數(shù)學(xué)是最集中,、最深刻,、最典型地反映了人類(lèi)理性和邏輯思維所能達(dá)到的高度，所以，11世紀(jì)大數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家高斯說(shuō)：“數(shù)學(xué)是科學(xué)之王?！?/FONT>
話說(shuō)在印度舍罕王時(shí)代,，舍罕王發(fā)出命令：誰(shuí)能發(fā)明一件讓人娛樂(lè),，又要在娛樂(lè)中使人增長(zhǎng)知識(shí),，使人頭腦變得更加聰明的東西,，本王就讓他終身為官,，并且皇宮中的貴重物品任其挑選,。
于是乎，全國(guó)上下能工巧匠紛紛而動(dòng),，發(fā)明創(chuàng)造的一件又一件東西被送到舍罕王的面前,，但是沒(méi)有一件讓他滿(mǎn)意,。
這是一個(gè)風(fēng)和日麗的早晨，舍罕王閑著無(wú)聊,，便和眾愛(ài)卿準(zhǔn)備到格拉察湖去釣魚(yú),。舍罕王忽然發(fā)現(xiàn)宰相西薩·班·達(dá)依爾沒(méi)有同來(lái)，便問(wèn)道：“宰相干什么去了,？”
“宰相因?qū)m中有一件事未處理好,，正在那里琢磨呢?！币粋€(gè)大臣答道,。
舍罕王沒(méi)有追問(wèn)下去,，便拿起魚(yú)竿釣起魚(yú)來(lái),，眾愛(ài)卿均忙乎著，于是,，一枝枝長(zhǎng)竿便同指湖心,。
這時(shí)，小湖起著微微的漣漪,，湖面在陽(yáng)光照射下,，閃爍出金剛鉆、綠寶石般的光芒,，耀得人直眨眼,。垂柳的枝條沐浴在湖水之中，湖岸邊長(zhǎng)滿(mǎn)了菖蒲,。
不一會(huì)兒,，薄云遮住了太陽(yáng)，太陽(yáng)仿佛驟然扭過(guò)臉去,，不理睬小湖,，于是湖泊、村莊和樹(shù)林全都在剎那間黯淡下來(lái),；浮云一過(guò),，湖水便又閃閃發(fā)光，莊稼簡(jiǎn)直像鍍上一層黃金,。
舍罕王貪婪地吸著這鄉(xiāng)野的新鮮空氣,，眼前的美景使他目不暇接,，連魚(yú)竿都橫躺在湖面上了。正在這時(shí),，有人來(lái)報(bào)：宰相達(dá)依爾飛馬來(lái)到,。
達(dá)依爾匆匆下馬，來(lái)到舍罕王的面前,，稟道：“陛下,，為臣在家中琢磨了許多天,，終于發(fā)明了象棋,，不知大王滿(mǎn)意否,？”
舍罕王一聽(tīng)此言,，連忙說(shuō)道：“什么象棋,，趕快拿來(lái)看看,?！?/FONT>
原來(lái)這位宰相有著超人的智慧和聰明的頭腦,，尤其喜愛(ài)發(fā)明創(chuàng)造以及嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理,。他發(fā)明的象棋是國(guó)際象棋,，整個(gè)棋盤(pán)是由64個(gè)小方格組成的正方形。
國(guó)際象棋共32個(gè)棋子,，每方各16個(gè),，它包括王一枚、王后一枚,、仕兩枚,、馬兩枚、車(chē)兩枚,、卒八枚,。雙方的棋子在格內(nèi)移動(dòng)，以消滅對(duì)方的王為勝,。
舍罕王看到此物后,，喜不勝收，連忙招呼其他大臣與他對(duì)弈,，一時(shí)間,，馬騰蹄、卒拱動(dòng),，車(chē)急馳,，不一會(huì)，舍罕王大勝,。
舍罕王于是打算重賞自己的宰相,，便說(shuō)道：“官不能再封了，你已做到頂了,，如再要封,，恐怕只有我讓位了?，F(xiàn)在重賞你財(cái)物，你要些什么,？”
宰相“撲通”跪在國(guó)王面前說(shuō)：“陛下,，為臣別無(wú)他求，只請(qǐng)您在這張棋盤(pán)的第一個(gè)小格內(nèi),，賞給我一粒麥子,，在第二個(gè)小格內(nèi)給二粒，第三格內(nèi)給四粒,，第四格內(nèi)給八粒,。總之,，每一格內(nèi)都比前一格加一倍,。陛下啊，把這樣擺滿(mǎn)棋盤(pán)上所有64格的麥粒,，都賞給我,，我就心滿(mǎn)意足了?！?/FONT>
看來(lái),，這位聰明的宰相胃口并不大，于是國(guó)王說(shuō)道：“愛(ài)卿,，你所求的并不多啊,，你當(dāng)然會(huì)如愿以?xún)數(shù)??！?/FONT>
國(guó)王心里為自己對(duì)這樣一件奇妙的發(fā)明，所許下的慷慨賞諾不致破費(fèi)太多而暗喜,。便令人把一袋麥子拿到寶座前,。
計(jì)數(shù)麥粒的工作開(kāi)始。第一格放一粒,，第二格兩?！€不到第20格,，袋子已經(jīng)空了,。一袋又一袋的麥子被扛到國(guó)王面前。
但是,，麥粒數(shù)一格接一格地增長(zhǎng)得那樣迅速,，開(kāi)始是人扛，后來(lái)是馬車(chē)?yán)?，再后?lái),，干脆一個(gè)糧庫(kù)也填不滿(mǎn)一個(gè)小格,。很快就可以看出，即便拿來(lái)全印度的糧食,，國(guó)王也兌現(xiàn)不了他對(duì)宰相許下的諾言了,。
這到底是怎么回事，讓我們來(lái)算一算這位宰相到底要多少麥粒：
1+2+22+23+24+……+262+263
上面這個(gè)算式就是宰相所需要的麥粒,，讓我們用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)方法算出其結(jié)果,，即：
這個(gè)數(shù)字不像宇宙間的原子總數(shù)那樣大，不過(guò)也已經(jīng)夠可觀的,。1蒲式爾（約35.2升）小麥約有500萬(wàn)顆,，照這個(gè)數(shù)，那就得給宰相拿來(lái)四萬(wàn)億蒲式爾才行,。
這位宰相所要求的,，竟是全世界在2000年內(nèi)所生產(chǎn)的全部小麥！
這樣一來(lái),，舍罕王覺(jué)得自己金言一出,，又不能兌現(xiàn)，怎么辦,？一大臣獻(xiàn)計(jì),，找個(gè)原因殺他的頭。宰相西薩·班·達(dá)依爾的頭就這樣被獻(xiàn)上數(shù)學(xué)的祭壇,。
上面這個(gè)故事可能是前人所編,，只是傳說(shuō)。但它說(shuō)明一個(gè)問(wèn)題,，就是說(shuō)古印度在數(shù)學(xué)科學(xué)方面,，已有相當(dāng)大的成就。
中國(guó)古代的數(shù)學(xué)
中國(guó)古代從“結(jié)繩記事”時(shí)起,，就有了初步的數(shù)學(xué),。古代甲骨文、金文中就有了記數(shù)的符號(hào),。如有“1”,、“11”、“+”等記數(shù)法,，這些記號(hào)可從出土的彩陶上得到證實(shí),。
中國(guó)古代的進(jìn)位制主要是十進(jìn)位。無(wú)論是進(jìn)位制還是長(zhǎng)度都與古人的生理結(jié)構(gòu)直接有關(guān),，如人的手指,、腳趾都是十個(gè)等。
中國(guó)古代對(duì)“幾何學(xué)”的認(rèn)識(shí)也非常早，如他們使用的石器,、骨器,、陶器以及住宅、墳?zāi)沟?，都具有一定的幾何形狀?/FONT>
中國(guó)古代原始社會(huì)晚期對(duì)數(shù)和形的初步認(rèn)識(shí),，以及他們制做各種形狀并有一定比例的用具時(shí)，就出現(xiàn)了初等數(shù)學(xué)的萌芽,。
到了夏,、商、周時(shí)期,，我國(guó)的記數(shù)方式以十進(jìn)位的方式從一記到萬(wàn),。如用一、二,、三,、四、五,、六,、七、八,、九,、十、百,、千,、萬(wàn)等的組合來(lái)記十萬(wàn)以?xún)?nèi)的自然數(shù)。
在這一時(shí)期,，商代的數(shù)學(xué)系統(tǒng)比古巴比倫,、古埃及同時(shí)代更先進(jìn)、更科學(xué),。
大約在西周時(shí)期,，出現(xiàn)了一種十分重要的計(jì)算方法——籌算?；I算是用算籌來(lái)進(jìn)行的。算籌是圓形竹棍,，直徑約0.2厘米,，長(zhǎng)約14厘米，以271根為一“握”,。
在這一時(shí)期,，還出現(xiàn)了簡(jiǎn)單的四則運(yùn)算，這在數(shù)學(xué)史上,，應(yīng)該說(shuō)是一件非常了不起的事情,，是一個(gè)創(chuàng)舉,。
而春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)的進(jìn)步主要表現(xiàn)在四則運(yùn)算的完善和計(jì)算工具的進(jìn)步方面。如在出土的戰(zhàn)國(guó)楚墓里,，有一個(gè)竹筒,，內(nèi)裝毛筆、銅削,、天平,、砝碼、算籌等,。
總之,，當(dāng)時(shí)在數(shù)學(xué)上既有工具，又有符號(hào),，還有部分口訣,，如把這些成就和其他地區(qū)比較，可以明顯看出是處于先進(jìn)地位,。
到了秦漢時(shí)期,，我國(guó)的數(shù)學(xué)科學(xué)有了重大進(jìn)步，這表現(xiàn)在許多數(shù)學(xué)專(zhuān)著的出現(xiàn),。這一時(shí)期,，有我國(guó)最早的天文數(shù)學(xué)專(zhuān)著《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》等,。
在《周髀算經(jīng)》中,，有一段被尊為古代圣人的周公同一個(gè)名叫商高的數(shù)學(xué)家的對(duì)話，在對(duì)話中就提到了勾股弦定理,，也即畢達(dá)哥拉斯定理,。
這個(gè)定理，就是“直角三角形斜邊平方等于兩個(gè)直角邊平方之和”,，這個(gè)定理在中國(guó)也被稱(chēng)作是“商高定理”,。
下面簡(jiǎn)要介紹商高定理部分，周公和商高的部分對(duì)話：
周公：“我聽(tīng)說(shuō)你很精通數(shù)的藝術(shù),?？煞裾?qǐng)您談?wù)劰湃耸窃鯓訙y(cè)定天球度數(shù)的？沒(méi)有一種梯子可以使人攀登上天,，地也無(wú)法用尺來(lái)測(cè)量,。這些數(shù)據(jù)從何而來(lái)？”
商高：“數(shù)的藝術(shù)從圓形和方形開(kāi)始,，圓形出自方形,，而方形又出自矩形，矩形出自9×9=81這個(gè)事實(shí)。
“假如把矩形的對(duì)角線切開(kāi),，讓寬等于3個(gè)單位長(zhǎng),，長(zhǎng)等于4個(gè)單位，那么對(duì)角線的長(zhǎng)度就是5個(gè)單位,。古代大禹用來(lái)治理天下的方形,，就是從這些數(shù)字中發(fā)展出來(lái)的?！?/FONT>
周公感嘆地說(shuō)：“數(shù)學(xué)這門(mén)藝術(shù)真是了不起?。∥蚁朐僬?qǐng)教怎樣應(yīng)用直角三角尺,？”
商高：“使直角三角尺平臥在地上,，可以用繩子設(shè)計(jì)出平直的和方形的工程。把直角三角尺豎立起來(lái),，可以測(cè)量高度,。倒立的直角三角尺可以用來(lái)測(cè)量深淺，而平放著就可以測(cè)量距離,。讓它旋轉(zhuǎn),，就可以畫(huà)圓；把幾個(gè)合起來(lái),，就可以得到正方形和長(zhǎng)方形,。”
周公：“這真是太奇妙了,！”
《周髀算經(jīng)》的偉大不僅僅在于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的闡述,，更重要的是在占星術(shù)和卜筮占支配地位時(shí)，他們?cè)谟懻撎斓噩F(xiàn)象時(shí),，卻絲毫不帶有迷信色彩,！
這部數(shù)學(xué)專(zhuān)著還談到日影、不同緯度上日影的長(zhǎng)度差,、用窺管測(cè)量太陽(yáng)直徑等等,，還列出了一年中各個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)度表。
《九章算術(shù)》
和《周髀算經(jīng)》幾乎同時(shí),，還有一部數(shù)學(xué)專(zhuān)著,，科學(xué)史上稱(chēng)它為《九章算術(shù)》，這是我國(guó)第一部最重要的數(shù)學(xué)專(zhuān)著,。
《九章算術(shù)》大約成書(shū)于東漢初年,，書(shū)中載有246個(gè)應(yīng)用題目的解法，涉及到算術(shù),、初等代數(shù)、初等幾何等多方面內(nèi)容。
其中所載述的分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算,、比例算法,、用勾股定理解決一些測(cè)量中的問(wèn)題等，都是當(dāng)時(shí)世界最高科學(xué)水平的工作,。而關(guān)于負(fù)數(shù)的概念和正負(fù)數(shù)加減法則的記載,，也是世界數(shù)學(xué)科學(xué)史中最早的。
書(shū)中還講述了開(kāi)平方,、開(kāi)立方,、一元二次方程的數(shù)值解法、聯(lián)立一次方程解法等許多問(wèn)題,?！毒耪滤阈g(shù)》在我國(guó)古代數(shù)學(xué)史上有很大影響，在世界數(shù)學(xué)史上也占有重要地位,。
《九章算術(shù)》大致可分為9個(gè)方面內(nèi)容：
（1）土地測(cè)量,。書(shū)中列有直角三角形、梯形,、三角形,、圓、弧與環(huán)形等,，并給出計(jì)算這些形狀面積的方法,。
（2）百分法和比例，根據(jù)比例關(guān)系來(lái)求問(wèn)題答案,。
（3）算術(shù)級(jí)數(shù)和幾何級(jí)數(shù),。
（4）處理當(dāng)圖形面積及一邊長(zhǎng)度已知時(shí)，求其他邊長(zhǎng)的問(wèn)題,。還有求平方根,、立方根等問(wèn)題。
（5）立體圖形體積的測(cè)量和計(jì)算,，實(shí)際計(jì)算的有墻,、城墻、堤防,、水道和河流等,。
（6）解決征收稅收中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。像人們從產(chǎn)地運(yùn)送谷物到京城交稅所需的時(shí)間等有關(guān)問(wèn)題,，還有按人口征稅的問(wèn)題,。
（7）過(guò)剩與不足的問(wèn)題。也就是解決ax+b=0的問(wèn)題,。
（8）解方程和不定方程,。
（9）直角三角形的性質(zhì),。
在“直角三角形的性質(zhì)”這一章中，有這樣一個(gè)問(wèn)題：
一個(gè)水池,，長(zhǎng)寬各一丈,，有棵蘆葦生在池中央，蘆葦出水面一尺高,，讓蘆葦?shù)瓜虺剡?，正好蘆葦尖與池邊平齊。問(wèn)水有多深,？
這個(gè)問(wèn)題后來(lái)又見(jiàn)于印度的數(shù)學(xué)著作中,，又傳到了中世紀(jì)的歐洲。解決此問(wèn)題只有利用相似直角三角形來(lái)完成,。
《九章算術(shù)》對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)生的影響,，正像古希臘歐幾里得《幾何原本》對(duì)西方數(shù)學(xué)所產(chǎn)生的影響一樣，是非常深刻的,。
在此后的一千多年的時(shí)間里,，它一直被直接作為教科書(shū)使用。日本,、朝鮮也都曾用它作教科書(shū),。各代學(xué)者都十分重視對(duì)這部算書(shū)的研究，在歐洲和阿拉伯的早期數(shù)學(xué)著作中,，過(guò)剩與不足問(wèn)題的算法,，就被稱(chēng)為“中國(guó)算法”，可見(jiàn)其獨(dú)創(chuàng)性,。
我國(guó)古代杰出的數(shù)學(xué)家
到了三國(guó)兩晉南北朝時(shí)代,，我國(guó)的數(shù)學(xué)科學(xué)已閃爍著耀眼的光芒，出現(xiàn)了歷史上杰出的數(shù)學(xué)家劉徽和祖沖之,。這兩個(gè)不朽的人物為我國(guó)數(shù)學(xué)奠定了牢固的基礎(chǔ),。
先說(shuō)劉徽，他是三國(guó)時(shí)代魏國(guó)人,。關(guān)于他的身世和生平事跡,，由于資料有限，我們了解得很少,。他的活動(dòng)區(qū)域大致在山東半島和江蘇北部一帶,。
劉徽自幼熟讀《九章算術(shù)》，在魏陳留王景元四年（263）前后,，為我國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》作注,，做了許多創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)理論工作，對(duì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的形成和發(fā)展影響很大,，在數(shù)學(xué)史上占有突出的地位,。
《九章算術(shù)》體現(xiàn)了中國(guó)古代自先秦到東漢以來(lái)的數(shù)學(xué)成就,。但當(dāng)時(shí)沒(méi)有發(fā)明印書(shū)的方法，這樣好的書(shū)也只能靠筆來(lái)抄寫(xiě),。
在輾轉(zhuǎn)傳抄的過(guò)程中,，難免會(huì)出現(xiàn)很多的錯(cuò)誤,，加上原書(shū)中是以問(wèn)題集的形式編成,，文字過(guò)于簡(jiǎn)單，對(duì)解法的理論也沒(méi)有科學(xué)的說(shuō)明,。這種狀況明顯地妨礙了數(shù)學(xué)科學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展,。
劉徽為《九章算術(shù)》作注，在很大程度上彌補(bǔ)了這個(gè)重大的缺陷,。在《九章算術(shù)注》中,，他精辟地闡明了各種解題方法的道理，提出了簡(jiǎn)要的證明,，指出個(gè)別解法的錯(cuò)誤,。
尤其可貴的是，他還做了許多創(chuàng)造性的工作,，提出了不少遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)原著的新理論,。可以說(shuō),，劉徽的數(shù)學(xué)理論工作為建立具有獨(dú)特風(fēng)格的我國(guó)古代數(shù)學(xué)科學(xué)的理論體系,，打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
劉徽在《九章算術(shù)注》中,，最主要的貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了“割圓術(shù)”,，為計(jì)算圓周率建立了嚴(yán)密的理論和完善的算法，開(kāi)創(chuàng)了圓周率研究的新階段,。
圓周率即圓的周長(zhǎng)和直徑的比率,，它是數(shù)學(xué)上的一個(gè)重要的數(shù)據(jù)，因此,，推算出它的準(zhǔn)確數(shù)值,，在理論上和實(shí)踐上都有重要的意義和貢獻(xiàn)。
在世界數(shù)學(xué)史上,，許多國(guó)家的數(shù)學(xué)家都曾經(jīng)把圓周率作為重要研究課題,，為求出它的精確數(shù)值作了很大努力。在某種意義上說(shuō),，一個(gè)國(guó)家歷史上圓周率精確數(shù)值的準(zhǔn)確程度,，可以衡量這個(gè)國(guó)家數(shù)學(xué)的發(fā)展情況。
《九章算術(shù)》原著中,，沿用自古以來(lái)的數(shù)據(jù),，即所謂“徑一周三”取π=3,，這是很不精確的。到了后來(lái),，三國(guó)時(shí)期的王蕃（230～266）采用了3.1566,，這雖然比“徑一周三”有了進(jìn)步，但仍不夠精密,，而且也沒(méi)有理論根據(jù),。
怎樣才能算出比較精密的圓周率呢？劉徽苦苦地思索著,。
一天,，劉徽信步走出門(mén)去，去大自然呼吸新鮮的空氣,。在他的眼前,，群山綿綿不斷地伸展開(kāi)去，好像數(shù)學(xué)哲理似的奧妙莫測(cè),。
劉徽的思路仿佛進(jìn)人群山的巍峨中,，鑒證著大自然的不可思議的創(chuàng)造。劉徽抬眼望去,，遠(yuǎn)處一個(gè)高聳入云的頂峰上,，有一座小小的廟宇，他猜測(cè)著,，數(shù)學(xué)的殿堂是不是也和這廟宇一樣,，風(fēng)光而又曲折。
一陣叮叮當(dāng)當(dāng)?shù)捻懧曇鹆藙⒒盏淖⒁?，他朝著響聲走去,，原?lái)這是座石料加工場(chǎng)。這里的石匠師傅們正把方形的石頭打鑿成圓柱形的柱子,。
劉徽頗感有趣,，蹲在石匠師傅的身邊認(rèn)真地觀看著。只見(jiàn)一塊方石,，經(jīng)石匠師傅砍去四角,，就變成一塊八角形的石頭，再去掉八角又變成十六角形,，這樣一鑿一斧的干下去,，一方形石料加工成光滑的圓柱了。
劉徽恍然大悟,，馬上跑回家去,，認(rèn)真地在地上比劃著，原來(lái)方和圓是可以互相轉(zhuǎn)化的,。
他把一個(gè)圓周分成相等的6段,，連接這些分點(diǎn)組成圓內(nèi)正六邊形,，再將每一分弧二等分，又可得到圓內(nèi)接正12邊形,，如此無(wú)窮盡地分割下去,，就可得到一個(gè)與圓完全相合的正“多邊形”。
劉徽由此指出：圓內(nèi)接正多邊形的面積小于圓面積,，但“割之彌細(xì),，所失彌少。割之又割,，以至于不可割,，則與圓周合體，而無(wú)所失矣,。”
這段話包含有初步的極限思想,，思路非常明晰,，為我國(guó)古代的圓周率計(jì)算確立了理論基礎(chǔ)。
綜合上面的論述,，劉徽實(shí)際上建立了下面的不等式：
S2n＜S＜S2n+（S2n-Sn）
這里S是圓面積,，S2n、Sn是圓內(nèi)接正多邊形的面積,，n是邊數(shù),。
劉徽使用了這個(gè)方法，從圓內(nèi)接正6邊形算起,，邊數(shù)依次加倍,，直到正 
他還繼續(xù)計(jì)算，直到求出了正3072邊形的面積,，進(jìn)一步得到π的近似值 
3.14和3.1416這兩個(gè)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確程度比較高,，在當(dāng)時(shí)世界上是很先進(jìn)的數(shù)據(jù)。
劉徽還明確地概括了正負(fù)數(shù)的加減法則,，提出了多元一次方程組的計(jì)算程序,，論證了求最大公約數(shù)的原理，對(duì)最小公倍數(shù)的算法也有一定的研究,。
這些都是富有創(chuàng)造性的成果,，因此可以說(shuō)，劉徽通過(guò)注解《九章算術(shù)》,，豐富和完善了中國(guó)古代的數(shù)學(xué)科學(xué)體系,，為后世的數(shù)學(xué)發(fā)展奠立了基礎(chǔ)。
劉徽撰寫(xiě)的《重差》,，原是《九章算術(shù)注》的第十卷,，后來(lái)單獨(dú)刊行,，被稱(chēng)作《海島算經(jīng)》。這是一部說(shuō)明各種高度或距離的測(cè)量和計(jì)算方法的著作,。就是關(guān)于幾何測(cè)量方面的著作,。
有一次，劉徽和朋友們到海邊去散步,，劉徽抬眼望去,，那是一片偉麗而寧?kù)o的、碧藍(lán)無(wú)邊的海,。它在眼光所及的遠(yuǎn)處,，與淡藍(lán)色的云天相連。
微風(fēng)愛(ài)憐地?fù)崦５木I緞似的胸膛,，太陽(yáng)用自己的熱烈的光線溫暖著它,。而海，在這些愛(ài)撫的溫柔力量之下睡夢(mèng)似的喘息著,，使沸熱的空氣充滿(mǎn)了蒸發(fā)的鹽味,。
淡綠的波浪跑到黃沙上來(lái)，拋擲著雪白的泡沫,，吻著劉徽及朋友們的腳,，劉徽心曠神怡，索性坐在沙灘上,，讓那微咸的海水潤(rùn)濕著褲腳,。
這時(shí)，一個(gè)朋友指著茫茫大海中聳立著的一座孤島問(wèn)道：“誰(shuí)知道小島有多高,？多遠(yuǎn),？”另一朋友想了想：“只要準(zhǔn)備一只小船和足夠的繩子，我就能量出小島的距離和高度,?！?/FONT>
眾人哄地笑了起來(lái)，這得需要多少繩子,，即使給你繩子,，你也量不出小島的距離和高度。因?yàn)槔K子有伸縮性,，而小島有斜坡,。再說(shuō)，這辦法也太笨了,。
這時(shí),，劉徽在一旁沉默不語(yǔ)，有人請(qǐng)他發(fā)表意見(jiàn)。劉徽說(shuō)：“我根本不需要到小島去,，只需兩根竹竿,，即可量出它的高和遠(yuǎn)?！?/FONT>
朋友們睜大雙眼愣愣的望著劉徽,，劉徽見(jiàn)朋友不相信他，便在水灘上畫(huà)出圖來(lái),。
然后解釋道：“在岸邊垂直豎立兩根一樣長(zhǎng)的桿子GH和EF,，使它們與小島AB位于同一方向上，然后分別在與兩桿頂E,、G與島尖A成一直線的地面C和D點(diǎn)作記號(hào),，便可以了。
這樣一來(lái)CF,、DH,、HF、EF的長(zhǎng)度我們都可量出來(lái),，現(xiàn)在來(lái)算出島的距離BF和島的高度AB,，劉徽算出的結(jié)果是：
具體怎樣計(jì)算，我們就不再一一贅述了,，讀者諸君如有興趣的話，不妨一試,，來(lái)證明劉徽的公式,。
劉徽在《九章算術(shù)注》的自序中說(shuō)：“事類(lèi)相類(lèi)，各有攸歸,。故枝條雖分,，而同本干者，知發(fā)其一端而已,?！?/FONT>
劉徽的研究方法和研究成果對(duì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了非常深刻的影響,，為我國(guó)數(shù)學(xué)科學(xué)史增添了光輝的一頁(yè),。
近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外出版了許多種關(guān)于研究的專(zhuān)集和專(zhuān)著,，他的《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》被翻譯成許多國(guó)家的文字，向世界顯示了中華民族燦爛的古代文明,。
劉徽之后的200年,，我國(guó)南北朝時(shí)期又出現(xiàn)了一位大科學(xué)家祖沖之。他認(rèn)為劉徽采用割圓術(shù)只算到正3072邊形就停止了,，得出的結(jié)果還是不夠準(zhǔn)確,。
如果能在劉徽3072邊形的基礎(chǔ)上割之又割,，作出6144,、12288……邊形，不就可以求出更精確的圓周率嗎,？
祖沖之不滿(mǎn)足于前人的成就,，決定攀登新的高峰。他通過(guò)長(zhǎng)期刻苦鉆研,，在兒子祖暅的協(xié)助下,，反復(fù)測(cè)算，終于求得了精確度更高的圓周率,。
《隋書(shū)·律歷志》記載了他的成就：
“宋末,，南徐州從事史祖沖之更開(kāi)密法，以圓徑一億為一丈,，圓周盈數(shù)3丈1尺4寸1分5厘9毫2秒7忽
（3.1415927丈）,，朒數(shù)3丈1尺4寸1分5厘9毫2秒6忽
（3.1515926丈），正數(shù)在盈朒之間,。密律：圓徑113,，圓周355。約律：圓徑7,，周23,。”
從上述文字記載來(lái)看,，祖沖之對(duì)圓周率貢獻(xiàn)有3點(diǎn)：
1.計(jì)算出圓周率在3.1415926到3.1415927之間,，即3.1415926＜π＜3.1415927，在世界數(shù)學(xué)史上第一次把圓周率推算準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后7位,。
這在國(guó)外直到1000年后,，15世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西計(jì)算到小數(shù)16位，才打破祖沖之的紀(jì)錄,。
2.祖沖之明確地指出了圓周率的上限和下限,，用兩個(gè)高準(zhǔn)確度的固定數(shù)作界限，精確地說(shuō)明了圓周率的大小范圍,，實(shí)際上已確定了誤差范圍,，這是前所未有的。
3.祖沖之提出約率20/7和密率355/113。這一密率值是世界上第一次提出,，所以有人主張叫它“祖率”,。在歐洲，德國(guó)人奧托和荷蘭人安托尼茲得到這一結(jié)果,，已是16世紀(jì)了,。
祖沖之是怎樣得出這一結(jié)果的呢？他應(yīng)該是從圓內(nèi)接正6邊形,、12邊形,、24邊形……一直計(jì)算到12288邊形和24576邊形，依次求出它們的邊長(zhǎng)和面積,。
這需要對(duì)有9位有效數(shù)字的大數(shù)進(jìn)行加減乘除和開(kāi)方運(yùn)算,，共一百多步，其中近50次的乘方和開(kāi)方,，有效數(shù)字達(dá)17位之多,。
當(dāng)時(shí)，數(shù)字運(yùn)算還沒(méi)有用紙,、筆和數(shù)碼,，而是用落后的籌算法。通過(guò)縱橫相間的小竹棍來(lái)演算,，可見(jiàn)祖沖之付出多么艱巨的勞動(dòng),，需要具備多么嚴(yán)肅認(rèn)真的精神。
祖沖之和他的兒子祖暅還用巧妙的方法解決了球體積的計(jì)算問(wèn)題,。在他們之前,，《九章算術(shù)》中已經(jīng)正確地解決了圓面積和圓柱體體積的計(jì)算問(wèn)題。
但是在這本書(shū)中,，關(guān)于球體積的計(jì)算公式卻是錯(cuò)誤的。劉徽雖然在《九章算術(shù)注》中指出了這個(gè)錯(cuò)誤,，但是也未能求出球體積的計(jì)算公式,。
200年后，祖沖之父子繼續(xù)劉徽的工作,，在我國(guó)數(shù)學(xué)史上第一次導(dǎo)出了正確的球體積公式,。值得注意的是，祖暅在推算求證的過(guò)程中,，得出了“等高處的橫截面積相等,，那么二個(gè)立體的體積必然相等”的結(jié)論。
這個(gè)問(wèn)題在1000年后才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利提出,，被人稱(chēng)為“卡瓦列利定理”,，其實(shí)我們完全有權(quán)利稱(chēng)它為“祖暅定理”,。
祖沖之父子的研究成果匯集在一部名叫《綴術(shù)》的著作中,，被定為“十部算經(jīng)”之一,?？上У氖牵搅怂纬院?，這部偉大的著作就失傳了,。
祖沖之的科學(xué)成就，在我國(guó)以至世界科學(xué)技術(shù)發(fā)展史上,，將永遠(yuǎn)放射光芒,。為了紀(jì)念這位偉大的科學(xué)家，國(guó)際上把月球背面的一個(gè)山谷,，命名為“祖沖之”,，可見(jiàn)人們對(duì)祖沖之的敬仰。
李淳風(fēng)與數(shù)學(xué)
到了隋唐五代時(shí)期,，數(shù)學(xué)科學(xué)有了較大的發(fā)展,，在這一時(shí)期，國(guó)家創(chuàng)辦的學(xué)校中設(shè)置了數(shù)學(xué)教育,，在科舉中有“明算科”,。
在數(shù)學(xué)教育時(shí)，學(xué)生主要學(xué)習(xí)十部算經(jīng)：《九章算術(shù)》,、《海島》,、《孫子》、《五曹》,、《張邱建》,、《夏侯陽(yáng)》、《周髀算經(jīng)》,、《五經(jīng)算》,、《綴術(shù)》、《緝古算經(jīng)》等,。
其中《緝古算經(jīng)》是唐代著名數(shù)學(xué)家王孝通的專(zhuān)著,，其他算經(jīng)均是前人所著。在《緝古算經(jīng)》中,，王孝通已經(jīng)提出解三次（高次）方程的問(wèn)題,。
在數(shù)學(xué)科學(xué)上有特出貢獻(xiàn)的要算是唐高宗時(shí)代的李淳風(fēng)。他的貢獻(xiàn)倒不是在數(shù)學(xué)上有多大才能,，而是注釋和校核了《算經(jīng)十書(shū)》,。
唐朝初年，統(tǒng)治者為了培養(yǎng)能夠勝任計(jì)算工作的低級(jí)官員,，決定開(kāi)設(shè)專(zhuān)門(mén)考試數(shù)學(xué)的“明算科”,。并在國(guó)子監(jiān)中設(shè)置算學(xué)館,，招收“算學(xué)生”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。
一開(kāi)始,，考試和學(xué)習(xí)都沒(méi)有統(tǒng)一教材,，于是李淳風(fēng)奉命與梁述等人一起編輯整理一套規(guī)范的數(shù)學(xué)教材，它們就是我們上面介紹的十部算經(jīng),。
這是一項(xiàng)十分艱巨的工作,，因?yàn)檫@些書(shū)不是成于一時(shí)一世，古代又沒(méi)有發(fā)明印刷術(shù),，全憑人手來(lái)抄,，工程巨大。
另外,，由于時(shí)代的局限性,，古人的著作中也難免會(huì)有一些錯(cuò)誤，如果完全照搬下來(lái)豈不是誤人子弟,？
因此,，李淳風(fēng)在這項(xiàng)工作中，不但對(duì)各種抄本進(jìn)行了認(rèn)真的核對(duì),，而且還校正了若干錯(cuò)誤,，為當(dāng)時(shí)的“算學(xué)生”和后人的學(xué)習(xí)帶來(lái)了極大的便利。
更重要的是,，他把自己對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的見(jiàn)解與其他后學(xué)者的科學(xué)成就以注解的形式附于有關(guān)正文之后,，為中華民族的文化寶庫(kù)保存了不少瑰麗的珠寶。
其中最有代表性的要算祖暅推導(dǎo)球體積公式的記載,，原來(lái)祖暅的成就和祖沖之一起被記載在《綴術(shù)》中,，但后來(lái)《綴術(shù)》失傳，只能從李淳風(fēng)的注釋中得知,。
縱觀中國(guó)古代數(shù)學(xué),，自《九章算術(shù)》成書(shū)后出現(xiàn)了兩個(gè)高潮期：一是我們前面說(shuō)過(guò)的魏晉南北朝，一是我們馬上就要談到的宋朝和元朝,。
在第一個(gè)高潮期,，以“算經(jīng)十書(shū)”為代表的中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系已經(jīng)形成；第二個(gè)高潮期將要出現(xiàn)一系列具有世界意義的成果,。李淳風(fēng)正是處于這兩個(gè)高潮期之間的一個(gè)最為關(guān)鍵的人物。
設(shè)想一下,，如果沒(méi)有唐初李淳風(fēng)校注的“算經(jīng)十書(shū)”,，可能也不會(huì)有北宋年間的大量的刊刻算書(shū)和數(shù)學(xué)知識(shí)的普及，那么宋元時(shí)代的數(shù)學(xué)發(fā)展也許會(huì)推遲,。
因此,，李淳風(fēng)在中國(guó)數(shù)學(xué)史上占有不容忽視的地位,。
另外，隋唐五代時(shí)的應(yīng)用數(shù)學(xué)發(fā)展較快,，在歷法和天體的計(jì)算中,，徐昂于公元822年創(chuàng)立了二次內(nèi)插法，并把數(shù)學(xué)用于稅收,、工商業(yè)活動(dòng)的大量的實(shí)際計(jì)算中,。
秦九韶的高次方程
公元1819年7月1日，英國(guó)人霍納在皇家學(xué)會(huì)宣讀了一篇數(shù)學(xué)論文,，提出了一種解任意高次方程的巧妙方法,，一時(shí)引起了英國(guó)數(shù)學(xué)界的轟動(dòng)。
由于這一方法有其獨(dú)到之處,，而且對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)有很大的推進(jìn)作用,，因而這一方法被命名為“霍納方法”。
但是沒(méi)過(guò)多久,，意大利數(shù)學(xué)界就提出了異議,，因?yàn)樗麄儼l(fā)現(xiàn)自己的同胞魯菲尼已在15年前就得到了同樣的方法，只是沒(méi)有及時(shí)地報(bào)道罷了,。
因此,，意大利數(shù)學(xué)界要求將這一數(shù)學(xué)方法命名為“魯菲尼方法”。于是英,、意雙方開(kāi)始了喋喋不休的爭(zhēng)論,。
正巧，有個(gè)阿拉伯人前往歐洲,，聽(tīng)到了雙方的爭(zhēng)論后,，不置可否地大笑起來(lái)。爭(zhēng)論雙方問(wèn)他,，為何這般嘲笑,。
這位阿拉伯人從背包中掏出一本書(shū)，遞與爭(zhēng)論雙方,，說(shuō)道：“你們都不要爭(zhēng)了,，依我看來(lái)，這個(gè)方法應(yīng)該稱(chēng)作‘秦九韶方法’”,。
他們這才知道,，早在570多年前，有個(gè)叫秦九韶的中國(guó)人就發(fā)明了這種方法,。雙方覺(jué)得他們的這場(chǎng)爭(zhēng)論已顯得毫無(wú)意義了,。
秦九韶，生于1202年,，南宋普州安岳（今四川安岳）人,。他自幼隨做官的父親周游過(guò)許多地方,。20歲的時(shí)候，秦九韶隨父親來(lái)到南宋的都城——臨安（今杭州）,。
秦九韶被父親送到掌管天文歷法的大史院學(xué)習(xí),。在這里，他了解了制定歷法的一些基本算法和理論依據(jù),，這對(duì)于他后來(lái)寫(xiě)作著名的《數(shù)書(shū)九章》大有益處,。
后來(lái)他回到四川老家，在一個(gè)縣城里當(dāng)縣尉,，這時(shí),，北方的元兵大舉進(jìn)犯，戰(zhàn)亂頻繁,。他在這種動(dòng)亂的環(huán)境中度過(guò)他的壯年,。后來(lái)他在《數(shù)書(shū)九章》中寫(xiě)了“天時(shí)”和“軍旅”等問(wèn)題，想必與這段生活有關(guān),。
過(guò)了幾年,，秦九韶的母親去世了，他按照封建社會(huì)的傳統(tǒng),，回家為母親守孝三年,。正是在這段時(shí)間里，秦九韶完成了他的輝煌的數(shù)學(xué)著作——《數(shù)書(shū)九章》,。
《數(shù)書(shū)九章》共分九大類(lèi),，每類(lèi)各有九題,，全書(shū)共有81道數(shù)學(xué)題目，內(nèi)容包括天時(shí),、軍旅,、賦役、錢(qián)谷,、市易等類(lèi)問(wèn)題,。
在這81道題目中，有的題目比較復(fù)雜,，但題后大多附有算式和解法,。正是在這些解法中包含著許多杰出的數(shù)學(xué)創(chuàng)造，高次方程的解法就是其中最重要的一項(xiàng),。
高次方程就是未知數(shù)的最高次冪在3次以上的,。對(duì)于一元二次方程，我們可以用求根公式來(lái)解,，三,、四次的求根公式很復(fù)雜，至于五次以上的方程,，那就沒(méi)有求根公式,。
那么用什么辦法來(lái)解決呢？秦九韶創(chuàng)造的這種解法是一種近似的解法,，但是它能夠把結(jié)果算到任意精確的程度,，只要你按照一些簡(jiǎn)單的程序，反復(fù)地進(jìn)行四則運(yùn)算即可,。
除了高次冪方程的解法之外,，這本書(shū)中的另一項(xiàng)偉大成就是關(guān)于同余式方面的工作。什么叫同余式呢,？
我們還是從“韓信點(diǎn)兵”的故事來(lái)說(shuō)起：傳說(shuō)漢代開(kāi)國(guó)功臣韓信有一次到練兵場(chǎng),，只見(jiàn)軍士們龍騰虎躍，你來(lái)我往,，好不熱鬧,。
韓信問(wèn)帶兵的軍官：“你們這里共有多少士兵？”
軍官說(shuō)：“人太多太亂,，數(shù)不準(zhǔn)確,。”
韓信說(shuō)：“你把令旗給我,，我來(lái)給你點(diǎn)數(shù),。”
軍官一聽(tīng),，慌忙將令旗奉上,，只見(jiàn)韓信揮起令旗，命令道：“排一長(zhǎng)隊(duì),?！?/FONT>
韓信見(jiàn)軍士們已排好長(zhǎng)隊(duì)，便交待道：“先從1到3報(bào)數(shù),，再?gòu)?到5報(bào)數(shù),，最后從1到7報(bào)數(shù)。報(bào)完后,，把剩余的人數(shù)告訴我,，我便知總的軍士人數(shù)。
于是,，軍士們便認(rèn)真地報(bào)起數(shù)來(lái),，第一報(bào)數(shù)后余2,；第2報(bào)數(shù)后余3，第3報(bào)數(shù)后余2,，韓信掐指一算,，共計(jì)233人。
其實(shí),，“韓信點(diǎn)兵”問(wèn)題又叫“孫子問(wèn)題”,，最早出現(xiàn)在公元4世紀(jì)的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中。原來(lái)的問(wèn)題是這樣表述的：
“有物不知其數(shù),，三個(gè)一數(shù)余2,，五個(gè)一數(shù)余3，七個(gè)一數(shù)余2,，問(wèn)該物總數(shù)幾何,？”
這個(gè)問(wèn)題按照現(xiàn)在的人可以列出方程來(lái)：設(shè)總數(shù)為N，X為3人一數(shù)的次數(shù),，Y為5人一數(shù)的次數(shù),，Z為7人一數(shù)的次數(shù)，則：
N=3x+2 N=5y+3 N=7z+2
三個(gè)方程式,，但卻有四個(gè)未知數(shù),，這就叫不定方程。解不定方程在現(xiàn)代數(shù)論中有一個(gè)著名定理：剩余定理,。
但這個(gè)問(wèn)題出現(xiàn)在公元4世紀(jì)的中國(guó)算書(shū)中,，他們雖然給出了算法，但卻沒(méi)有明確地表述和證明這個(gè)定理,。
到公元13世紀(jì),，大數(shù)學(xué)家秦九韶集前人之大成，在同余式的研究上獲得了超越前人的成果,。
什么叫同余式呢,？在上面的故事中，如果三人一組剩2人,，那么總?cè)藬?shù)可能是5,、是8、也可能是11……,。
換句話說(shuō),，5、8,、11……這些數(shù)被3除后余數(shù)相等,，那么我們就說(shuō)5、8、11……等數(shù)對(duì)于3是同余的,，用數(shù)學(xué)符號(hào)寫(xiě)出來(lái)就是5≡8≡11（mod3）,，這個(gè)式子叫同余式。
秦九韶在寫(xiě)作《數(shù)書(shū)九章》時(shí),，把當(dāng)年在太史局學(xué)到的天文學(xué)知識(shí)與《孫子算經(jīng)》的數(shù)學(xué)問(wèn)題結(jié)合起來(lái),，發(fā)展了同余式的理論和算法，從而圓滿(mǎn)解決了韓信點(diǎn)兵之類(lèi)問(wèn)題,。
秦九韶還有許多數(shù)學(xué)創(chuàng)造，他是世界上最早提出十進(jìn)小數(shù)概念和表示法的人,。他還獨(dú)立地推導(dǎo)出已知三邊求三角形面積的公式：
秦九韶在多元一次方程組和幾何測(cè)量方面也有創(chuàng)新,。他是世界上最偉大數(shù)學(xué)家之一，《數(shù)書(shū)九章》標(biāo)志著中國(guó)的古代數(shù)學(xué)達(dá)到了一個(gè)新的高峰,。
楊輝與數(shù)學(xué)
宋元數(shù)學(xué)四大家之一的楊輝,，他是世界上第一個(gè)排出豐富的縱橫圖和討論其構(gòu)成規(guī)律的數(shù)學(xué)家。
說(shuō)起楊輝的這一成就,，還得從偶然的一件小事說(shuō)起,。
一天，臺(tái)州府的地方官楊輝出外巡游,，路上,，前面銅鑼開(kāi)道，后面衙役殿后,，中間,，大轎抬起，好不威風(fēng),。
迷人的春天慷慨地散布著芳香的氣息,，帶來(lái)了生活的歡樂(lè)和幸福。杜鵑隱藏在芒果樹(shù)的枝頭,。用它那圓潤(rùn),、甜蜜、動(dòng)人心弦的鳴囀來(lái)喚醒人們的希望,。
成群的畫(huà)眉鳥(niǎo)像迎親似的蹲在樹(shù)的枝丫上,，發(fā)出婉麗的啼聲。楝樹(shù),、花梨樹(shù)和栗樹(shù)都仿佛被自身的芬芳熏醉了,。
楊輝撩起轎簾，看那雜花生樹(shù),，飛鳥(niǎo)穿林,，真乃春色怡人淡復(fù)濃，喚侶黃鸝弄曉風(fēng)。更是一年好景,，旖旎風(fēng)光,。
走著、走著,，只見(jiàn)開(kāi)道的鏜鑼停了下來(lái),，前面?zhèn)鱽?lái)孩童的大聲喊叫聲，接著是衙役惡狠狠的訓(xùn)斥聲,。楊輝忙問(wèn)怎么回事,，差人來(lái)報(bào)：“孩童不讓過(guò)，說(shuō)等他把題目算完后才讓走,，要不就繞道,。”
楊輝一看來(lái)了興趣,，連忙下轎抬步,，來(lái)到前面。衙役急忙說(shuō)：“是不是把這孩童哄走,？”
楊輝摸著孩童頭說(shuō)：“為何不讓本官?gòu)拇颂幗?jīng)過(guò),？”
孩童答道：“不是不讓經(jīng)過(guò)，我是怕你們把我的算式踩掉,，我又想不起來(lái)了,。”
“什么算式,？”
“就是把1到9的數(shù)字分三行排列,，不論直著加，橫著加,，還是斜著加,，結(jié)果都是等于15。我們先生讓下午一定要把這道題做好,。我正算到關(guān)鍵之處,。”
楊輝連忙蹲下身,，仔細(xì)地看那孩童的算式,，覺(jué)得這個(gè)數(shù)字，從哪見(jiàn)過(guò),，仔細(xì)一想,，原來(lái)是西漢學(xué)者戴德編纂的《大戴禮》書(shū)中所寫(xiě)的文章中提及的。
楊輝和孩童倆人連忙一起算了起來(lái),，直到天已過(guò)午,，倆人才舒了一口氣,，結(jié)果出來(lái)了，他們又驗(yàn)算了一下,，覺(jué)得結(jié)果全是15,，這才站了起來(lái)。我們把算式擺出來(lái)：
（在左邊的方塊中,，無(wú)論你橫,、豎、斜著加結(jié)果都是15,。請(qǐng)?jiān)囈幌拢?/FONT>
孩童望著這位慈祥和善的地方官說(shuō)：“耽擱你的時(shí)間了,，到我家吃飯吧！”
楊輝一聽(tīng),，說(shuō)：“好,，好，下午我也去見(jiàn)見(jiàn)你先生,。”
孩童望著楊輝,，淚眼汪汪,，楊輝心想，這里肯定有什么蹊蹺,，溫和地問(wèn)道：“到底是怎么回事,？”
孩童這才一五一十把原因道出：原來(lái)這孩童并未上學(xué)，家中窮得連飯都吃不飽,，哪有錢(qián)讀書(shū),。而這孩童給地主家放牛，每到學(xué)生上學(xué)時(shí),，他就偷偷地躲在學(xué)生的窗下偷聽(tīng),，今天上午先生出了這道題，這孩童用心自學(xué),，終于把它解決了,。
楊輝聽(tīng)到此，感動(dòng)萬(wàn)分,，一個(gè)小小的孩童,，竟有這番苦心，實(shí)在不易,。便對(duì)孩童說(shuō)：“這是10兩銀子,，你拿回家去吧。下午你到學(xué)校去,，我在那兒等你,。”
下午，楊輝帶著孩童找到先生,，把這孩童的情況向先生說(shuō)了一遍,，又掏出銀兩，給孩童補(bǔ)了名額,，孩童一家感激不盡,。自此，這孩童方才有了真正的先生,。
教書(shū)先生對(duì)楊輝的清廉為人非常敬佩,，于是倆人談?wù)撈饠?shù)學(xué)。楊輝說(shuō)道：“方才我和孩童做的那道題好像是《大戴禮》書(shū)中的,？”
那先生笑著說(shuō)：“是啊,，《大戴禮》雖然是一部記載各種禮儀制度的文集，但其中也包含著一定的數(shù)學(xué)知識(shí),。方才你說(shuō)的題目,，就是我給孩子們出的數(shù)學(xué)游戲題?！?/FONT>
教書(shū)先生看到楊輝疑惑的神情,，又說(shuō)道：“南北朝的甄鸞在《數(shù)術(shù)記遺》一書(shū)中就寫(xiě)過(guò)：“九宮者，二四為肩,，六八為足,，左三右七，戴九履,，一五居中央,。”
楊輝默念一遍,，發(fā)現(xiàn)他說(shuō)的正與上午他和孩童擺的數(shù)字一樣,，便問(wèn)道：“你可知道這個(gè)九宮圖是如何造出來(lái)的？”
教書(shū)先生也不知出處,。楊輝回到家中,，反復(fù)琢磨，一有空閑就在桌上擺弄著這些數(shù)字,，終于發(fā)現(xiàn)一條規(guī)律,。
他把這條規(guī)律總結(jié)成四句話：九子斜排，上下對(duì)易,，左右相更,，四維挺出”。就是說(shuō)：一開(kāi)始將九個(gè)數(shù)字從大到小斜排三行,，然后將9和1對(duì)換,，左邊7和右邊3對(duì)換,，最后將位于四角的4、2,、6,、8分別向外移動(dòng)，排成縱橫三行,，就構(gòu)成了九宮圖,。
下面我們演示一下：
（九子斜排）（上下對(duì)易，左右相更）（四維挺出）
按照類(lèi)似的規(guī)律,，楊輝又得到了“花16圖”,，就是從1到16的數(shù)字排列在四行四列的方格中，使每一橫行,、縱行,、斜行四數(shù)之和均為34。讀者諸君,，不妨一試,。
后來(lái)，楊輝又將散見(jiàn)于前人著作和流傳于民間的有關(guān)這類(lèi)問(wèn)題加以整理,，得到了“五五圖”,、“六六圖”、“衍數(shù)圖”,、“易數(shù)圖”、“九九圖”,、“百子圖”等許多類(lèi)似的圖,。
楊輝把這些圖總稱(chēng)為縱橫圖，并于1275年寫(xiě)進(jìn)自己的數(shù)學(xué)著作《續(xù)古摘奇算法》一書(shū)中,，并流傳后世,。
縱橫圖，也叫幻方,，它要求把從1到n2個(gè)連續(xù)的自然數(shù)安置在n2個(gè)格子 
理,。
但長(zhǎng)期以來(lái)，人們習(xí)慣于把它當(dāng)作純粹的數(shù)學(xué)游戲,，沒(méi)有給予應(yīng)有重視,。隨著近代組合數(shù)學(xué)的發(fā)展，縱橫圖顯示了越來(lái)越強(qiáng)大的生命力,，在圖論,、組合分析、對(duì)策論,、計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域中,，找到了用武之地,。
楊輝可以說(shuō)是世界上第一個(gè)給出了如此豐富的縱橫圖和討論了其構(gòu)成規(guī)律的數(shù)學(xué)家。
楊輝除此成就之外,，還有一項(xiàng)重大貢獻(xiàn),，就是“楊輝三角”。
有一次,，楊輝得到一本《黃帝九章算法細(xì)草》,，這是北宋數(shù)家賈憲寫(xiě)的。這里面有不少了不起的成就,，如賈憲描畫(huà)了一張圖,，叫作“開(kāi)方作法本源圖”。
圖中的數(shù)字排列成一個(gè)大三角形,，位于兩腰上的數(shù)字均是1,，其余數(shù)字則等于它上面兩數(shù)字之和。
從第二行開(kāi)始,，這個(gè)大三角形的每行數(shù)字,，都對(duì)應(yīng)于一組二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)，下面試舉例說(shuō)明：
在第三行中,，1,、3、3,、1,，這4個(gè)數(shù)字恰好是對(duì)應(yīng)于（X+1）3=X3+3X2+3X+1；
再如第四行對(duì)應(yīng)于（X＋1）4=X4+4X3+6X2+4X+1,。以此類(lèi)推,。
楊輝把賈憲的這張畫(huà)忠實(shí)地記錄下來(lái)，并保存在自己的《詳解九章算術(shù)》一書(shū)中,。
后來(lái)人們發(fā)現(xiàn),，這個(gè)大三角形不僅可以用來(lái)開(kāi)方和解方程，而且與組合,、高階等差級(jí)數(shù),、內(nèi)插法等數(shù)學(xué)知識(shí)都有密切關(guān)系。
在西方,，直到16世紀(jì)才有人在一本書(shū)的封面上繪出類(lèi)似的圖形,。法國(guó)數(shù)學(xué)家巴斯加在1654年的論文中詳細(xì)地討論了這個(gè)圖形的性質(zhì)，所以在西方又稱(chēng)“巴斯加三角”,。
楊輝除上述成就外,，還分別寫(xiě)了《日用算法》、《乘除通變本末》和《田畝比類(lèi)乘除捷法》等書(shū),，這為后世的人們了解當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)面貌提供了極為重要的資料,。
楊輝的幾部著作極大地豐富了我國(guó)古代數(shù)學(xué)寶庫(kù),，為數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展做出了卓越的貢獻(xiàn)，他不愧為“宋元四大家”之一,。
朱世杰的《四元玉鑒》
朱世杰是元朝一位杰出的數(shù)學(xué)科學(xué)家,。
朱世杰，字漢卿,，號(hào)松庭,，燕山（今北京）人氏。他長(zhǎng)期從事數(shù)學(xué)研究和教育事業(yè),，以數(shù)學(xué)名家周游各地20多年,，四方登門(mén)來(lái)學(xué)習(xí)的人很多。他的主要著作有《算學(xué)啟蒙》三卷和《四元玉鑒》三卷,。
說(shuō)起朱世杰周游各地,，這里還有一段鮮為人知的佳話，我們把這段佳話介紹給讀者,。
13世紀(jì)末,，歷經(jīng)戰(zhàn)亂的祖國(guó)為元王朝所統(tǒng)一，遭到破壞的經(jīng)濟(jì)和文化又很快繁榮起來(lái),。蒙古統(tǒng)治者為了興邦安國(guó),，便尊重知識(shí)，選拔人才,，把各門(mén)科學(xué)推向新的高峰,。
有一天，風(fēng)景秀麗的揚(yáng)州瘦西湖畔,，來(lái)了一位教書(shū)先生,，在寓所門(mén)前掛起一塊招牌，上面用大字寫(xiě)著：“燕山朱松庭先生,，專(zhuān)門(mén)教授四元術(shù)”。
不幾天,，朱世杰門(mén)前門(mén)庭若市,，求知者絡(luò)繹不絕，就在朱世杰在接待學(xué)生報(bào)名之時(shí),，突然一聲聲叫罵聲引起他的注意,。
只見(jiàn)一穿綢戴銀半老徐娘，追著一年輕的姑娘,，邊打邊罵：“你這賤女人,，大把的銀子你不抓，難道想做大家閨秀,，只怕你投錯(cuò)了胎,，下輩子也別想了,。”
那姑娘被打得皮開(kāi)肉綻,，連內(nèi)身衣服都被撕壞了,。姑娘蜷成一團(tuán)，任憑她打,，也不跟她回去,。
朱世杰路見(jiàn)不平，便上前詢(xún)問(wèn),，那半老徐娘見(jiàn)冒出一個(gè)愛(ài)管閑事之人,，就嘲笑道：“你難道想抱打不平，你送上50兩銀子,，這姑娘就歸你了,！”
朱世杰見(jiàn)此情景，大怒道：“難道我掏不出50兩銀子,。光天化日之下,，竟胡作非為，難道沒(méi)有王法不成,？”
那半老徐娘諷刺道：“你這窮鬼,，還談什么王法，銀子就是王法,，你若能掏出50兩銀子,，我便不打了?！?/FONT>
朱世杰憤怒已極,，從口袋里抓出50兩銀子，摔在半老徐娘面前,，拉起姑娘就回到自己的教書(shū)之地,。
原來(lái)，那半老徐娘是妓女院的鴇母,，而這姑娘的父親因借鴇母的10兩銀子,，由于天災(zāi)，還不起銀子,，只好賣(mài)女兒抵債,。今天碰巧遇上朱世杰，才把姑娘救出苦海,。
后來(lái),，在朱世杰的精心教導(dǎo)下，這姑娘也頗懂些數(shù)學(xué)知識(shí),，成了朱世杰的得力助手,，不幾年,，兩人便結(jié)成夫妻。
所以,，揚(yáng)州民間至今還流傳著這樣一句話：
元朝朱漢卿
教書(shū)又育人
救人出苦海
婚姻大事成
上面這段佳話是不是事實(shí),，已不好考證，但說(shuō)明了朱世杰在做學(xué)問(wèn)的同時(shí),，還有著一顆慈愛(ài)的心,。
再說(shuō)朱世杰在數(shù)學(xué)科學(xué)上，全面地繼承了秦九韶,、李冶,、楊輝的數(shù)學(xué)成就，并給予創(chuàng)造性的發(fā)展,，寫(xiě)出了《算學(xué)啟蒙》,、《四元玉鑒》等著名作品，把我國(guó)古代數(shù)學(xué)推向更高的境界,，形成宋元時(shí)期中國(guó)數(shù)學(xué)的最高峰,。
《算學(xué)啟蒙》是朱世杰在元成宗大德三年（1299）刊印的，全書(shū)共三卷,，20門(mén),，總計(jì)259個(gè)問(wèn)題和相應(yīng)的解答。
這部書(shū)從乘除運(yùn)算起,，一直講到當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展的最高成就“天元術(shù)”,，全面介紹了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)所包含的各方面內(nèi)容。
它的體系完整,，內(nèi)容深入淺出,，通俗易懂，是一部很著名的啟蒙讀物,。這部著作后來(lái)流傳到朝鮮,、日本等國(guó)，出版過(guò)翻刻本和注釋本,，產(chǎn)生過(guò)一定的影響,。
而《四元玉鑒》更是一部成就輝煌的數(shù)學(xué)名著。它受到近代數(shù)學(xué)史研究者的高度評(píng)價(jià),，認(rèn)為是中國(guó)古代數(shù)學(xué)科學(xué)著作中最重要的,、最有貢獻(xiàn)的一部數(shù)學(xué)名著,。
《四元玉鑒》成書(shū)于大德七年（1303）,，共三卷，24門(mén),，288問(wèn),，介紹了朱世杰在多元高次方程組的解法——四元術(shù),，以及高階等差級(jí)數(shù)的計(jì)算——垛積術(shù)、招差術(shù)等方面的研究和成果,。
“天元術(shù)”是設(shè)“天元為某某”,，即某某為x。但當(dāng)未知數(shù)不止一個(gè)的時(shí)候,，除設(shè)未知數(shù)天元（x）外,，還需設(shè)地元（y）、人元（z）及物元（u）,，再列出二元,、三元甚至四元的高次聯(lián)方程組，然后求解,。
這在歐洲,，解聯(lián)立一次方程開(kāi)始于16世紀(jì)，關(guān)于多元高次聯(lián)立方程的研究還是18至19世紀(jì)的事了,。
朱世杰的另一重大貢獻(xiàn)是對(duì)于“垛積術(shù)”的研究,。他對(duì)于一系列新的垛形的級(jí)數(shù)求和問(wèn)題作了研究，從中歸納為“三角垛”的公式,，實(shí)際上得到了這一類(lèi)任意高階等差級(jí)數(shù)求和問(wèn)題的系統(tǒng),、普遍的解法。
朱世杰還把三角垛公式引用到“招差術(shù)”中,，指出招差公式中的系數(shù)恰好依次是各三角垛的積,，這樣就得到了包含有四次差的招差公式。
他還把這個(gè)招差公式推廣為包含任意高次差的招差公式,，這在世界數(shù)學(xué)史上是第一次,，比歐洲牛頓的同樣成就要早近4個(gè)世紀(jì)。
正因?yàn)槿绱?，朱世杰和他的著作《四元玉鑒》才享有巨大的國(guó)際聲譽(yù),。近代日本、法國(guó),、美國(guó),、比利時(shí)以及亞、歐,、美許多國(guó)家都有人向本國(guó)介紹《四元玉鑒》,。
美國(guó)已故的著名的科學(xué)史家薩頓是這樣評(píng)說(shuō)朱世杰的：
“（朱世杰）是中華民族的、他所生活的時(shí)代的,、同時(shí)也是貫穿古今的一位最杰出的數(shù)學(xué)科學(xué)家,。”
“《四元玉鑒》是中國(guó)數(shù)學(xué)著作中最重要的，同時(shí)也是中世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)著作之一,。它是世界數(shù)學(xué)寶庫(kù)中不可多得的瑰寶,。”
從此中可以看出,，宋元時(shí)期的科學(xué)家及其著作,，在世界數(shù)學(xué)史上起到了不可估量的作用。
除了以上成就外,，朱世杰還在他的著作中提出了許多值得注意的內(nèi)容：
1.在中國(guó)數(shù)學(xué)史上,，他第一次正式提出了正負(fù)數(shù)乘法的正確法則；
2.他對(duì)球體表面積的計(jì)算問(wèn)題作了探討,，這是我國(guó)占代數(shù)學(xué)典籍中唯一的一次討論,。結(jié)論雖不正確，但創(chuàng)新精神是可貴的,；
3.在《算學(xué)啟蒙》中,，他記載了完整的“九歸除法”口訣，和現(xiàn)在流傳的珠算歸除口訣幾乎完全一致,。
總之,，朱世杰繼承和發(fā)展了前人的數(shù)學(xué)成就，為推進(jìn)我國(guó)古代數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展做出了不可磨滅的貢獻(xiàn),。朱世杰不愧是我國(guó)乃至世界數(shù)學(xué)史上負(fù)有盛名的數(shù)學(xué)家,。
由于朱世杰和其他同時(shí)代數(shù)學(xué)家的共同努力，使宋元時(shí)期的數(shù)學(xué)達(dá)到了光輝的高度,，在很多方面都居于世界前列,。
自朱世杰之后，我國(guó)這種在數(shù)學(xué)上高度發(fā)展的局面不但沒(méi)有保持發(fā)展下去,，反而很多成就在明,、清一段時(shí)期內(nèi)失傳。這實(shí)在是科學(xué)史上的一件憾事,。
“科學(xué)之父”的推動(dòng)
且說(shuō)古希臘對(duì)數(shù)學(xué)似乎有著特別大的興趣,，尤其是在幾何學(xué)方面。這在一定程度上應(yīng)當(dāng)歸功于畢達(dá)哥拉斯和柏拉圖,。他們都是數(shù)學(xué)的崇拜者和鼓吹者,。
據(jù)說(shuō)柏拉圖在他所創(chuàng)辦的學(xué)園的大門(mén)口就有著“不懂幾何學(xué)者不得入內(nèi)”的牌子，可見(jiàn)數(shù)學(xué)在古希臘的重要性,。
在其他古老的國(guó)家里,，數(shù)學(xué)基本上是一門(mén)實(shí)用性的學(xué)科，而在古希臘,，也像我們?cè)谇懊嫠吹降奶煳膶W(xué)的情況那樣,，他們是著重于向理論發(fā)展的,。
古希臘最早的數(shù)學(xué)家可能要算被西方稱(chēng)作是“科學(xué)之父”的泰勒斯了。據(jù)說(shuō)他提出并證明了下列幾何學(xué)基本命題：
1.圓為它的任一直徑所平分,；
2.半圓的圓周角是直角；
3.等腰三角形兩底角相等,；
4.相似三角形的各對(duì)應(yīng)邊成比例,；
5.若兩三角形兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等，則兩三角形全等,。
這些定理是每一個(gè)現(xiàn)代中學(xué)生都知道的,，他們簡(jiǎn)單得不能再簡(jiǎn)單了。但是,，就是這些簡(jiǎn)單的理論,，構(gòu)成了今天極其復(fù)雜而又高深理論的根基。
試想,，今天的球面幾何學(xué),，射影幾何學(xué)，非歐幾何學(xué)等等,，有哪一門(mén)不是從這最簡(jiǎn)單的定理發(fā)生推演出來(lái)的呢,？
泰勒斯年輕時(shí)去過(guò)埃及，在那里,，他向埃及人學(xué)習(xí)了幾何學(xué)知識(shí),。但埃及人的幾何學(xué)在當(dāng)時(shí)只是為了劃分地產(chǎn)而研究的。
在那里,，埃及的人們只懂得在一塊具體的地面上來(lái)規(guī)劃,、計(jì)算，以弄清人們的地產(chǎn)界線,。因?yàn)?，每年尼羅河一漲水，所有的地面痕跡都被沖毀了,，人們?cè)跐q水后不得不重新進(jìn)行測(cè)量計(jì)算,。
埃及人很早在實(shí)踐中就懂得“所有直徑都平分圓周；三角形有兩條邊相等,，則其所對(duì)的角也相等”,，但都沒(méi)有從理論上給予概括，并科學(xué)地去證明它,。
泰勒斯并不滿(mǎn)足于僅僅向埃及人學(xué)習(xí)這些,，他經(jīng)過(guò)思考將這些具體的,，只是實(shí)際操作的知識(shí)給予抽象化、理論化，使之概括成為科學(xué)的理論。
上面所概括的幾條定理,，是埃及人在幾百年前在實(shí)踐中便得知的，但并沒(méi)有把具體的知識(shí)提升到理論高度。泰勒斯在這方面做出了卓越的貢獻(xiàn),。
泰勒斯不僅把具體的知識(shí)理論化，而且還天才地將理論運(yùn)用到實(shí)際中去,。下面講一個(gè)泰勒斯解決金字塔高度的故事,。
這是一個(gè)夏天，靜寂的熱氣在大地上蒸騰,，閃著光,，閑散而輕柔的晃動(dòng)著，儼如在小溪里游動(dòng)著的魚(yú),。
而遠(yuǎn)處,，那些擋住了視野的山崖不停地閃著青的白的反光。底下是一片被灼熱的陽(yáng)光所臨照的田野,，裸麥的花粉在田間飄浮著,，像一片輕煙。
泰勒斯正在金字塔的陰影下歇息著,，他身邊坐著幾位和他同齡的貴族子弟,。他們邊抽著煙邊議論著瑣事。
一貴族說(shuō)道：“親愛(ài)的泰勒斯先生,，請(qǐng)您告訴我,，你到埃及的日子里有些什么收獲呢？總不會(huì)空空而回吧,？”
因?yàn)樘├账挂彩琴F族出身,，在和家人分家的時(shí)候，泰勒斯一樣?xùn)|西也不要,，只帶些錢(qián)去埃及游學(xué)了,。所以，認(rèn)識(shí)他的人都把他叫做傻子,。而這個(gè)貴族正是基于此,，想找個(gè)法子戲弄他。
泰勒斯從容不迫地答道：“親愛(ài)的先生們,，我們或許追求不同,、也許你喜歡金錢(qián)，也許你喜歡女人,，而我則不同,，只以追求科學(xué)知識(shí)為光榮?！?/FONT>
眾貴族子弟望著他,，泰勒斯又說(shuō)道：“我這次到埃及游學(xué),，我認(rèn)為我得到了我一生中最大的收獲，我把埃及人的幾何知識(shí)提到了理論高度,，并給予證明,。”
那貴族說(shuō)道：“我請(qǐng)問(wèn)泰勒斯先生,，你的那些東西我們都看到過(guò)了,，那又有什么用呢？它能算出金字塔有多高嗎,？”
泰勒斯聽(tīng)這么一說(shuō)，當(dāng)時(shí)沒(méi)有馬上想出辦法,，便說(shuō)：“怎樣測(cè)出金字塔的高度,，讓我回去好好想一想，咱們5天后見(jiàn),！”
其實(shí),，不但這些貴族子弟想知道金字塔的高度，全埃及的人都想知道,。最著急的應(yīng)該算尼羅河的祭司們,，因?yàn)檎沁@些祭司們掌握著埃及的數(shù)學(xué)。
到了第5天,，泰勒斯如約而至,。由于這些貴族子弟回去后，把泰勒斯要算出金字塔高度的消息告訴了全城百姓,，所以金字塔旁人山人海,，尼羅河祭司站在最前邊。
泰勒斯望著人們,，清了清嗓子,，說(shuō)道：“你們不是想知道金字塔的高度嗎？這其實(shí)是很簡(jiǎn)單的事,?！?/FONT>
人們聽(tīng)他這么一說(shuō)，嘈雜的人群立時(shí)靜了下來(lái),，千百雙眼直盯著泰勒斯,。
泰勒斯說(shuō)道：“當(dāng)你自己的影子和你身體一樣高時(shí)，你就去測(cè)量金字塔的影長(zhǎng),，這便是金字塔的高度,。”
多聰明的主意,！
全城的老百姓怔了一會(huì),，忽地?fù)硐蛱├账?，把他高高抬起，歡呼著,。而想戲弄泰勒斯的貴族為自己的無(wú)知深深地低下了頭,。那時(shí)祭司們慌慌忙忙回去拿皮尺了。
講到這里,，這使我們想起我國(guó)古代曹沖稱(chēng)象的故事（我們另章介紹）,，他們進(jìn)行邏輯推理的根據(jù)都是一種“代換法”。值得指出的是,，在泰勒斯之前,，沒(méi)有人想到這種合理的推論。
泰勒斯是第一個(gè)以思維的理性頭腦和科學(xué)精神面向自然界的人,，他一生以自己的思考尋求問(wèn)題的答案,，如果我們追尋人類(lèi)第一個(gè)進(jìn)行科學(xué)思維的代表人物，那么,，泰勒斯是當(dāng)之無(wú)愧的,。
關(guān)于泰勒斯的傳說(shuō)和軼事流傳很多，這些傳說(shuō)雖然未必真實(shí),，但對(duì)我們了解他的生平和性格,，是很有幫助的。
有一次,，一個(gè)鄰舍譏笑泰勒斯說(shuō)：“人家都說(shuō)你是天才,，但依我看，你是個(gè)笨蛋,。試想,，如果你真的聰明的話，為什么不發(fā)財(cái)呢,？”
泰勒斯笑著說(shuō)：“要想發(fā)財(cái),，那還不易如反掌！”
鄰居不屑地說(shuō)：“做出來(lái)給我們看看,，不要光說(shuō)大話,。”
其實(shí),，泰勒斯利用各方面的知識(shí),，已經(jīng)預(yù)見(jiàn)橄欖今年必然要獲得大豐收。為了回敬這位鄰居的誣蔑,，他就壟斷了這一地區(qū)的全部榨油機(jī),。
果然不出所料，橄欖獲得空前豐收,，于是人們爭(zhēng)相購(gòu)買(mǎi)榨油機(jī),，但無(wú)一臺(tái)榨油機(jī)出售,，因?yàn)槿惶├账故孪扔玫蛢r(jià)買(mǎi)下了。
于是,，人們紛紛奔向泰勒斯家,，泰勒斯用自定的價(jià)格出售，榨油機(jī)還是供不應(yīng)求,，就這樣,，泰勒斯獲得巨額財(cái)富。
他用現(xiàn)身說(shuō)法,，痛斥了鄰居的不敬,，用事實(shí)證明發(fā)財(cái)不見(jiàn)得比研究天文學(xué)更加困難。他終于走上了探討大自然奧秘的道路,。
還有一個(gè)故事,，是由普盧塔克記載的，叫梭倫的故事,，也頗為幽默,。
有一天,，梭倫到米利都去探望泰勒斯,，見(jiàn)他還是孤身一人，便問(wèn)道：“泰勒斯,，你已功成名就,，為什么不結(jié)婚？”
泰勒斯當(dāng)時(shí)沒(méi)有回答,。幾天之后,，泰勒斯帶著一個(gè)陌生人到了梭倫的家中。那陌生人對(duì)梭倫說(shuō)：“十天前,，我還在雅典呢,。”
梭倫的妻子兒女均在雅典,，所以梭倫對(duì)雅典很關(guān)心,，便問(wèn)道：“雅典有什么新聞？”
那人說(shuō)：“有一個(gè)青年人的葬禮轟動(dòng)了全城,，因?yàn)槠涓甘且晃蛔鹳F人物,。兒子死時(shí)父親不在家，他很久以前就出外游歷去了,?！?/FONT>
梭倫急切地問(wèn)：“他叫什么名字？”
那人說(shuō)已記不清,，只聽(tīng)說(shuō)他很聰明,、很正直,。
當(dāng)驚慌失措的梭倫就要猜出死者是自己兒子的時(shí)候，泰勒斯笑著說(shuō)：“這就是我不娶妻生兒的原因,，這點(diǎn)事連你那么堅(jiān)強(qiáng)的人都承受不了,。不過(guò)，這個(gè)消息完全是虛構(gòu)的,，是我們的雙簧,，請(qǐng)不必介意?！?/FONT>
梭倫這才如釋重負(fù)地舒了一口氣,。
其實(shí)泰勒斯是比較溫和的，他之所以對(duì)梭倫這樣做,，是因?yàn)樗麄冎g是真摯的老朋友,，開(kāi)個(gè)玩笑而已。
泰勒斯言談?dòng)哪⒊：芾?。他?duì)于“怎樣才能過(guò)著正直的生活,？”的回答是：“不要做你討厭別人做的事?！边@和中國(guó)的“己所不欲,，勿施于人”如出一轍。
有人問(wèn)泰勒斯：“你見(jiàn)過(guò)最奇怪的事情是什么,？”他回答道：“長(zhǎng)壽的暴君,。”
又有人問(wèn)：“你作出一項(xiàng)天文學(xué)的發(fā)現(xiàn),，想得到什么,？”他答道：“當(dāng)你告訴別人時(shí)，不說(shuō)是你的發(fā)現(xiàn),，而說(shuō)是我的發(fā)現(xiàn),，這就是對(duì)我的最高獎(jiǎng)賞?！?/FONT>
泰勒斯的影響是巨大的,，數(shù)百年的希臘科學(xué)的繁榮，泰勒斯的首創(chuàng)之功,，不可磨滅,。
泰勒斯的學(xué)生
在這一時(shí)期，另一位為后世稱(chēng)頌的古希臘學(xué)者要算是泰勒斯的學(xué)生,，提出數(shù)學(xué)是宇宙萬(wàn)物之本源的畢達(dá)哥拉斯,。
畢達(dá)哥拉斯生于公元前582年，他父親叫姆內(nèi)撒克斯，是一位很有錢(qián)的希臘人,。他想讓兒子受到很好的教育,，便請(qǐng)了當(dāng)時(shí)著名的兩位老師來(lái)教兒子。
畢達(dá)哥拉斯是一位天才少年,，在很短時(shí)間里,，他的數(shù)學(xué)和哲學(xué)程度就超過(guò)了他的老師。當(dāng)他還不到20歲時(shí),，就離開(kāi)家鄉(xiāng)到文化發(fā)達(dá)的地方去尋求知識(shí)了,。
畢達(dá)哥拉斯是個(gè)純粹的少年，身體修長(zhǎng),，面孔充滿(mǎn)熱情,，他懷著理想和好奇來(lái)到了求知的第一站——巴比倫。
在巴比倫的幾年時(shí)間里,，他學(xué)到了許多知識(shí),，但他并不滿(mǎn)足，結(jié)束了在巴比倫的學(xué)習(xí)后,，他又來(lái)到另一文明古國(guó)——印度,。
幾百年的印度文化深深地吸引著畢達(dá)哥拉斯，他一頭鉆進(jìn)科學(xué)的海洋里,，吮吸著科學(xué)之蜜,。這是他能夠在以后成為著名科學(xué)家，所必須的前題,。
在印度,，他還學(xué)習(xí)了印度的佛教,。佛教對(duì)他后來(lái)的生活產(chǎn)生了相當(dāng)大的影響,，使他的思想追求某種神秘性，帶上了某種喜歡不切合實(shí)際的夢(mèng)想的色彩,。
結(jié)束了印度之行,，畢達(dá)哥拉斯回到西方，住在埃及,，他又被埃及那精深的幾何學(xué)深深吸引住了,，他便向祭司們學(xué)習(xí)了幾何學(xué)。
畢達(dá)哥拉斯定理,，也即勾股弦定理,，就是在這里發(fā)現(xiàn)的。這里,，也有一段美妙而動(dòng)人的故事,。
卻說(shuō)畢達(dá)哥拉斯在向祭司學(xué)習(xí)幾何的過(guò)程中，與祭司的表妹長(zhǎng)久相處，漸漸雙方有了感情,，而且相愛(ài)甚篤,。
畢達(dá)哥拉斯是個(gè)極富天才旦人長(zhǎng)得又帥的小伙子，而祭司的表妹則是一枝鮮美花朵似的姑娘,。她傾羨他的美貌,，又仰慕他的才華。于是,，雙方陷入情網(wǎng)之中,。
那天傍晚，溫和的太陽(yáng)顏色只是淡淡的,，田野懶洋洋地仿佛快睡著了,。各處村子上的小鐘在靜寂的原野上悠悠地響著，一縷縷煙在阡陌縱橫的田間緩緩上升,。
畢達(dá)哥拉斯帶著女友漫步在田野上,，一片輕盈的暮靄在遠(yuǎn)處飄浮。白的霧鋪在潮濕的地下,，等著黑夜降臨,。
畢達(dá)哥拉斯拉著女友的手慢慢地走著，他極目望去,，遠(yuǎn)處金字塔在暮靄中閃著粉紅色的光芒,，他驀地想起白天的問(wèn)題。
華達(dá)哥拉斯的問(wèn)題是,，在直角三角形中,，已知兩邊的長(zhǎng)，怎樣算出第三邊的長(zhǎng)度,。下午,，他和女友在屋內(nèi)已經(jīng)討論了半天，也沒(méi)有討論出頭緒,。
女友也是極有知識(shí)之人,，她的出現(xiàn)無(wú)疑給畢達(dá)哥拉斯帶來(lái)活力。華達(dá)哥拉斯邊走邊想著：如果畫(huà)上十個(gè)直角三角形,，再量第三邊長(zhǎng)度,，先把它們之間的關(guān)系弄明白，然后再用理論求證,，豈不是一條捷徑,？
畢達(dá)哥拉斯想到這，拉著女友轉(zhuǎn)回頭,，朝住處跑去,。女友到他的住處后，才弄明白他的想法，便按照他的吩咐,，畫(huà)出了一個(gè)又一個(gè)三角形。
當(dāng)畫(huà)到一邊長(zhǎng)為3，另一邊長(zhǎng)為4時(shí),，奇跡出現(xiàn)了，畢達(dá)哥拉斯量出斜邊竟是5。3、4,、5,，畢達(dá)哥拉斯默念著。
要弄清三邊之間的關(guān)系,，首先弄清楚3,、4,、5之間的關(guān)系，畢達(dá)哥拉斯在屋中來(lái)回踱步,，一邊走,，一邊想,。
已是午夜2點(diǎn)了,，女友端來(lái)熱騰騰的夜宵，畢達(dá)哥拉斯剛要拿起餐具,，忽然，他頭腦一亮：32＋42=52,。
是呀,，這是多么奇妙的等式,，難道是巧合嗎？畢達(dá)哥拉斯連忙離開(kāi)飯桌，用心地在紙上畫(huà)了起來(lái),，經(jīng)過(guò)上百次驗(yàn)算,，直角三角形的兩邊的平方和等于斜邊平方,。
畢達(dá)哥拉斯高興若狂，抱起女友親吻起來(lái)。
下一步的工作,，就是如何證明這個(gè)定理成立,，畢達(dá)哥拉斯在女友的協(xié)助下,，用了一個(gè)月的時(shí)間,，終于使這個(gè)理論得到證明。
從此，這個(gè)定理被西方命名為華達(dá)哥拉斯定理。
順便提一下,，華達(dá)哥拉斯在離開(kāi)埃及之時(shí),，他和女友已共同生活了10年之久，由于女友不愿意離開(kāi)埃及,，畢達(dá)哥拉斯只得獨(dú)身歸國(guó),。
畢達(dá)哥拉斯在數(shù)學(xué)上除了證明勾股定理外，還提出了區(qū)別奇數(shù),、偶數(shù)和質(zhì)數(shù)的方法,。他和他的學(xué)生還發(fā)現(xiàn)了無(wú)理數(shù)，并用數(shù)學(xué)研究音樂(lè)樂(lè)律,。
在研究中，他指出,，弦長(zhǎng)的比數(shù)愈簡(jiǎn)單,，則其音愈和諧,。但是，他把數(shù)的概念絕對(duì)化,、神秘化,，并斷言：凡物皆數(shù)。
他把數(shù)的物質(zhì)的東西分割開(kāi)來(lái)，把數(shù)的關(guān)系當(dāng)做事物的原型,，構(gòu)成宇宙的秩序,，結(jié)果走向唯心主義。
但不容諱言，畢達(dá)哥拉斯是那個(gè)時(shí)代最杰出的代表人物之一,。他在數(shù)學(xué),、天文等方面所做出的貢獻(xiàn)，將永遠(yuǎn)銘刻在后人的心里,。他的某些理論,，為推動(dòng)科學(xué)的發(fā)展，有不可磨滅的貢獻(xiàn),。
三個(gè)流派
到了公元前5世紀(jì),，在古希臘成立了幾個(gè)哲學(xué)派別，它們分別是智者派,、畢達(dá)哥拉斯派和柏拉圖派。
在這一時(shí)期,，被稱(chēng)為智者派的一些數(shù)學(xué)家們提出了下列三個(gè)著名的幾何作圖難題,，即只用圓規(guī)和直尺作出以下圖形：
1.作一正方形使其面積等于一已知圓的面積；
2.作一立方體使其體積等于一已知立方體的2倍,；
3.三等分一任意角,。
這三大難題曾在很長(zhǎng)的時(shí)期內(nèi)吸引了許多數(shù)學(xué)家，后來(lái)才被證明這是不可能的,，任何人借助任何辦法都辦不到的,。
雖然這三大難題是辦不到的，但是數(shù)學(xué)家們?cè)诜e極求證的過(guò)程中,，卻產(chǎn)生了許多有價(jià)值的副產(chǎn)品,。
如智者派中的重要人物希匹阿斯在試圖三等分一任意角時(shí)，發(fā)明了割圓曲線,，如能作出這條曲線,，即可三等分一任意銳角，但是割圓曲線也是不能用直尺和圓規(guī)作出的,。
這時(shí)的畢達(dá)哥拉斯派的希波克拉底致力于化圓為方的問(wèn)題時(shí),，得出了求以?xún)刹坏葟綀A弧為邊的月牙形面積的方法。
而智者派的安提豐在研究畫(huà)圓的問(wèn)題時(shí)，提出可以把圓看成是無(wú)窮多邊的正多邊形,。畢達(dá)哥拉斯派的布萊生則以圓外接正多邊形來(lái)思考同一問(wèn)題,。此即窮竭法的開(kāi)端。
另外一學(xué)派柏拉圖派的數(shù)學(xué)家們,，他們研究數(shù)學(xué)不是為了實(shí)用目的,，而在于尋求一種思維中的完善和美，因此,，他們特別注意數(shù)學(xué)的證明方法,。
有記載說(shuō)，他們研究過(guò)數(shù)學(xué)中的分析法,、歸謬法這樣一些基本的推理方法,，由于他們的工作，數(shù)學(xué)的推理方法更加嚴(yán)密了,。
柏拉圖派把這些工作推進(jìn)到什么程度,，有哪些具體成果，我們現(xiàn)在不得而知,。但是我們確實(shí)看到,，自柏拉圖以后，古希臘的數(shù)學(xué)更加理論化了,。
我們當(dāng)然不能想象古希臘發(fā)達(dá)的生產(chǎn)技術(shù)沒(méi)有相當(dāng)?shù)膶?shí)用數(shù)學(xué)知識(shí),，但數(shù)學(xué)作為一門(mén)學(xué)科，確實(shí)與實(shí)際生活的距離加大了,。古希臘的實(shí)驗(yàn)科學(xué),、物理學(xué)等在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)期內(nèi)沒(méi)有得到相應(yīng)的發(fā)展，與數(shù)學(xué)脫離實(shí)際這種狀況看來(lái)也不無(wú)關(guān)系,。
柏拉圖派的科學(xué)家歐多克索不僅在天文學(xué)上有重要的貢獻(xiàn),，他還是古希臘最有成就的數(shù)學(xué)家之一。
由于更多的無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn),，促使人們不得不認(rèn)真地去研究它,。
無(wú)理數(shù)究竟是不是數(shù)？原先用先可公度量的那些幾何學(xué)的證明能否用于這些不可公度量,？一個(gè)一個(gè)可數(shù)的數(shù)目是不連續(xù)的,，而量則是連續(xù)的，這些都是矛盾,。
歐多克索面對(duì)這些難題,，他走出自己的一條路子。他定義了兩個(gè)量之比和兩個(gè)量之比相等的關(guān)系,，即比例關(guān)系,，以此來(lái)解決量之間的問(wèn)題,。
這樣，從畢達(dá)哥拉斯開(kāi)始的幾何和數(shù)的簡(jiǎn)單而直接的關(guān)系就被分開(kāi)了,，量并不就是可數(shù)的數(shù)目,，上述困難便迎刃而解。
從此,，古希臘數(shù)學(xué)更加偏向于幾何學(xué),。因?yàn)樵谒麄兛磥?lái)，似乎幾何學(xué)是能處理一切問(wèn)題的,，包括無(wú)理數(shù)這樣的問(wèn)題在內(nèi),。
對(duì)幾何學(xué)的偏愛(ài)卻抑制了古希臘代數(shù)學(xué)的發(fā)展，后來(lái)在他們那里,，有關(guān)代數(shù)學(xué)的問(wèn)題實(shí)際上都用幾何學(xué)的方法來(lái)處理,，這不能就被認(rèn)為是很好的方式。
歐多克索的另一項(xiàng)重要貢獻(xiàn),，是他繼續(xù)了智者派安提豐等人的工作,，完成了計(jì)算曲邊形面積和曲面體體積的方法。
這項(xiàng)工作的重要意義不只在于計(jì)算那些難以計(jì)算的量,，更在于推進(jìn)了窮竭法的研究,。雖然那時(shí)還沒(méi)有清晰的極限的思想，窮竭法已經(jīng)預(yù)示著微積分學(xué)的思想正在萌芽,。
歐多克索的學(xué)生美尼克謨的最重要成就是發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線,。他在這方面的工作可能也是試圖解決智者派提出的三大作圖難題，而產(chǎn)生的副產(chǎn)品,。
美尼克謨選取了頂角分別為直角,、銳角和鈍角三種圓錐，分別以一垂直于錐面一條母線的平面與之相割,，這樣就得到了拋物線、橢圓和雙曲線,。
圓錐曲線的發(fā)現(xiàn),，對(duì)于幾何學(xué)以及天文學(xué)、物理學(xué)等類(lèi)科學(xué)的發(fā)展都十分重要,。不過(guò),，他的工作還只是一個(gè)開(kāi)端。
古希臘的數(shù)學(xué)高峰
在古希臘后期,，學(xué)術(shù)中心轉(zhuǎn)移到埃及的亞歷山大城,。這時(shí)，古希臘的數(shù)學(xué)達(dá)到了高峰,，古希臘數(shù)學(xué)的最后成果均是在這里總結(jié)和完成的,。
生活在亞歷山大城的歐幾里得（約前330～約前275）是古希臘最享有盛名的數(shù)學(xué)家,。
古希臘著名科學(xué)哲學(xué)家亞里斯多德認(rèn)為，演繹推理的價(jià)值要高于歸納推理,。他這一思想形成的原因是什么呢,？
如果讓我們看一看古希臘幾何學(xué)的發(fā)展，就會(huì)容易理解亞里斯多德的這一看法了,。事實(shí)上可以這樣說(shuō),，整個(gè)希臘時(shí)代理論上最成功的產(chǎn)物就是幾何學(xué)這門(mén)演繹科學(xué)。
我們說(shuō)它成功一是指這一時(shí)期幾何學(xué)理論的完備,、嚴(yán)密與系統(tǒng),；二是指直到今天，我們中學(xué)里的幾何教科書(shū)還都是以?xún)汕Ф嗄昵暗南ＥD幾何學(xué)為藍(lán)本的,。
而希臘幾何學(xué)成功的代表者便是我們將要介紹的歐幾里得,。
歐幾里得生于雅典，是柏拉圖的學(xué)生,。他的科學(xué)活動(dòng)主要是在亞歷山大進(jìn)行的,，在這里，他建立了以他為首的數(shù)學(xué)學(xué)派,。
歐幾里得,，以他的主要著作《幾何原本》而著稱(chēng)于世，他的工作重大意義在于把前人的數(shù)學(xué)成果加以系統(tǒng)的整理和總結(jié),，以嚴(yán)密的演繹邏輯,，把建立在一些公理之上的初等幾何學(xué)知識(shí)構(gòu)成為一個(gè)嚴(yán)整的體系。
歐幾里得建立起來(lái)的幾何學(xué)體系之嚴(yán)謹(jǐn)和完整,，就連20世紀(jì)最杰出的大科學(xué)家愛(ài)因斯坦也不能對(duì)他不另眼相看,。
愛(ài)因斯坦說(shuō)：“一個(gè)人當(dāng)他最初接觸歐幾里得幾何學(xué)時(shí)，如果不曾為它的明晰性和可靠性所感動(dòng),，那么他是不會(huì)成為一個(gè)科學(xué)家的,。”
《幾何原本》中的數(shù)學(xué)內(nèi)容也許沒(méi)有多少為他所創(chuàng),，但是關(guān)于公理的選擇,，定理的排列以及一些嚴(yán)密的證明無(wú)疑是他的功勞，在這方面,，他的工作出色無(wú)比,。
歐幾里得的《幾何原本》共有13篇，首先給出的是定義和公理,。比如他首先定義了點(diǎn),、線、面的概念,。
他整理的5條公理其中包括：
1.從一點(diǎn)到另一任意點(diǎn)作直線是可能的,；
2.所有的直角都相等,；
3.a=b，b=c,，則a=c,；
4.若a=b則a＋c=b＋c等等。
這里面還有一條公理是歐幾里得自己提出的,，即：整體大于部分,。
雖然這條公理不像別的公理那么一望便知，不那么容易為人接受,，但這是歐氏幾何中必須的,，必不可少的。他能提出來(lái),，這恰恰顯示了他的天才,。
《幾何原本》第1～4篇主要講多邊形和圓的基本性質(zhì)，像全等多邊形的定理,，平行線定理,，勾股弦定理等。
第2篇講幾何代數(shù),，用幾何線段來(lái)代替數(shù),，這就解決了希臘人不承認(rèn)無(wú)理數(shù)的矛盾，因?yàn)橛行o(wú)理數(shù)可以用作圖的方法,，來(lái)把它們表示出來(lái),。
第3篇討論圓的性質(zhì)，如弦,、切線,、割線，圓心角等,。
第4篇討論圓的內(nèi)接和外接圖形,。
第5篇是比例論。這一篇對(duì)以后數(shù)學(xué)發(fā)展史有重大關(guān)系,。
第6篇講的是相似形,。其中有一個(gè)命題是：直角三角形斜邊上的矩形，其面積等于兩直角邊上的兩個(gè)與這相似的矩形面積之和,。讀者不妨一試。
第7,、8,、9篇是數(shù)論，即講述整數(shù)和整數(shù)之比的性質(zhì),。
第10篇是對(duì)無(wú)理數(shù)進(jìn)行分類(lèi),。
第11～13篇講的是立體幾何,。
全部13篇共包含有467個(gè)命題?！稁缀卧尽返某霈F(xiàn)說(shuō)明人類(lèi)在幾何學(xué)方面已經(jīng)達(dá)到了科學(xué)狀態(tài),，在經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)的基礎(chǔ)上建立了科學(xué)的、邏輯的理論,。
歐幾里得,，這位亞歷山大大學(xué)的數(shù)學(xué)教授，已經(jīng)把大地和蒼天轉(zhuǎn)化為一幅由錯(cuò)綜復(fù)雜的圖形所構(gòu)成的龐大圖案,。
他又運(yùn)用他的驚人才智,，指揮靈巧的手指將這個(gè)圖案拆開(kāi)，分成為簡(jiǎn)單的組成部分：點(diǎn),、線,、角、平面,、立體——把一幅無(wú)邊無(wú)垠的圖,，譯成初等數(shù)學(xué)的有限語(yǔ)言。
盡管歐幾里得簡(jiǎn)化了他的幾何學(xué),，但他堅(jiān)持對(duì)幾何學(xué)的原則進(jìn)行透徹的研究,，以便他的學(xué)生們能充分理解它。
據(jù)說(shuō),，亞歷山大國(guó)王多祿米曾師從歐幾里得學(xué)習(xí)幾何,，有一次對(duì)于歐幾里得一遍又一遍地解釋他的原理表示不耐煩。
國(guó)王問(wèn)道：“有沒(méi)有比你的方法簡(jiǎn)捷一些的學(xué)習(xí)幾何學(xué)的途徑,？”
歐幾里得答道：“陛下,，鄉(xiāng)下有兩種道路，一條是供老百姓走的難走的小路,，一條是供皇家走的坦途,。但是在幾何學(xué)里，大家只能走同一條路,。走向?qū)W問(wèn),，是沒(méi)有什么皇家大道的，請(qǐng)陛下明白,?！?/FONT>
歐幾里得的這番話后來(lái)推廣為“求知無(wú)坦途”，成為傳誦千古的箴言,。
關(guān)于歐幾里得的一生的細(xì)節(jié),，由于資料缺乏，我們知道得很少,。有一個(gè)故事說(shuō)的是歐幾里得和妻子吵架,，妻子很為惱火,。
妻子說(shuō)：“收起你的亂七八糟的兒何圖形，它難道為你帶來(lái)了面包和牛肉,?！?/FONT>
歐幾里得天生是個(gè)憨脾氣，只是笑了笑,，說(shuō)道：“婦人之見(jiàn),，你知道嗎？我現(xiàn)在所寫(xiě)的,，到后世將價(jià)值連城,！”
妻子嘲笑道：“難道讓我們來(lái)世再結(jié)合在一起嗎？你這書(shū)呆子,?！?/FONT>
歐幾里得剛要分辯，只見(jiàn)妻子拿起他寫(xiě)的《幾何原本》的一部分投入火爐中,。歐幾里得連忙來(lái)?yè)專(zhuān)墒且呀?jīng)來(lái)不及了,。
據(jù)說(shuō)妻子燒掉的是《幾何原本》中最后最精彩的一章。但這個(gè)遺憾是無(wú)法彌補(bǔ)的,，她燒的不僅僅是一些有用的書(shū),，她燒的是歐幾里得血汗和智慧的結(jié)晶。
如果上面這個(gè)故事是真的,，那么他妻子的那場(chǎng)震怒可能并不是歐幾里得引起來(lái)的,。因?yàn)楣糯淖骷覀兏嬖V我們，他是一個(gè)“溫和慈祥的老頭,?！?/FONT>
由于歐幾里得知識(shí)的淵博，他的學(xué)生們簡(jiǎn)直把他當(dāng)作偶像來(lái)崇拜,。歐幾里得在教授學(xué)生時(shí),，像一個(gè)真正的父親那樣引導(dǎo)他們，關(guān)心他們,。
然而有時(shí),，他也用辛辣的諷刺來(lái)鞭撻學(xué)生中比較傲慢的，使他們馴服,。有一個(gè)學(xué)生在學(xué)習(xí)了第一定理之后,，便問(wèn)道：“學(xué)習(xí)幾何，究竟會(huì)有什么好處,？”
于是,，歐幾里得轉(zhuǎn)身吩咐傭人說(shuō)：“格魯米阿，拿三個(gè)錢(qián)幣給這位先生，因?yàn)樗朐趯W(xué)習(xí)中獲得實(shí)利,。”
歐幾里得主張學(xué)習(xí)必須循序漸進(jìn),、刻苦鉆研,，不贊成投機(jī)取巧的作風(fēng)，更反對(duì)狹隘的實(shí)用觀念,。后來(lái)者帕波斯就特別贊賞他這謙遜的品德,。
像古希臘的大多數(shù)學(xué)者一樣，歐幾里德對(duì)于他的科學(xué)研究的“實(shí)際”價(jià)值是不大在乎的,。他喜愛(ài)為研究而研究,。
他羞怯謙恭，與世無(wú)爭(zhēng),，平靜地生活在自己的家里,。在那個(gè)到處充滿(mǎn)勾心斗角的世界里，對(duì)于人們吵吵鬧鬧所作出的俗不可耐的表演,，則聽(tīng)之任之,。
他說(shuō)：“這些浮光掠影的東西終究會(huì)過(guò)去，但是,，星羅棋布的天體圖案,，卻是永恒地巋然不動(dòng)?！?/FONT>
歐幾里得除了寫(xiě)作重要幾何學(xué)巨著《幾何原本》外,，還著有《數(shù)據(jù)》、《圖形分割》,、《論數(shù)學(xué)的偽結(jié)論》,、《光學(xué)》、《反射光學(xué)之書(shū)》等著作,。
說(shuō)不盡的阿基米德
在古希臘后期,，又出現(xiàn)了一位最偉大的科學(xué)家，他就是阿基米德,。
他正確地得出了球體,、圓柱體的體積和表面積的計(jì)算公式，提出了拋物線所圍成的面積和弓形面積的計(jì)算方法,。
最著名的還是求阿基米德螺線（ρ=α×θ）所圍面積的求法,，這種螺線就以阿基米德的名字命名。
錐曲線的方法解出了一元三次方程,，并得到正確答案,。
阿基米德還是微積分的奠基人。他在計(jì)算球體、圓柱體和更復(fù)雜的立體的體積時(shí),，運(yùn)用逐步近似而求極限的方法,，從而奠定了現(xiàn)代微積分計(jì)算的基礎(chǔ)。
最有趣的是阿基米德關(guān)于體積的發(fā)現(xiàn)：
有一次,，阿基米德的鄰居的兒子詹利到阿基米德家的小院子玩耍,。詹利很調(diào)皮，也是個(gè)很討人喜歡的孩子,。
詹利仰起通紅的小臉說(shuō)：“阿基米德叔叔,，我可以用你圓圓的柱于作教堂的立柱嗎？”
“可以,?！卑⒒椎抡f(shuō)。
小詹利把這個(gè)圓柱立好后,，按照教堂門(mén)前柱子的模型,，準(zhǔn)備在柱子上加上一個(gè)圓球。他找到一個(gè)圓柱,，由于它的直徑和圓柱體的直徑和高正好相等,，所以球“撲通”一下掉入圓柱體內(nèi)，倒不出來(lái)了,。
于是,，詹利大聲喊叫阿基米德，當(dāng)阿基米德看到這一情況后,，思索著：圓柱體的高度和直徑相等,，恰好嵌入的球體不就是圓柱體的內(nèi)接球體嗎？
但是怎樣才能確定圓球和圓柱體之間的關(guān)系呢,？這時(shí)小詹利端來(lái)了一盆水說(shuō)：“對(duì)不起,，阿基米德叔叔，讓我用水來(lái)給圓球沖洗一下,，它會(huì)更干凈的,。”
阿基米德眼睛一亮,，抱著小詹利,，慈愛(ài)地說(shuō)：“謝謝你，小詹利,，你幫助解決了一個(gè)大難題,。”
阿基米德把水倒進(jìn)圓柱體,，又把內(nèi)接球放進(jìn)去,；再把球取出來(lái),，量量剩余的水有多少；然后再把圓柱體的水加滿(mǎn),，再量量圓柱體到底能裝多少水,。
這樣反復(fù)倒來(lái)倒去的測(cè)試，他發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的奇跡：內(nèi)接球的體積,，恰好等于外包的圓柱體的容量的三分之二,。
他欣喜若狂，記住了這一不平凡的發(fā)現(xiàn)：圓柱體和它內(nèi)接球體的比例,，或兩者之間的關(guān)系，是3∶2,。
他為這個(gè)不平凡的發(fā)現(xiàn)而自豪,，他囑咐后人，將一個(gè)有內(nèi)接球體的圓柱體圖案,，刻在他的墓碑上作為墓志銘,。
阿基米德的驚人才智，引起了人們的關(guān)注和敬佩,。朋友們稱(chēng)他為“阿爾法”,，即一級(jí)數(shù)學(xué)家（α—阿爾法，是希臘字母中第一個(gè)字母）,。
阿基米德作為“阿爾法”,，當(dāng)之無(wú)愧。所以20世紀(jì)數(shù)學(xué)史學(xué)家E.T.貝爾說(shuō)：“任何一張列出有史以來(lái)三個(gè)最偉大的數(shù)學(xué)家的名單中,，必定包括阿基米德,。
“另外兩個(gè)數(shù)學(xué)家通常是牛頓和高斯。不過(guò)以他們的豐功偉績(jī)和所處的時(shí)代背景來(lái)對(duì)比,，拿他們的影響當(dāng)代和后世的深邃久遠(yuǎn)來(lái)比較,，還應(yīng)首推阿基米德?！?/FONT>
我們說(shuō),，阿基米德的數(shù)學(xué)成就在于他既繼承和發(fā)揚(yáng)了古希臘研究抽象數(shù)學(xué)的科學(xué)方法，又使數(shù)學(xué)的研究和實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系起來(lái),，這在科學(xué)發(fā)展史上的意義是重大的,，對(duì)后世有極為深遠(yuǎn)的影響。
阿波羅尼
亞歷山大前期著名的三大數(shù)學(xué)家除歐幾里得,、阿基米德外,，還有一位重要人物，他就是歐幾里得的學(xué)生阿波羅尼,。
阿波羅尼（約前262～約前190）生于佩爾格,，年青時(shí)到亞歷山大跟隨歐幾里得的后繼者學(xué)習(xí),。他的主要成就是建立了完美的圓錐曲線論。
他在總結(jié)前人的成就的基礎(chǔ)上,，再加上自己的研究成果,，撰寫(xiě)了《圓錐曲線論》8大卷，將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡,，幾乎使后人沒(méi)有插足的余地,。
《圓錐曲線論》是圓錐曲線的經(jīng)典之作，寫(xiě)作風(fēng)格和歐幾里得,、阿基米德是一脈相承的,，先設(shè)立若干定義，再由此依次證明各個(gè)命題,，推理是十分嚴(yán)格的,。
《圓錐曲線論》的出現(xiàn)，引起了人們的重視,，被公認(rèn)為是這方面的權(quán)威之作,，被認(rèn)為是古希臘最杰出的數(shù)學(xué)著作之一。
阿波羅尼是第一個(gè)從同一圓錐的截面上來(lái)研究圓錐曲線的人,，他以一個(gè)平面按不同的角度與圓錐相交,，分別得出拋物線、橢圓和雙曲線,。
同時(shí),，他也弄清楚了雙曲線有兩個(gè)分支，并給出了圓錐曲線的定義,。
在這一書(shū)中,，他說(shuō)明了求一圓錐曲線的直徑，有心圓錐曲線的中心,、拋物線和有心圓錐曲線的軸的方法和作圓錐曲線的切線的方法,，討論了雙曲線的漸近線和共軛雙曲線，研究了有心圓錐曲線焦點(diǎn)的性質(zhì)等等,。
阿波羅尼這時(shí)尚無(wú)坐標(biāo)的概念,，但在他的討論中已隱含了坐標(biāo)的意思。
《圓錐曲線論》是一部經(jīng)典巨著,，它可以說(shuō)是代表了希臘幾何的最高水平,，自此以后，希臘幾何便沒(méi)有實(shí)質(zhì)性的進(jìn)步,。
直到17世紀(jì)的笛卡爾和帕斯卡,，圓錐曲線的理論才有所突破。以后便向著兩個(gè)方向發(fā)展,，一是笛卡爾的解析幾何,，二是射影幾何,，兩者幾乎是同時(shí)出現(xiàn)。
這兩大領(lǐng)域的思想和基本原理,，都可以在阿波羅尼的工作中找到萌芽,。當(dāng)然這是后話，暫且不提,。
和阿基米德相比較,，阿波羅尼注意圖形的幾何性質(zhì)，而阿基米德側(cè)重?cái)?shù)值計(jì)算,，這是他成為微積分先驅(qū)的重要原因,。
《圓錐曲線論》的篇幅很大，第1～7卷就有387個(gè)獨(dú)立命題,，完全用文字來(lái)表達(dá),，沒(méi)有使用符號(hào)和公式。命題的敘述相當(dāng)冗長(zhǎng),，言辭有時(shí)是含混的，這在希臘的著作中,，是較難讀的一種,。
除了《圓錐曲線論》外，阿波羅尼還有其他一些有價(jià)值的著作,，它們是《論接觸》,，《平面軌跡》、《12面體與20面體對(duì)比》,、《傾斜》等,。
古羅馬的三個(gè)數(shù)學(xué)家
到了古羅馬時(shí)期，其政治,、軍事日益強(qiáng)大,，它雄踞西方，稱(chēng)霸一時(shí),。它在經(jīng)濟(jì)上曾經(jīng)很是繁榮,，技術(shù)上也有不少的成績(jī)，但它在科學(xué)上,、在科學(xué)思想上幾乎無(wú)所建樹(shù),。
古羅馬以基督教為國(guó)教，實(shí)行思想統(tǒng)治,，禁錮了人們的思想,，古希臘時(shí)期那種活躍的學(xué)術(shù)氣氛不復(fù)存在，新鮮的思想也難露頭角,。數(shù)學(xué)科學(xué)更是舉步不前,。
在這一時(shí)期,，比較著名的數(shù)學(xué)科學(xué)家有丟番圖、帕波斯和希帕蒂婭,。
說(shuō)起數(shù)學(xué)家丟番圖的生平,，還有一則別開(kāi)生面的記載，在一本《希臘詩(shī)文選》中收錄了丟番圖的奇特的墓志銘,，現(xiàn)轉(zhuǎn)抄于下：
墳中安葬著丟番圖,，
多么令人驚訝，
它忠實(shí)地記錄了所經(jīng)歷的道路,。
上帝給予的童年占六分之一,，
又過(guò)十二分之一，兩頰長(zhǎng)胡,，
再分七分之一,，點(diǎn)燃起結(jié)婚的蠟燭。
五年之后天賜貴子,，
可憐遲到的寧馨兒,，
享年僅及其父的一半，便進(jìn)入冰冷的墳?zāi)埂?/FONT>
悲傷只有用數(shù)論的研究去彌補(bǔ),，
又過(guò)四年,，他也走完了人生的旅途。
細(xì)心的讀者已經(jīng)發(fā)現(xiàn),，這獨(dú)特的墓志銘就是丟番圖一生的履歷表,，而且它本身就是一道耐人尋味的年齡計(jì)算題。
讓我們來(lái)解開(kāi)丟番圖的年齡之謎：
設(shè)丟番圖的年齡為×,，則
丟番圖大致活動(dòng)于公元250年前后,，其生平不詳。他的著作《算術(shù)》和關(guān)于所謂多角數(shù)（形數(shù)）一書(shū),，這是世界上最早的系統(tǒng)的數(shù)學(xué)論文,。
《算術(shù)》共13卷，現(xiàn)存6卷,。這本書(shū)可以歸入代數(shù)學(xué)的范圍,。代數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的最大特點(diǎn)是引入了未知數(shù)，并對(duì)未知數(shù)加以運(yùn)算,。
它根據(jù)問(wèn)題的條件列入方程,，然后解方程求出未知數(shù)，如我們前邊關(guān)于丟番圖年齡的計(jì)算,。
算術(shù)也有未知數(shù),，這未知數(shù)就是答案，一切運(yùn)算只允許時(shí)已知數(shù)來(lái)施行,。在代數(shù)中既然要對(duì)未知數(shù)加以運(yùn)算,，就需要用某種符號(hào)來(lái)表示它,。
丟番圖將這方面的成果冠以算術(shù)之名是很自然的，因此,，他被后人稱(chēng)作是“代數(shù)學(xué)之父”的美譽(yù),。
希臘數(shù)學(xué)自畢達(dá)哥拉斯學(xué)派以后，興趣中心都在幾何,，他們認(rèn)為只有經(jīng)過(guò)幾何論證的命題才是可靠的,。為了邏輯的嚴(yán)密性，代數(shù)也披上了幾何的外衣,。
所以一切代數(shù)問(wèn)題,，甚至簡(jiǎn)單的一次方程的求解，也都納入僵硬的幾何模式之中,。直到丟番圖的出現(xiàn),，才把代數(shù)解放出來(lái)，擺脫了幾何的羈絆,。
例如,，（a＋b）2=a2＋2ab＋b2的關(guān)系在歐幾里得《幾何原本》中是一條重要的幾何定理，而在丟番圖的《算術(shù)》中,，只是簡(jiǎn)單代數(shù)運(yùn)算法則的必然后果,。
丟番圖認(rèn)為，代數(shù)方法比幾何的演繹陳述更適宜于解決問(wèn)題,。解題過(guò)程中顯示出高度的巧思和獨(dú)創(chuàng)性，在希臘數(shù)學(xué)中獨(dú)樹(shù)一幟,。
如果丟番圖的著作不是用希臘文寫(xiě)的,，人們就不會(huì)想到這是希臘人的成果，因?yàn)榭床怀鲇泄诺湎ＥD數(shù)學(xué)的風(fēng)格,，從思想方法到整個(gè)科目結(jié)構(gòu)都是全新的,。
如果沒(méi)有丟番圖的工作，也許人們以為希臘人完全不懂代數(shù),，有人甚至猜想他是希臘化了的巴比倫人,。
丟番圖在《算術(shù)》中，除了代數(shù)原理的敘述外,，還列舉了屬于各次不定方程式的許多問(wèn)題,，并指出了求這些方程解的方法，識(shí)別了實(shí)根,、有理數(shù)可能是“根”和正根,。
為了表示求知數(shù)及其冪、倒數(shù),、等式和減法,，他使用了字母的減寫(xiě),，用并列書(shū)寫(xiě)表示兩個(gè)量的加法，量的系數(shù)則在量的符號(hào)之后用阿拉伯?dāng)?shù)字表示,。
在兩個(gè)數(shù)的和與差的乘法運(yùn)算中采用了符號(hào)法則,。他還引入了負(fù)數(shù)的概念，并認(rèn)識(shí)到負(fù)數(shù)的平方等于正數(shù)等問(wèn)題,。
丟番圖在數(shù)論和代數(shù)領(lǐng)域作出了杰出的貢獻(xiàn),，開(kāi)辟了廣闊的研究道路。這是人類(lèi)思想上一次不尋常的飛躍,，不過(guò)這種飛躍在早期希臘數(shù)學(xué)中已出現(xiàn)萌芽,。
丟番圖的著作成為后來(lái)許多數(shù)學(xué)家，如費(fèi)爾馬,、歐勒,、高斯等進(jìn)行數(shù)論研究的出發(fā)點(diǎn)。數(shù)論中兩大部分均是以丟番圖命名的,，即丟番圖方程理論和丟番圖近似理論,。
丟番圖的《算術(shù)》雖然還有許多不足之處，但瑕不掩瑜,，它仍不失為一部承前啟后的劃時(shí)代著作,。
再說(shuō)古羅馬時(shí)期的另一位科學(xué)家帕波斯，他最有價(jià)值的著作是《數(shù)學(xué)匯編》,。
公元4世紀(jì),，希臘數(shù)學(xué)已是強(qiáng)弩之末，“黃金時(shí)代”的幾何巨匠已離去五六百年了,，到公元146年,，羅馬人占領(lǐng)亞歷山大后，科學(xué)便凋謝了,。
公元后,，除了托勒密等科學(xué)家有所建樹(shù)外，理論幾何的活力已經(jīng)用完,。在此情況下,，總結(jié)數(shù)百年來(lái)前人披荊斬棘所取得的成果，以免年久失傳,，已是十分重要和必要的,。
帕波斯正是在這種情況下，著手搜集整理前人的成果,，把它們編成了重要的著作：《數(shù)學(xué)匯編》,。
《數(shù)學(xué)匯編》在歷史上占有特殊地位，這不僅僅是它本身有許多發(fā)明創(chuàng)造，更重要的是記述了大量前人的工作,，保存了一大批現(xiàn)在在別處無(wú)法看到的著作,。它和普羅克洛斯的《概要》是研究希臘數(shù)學(xué)科學(xué)史的兩大原始資料，其功不可沒(méi),。
帕波斯還寫(xiě)過(guò)關(guān)于地理,、音樂(lè)、流體靜力學(xué)等方面的書(shū),，注釋過(guò)托勒密,、歐幾里得的著作。他是博學(xué)多才的,。
而他的主要的貢獻(xiàn),，正是我們介紹的，是收集,、總結(jié),、補(bǔ)充和評(píng)述幾乎是整個(gè)希臘時(shí)期的學(xué)術(shù)工作，使它流傳下來(lái)并發(fā)揚(yáng)光大,。這些功勞是不可磨滅的,。
下面再談一位科學(xué)家希帕蒂婭。我們?cè)谶@里介紹她,，完全是因?yàn)橄Ｅ恋賸I是有史記載的第一位女科學(xué)家,、哲學(xué)家。
希帕蒂婭早年跟隨父親學(xué)習(xí),，她在數(shù)學(xué)上的成就主要是幫助父親評(píng)注托勒密的數(shù)學(xué)名著《大匯編》,，還協(xié)助其父編輯了歐幾里得的《幾何原本》。
據(jù)古代一本辭典記載,，希帕蒂婭還評(píng)注丟番圖的《算術(shù)》和阿波羅尼的《圓錐曲線》等名著,，可惜這些評(píng)注本都已失傳。
希帕蒂婭也在亞歷山大從事科學(xué)和哲學(xué)活動(dòng),，講授數(shù)學(xué)和新柏拉圖主義。她的哲學(xué)興趣比較傾向于研究學(xué)術(shù)與科學(xué)問(wèn)題,，而較少追求神秘性和排他性,。
約在公元400年左右，希帕蒂婭成為亞歷山大的新柏拉圖主義學(xué)派的領(lǐng)袖,。由于她的學(xué)術(shù)聲望,，甚至有的基督徒也拜她為師。
但是,，早期的基督徒在很大程度上把科學(xué)視為異端邪說(shuō),，把傳播希臘傳統(tǒng)文化視為異教徒加以迫害。公元415年,，希帕蒂婭被信奉基督教的一群暴民私刑處死,。
她的悲壯身世,，成為一些文藝作品的主題，著名作家金斯利把她寫(xiě)進(jìn)小說(shuō)《希帕蒂婭》中,。小說(shuō)中的希帕蒂婭,，聰明、美麗,、展雄辯之才又虛懷若谷,。
古印度數(shù)學(xué)成就
古印度在數(shù)學(xué)方面有相當(dāng)大的成就，在世界數(shù)學(xué)史上有重要地位,。自哈拉巴文化時(shí)期起,，古印度人用的就是十進(jìn)位制，但是早期還沒(méi)有位值法,。
大約到了公元7世紀(jì)以后,，古印度才有了位值法記數(shù)，不過(guò)開(kāi)始時(shí)還沒(méi)有“0”的符號(hào),，只用空一格來(lái)表示,。公元9世紀(jì)后半葉有了零的符號(hào)，寫(xiě)作“.”,。
這時(shí),，古印度的十進(jìn)制位值法記數(shù)就完備了。后來(lái)這種記數(shù)法為中亞地區(qū)許多民族采用,，又經(jīng)過(guò)阿拉伯人傳到了歐洲,，逐漸演變?yōu)楝F(xiàn)今世界上通用的“阿拉伯記數(shù)法”。
所以說(shuō),，阿拉伯?dāng)?shù)字并不是阿拉伯人創(chuàng)造的,，他們只是起了傳播作用。而真正對(duì)阿拉伯?dāng)?shù)字有貢獻(xiàn)的,，正是古印度人,。
《準(zhǔn)繩經(jīng)》是現(xiàn)存古印度最早的數(shù)學(xué)著作，這是一部講述祭壇修筑的書(shū),，大約成于公元前5至前4世紀(jì),，其中包含有一些幾何學(xué)方面的知識(shí)。
這部書(shū)表明,，他們那時(shí)已經(jīng)知道了勾股定理,，并使用圓周率π為3.09，古印度人在天文計(jì)算的時(shí)候已經(jīng)運(yùn)用了三角形,，公元499年成書(shū)的《圣使集》中有關(guān)數(shù)學(xué)的內(nèi)容共有66條,，包括了算術(shù)運(yùn)算、乘方、開(kāi)方以及一些代數(shù)學(xué),、幾何學(xué)和三角學(xué)的規(guī)則,。
圣使還研究了兩個(gè)無(wú)理數(shù)相加的問(wèn)題，得到正確的公式,，在三角學(xué)方面他又引進(jìn)了正矢函數(shù),，他算出的π為3.1416。
公元7～13世紀(jì)是古印度數(shù)學(xué)成就最輝煌的時(shí)期,，其間的著名人物有梵藏（約589～,？）、大雄（9世紀(jì)）,、室利馱羅（999～,？）和作明（1114～？）,。
梵藏約于628年寫(xiě)成了《梵明滿(mǎn)悉檀多》,，對(duì)許多數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了深人的探討，梵藏是古印度最早引進(jìn)負(fù)數(shù)概念的人,，他還提出負(fù)數(shù)的運(yùn)算方法,。
梵藏對(duì)零作為一個(gè)數(shù)已有所認(rèn)識(shí)，但他卻錯(cuò)誤地認(rèn)為零除零還是等于零的結(jié)論,。他提出了解一般二次方程的規(guī)則,，得出二次方程x2+px-q=0的根為
梵藏還給出了ax＋by=0的整數(shù)解和處理不定方程ax2＋1=y2的方法。他最重要的成就是得出了求等差數(shù)列末項(xiàng)以及數(shù)列之和的正確公式,。
在幾何學(xué)方面,，梵藏有以四邊形之邊長(zhǎng)求四邊形面積的正確公式，即
長(zhǎng),。
而大雄繼續(xù)了他前人的工作,，他的主要著作是《計(jì)算精華》。他認(rèn)識(shí)到零乘以任何一個(gè)數(shù)都等于零,，不過(guò)他又錯(cuò)誤地認(rèn)為以零除一個(gè)數(shù)仍然等于這個(gè)數(shù),。
大雄對(duì)分?jǐn)?shù)的研究也很有意義，他認(rèn)識(shí)到以一個(gè)分?jǐn)?shù)除另外一個(gè)分?jǐn)?shù),，等于把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子分母顛倒相乘,。
現(xiàn)存的室利馱羅的數(shù)學(xué)著作有《算法概要》一書(shū)，據(jù)說(shuō)他還有一部專(zhuān)論二次方程的著作,。他的主要工作是研究二次方程的解法。
在這一時(shí)期,，數(shù)學(xué)上成就最大的要數(shù)作明,。他的《歷數(shù)全書(shū)頭珠》中的《嬉有章》和《因數(shù)算法章》反映了古印度數(shù)學(xué)的最高成就，是那個(gè)時(shí)期的代表作。
作明對(duì)零進(jìn)行了進(jìn)一步的研究,，正確地指出以零除一個(gè)數(shù)為無(wú)限大,。他繼續(xù)研究二次方程求解的問(wèn)題，知道一個(gè)數(shù)的平方根有兩個(gè)數(shù),，一正一負(fù),。
他還明確地指出負(fù)數(shù)的平方根是沒(méi)有意義的。作明在不定方程的研究中取得了十分顯著的成績(jī),，他用巧妙的方法解決了許多不定方程的求整數(shù)解的問(wèn)題,。
如下列方程：
6x2＋2x=y， 5x4-100x2=y2,，
等等,。
古印度數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展便趨緩慢，沒(méi)有更多引人注目的東西了,。
巴比論的數(shù)學(xué)
在公元前3000年左右,，巴比倫開(kāi)始有了像點(diǎn)樣的數(shù)字了。現(xiàn)在考古發(fā)現(xiàn)的巴比倫泥板文書(shū)對(duì)研究數(shù)學(xué)史,，提供了有力的證明,。這些泥板書(shū)是在膠泥軟時(shí)刻上字后，曬干保存下來(lái)的,。
這些泥板書(shū)大致是于兩個(gè)時(shí)期制成的,，有些是公元前2000年左右，大部分是公元前600年到公元300年的,。
較早的泥板是用斷面呈三角形的筆斜刻的,，刻痕顯楔形，因此這種文字叫楔形文字,。在楔形文字中,，已經(jīng)出現(xiàn)了1到60的整數(shù)寫(xiě)法和記號(hào)。
巴比倫人也會(huì)表示分?jǐn)?shù),，但一組記號(hào)所表示的分?jǐn)?shù)也可以作多種理解,，這是一種混淆不清的表示法。
巴比倫人還有表示平方,、平方根,、立方和立方根的數(shù)表。當(dāng)方根是整數(shù)時(shí),，給出的是準(zhǔn)確值,。對(duì)于非整數(shù)的方根，相應(yīng)的60進(jìn)制數(shù)值只是近似的,。
這時(shí)他們使用的圓周率π=3.125,。在一塊泥板上,，我們竟然看到他們解了這樣一個(gè)指數(shù)方程：（1＋0.2）x=2，x＝3.8,。
在巴比倫時(shí)期,，求給定寬和高的一扇門(mén)對(duì)角線問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)了平方根，他們給出的答案沒(méi)有說(shuō)明是怎樣求出來(lái)的,。
但是,，他們卻很好地用了求對(duì)角線長(zhǎng)的近似公式：
其中d為對(duì)角線長(zhǎng)，w為寬,，h為高,。
早期巴比倫有一個(gè)代數(shù)基本問(wèn)題，是求出一個(gè)數(shù),，使它與它的倒數(shù)之和等于已給定的數(shù),。這個(gè)問(wèn)題的解答是要解一個(gè)二次方程。這說(shuō)明巴比倫人已經(jīng)知道二次方程求根方法,。
巴比倫人還可以解出含有5個(gè)未知量的五元一次方程來(lái),。他們用一種特殊的方法結(jié)合各個(gè)方程，最后算出所有未知量,。
數(shù)學(xué)在巴比倫人的生活中的很多地方都起到了作用,。巴比倫位于古代貿(mào)易通道上，他們商業(yè)活動(dòng)范圍很廣,。他們用算術(shù)和簡(jiǎn)單代數(shù)知識(shí)來(lái)表示長(zhǎng)度和重量,，來(lái)交換各種商品和兌換錢(qián)幣。
現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)的牽涉到數(shù)學(xué)的大多數(shù)楔形文字著作是關(guān)于經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的,。顯然,，經(jīng)濟(jì)對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展是十分顯著的。
其次,，在工程建設(shè)上,，需要用到計(jì)算，比如挖運(yùn)河,，修堤壩,，以及其他水利工程都要用到計(jì)算。所以說(shuō),，巴比倫的數(shù)學(xué)和人們實(shí)際應(yīng)用是分不開(kāi)的,。
巴比倫的占星術(shù)很興盛，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)本身就具有一種神秘性,，因此可以用數(shù)學(xué)預(yù)卜未來(lái),。
在《圣經(jīng)》中可以看到巴比倫人預(yù)卜未來(lái)的做法。希伯來(lái)人的“科學(xué)”測(cè)字術(shù)就是根據(jù)巴比倫人的預(yù)卜術(shù)而來(lái)的,。有個(gè)預(yù)言說(shuō)：獅子宣告巴比倫城的淪落,，就是根據(jù)巴比倫預(yù)卜學(xué)原則而得出的結(jié)論,。
古埃及的數(shù)學(xué)
再說(shuō)在古埃及，文明的發(fā)展是在沒(méi)有外來(lái)勢(shì)力的影響下獨(dú)自進(jìn)行的,。埃及人靠著尼羅河帶來(lái)的肥沃的土壤，創(chuàng)造著自己生生不息的文明和科學(xué),。
古埃及人造出了幾套自己的文字,，其中有一套是象形文字，每個(gè)文字記號(hào)是某件東西的圖形,，直到公元紀(jì)元前后,，埃及的象形文字還用在紀(jì)念碑文和器皿上。
那時(shí)埃及人的書(shū)寫(xiě)方式是用墨水寫(xiě)在草片上,，草片很容易干裂成粉末,，所以除了銘刻在石頭上的象形文字外，古埃及的文件很少保存下來(lái),。
古埃及人在數(shù)學(xué)科學(xué)上的工作,，我們現(xiàn)在知道得不太多，這可能與草書(shū)不耐保存,，有很大的關(guān)系,。
埃及的代數(shù)中實(shí)際上沒(méi)有成套的記號(hào)，加法和減法用一個(gè)人走近和離去的腿形來(lái)表示,。表示平方根的記號(hào)是兩個(gè)「的直角,。
埃及的幾何和算術(shù)也是合在一起的。埃及人也和巴比倫人一樣,，把幾何看成實(shí)用工具,。他們把算術(shù)和代數(shù)用來(lái)解有關(guān)面積、體積和其他幾何性質(zhì)的問(wèn)題,。
由于尼羅河漲水而產(chǎn)生了古埃及的幾何學(xué),，使埃及人研究出計(jì)算矩形、三角形和梯形面積的死方法,。
埃及人對(duì)于圓面積的計(jì)算有其獨(dú)到之處,。如S=（8d/9）2，其中d為直徑,。這就等于π取3.1605,。
埃及人也有算立方體、箱體,、柱體和其他圖形體積的法則,。有些法則是對(duì)的，有些也只能算是近似的,。
這里最了不起的法則要算用來(lái)計(jì)算棱臺(tái)體積的公式,。棱臺(tái)底是正方形,，這個(gè)公式用現(xiàn)代記號(hào)是：
V=h/3（a2＋ab＋b2）,， h是高,，o、 b是上下底的邊長(zhǎng),。這個(gè)公式之所以了不起,，是因?yàn)檎_,，而且形式是對(duì)稱(chēng)的。
埃及數(shù)學(xué)的另一個(gè)主要用途是天文測(cè)量和計(jì)算,，這從相當(dāng)早的時(shí)期就是這樣了,。
尼羅河是埃及人生命的源泉，他們靠耕種河水泛濫后淤土覆蓋的田地謀生,，但他們也得準(zhǔn)備好應(yīng)付洪水的危害,，因此就得預(yù)報(bào)洪水到來(lái)的日期。這就需要計(jì)算,。
埃及人還把他們的天文知識(shí)和幾何知識(shí)結(jié)合起來(lái)用于建造他們的神廟,，使一年里某幾天的陽(yáng)光能以特定方式照射到廟宇里。
金字塔是代表埃及人對(duì)幾何的另一種用法,。金字塔是帝王的陵墓,。埃及人竭力使金字塔的底有正確的形狀，那么底和高的尺寸就有重大意義,，這又需要精密的計(jì)算,。
所以說(shuō)，倘若數(shù)學(xué)是應(yīng)人類(lèi)需要而產(chǎn)生和發(fā)展的,，那么在古埃及,，這一點(diǎn)是最明顯不過(guò)的了。
古代阿拉伯的數(shù)學(xué)家
古代阿拉伯的數(shù)學(xué)是在引進(jìn)印度和希臘數(shù)學(xué)之后起步的,，在不長(zhǎng)的時(shí)期內(nèi),，他們?nèi)〉昧丝捎^的成績(jī)。
阿拉伯頭一位著名的數(shù)學(xué)家是花拉子密,，他在數(shù)學(xué)上的成就比起天文學(xué)上的成就還要大一些,。他的算術(shù)和代數(shù)學(xué)的著作很早就流傳歐洲，對(duì)歐洲的數(shù)學(xué)有頗大的影響,。
歐洲人主要就是從他那里學(xué)會(huì)了使用“阿拉伯記數(shù)法”,。我們前面已經(jīng)講到，歐洲人自古希臘時(shí)候起即擅長(zhǎng)幾何學(xué),，他們也習(xí)慣于用幾何學(xué)方法來(lái)解決代數(shù)學(xué)的問(wèn)題,，因此他們的數(shù)學(xué)有很大的局限性。
花拉子密的代數(shù)學(xué)著作《還原與對(duì)消》記述了800多個(gè)代數(shù)學(xué)問(wèn)題,，包括了一次方程和二次方程的解法,。
這部著作在12世紀(jì)期間即被譯成拉丁文,，直至16世紀(jì)以前仍是歐洲各大學(xué)的主要數(shù)學(xué)教科書(shū)，在歐洲產(chǎn)生了很大影響,。
拉丁語(yǔ)中algebra（代數(shù)學(xué)）一詞就是從這部著作中的名稱(chēng)演化而來(lái)的,。歐洲人對(duì)代數(shù)的研究從接受阿拉伯人的代數(shù)學(xué)才正式開(kāi)始的。這與花拉子密的功勞不無(wú)關(guān)系,。
花拉子密的天文表中包括有三角學(xué)的內(nèi)容,，他不僅運(yùn)用了正弦函數(shù)，還引進(jìn)了正切函數(shù),。不過(guò)也有人懷疑正切函數(shù)是后人修訂天文表時(shí)加進(jìn)去的。
另一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家白塔尼在天文學(xué)的研究中也涉及到三角學(xué)的問(wèn)題,。他在他的著作中又引入了余切函數(shù),，并且造出了從1°到90°之間相隔1°的余切表。
曾主持馬臘格天文臺(tái)的奈綏爾丁也是一位很有成就的數(shù)學(xué)家,。原先的三角學(xué)只不過(guò)是天文計(jì)算中的一種工具,，奈綏爾丁則致力于使它成為一門(mén)獨(dú)立的學(xué)科。
他還提出了解球面直角三角形的6個(gè)基本公式,，并且指出解一般三角形的方法,。歐洲人到15世紀(jì)中期才知道奈綏爾丁的工作，在此之前,，歐洲人還從未把三角學(xué)看成是數(shù)學(xué)上的一個(gè)分支,。
在這一時(shí)期，還有一位重要科學(xué)家,，他叫卡西（,？～1436？）,。他在圓周率的研究上取得了顯著的成績(jī),。
他是用窮竭法求圓周率的，他計(jì)算了圓內(nèi)接和外接3×228邊正多邊形的周長(zhǎng),，求得圓周率π=3.141,，592，653,，589,，793，25,，即準(zhǔn)確至小數(shù)后第17位,。
他打破了我國(guó)祖沖之保持了近千年的世界紀(jì)錄，1000年后才又為歐洲人所超過(guò),。
