人類從學(xué)會計(jì)數(shù)開始就一直和自然數(shù)打交道了,，后來由于實(shí)踐的需要,，數(shù)的概念進(jìn)一步擴(kuò)充，自然數(shù)被叫做正整數(shù),，而把它們的相反數(shù)叫做負(fù)整數(shù),，介于正整數(shù)和負(fù)整數(shù)中間的中性數(shù)叫做0。它們和起來叫做整數(shù),。
對于整數(shù)可以施行加,、減、乘,、除四種運(yùn)算,，叫做四則運(yùn)算,。其中加法、減法和乘法這三種運(yùn)算,，在整數(shù)范圍內(nèi)可以毫無阻礙地進(jìn)行,。也就是說，任意兩個或兩個以上的整數(shù)相加,、相減,、相乘的時(shí)候，它們的和,、差,、積仍然是一個整數(shù)。但整數(shù)之間的除法在整數(shù)范圍內(nèi)并不一定能夠無阻礙地進(jìn)行,。
人們在對整數(shù)進(jìn)行運(yùn)算的應(yīng)用和研究中,，逐步熟悉了整數(shù)的特性。比如,，整數(shù)可分為兩大類—奇數(shù)和偶數(shù)（通常被稱為單數(shù),、雙數(shù)）等。利用整數(shù)的一些基本性質(zhì),，可以進(jìn)一步探索許多有趣和復(fù)雜的數(shù)學(xué)規(guī)律,，正是這些特性的魅力，吸引了古往今來許多的數(shù)學(xué)家不斷地研究和探索,。
數(shù)論這門學(xué)科最初是從研究整數(shù)開始的,，所以叫做整數(shù)論。后來整數(shù)論又進(jìn)一步發(fā)展,，就叫做數(shù)論了,。確切的說，數(shù)論就是一門研究整數(shù)性質(zhì)的學(xué)科,。
數(shù)論的發(fā)展簡況
自古以來,，數(shù)學(xué)家對于整數(shù)性質(zhì)的研究一直十分重視，但是直到十九世紀(jì),，這些研究成果還只是孤立地記載在各個時(shí)期的算術(shù)著作中,，也就是說還沒有形成完整統(tǒng)一的學(xué)科。
自我國古代,，許多著名的數(shù)學(xué)著作中都關(guān)于數(shù)論內(nèi)容的論述,，比如求最大公約數(shù)、勾股數(shù)組,、某些不定方程整數(shù)解的問題等等,。在國外，古希臘時(shí)代的數(shù)學(xué)家對于數(shù)論中一個最基本的問題——整除性問題就有系統(tǒng)的研究，關(guān)于質(zhì)數(shù),、和數(shù),、約數(shù)、倍數(shù)等一系列概念也已經(jīng)被提出來應(yīng)用了,。后來的各個時(shí)代的數(shù)學(xué)家也都對整數(shù)性質(zhì)的研究做出過重大的貢獻(xiàn),，使數(shù)論的基本理論逐步得到完善。
在整數(shù)性質(zhì)的研究中,，人們發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)是構(gòu)成正整數(shù)的基本“材料”,，要深入研究整數(shù)的性質(zhì)就必須研究質(zhì)數(shù)的性質(zhì)。因此關(guān)于質(zhì)數(shù)性質(zhì)的有關(guān)問題,，一直受到數(shù)學(xué)家的關(guān)注,。
到了十八世紀(jì)末，歷代數(shù)學(xué)家積累的關(guān)于整數(shù)性質(zhì)零散的知識已經(jīng)十分豐富了,，把它們整理加工成為一門系統(tǒng)的學(xué)科的條件已經(jīng)完全成熟了,。德國數(shù)學(xué)家高斯集中前人的大成，寫了一本書叫做《算術(shù)探討》,，1800年寄給了法國科學(xué)院,，但是法國科學(xué)院拒絕了高斯的這部杰作，高斯只好在1801年自己發(fā)表了這部著作,。這部書開始了現(xiàn)代數(shù)論的新紀(jì)元,。
在《算術(shù)探討》中，高斯把過去研究整數(shù)性質(zhì)所用的符號標(biāo)準(zhǔn)化了,，把當(dāng)時(shí)現(xiàn)存的定理系統(tǒng)化并進(jìn)行了推廣,，把要研究的問題和意志的方法進(jìn)行了分類，還引進(jìn)了新的方法,。
數(shù)論的基本內(nèi)容
數(shù)論形成了一門獨(dú)立的學(xué)科后,，隨著數(shù)學(xué)其他分支的發(fā)展，研究數(shù)論的方法也在不斷發(fā)展,。如果按照研究方法來說，可以分成初等數(shù)論,、解析數(shù)論,、代數(shù)數(shù)論和幾何數(shù)論四個部分。
初等數(shù)論是數(shù)論中不求助于其他數(shù)學(xué)學(xué)科的幫助,，只依靠初等的方法來研究整數(shù)性質(zhì)的分支,。比如中國古代有名的“中國剩余定理”，就是初等數(shù)論中很重要的內(nèi)容,。
解析數(shù)論是使用數(shù)學(xué)分析作為工具來解決數(shù)論問題的分支,。數(shù)學(xué)分析是以函數(shù)作為研究對象的、在極限概念的基礎(chǔ)上建立起來的數(shù)學(xué)學(xué)科。用數(shù)學(xué)分析來解決數(shù)論問題是由歐拉奠基的,，俄國數(shù)學(xué)家車比雪夫等也對它的發(fā)展做出過貢獻(xiàn),。解析數(shù)論是解決數(shù)論中艱深問題的強(qiáng)有力的工具。比如,，對于“質(zhì)數(shù)有無限多個”這個命題,，歐拉給出了解析方法的證明，其中利用了數(shù)學(xué)分析中有關(guān)無窮級數(shù)的若干知識,。二十世紀(jì)三十年代,，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫創(chuàng)造性的提出了“三角和方法”，這個方法對于解決某些數(shù)論難題有著重要的作用,。我國數(shù)學(xué)家陳景潤在解決“哥德巴赫猜想”問題中也使用的是解析數(shù)論的方法,。
代數(shù)數(shù)論是把整數(shù)的概念推廣到代數(shù)整數(shù)的一個分支。數(shù)學(xué)家把整數(shù)概念推廣到一般代數(shù)數(shù)域上去,，相應(yīng)地也建立了素整數(shù),、可除性等概念。
幾何數(shù)論是由德國數(shù)學(xué)家,、物理學(xué)家閔可夫斯基等人開創(chuàng)和奠基的,。幾何數(shù)論研究的基本對象是“空間格網(wǎng)”。什么是空間格網(wǎng)呢,？在給定的直角坐標(biāo)系上,，坐標(biāo)全是整數(shù)的點(diǎn)，叫做整點(diǎn),；全部整點(diǎn)構(gòu)成的組就叫做空間格網(wǎng),。空間格網(wǎng)對幾何學(xué)和結(jié)晶學(xué)有著重大的意義,。由于幾何數(shù)論涉及的問題比較復(fù)雜,，必須具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)才能深入研究。
數(shù)論是一門高度抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科,，長期以來,，它的發(fā)展處于純理論的研究狀態(tài)，它對數(shù)學(xué)理論的發(fā)展起到了積極的作用,。但對于大多數(shù)人來講并不清楚它的實(shí)際意義,。
由于近代計(jì)算機(jī)科學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)論得到了廣泛的應(yīng)用,。比如在計(jì)算方法,、代數(shù)編碼、組合論等方面都廣泛使用了初等數(shù)論范圍內(nèi)的許多研究成果,；又文獻(xiàn)報(bào)道,，現(xiàn)在有些國家應(yīng)用“孫子定理”來進(jìn)行測距，用原根和指數(shù)來計(jì)算離散傅立葉變換等。此外,，數(shù)論的許多比較深刻的研究成果也在近似分析,、差集合、快速變換等方面得到了應(yīng)用,。特別是現(xiàn)在由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展,，用離散量的計(jì)算去逼近連續(xù)量而達(dá)到所要求的精度已成為可能。
數(shù)論在數(shù)學(xué)中的地位是獨(dú)特的,，高斯曾經(jīng)說過“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后,，數(shù)論是數(shù)學(xué)中的皇冠”。因此,，數(shù)學(xué)家都喜歡把數(shù)論中一些懸而未決的疑難問題,，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓勵人們?nèi)ァ罢 ?。下面簡要列出幾顆“明珠”：費(fèi)爾馬大定理,、孿生素?cái)?shù)問題、哥德巴赫猜想,、圓內(nèi)整點(diǎn)問題,、完全數(shù)問題……
在我國近代，數(shù)論也是發(fā)展最早的數(shù)學(xué)分支之一,。從二十世紀(jì)三十年代開始,，在解析數(shù)論、刁藩都方程,、一致分布等方面都有過重要的貢獻(xiàn),，出現(xiàn)了華羅庚、閔嗣鶴,、柯召等第一流的數(shù)論專家,。其中華羅庚教授在三角和估值、堆砌素?cái)?shù)論方面的研究是享有盛名的,。1949年以后,，數(shù)論的研究的得到了更大的發(fā)展。特別是在“篩法”和“哥德巴赫猜想”方面的研究,，已取得世界領(lǐng)先的優(yōu)秀成績,。
特別是陳景潤在1966年證明“哥德巴赫猜想”的“一個大偶數(shù)可以表示為一個素?cái)?shù)和一個不超過兩個素?cái)?shù)的乘積之和”以后，在國際數(shù)學(xué)引起了強(qiáng)烈的反響,，盛贊陳景潤的論文是解析數(shù)學(xué)的名作,，是篩法的光輝頂點(diǎn),。至今,，這仍是“哥德巴赫猜想”的最好結(jié)果。
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