從“統(tǒng)一數(shù)學”中得到的啟發(fā)

丁文父

哥德爾（KurtG?del, 1906 - 1978）最終使希爾伯特（David Hilbert, 1862 -1943）將數(shù)學大廈建立在一個統(tǒng)一的,、完備的、相容的邏輯和公理基礎上的理想徹底破滅了,，但這并不意味著數(shù)學大廈的邏輯基礎是不相容的,，而且許多數(shù)學家堅持認為數(shù)學的邏輯基礎是相容的。一個強有力的證據(jù)是,，數(shù)學大廈并沒有倒塌,。不僅如此，數(shù)學大廈本身似乎呈現(xiàn)出一種相互的聯(lián)系,。這種聯(lián)系從此開始引起數(shù)學家的注意,。

1955年，日本青年數(shù)學家谷山豐（1927- 1958）與志村五郎（1930 -）將“模形式”與“橢圓方程”兩個看似毫無關聯(lián)的領域突發(fā)奇想地聯(lián)系起來,，提出了“谷山-志村猜想”,。按照這個猜想，模形式的M-序列與橢圓方程的E-序列完全對應,。換言之,，二者成為“鏡像”！這意味著所有橢圓方程似乎都可以模形式化,！遺憾的是,，谷山留下一張字條“直到昨天，我還沒有決心自殺”后便自殺了,！也許他因為窺視到上帝的秘密而受到召喚,！

1960年代,，數(shù)學家韋爾（AndréWeil, 1906 - 1998）和朗蘭茲（Robert Langlands, 1936-）相繼注意到“谷山-志村猜想”,。韋爾甚至找到了有利的證據(jù),。盡管這個猜想尚未被證明，朗蘭茲相信,，數(shù)學各個領域之間存在深刻的內(nèi)在關聯(lián)的鏈條,，而“谷山-志村猜想”只是這些鏈條中的一條。朗蘭茲開始尋找其他鏈條,。幾年以后,，有一些鏈條逐漸浮現(xiàn)出來。朗蘭茲敏銳地洞察到,，如果這些鏈條能夠逐一被證明,，那么最終會形成一個統(tǒng)一的數(shù)學大廈。朗蘭茲因此寫信給韋爾,，提出了著名的“朗蘭茲綱領”,。在這個綱領中，朗蘭茲以其非凡的洞察力首次提出將數(shù)論,、幾何學,、表示論相聯(lián)系的設想,。由于這個綱領致力于將數(shù)學各個領域之間的證明統(tǒng)一化，因此它又被稱為數(shù)學的“大統(tǒng)一理論”（grand unified theory）,。

雖然從1960年代以來逐漸浮現(xiàn)出許多鏈條,，并似乎形成一個錯綜復雜的體系，遺憾的是,，即使這個綱領中最強有力的“谷山-志村猜想”也一直沒有被證明,。這就使得“朗蘭茲綱領”始終處于猜想階段。

轉機發(fā)生在1984年,。德國數(shù)學家弗賴（Gerhard Frey, 1944 -）在“費馬猜想”與“谷山-志村猜想”之間建立了聯(lián)系,。這個大膽的猜測再次引起了數(shù)學家們對“谷山-志村猜想”的強烈興趣，并由此引發(fā)了后續(xù)的一系列數(shù)學證明,，因此具有非常重大的意義,。弗賴使用反證法證明如下：假定費馬方程x? + y? = z?，n＞2不成立,，即存在A, B, C使得A? + B? = C?,，經(jīng)過一系列推算，可得y2= x3+ (A? - B?)x2- A?B?（弗賴方程）,，令a = A? - B?, b = 0, c= -A?B?，可得y2= x3+ ax2+ bx + c,，這正是一個橢圓方程,！

假定“谷山-志村猜想”是正確的，那么“弗賴方程”就可以模形式化,。問題是,，“弗賴方程”長得如此丑陋（），以至于它被美國數(shù)學家里貝特（KennethAlan Ribet, 1948 -）最終證明是不可模形式化的,！因此,，合理的推理是，或者谷山-志村猜想是錯誤的,，或者谷山-志村猜想是正確的,，則“弗賴方程”就不存在，因此費馬方程不能有解,。換言之,，費馬猜想是正確的。顯然,，破解“費馬猜想”的大門就在于證明“谷山-志村猜想”是否正確,！

正是在這個大門口，普林斯頓大學的數(shù)學家懷爾斯（Andrew Wiles, 1953 -）對“費馬猜想”發(fā)起了進攻,。他費時八年最終在1994年圓滿證明“費馬猜想”成立,。懷爾斯采用“數(shù)學歸納法”作為證明的基礎,。他借助伽羅瓦“群論”，證明M - 1= E - 1（這是多米諾骨牌的第一塊）,；假設M – k = E - k成立,，借助科-弗-金方法，證明M - (k+1) = E - (k + 1)成立（即證明每一張倒下的多米諾骨牌都可以推倒下一張骨牌）,，由此證明了“谷山-志村猜想”的一個特例（半穩(wěn)定橢圓曲線）,。這個證明雖然尚不足以證明“谷山-志村猜想”，但卻足以證明他夢寐以求的“費馬猜想”,。

雖然對公眾而言,，“費馬大定理”的證明造成了非常轟動的效果，但對于數(shù)學家們來說,，證明“費馬大定理”的真正價值在于它部分地證明了“谷山-志村猜想”,，而這個證明正屬于“朗蘭茲綱領”中將代數(shù)幾何應用于數(shù)論這個框架下的成果。這就為“朗蘭茲綱領”注入了活力,。1996年,，懷爾斯與朗蘭茲分享了沃爾夫數(shù)學獎。1999年,，法國數(shù)學家布勒伊（Christophe Breuil）,、英國數(shù)學家泰勒（Richard Taylor）、美國數(shù)學家康萊德（Brian Conrad）和戴蒙德（Fred Diamond）,，在懷爾斯的基礎上,，完成了“谷山-志村猜想”的最后證明。

雖然希爾伯特對整個數(shù)學統(tǒng)一公理化的企圖是不可能的,，但發(fā)現(xiàn)數(shù)學內(nèi)在的相互聯(lián)系現(xiàn)在看起來是非?？赡艿摹ｋS著“朗蘭茲綱領”邁出的第一步,，數(shù)學界正在走向“統(tǒng)一化”的新方向：他們正在忙著打通數(shù)學大廈內(nèi)的各個房間,，或者說在數(shù)學孤島之間建立棧橋。數(shù)學史上從未有過一項綱領像“朗蘭茲綱領”那樣吸引過那么多一流的數(shù)學家,，獲得過那么多重要的成就,，而且更為重要的是，“朗蘭茲綱領”本身的深度和廣度一直在生長,。2018年,，德國年輕的數(shù)學家舒爾茨獲得了“菲爾茲獎”，以表彰他在“朗蘭茲綱領”范疇內(nèi)以及將該綱領拓展到“三維雙曲空間”方面所取得的成就,。同年,，朗蘭茲獲得數(shù)學界的諾貝爾獎“阿貝爾獎”，以表彰他對數(shù)學之間的緊密聯(lián)系所作出的偉大預見,。令我自豪的是,，朗蘭茲是曾經(jīng)住的離我最近的大數(shù)學家,，而且他在普林斯頓大學高等研究院的辦公室正是愛因斯坦一直使用的。

滑稽的是,，雖然希爾伯特的理想沒有實現(xiàn),，但希爾伯特在1900年提出的著名的23個數(shù)學基本問題中有些問題直接導致了“朗蘭茲綱領”，這就是第9和第12個問題,。

更為有意思的是,，正如數(shù)學家們正在努力統(tǒng)一數(shù)學一樣，物理學家們也一直在努力統(tǒng)一物理學,，即將電磁,、強核、弱核,、引力這四大相互作用用相同的數(shù)學形式表達出來,。來自俄國的美國數(shù)學家弗蘭克（Edward Frenkel, 1968 -）的研究不僅與“朗蘭茲綱領”有關，而且還與量子物理學有關,。

現(xiàn)在,，發(fā)現(xiàn)“相互聯(lián)系”已經(jīng)成為數(shù)學以及科學最重要的研究方向。也許我們不能“證明”我們的世界是統(tǒng)一的,，但我們似乎越來越“發(fā)現(xiàn)”這個世界是統(tǒng)一的,。這個世界或整個宇宙真的是“一個”密切相關的網(wǎng)絡嗎（a tight web ofconnections）？哥德爾說了,，人類永遠也不會等到“拭目以待”這一天,！

2018年8月11日丁文父