數(shù)論是純粹數(shù)學(xué)的分支之一,，主要研究整數(shù)的性質(zhì)。

整數(shù)可以是方程式的解(丟番圖方程),。有些解析函數(shù)(像黎曼ζ函數(shù))中包括了一些整數(shù),、質(zhì)數(shù)的性質(zhì)，透過這些函數(shù)也可以了解一些數(shù)論的問題,。透過數(shù)論也可以建立實(shí)數(shù)和有理數(shù)之間的關(guān)系,，并且用有理數(shù)來逼近實(shí)數(shù)(丟番圖逼近)。

1.初等數(shù)論

初等數(shù)論主要就是研究整數(shù)環(huán)的整除理論及同余理論,。此外它也包括了連分?jǐn)?shù)理論和少許不定方程的問題,。本質(zhì)上說，初等數(shù)論的研究手段局限在整除性質(zhì)上,。

初等數(shù)論中經(jīng)典的結(jié)論包括算術(shù)基本定理,、歐幾里得的質(zhì)數(shù)無限證明、中國剩余定理,、歐拉定理(其特例是費(fèi)馬小定理),、高斯的二次互反律， 勾股方程的商高定理,、佩爾方程的連分?jǐn)?shù)求解法等等,。

2.解析數(shù)論

借助微積分及復(fù)分析(即復(fù)變函數(shù))來研究關(guān)于整數(shù)的問題,，主要又可以分為乘性數(shù)論與加性數(shù)論兩類。乘性數(shù)論藉由研究積性生成函數(shù)的性質(zhì)來探討素數(shù)分布的問題,，其中質(zhì)數(shù)定理與狄利克雷定理為這個領(lǐng)域中最著名的古典成果,。加性數(shù)論則是研究整數(shù)的加法分解之可能性與表示的問題，華林問題是該領(lǐng)域最著名的課題,。

3.代數(shù)數(shù)論

將整數(shù)環(huán)的數(shù)論性質(zhì)研究擴(kuò)展到了更一般的整環(huán)上,，特別是代數(shù)數(shù)域。一個主要課題就是關(guān)于代數(shù)整數(shù)的研究,，目標(biāo)是為了更一般地解決不定方程求解的問題,。

代數(shù)數(shù)論更傾向于從代數(shù)結(jié)構(gòu)角度去研究各類整環(huán)的性質(zhì)， 比如在給定整環(huán)上是否存在算術(shù)基本定理等等,。

這個領(lǐng)域與代數(shù)幾何之間的關(guān)聯(lián)尤其緊密,， 它實(shí)際上也構(gòu)成了交換代數(shù)理論的一部分。它也包括了其他深刻內(nèi)容,，比如表示論,、p-adic理論等等。

4.幾何數(shù)論

主要在于通過幾何觀點(diǎn)研究整數(shù)(在此即格點(diǎn),， 也稱整點(diǎn))的分布情形,。最著名的定理為Minkowski定理。這門理論也是有閔科夫斯基所創(chuàng),。對于研究二次型理論有著重要作用,。

5.計算數(shù)論

借助電腦的算法幫助研究數(shù)論的問題，例如素數(shù)測試和因數(shù)分解等和密碼學(xué)息息相關(guān)的課題,。

6.超越數(shù)論

研究數(shù)的超越性,，其中對于歐拉常數(shù)與特定的riemann ζ函數(shù)值之研究尤其令人感到興趣。此外它也探討了數(shù)的丟番圖逼近理論,。

7.組合數(shù)論

利用組合和機(jī)率的技巧,，非構(gòu)造性地證明某些無法用初等方式處理的復(fù)雜結(jié)論。這是由保羅·艾狄胥開創(chuàng)的思路,。比如蘭伯特猜想的簡化證明,。

8.算術(shù)代數(shù)幾何

這是數(shù)論發(fā)展到目前為止最深刻最前沿的領(lǐng)域， 可謂集大成者,。它從代數(shù)幾何的觀點(diǎn)出發(fā),，通過深刻的數(shù)學(xué)工具去研究數(shù)論的性質(zhì)。比如懷爾斯證明費(fèi)馬猜想就是這方面的經(jīng)典實(shí)例,。整個證明幾乎用到了當(dāng)時所有最深刻的理論工具,。

當(dāng)代數(shù)論的一個重要的研究指導(dǎo)綱領(lǐng)，就是著名的郎蘭茲綱領(lǐng)。

●哥德巴赫猜想:是否每個大于2的偶數(shù)都可寫成兩個質(zhì)數(shù)之和?

●孿生素數(shù)猜想:孿生素數(shù)就是差為2的素數(shù)對,，例如11和13,。是否存在無窮多的孿生素數(shù)?

●斐波那契數(shù)列內(nèi)是否存在無窮多的素數(shù)?

●是否存在無窮多的梅森素數(shù)?(指形如2-1的正整數(shù)，其中指數(shù)p是素數(shù),，常記為Mp ,。若Mp是素數(shù)，則稱為梅森素數(shù))

●1995年懷爾斯和理查·泰勒證明了歷時350年的費(fèi)馬猜想(費(fèi)馬大定理),。

●黎曼猜想