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題目內(nèi)容 閱讀材料：“最值問題”是數(shù)學(xué)中的一類較具挑戰(zhàn)性的問題．其實,，數(shù)學(xué)史上也有不少相關(guān)的故事，如下即為其中較為經(jīng)典的一則：海倫是古希臘精通數(shù)學(xué),、物理的學(xué)者,，相傳有位將軍曾向他請教一個問題--如圖1，從A點(diǎn)出發(fā),，到筆直的河岸l去飲馬,，然后再去B地，走什么樣的路線最短呢,？海倫輕松地給出了答案：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′,，連接A′B交l于點(diǎn)P，則PA+PB=A′B 的值最?。?br>解答問題：
（1）如圖2,，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A,、B,、C在⊙O上，OA⊥OB,，∠AOC=60°,，P是OB上一動點(diǎn)，求PA+PC的最小值,；
（2）如圖3,，已知菱形ABCD的邊長為6，∠DAB=60°．將此菱形放置于平面直角坐標(biāo)系中,，各頂點(diǎn)恰好在坐標(biāo)軸上．現(xiàn)有一動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),，以每秒2個單位的速度，沿A→C的方向，向點(diǎn)C運(yùn)動．當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)C后,，立即以相同的速度返回,，返回途中，當(dāng)運(yùn)動到x軸上某一點(diǎn)M時,，立即以每秒1個單位的速度，沿M→B的方向,，向點(diǎn)B運(yùn)動．當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)B時,，整個運(yùn)動停止．
①為使點(diǎn)P能在最短的時間內(nèi)到達(dá)點(diǎn)B處，則點(diǎn)M的位置應(yīng)如何確定,？
②在①的條件下,，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t（s），△PAB的面積為S,，在整個運(yùn)動過程中,，試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍．
 解：（1）延長AO交圓O于M,，連接CM交OB于P,，連接AC， 則此時AP+PC=PC+PM=CM最小,， ∵AM是直徑,，∠AOC=60°， ∴∠ACM=90°,，∠AMC=30°,， ∴AC=  AM=2，AM=4,，由勾股定理得：CM=  =2  ． 答：PA+PC的最小值是2 ． （2）①根據(jù)動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),，以每秒2個單位的速度，沿A→C的方向,，向點(diǎn)C運(yùn)動．當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)C后,，立即以相同的速度返回，返回途中,，當(dāng)運(yùn)動到x軸上某一點(diǎn)M時,，立即以每秒1個單位的速度，沿M→B的方向,，向點(diǎn)B運(yùn)動,， 即為使點(diǎn)P能在最短的時間內(nèi)到達(dá)點(diǎn)B處， ∴當(dāng)PB⊥AB時,，符合題意,， ∵菱形ABCD，AB=6，∠DAB=60°,， ∴∠BAO=30°,，AB=AD，AC⊥BD,， ∴△ABD是等邊三角形,， ∴BD=6，BO=3,，由勾股定理得：AO=3 ,， 在Rt△APB中，AB=6,，∠BAP=30°,，BP= AP，由勾股定理得：AP=4 ,，BP=2 ,， ∴點(diǎn)M的位置是（ ，0）時,，用時最少． ②當(dāng)0＜t≤3  時,，AP=2t， ∵菱形ABCD,， ∴∠OAB=30°,， ∴OB= AB=3， 由勾股定理得：AO=CO=3 ,， ∴S= AP×BO= ×2t×3=3t,； ③當(dāng)3 ＜t≤4 時，AP=6 -（2t-6 ）=12 -2t,， ∴S= AP×BO= ×（12 -2t）×3=18 -3t． 當(dāng)4 ＜t≤6 時,， S= AB×BP= ×6×[2 -（t-4 ）]=-3t+18 ， 答：S與t之間的函數(shù)關(guān)系式是當(dāng)3 ＜t≤4 時,，S=18 -3t,；當(dāng)0＜t≤3 時，S=3t． 當(dāng)4 ＜t≤6 時,，S=-3t+18 ． 分析：（1）延長AO交圓于M,，連接CM交OB于P，連接AC,，求出∠ACM,、∠M，求出AC,、根據(jù)勾股定理求出PM即可,； （2）①根據(jù)運(yùn)動速度不同以及運(yùn)動距離,，得出當(dāng)PB⊥AB時，點(diǎn)P能在最短的時間內(nèi)到達(dá)點(diǎn)B處,； ②根據(jù)三角形的面積公式求出從A到C時,，s與t的關(guān)系式和從C到（ ，0）以及到B的解析式． 點(diǎn)評：本題主要考查對含30度角的直角三角形,，勾股定理,，三角形的面積，軸對稱-最短問題,，圓周角定理等知識點(diǎn)的理解和掌握,，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵． |
