)當作l1.而將另外一個函數(shù)與dx湊微分,寫成dv的形式, 這就產(chǎn)生一個問題:在這兩個函數(shù)中,優(yōu)先選擇誰與dx湊微分 呢?如果U和dv選擇得當則計算非常順利,反之,就會出現(xiàn)越來 越復雜或積不出來的現(xiàn)象.

關(guān)于u和dv的選擇,絕大多數(shù)的本科教材概括為兩點:(1) v要容易求得;(2)Jvdu要比ludv容易積出,學生對于這兩點 往往是背得熟.但做題仍不知如何下手.部分教學參考書推薦的 方法為:如果被積函數(shù)是由'反,對,冪,指,三'中任意兩類函數(shù) 乘積時,按此順序,誰排在前面,u就選誰,其余的與dx湊微分 結(jié)合為dv.顯然,這種方法解題思路會清晰很多,但對于學生而

言,存在理解不透,記不牢順序或不會熟練使用的問題.結(jié)合近 幾年的教學.本人針對分部積分法的使用,給出一種易記易使用 的方法,即'優(yōu)先法則'.所謂優(yōu)先法則,是針對被積函數(shù)為兩個 雨數(shù)乘積的情形.優(yōu)先選擇哪個函數(shù)與dx湊微分的法則,目的 是快速將不定積分轉(zhuǎn)化為分部積分公式的結(jié)構(gòu)便于計算.下面 分三種情形說明:

(1)若被積函數(shù)中出現(xiàn)'eX,sinx,COSX'中任意,個,則優(yōu)先選 擇該項與dx湊微分.(說明:該法則適用于e,sinax,cosbx的情 形,下同)

例如:對于積分』x2ex,』xex,』x3sinxdx,』xc.s2xdx,分 別優(yōu)先選擇e,e,sinx,cos2x與(b(湊微分,湊成dv,將剩余的 另一個函數(shù)看作u.

例1:求不定積分lxcos2xdx.

分析:被積函數(shù)中出現(xiàn)了x,cos2x則優(yōu)先選擇cos2x與dx 湊微分

解:』xc.s2xdx=1』xdsin2x=1[xsin2x一』sin2xdx]=1 [xsin2x+—1cos2x]+C

(2)右破凼雙甲出現(xiàn)'e,sinx,COSX甲仕葸網(wǎng)/r,,則尢倫優(yōu) 先選擇誰與dx湊微分都可行.但要切記:若連續(xù)兩次使用分部 積分.則兩次優(yōu)先選擇湊微分的函數(shù)必須為同一類函數(shù),否則會 出現(xiàn)循環(huán),永遠也無法計算出.

例2:求不定積分feXcosxdx.

解法1:

fe~cosxdx=』eMsinx(第一次優(yōu)先選擇三角函數(shù)湊微分) =exsinx—fsinxdex=e~sinx一』sinx.eXdx

=exsinx+fexdcosx(第二次同樣優(yōu)先選擇三角函數(shù)湊微分) =exsinx+edc.sx一』c.sxdeex(sinx+cosx)一fc.sxexdx 因此,fexc0sx1e(sinx+cosx)+c. 解法2: