數(shù)形結(jié)合思想就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想,，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面．

其中“以形助數(shù)”是指借助形的生動(dòng)性和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段,，數(shù)作為目的．

“以數(shù)輔形”是指借助于數(shù)的精確性和嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性,，即以數(shù)為手段，形作為目的．

【典型例題】

例3．（15南通）關(guān)于x的一元二次方程ax²－3x－1＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根都在－1和0 之間（不包括－1和0）,，則a的取值范圍是 ．

【解析】

【方法一】利用函數(shù)圖象“數(shù)學(xué)結(jié)合”解題

解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax²－3x－1＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,，

∴Δ＝b²－4ac＝9＋4a＞0，∴a＞－9,，

設(shè)二次函數(shù)y＝ax²－3x－1,，

∵方程ax²－3x－1＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根都在－1和0之間，∴x₁x₂＝－1a＞0,，

∴a＜0,，∴二次函數(shù)y＝ax²－3x－1的圖象如圖所示,，

∴當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝a＋3－1＜0,，即a＜－2,，

∴a的取值范圍是－9＜a＜－2．

故答案為：－9＜a＜－2．

【方法二】用方程的有關(guān)的知識(shí)解題

【總結(jié)】根據(jù)一元二次方程與二次函數(shù)之間的關(guān)系，使用圖象法可以快速解決問(wèn)題．

【舉一反三】

例4．（14濟(jì)寧）“如果二次函數(shù)y＝ax²＋bx＋c的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn),，那么一元二次方程ax²＋bx＋c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．”請(qǐng)根據(jù)你對(duì)這句話的理解,，解決下面問(wèn)題：若m、n（m＜n）是關(guān)于x的方程1－(x－a)(x－b)＝0的兩根,，且a＜b,，則a、b,、m,、n的大小關(guān)系是．

A．m＜a＜b＜n

B．a＜m＜n＜b

C．a＜m＜b＜n

D．m＜a＜n＜b

【解析】

【方法一】

解：方程可以化簡(jiǎn)為x²－(a＋b)x＋ab－1＝0，

【方法二】數(shù)形結(jié)合思想

解：依題意,，得,，畫(huà)出函數(shù)y＝(x－a)(x－b)的圖象，如圖所示．

函數(shù)圖象為拋物線,，開(kāi)口向上,，與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a，b（a＜b）．

方程1－(x－a)(x－b)＝0轉(zhuǎn)化為(x－a)(x－b)＝1,，

方程的兩根是拋物線y＝(x－a)(x－b)與直線y＝1的兩個(gè)交點(diǎn)．

由m＜n,，可知對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，右側(cè)為n．

由拋物線開(kāi)口向上,，則在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè),，y隨x增大而減少，則有m＜a,；

在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè),，y隨x增大而增大，則有b＜n．

綜上所述,，可知m＜a＜b＜n．

故答案為：m＜a＜b＜n．

【方法三】數(shù)形結(jié)合思想

解：如圖,，畫(huà)出二次函數(shù)y＝(x－a)(x－b)的圖象，

∴該二次函數(shù)x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（a,，0）和（b,，0）其中a＜b，

將二次函數(shù)y＝(x－a)(x－b)的圖象向下平移1個(gè)單位,，得到新二次函數(shù)的解析式為y₁＝(x－a)(x－b)－1,，

∴這時(shí)新二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為（m，0）和（n，0）其中m＜n,，

易得：m＜a＜b＜n．

故答案為：m＜a＜b＜n．

【方法四】特殊值法

解：依題意得令a＝0，b＝1,，則原方程可化為1－x(x－1)＝0,，即x²－x－1＝0，

【總結(jié)】方程問(wèn)題通?？梢赞D(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題,，利用函數(shù)圖象快速判斷答案．