試探討關(guān)于x的方程（k－1）x²+kx+1=0的根的情況,。

解析：題目本身并沒說明為何類方程，因此必須分兩種情況討論：

（1）當(dāng)k－1＝0即k＝1時(shí),，此時(shí)原方程為x+1=0(一元一次方程),，顯然只有一個(gè)根為x=－1；

（2）當(dāng)k－1≠0即k≠1時(shí),，原方程為一元二次方程,，必須根據(jù)“根的判別式△”的符號(hào)情況進(jìn)行判斷（如果能直接求出根，當(dāng)然可以直接判斷）.通過計(jì)算△＝k²－4k+4=(k－2)²≥0,，所以此時(shí)原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,。

      實(shí)際上，此時(shí)原方程可通過因式分解法進(jìn)行求解：（x+1）[(k－1)x+1]=0.……

變式拓展：

1.當(dāng)k為何整數(shù)時(shí),，關(guān)于x的方程（k－1）x²+kx+1=0有兩個(gè)整數(shù)根,？

（提示：題目已經(jīng)明確有兩整數(shù)根，所以原方程必須是一元二次方程,，由上述可得x₁=－1,，x₂=1/(1－k).由于k為整數(shù)，且要求是兩個(gè)整數(shù)根,，所以1－k=1或－1,，解得k=0或k=2.）

2.當(dāng)k為何值時(shí)，拋物線y=（k－1）x²+kx+1與x軸兩交點(diǎn)的距離為3,？

（提示：由上述知,，該拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為－1和1/(1－k).根據(jù)題意，可得方程為：｜1/(1－k)+1｜＝3,，解得k=1/2或k=5/4.）

3.不論k為何值時(shí),，拋物線y=（k－1）x²+kx+1必經(jīng)過一定點(diǎn)，求定點(diǎn)坐標(biāo)。

（提示：法一：不難得到上述的（－1,，0）為所求的一個(gè)定點(diǎn),，與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）也是其中的另一個(gè)定點(diǎn),，必須代入驗(yàn)證,！ 法二：通過整理，可得：（x²+x）k=y+x²－1（整理成關(guān)于k的一元一次方程形式,，根據(jù)“0乘以任何數(shù)都等于0”得到：x²+x＝0且y+x²－1＝0,，……?！f明：第二種解法是通法,，建議熟練掌握！）

系列2

若a,，b,，c分別為△ABC的三條邊，且滿足a²+b²=c²=25,，求2a+b的最大值.

解析：本題用三角函數(shù)的定義來解,，涉及到高中知識(shí)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題來解,，計(jì)算量太大,，因此必須另找他法，看過本人之前的文章“判別式的妙用”（插入文章鏈接,，點(diǎn)擊標(biāo)題打開）就可發(fā)現(xiàn)：本題可用“判別式”解決問題,。   

      “判別式法”解法求“最值”問題的思路是先整理關(guān)于某個(gè)字母（參數(shù)）的一元二次方程，然后利用這個(gè)字母值的存在性得到判別式的值必須為非負(fù)數(shù),，從而問題得到解決,。

系列3

若k為任意實(shí)數(shù)，則拋物線y=a(x－2k+1)²+k－2的頂點(diǎn)一定在什么樣的圖象上運(yùn)動(dòng),？

解析：拋物線的頂點(diǎn)為（2k－1,，k－2），顯然隨著k的取值不同,，所對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)就不同,，根據(jù)“點(diǎn)動(dòng)成線”可知其一系列的頂點(diǎn)就會(huì)構(gòu)成“線”,。我們知道,，函數(shù)圖象反映就是函數(shù)中的“函數(shù)值（y）”與“自變量（x）”之間的關(guān)系，在坐標(biāo)系中的表現(xiàn)方式就是“點(diǎn)的縱坐標(biāo)”與“點(diǎn)的橫坐標(biāo)”的關(guān)系,，因此只需找出“頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)（k－2設(shè)為y）”與“頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)（2k－1設(shè)為x）”之間的關(guān)系,，就是我們要找的頂點(diǎn)所在圖象表示的函數(shù)關(guān)系。

      通過代入法，將x=2k－1和y=k－2兩式中的常數(shù)k消去,，即可找到y(tǒng)與x的有關(guān)系：由x=2k－1可得k=(x+1)/2,，代入y=k－2可得到：y=(x+1)/2－2=0.5x－1.5.

      所以該拋物線的頂點(diǎn)一定在直線y=0.5x－1.5上運(yùn)動(dòng).

變式練習(xí)：

      若k為任意實(shí)數(shù)，則拋物線y=a(x－2k+1)²+3－2k²的頂點(diǎn)一定在什么樣的圖象上運(yùn)動(dòng),？

答案：y＝－1/2(x+1)²+3.

觀察解析式y=ax²－6ax+b結(jié)構(gòu)的特點(diǎn),，可以發(fā)現(xiàn)：二次項(xiàng)與一次項(xiàng)的系數(shù)成比例（這是解綜合題必備的能力和習(xí)慣），可得拋物線的對(duì)稱為直線x=6a/(2a)=3(是定值),，因此拋物線的對(duì)稱軸是固定的.

其次,，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性（對(duì)稱軸為直線x=3），知：“當(dāng)1＜x＜2時(shí),，y＜0”相當(dāng)于“當(dāng)4＜x＜5時(shí),，y＜0”，又由已知“當(dāng)5＜x＜6時(shí),，y＞0”,，所以該函數(shù)圖象必過（5，0）點(diǎn),，代入解析式(y=ax²－6ax+b),，得：25a－30a+b=0，得b=5a,，所以a/b=1/5.

      或：“當(dāng)5＜x＜6時(shí),，y＞0”相當(dāng)于“當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＞0”,，又由已知“當(dāng)1＜x＜2時(shí),，y＜0”，所以該函數(shù)圖象必過（1,，0）點(diǎn),，代入解析式(y=ax²－6ax+b)，得：a－6a+b=0,，得b=5a,，所以a/b=1/5.

變式練習(xí)：

     若對(duì)于二次函數(shù)有：當(dāng)1＜x＜2時(shí)，y＜－2,，當(dāng)5＜x＜6時(shí),，y＞－2，求a與b的之間的等量關(guān)系.

答案：a=(b－2)/5 .

系列7

已知a≥2,，m²－2am+2=0,，n²－2an+2=0，求(m－1)²+(n－1)²的最小值.

解析：顯然必須找出m,、n與a之間的關(guān)系,，然后將所求的式子化為關(guān)于a的二次三項(xiàng)式,，再通過配方求最小值.由已知條件“m²－2am+2=0，n²－2an+2=0”等式的結(jié)構(gòu)特征,，可以發(fā)現(xiàn)：m,、n可以看作是方程x²－2ax+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，因此有m+n=2a,，mn＝2(根據(jù)韋達(dá)定理.人教版屬于選學(xué)內(nèi)容,，可通過配方法或公式法求出兩根(不妨設(shè)m>n)為：

得到：設(shè)y=(m－1)²+(n－1)²=m²－2m+1+n²－2n+1=(m+n)²－2mn－2(m+n)+2，將“m+n=2a,，mn＝2”代入并整理得：y=4a²－4a－2=4(a－0.5)²－3(a≥2).

把y看作a的二次函數(shù),，則對(duì)稱軸為a＝0.5，同時(shí)開口向上（因4＞0）,，根據(jù)圖象（可畫出草圖）知：當(dāng)在對(duì)稱軸右側(cè)（a＞0.5）時(shí),y隨a的增大而增大.而a≥2,，所以當(dāng)a＝2時(shí)，y的值最小,，最小值＝4（2－0.5）²－3＝9－3＝6.

變式練習(xí)：

若拋物線y=x²+2mx+m²+3m－2與x軸兩交點(diǎn)為（x₁,，0），（x₂,，0）,，求x₁²+x₁x₂+x₂²的最小值.