在不同尺度上,，物理世界遵循著不同的規(guī)律,。描述微觀量子世界的定律，與描述宏觀物體的定律有著本質(zhì)的區(qū)別,。然而，任何隨著尺度的變化必然是連續(xù)的,，物理學中看似截然分立的領域,，實則具有豐富的聯(lián)系。

《尺度,，法則和生命》這幅畫,，正是通過17個地位顯著的公式，描繪了物理學不同領域的聯(lián)系與相互影響,。

沿著圖中從左到右的方向,，粒子數(shù)量增加,，系統(tǒng)復雜性也隨之增加,。沿著從下往上的方向，系統(tǒng)的尺度逐漸增大,。圖的各個角分表代表了物理學的不同領域,。沿著順時針方向，左下角描繪粒子波動性的圖像代表量子力學,； 左上角電磁相互感生的圖像代表電磁學與電動力學,；旁邊的湍流代表流體力學；右上角的星云,、黑洞,、恒星以及交織的時空，代表描述宇宙的相對論,；右下角紛亂的粒子,、石墨烯、足球烯,、DNA雙螺旋代表熱力學與統(tǒng)計物理,。

圖的正中是人類和孕育人類生命的地球。地球上的四個人則表現(xiàn)了人類面對這四個不同尺度與復雜性的領域時,，截然不同的態(tài)度：左上角的人拿著筆,，陶醉于電動力學的完美，右上角的人滿含熱情與虔誠地擁抱宇宙的奧秘,，右下角的人面對復雜的世界充滿困惑,，左下角的人震驚于微觀量子世界的怪異。

畫面四個象限間隔用黑白色調(diào),，具有旋轉(zhuǎn)對稱性,，仿佛陰陽一樣形成一種動態(tài)的平衡。

本文將從左上角開始,，順時針依次介紹這些描述了不同尺度自然世界的重要公式,。

電磁現(xiàn)象研究中最重要的一點是要理解,，是電荷的存在產(chǎn)生了滲透整個空間的電磁場。

在上圖顯示的四個方程中,，有兩個方程中有倒三角,、點，以及表示電場和磁場的字母E和B,。這兩個公式描述了電場和磁場的散度,，或者說是點源在徑向上產(chǎn)生磁場和電場的能力。根據(jù)這兩個公式,，電場的散度取決于存在的電荷數(shù)量,，而磁場的散度總是零,！這意味著電場是有源的，而磁場是無源的,，正如我們知道的,，自然中存在點電荷，但是不存在磁單極子,。

另外兩個等式包含叉號而非圓點,，描述電場和磁場的旋度。旋度可以理解為電場與磁場在自由空間彎曲程度的度量,。在描述電場旋度的等式右側(cè)包含磁場,，在描述磁場旋度的等式右側(cè)包含電場。這表明,，隨時間變化的電場會激發(fā)環(huán)繞的磁場,，而隨時間變化的磁場會激發(fā)環(huán)繞的電場。

在描述磁場旋度的等式中,，還有一個額外的包含字母J的項,，代表位移電流，這表示運動的電荷會產(chǎn)生環(huán)繞的磁場,。值得注意的是,，在描述電場旋度的等式中，并不包含對應的“磁流”項,，這是因為“磁流”根本就不存在,！如果存在磁單極子，就會有“磁流”,，而磁單極子迄今仍未被發(fā)現(xiàn),。

這四個描述電磁場散度和旋度的等式構成了麥克斯韋方程組，它們?yōu)殡姶艌鲈陔姾纱嬖跁r或者真空中的行為提供了完整的描述,。

上面這個看起來十分冗長的等式便是描述流體運動的納維爾-斯托克斯方程,。流體,，簡單說來，就是運動的連續(xù)粒子流,。正如牛頓第二定律 (F=ma) 描述了粒子在力的作用下如何運動一樣,，納維爾-斯托克斯方程描述了粘性,、不可壓縮流體的運動。它并不是在表述能量守恒,，而是描述流體在給定的粘度,、集體速度和外部壓強下是如何運動的。

由于非線性偏微分方程的數(shù)學形式,，納維爾-斯托克斯方程令無數(shù)相關領域的研究人員頭疼不已,。納維爾-斯托克斯方程的存在性與平滑性是千禧年七大數(shù)學難題之一，普遍認為,，距離方程的解決還很遙遠,。 （詳見：《物理學中最難的方程之一》）

流體力學中,，決定流體行為的一個重要特征，是在流體中是否存在源（source）或者匯（sink）,。想象流體中的一個封閉空間,，我們可以問如下的問題：在一段時間內(nèi)，有多少流體進入這個空間,，有多少流出,？

如果是一根沒有洞的水管，可以確定流入和流出的流體量是相等的,，因為流體是連續(xù)的,！在這種情況下，連續(xù)性方程中代表流體源或匯的希臘字母σ等于零,。從左往右,，方程中另外兩項分別代表單位時間內(nèi)流入或流出封閉空間的流體量，以及流體的散度,。連續(xù)性方程實質(zhì)上是流體總量守恒的一種表述,，描述了流體不會憑空產(chǎn)生或者消失，類似于電荷守恒,、質(zhì)量守恒,、動量守恒等。

在愛因斯坦提出狹義相對論之前，理解物體相對運動是通過伽利略變換,。在伽利略變換的圖景中,，對運動物體時間和空間的描述不包括時間膨脹和長度收縮效應。

愛因斯坦假定在所有慣性系中光速是恒定的,， 并且構架了一種和伽利略變換不同性質(zhì)的變換,，后來被稱為洛倫茲變換,。這種變換解釋了如下事實：在靜止參考系中，運動物體在時空中的前進速度是不同的,，這與運動參考系和靜止參考系的相對速度有關,。

如圖中的洛倫茲變換公式中表示的那樣，大寫的X和X’代表觀察者和被觀察的時空坐標,。大寫的希臘字母Λ是4×4的變換矩陣,，它包含了物體與觀察者相對速度的信息。

在廣義相對論中，愛因斯坦場方程描述了在物質(zhì)和能量的影響下,，時空結(jié)構是如何彎曲纏繞的,。可以從方程中求解出的小寫字母g代表時空度量（space-time metric）,，時空度量g可以認為是特定系統(tǒng)中時空結(jié)構的特征描述,。愛因斯坦說“一只盲目的甲蟲，在球面上爬行,，它意識不到它走過的路是彎曲的,。”時空度量g就是這個球面彎曲形狀的表征,。如果是一只非常非常聰明的甲蟲,，它知道這個面的g和相關知識，也就知道了自己在什么形狀的面上爬行,。

通過時空度量,，我們可以確定物體在系統(tǒng)中的行為，因為,，最簡單說來,，時空曲率會引導物體的運動。這種“引導”由物體周圍時空結(jié)構的曲率決定,，正是我們感受到的重力,。

當霍金還年輕的時候，他設想了一種機制,，通過這種機制,，黑洞噴射自身的質(zhì)量，并最終蒸發(fā)消失。這種想法基于透過量子力學“透鏡”觀察到的真空特性,。

根據(jù)我們對量子力學的理解，真空中充滿了正負粒子對,，它們不斷地成對產(chǎn)生或湮滅,。霍金的理論表明,，如果這種現(xiàn)象出現(xiàn)在史瓦西半徑附近 （光和粒子均無法逃離時的黑洞半徑稱為史瓦西半徑）,，正負粒子對中的一個會掉入黑洞，另一個則會逃離,。根據(jù)這一機制,，黑洞就像是在噴射自身的質(zhì)量，這種現(xiàn)象被稱為霍金輻射,。

貝肯斯坦-霍金熵描述了在黑洞表面所必須的熵,，以符合控制黑洞視界物質(zhì)外部的熱力學原理。

愛因斯坦質(zhì)能方程可能是物理學中最廣為人知的方程。盡管名字廣為流傳,，它的物理內(nèi)涵卻有些令人難以捉摸,，只有通過相對論才能理解。這個等式之所以如此重要,，是因為它直觀的表述了對于靜止物體,，能量就是質(zhì)量，質(zhì)量就是能量,。與物體本身相對靜止的參考系內(nèi)的質(zhì)量,，稱為物體的靜止質(zhì)量。

一個更普適的質(zhì)能關系是：

其中m?是靜止質(zhì)量,，p是動量,。對于質(zhì)量為零的物體，比如光子,，m?等于零,，公式簡化為E=pc。當物體的運動速度遠小于光速時,，動量p很小,，公式回歸到圖中的形式, E=mc2，這正是宏觀世界物體近似遵循的規(guī)律,。

重整化群方程可以用來確定物理系統(tǒng)在不同尺度上的行為。類似于顯微鏡是觀察細菌的合適工具,，卻不適合觀察宏觀物體,，這個方程是用來確定，在特定的物理尺度或能量尺度上,，應用什么數(shù)學工具更為合適,。

這個方程可以用于研究，當系統(tǒng)的尺度發(fā)生變化時,，一個理論的相關參數(shù)應如何變化,。另外，這個方程可以表明,，哪些理論在所有能量尺度上是有效的——例如共形場論（conformal field theory）——這些理論在物理學的眾多領域具有重要作用,，包括凝聚態(tài)物理、弦論,、規(guī)范-引力對偶（全息原理）,。

在宏觀尺度下,，當物體運動的速度遠小于光速,，作用于物體上的力等于物體的質(zhì)量乘以加速度。牛頓第二定律是人們理解力這一概念的基礎,，被應用在難以計數(shù)的研究領域中,。

在牛頓第二定律F=ma下方，是作用于物體上的力的更為普適的表達,。這個公式表達的是,，作用于物體上的力等于單位時間內(nèi)物體動量的變化。這種表達之所以更為普適,，是因為它不僅包含了特定質(zhì)量物體速度變化的可能,，還包含了物體質(zhì)量變化的可能。因為動量由質(zhì)量和速度共同決定,，這兩者中任何一種的變化,，都意味著有力作用于物體上。

在畫作中,，畫家讓F=ma和F=dp/dt這兩種表達互相排斥,，來描述牛頓第三定律的內(nèi)涵。在沒有外界影響的情況下,，對于任何一個力,，都存在一個大小相等、方向相反的力,。

熱力學第二定律陳述的是，孤立系統(tǒng)的熵只會增加。簡單的說,，熵是衡量系統(tǒng)可以采取的排列方式的量,。想象密封盒子里的一團粒子，與外界不存在能量交換,。與所有粒子都聚集在盒子的一個角落相比,，粒子分散在整個盒子中時，可能的排列數(shù)量遠遠大得多,。這也和我們的直觀經(jīng)驗相吻合，比如一團氣體會自動擴散開來,。雖然這不是在孤立系統(tǒng)中,，推動這一過程的仍是熵的增加。這就是熱力學第二定律最核心的思想,。孤立系統(tǒng)有一種傾向,，就是演化成具有最多可能排列數(shù)量的狀態(tài)。

當確定系統(tǒng)處于某個特定狀態(tài),，尤其是平衡態(tài)的概率時,，配分函數(shù)是我們最好用的工具。配分函數(shù)取決于系統(tǒng)的自由度,，以及表征系統(tǒng)的狀態(tài)是連續(xù)或者分立,。從統(tǒng)計力學的角度，最重要的描述系統(tǒng)的物理量,，如自由能,、熵、壓強等,，都能通過配分函數(shù)及其導數(shù)來表達,。配分函數(shù)被認為包含系統(tǒng)的所有信息，所以一旦知道配分函數(shù),，系統(tǒng)的任何性質(zhì)原則上都能夠計算出來,。但是復雜系統(tǒng)的配分函數(shù)并不容易獲得。

最簡單的簡諧振子是單擺，擺臂在重力作用下持續(xù)均勻擺動,。量子簡諧振子和宏觀擺的本質(zhì)區(qū)別在于,，對于量子簡諧振子，振動的物體是像電子這樣的粒子，且粒子的振動限定在一系列離散的狀態(tài)上,。不同于宏觀的擺可以具有任何頻率,，量子簡諧振子中的粒子只能具有特定的離散的頻率。這個概念描述了量子力學與量子尺度的物質(zhì)粒子的根本特性,。畫家用拋物線來代表簡諧振子,，因為對于簡諧振子的定義就是勢阱禁錮著振動的粒子。

如圖中所表達的,，量子簡諧振子中占據(jù)特定能量狀態(tài)的電子躍遷到較低能量態(tài)時,，一個光子會發(fā)射出來，其能量恰好等于兩個狀態(tài)的能量差,。光子的波長與其能量相對應,，較高能量的光子具有較短的波長。這個過程也可以反向進行,。一個光子可以與電子相互作用,，將電子激發(fā)到較高能量態(tài)，電子能量的增加則等于光子攜帶的能量,。

最小作用量原理代表了我們對于物理學幾乎所有領域的最深刻理解。最小作用量原理本質(zhì)上表達的是,，我們可以通過提出一個問題來確定物理系統(tǒng)的行為,，這個問題就是，自然是否在追求某個量的最小化,？或者更普遍的,，自然是否在尋求某種不變性？

關于最小作用量原理的一個絕佳例子是光的折射現(xiàn)象,。當光線從一種介質(zhì)進入另一種介質(zhì)（比如從水進入空氣）中時,，會選取怎樣的路徑呢？事實是,，光線會選取傳播時間最少的路徑,！因為光在不同介質(zhì)中傳播速度不同，為了使傳播時間最短,，光線會在界面上發(fā)生彎折,，以確保在光速快的介質(zhì)中通過更多路程。理解了最小作用量原理,，也就理解了光的折射現(xiàn)象,。

這絕非最小化原理在物理學中的唯一例證。事實上,，最小化原理廣泛地應用于經(jīng)典力學,、電磁學,、廣義相對論、量子力學和很多其他領域,。在所有尺度上,，自然似乎都在告訴我們，確定一個復雜系統(tǒng)行為的最簡單方法是類似這樣的最小化原理,。

薛定諤方程是量子力學的精華，以簡潔的數(shù)學形式表達了量子力學的內(nèi)涵,，描述在自由空間或者存在勢能的情況下粒子類似于波的行為,。畫家以最簡潔的形式表達薛定諤方程：哈密頓算子H作用于波函數(shù)Ψ，等于系統(tǒng)的總能量E乘以波函數(shù)Ψ,。波函數(shù)包含關于量子系統(tǒng)能量狀態(tài)的概率信息,，當不同的算符作用于波函數(shù)時，可以得到系統(tǒng)的能量,、角動量等物理量。

海森堡不確定性原理陳述的是：由于在量子尺度上粒子具有波的特性，粒子的動量和位置不能同時精確測定,。

首先,，在你的腦海中想象一列波在空間傳播，比如石子投入水中引起的漣漪,，或者振動的琴弦,。問自己如下的問題：波的準確位置在哪里？你想象的波具有固定的波長,，不是嗎,？具有固定波長的波具有精確的動量，然而卻不具有精確的位置,，無法準確說出這列波究竟在這里,，還是在那里。

現(xiàn)在,，想象一個波包,，也就是許多各種波長的波疊加在一起形成的具有確定位置的波。這時,，波包有著更為精確的位置,。但是，因為添加了許多不同波長的波,，波包動量的不確定性增加了,。這就是不確定性原理的本質(zhì),。

畫家在這幅圖中用標準差σ來表示位置和動量的不確定性，位置和動量標準差的乘積大于或等于一個常數(shù)（普朗克常數(shù)的一半）,。因此,，當一個量變得精確時（σ變小）,，另一個量的精確性會相應降低（σ變大）,。

1928年,，保羅·狄拉克提出了描述電子的相對論性方程式——狄拉克方程。它把物理學上兩個最重要的想法聯(lián)姻在了一起：描述微觀世界的量子力學以及描述快速運動物體行為的狹義相對論,。因此,，狄拉克方程描述了粒子（比如電子）以接近光速運動時的行為。狄拉克方程是通往量子場論的第一步,，以至于有了今天的粒子物理學的標準模型,。此外，狄拉克方程還包含了解釋粒子自旋特性的必要細節(jié),，并且預言了反物質(zhì)的存在,！

相比于相對論,，愛因斯坦對光電效應的發(fā)現(xiàn)并不那么廣為人知，然而正是憑借光電效應的工作,，愛因斯坦獲得了他唯一的諾貝爾獎,。

光電效應描述的是，當光子照射到金屬表面上時,，電子攜帶著動能,，從金屬表面發(fā)射出來。然而,，光電效應令人驚異的洞察是,，發(fā)射電子所攜帶的動能并不取決于光的強度，而是取決于光的頻率,。這是引領物理學家提出離散能量狀態(tài)這一概念的重要線索,，正如后來量子力學中描述的那樣。

在這幅畫中,，光子的能量表示為普朗克常數(shù)和頻率的乘積,。出射電子的動能E等于光子的能量減去功函數(shù)φ。功函數(shù)φ是電子從金屬表面的束縛能量狀態(tài)掙脫所需要的能量,，它是一個常數(shù),，與入射光子的能量無關,。 也就是說，入射光子的一部分能量用于克服金屬對電子的吸引,，剩余的能量則轉(zhuǎn)化為出射電子的動能,。

編譯：Boltz

審校：Jin