如何理解線性賦范空間,、希爾伯特空間,，巴拿赫空間，拓撲空間

星光閃亮圖書館 2017-06-28

展開全文

賦范空間,，度量空間,，線性賦范空間，線性度量空間,，希爾伯特空間,，巴拿赫空間，拓撲空間如何不被他們嚇到,？

函數(shù)空間

一,、問題的提出

在微積分中可以定義極限和連續(xù)，依賴于距離
那么,，什么是距離呢,？
通俗的看法，大家都認為距離就是所謂的直線
大航海時期的距離如何測量,？
但是,，在這張圖中，我們如何衡量兩點之間的距離,？
因為地球儀上不能畫直線,，所以這里的距離顯然就不是直線了。我們只能沿著地球儀取曲線作為距離

再來看一張圖

從A到B的距離又是多少呢,？

顯然不能計算直線距離,，比較合理的距離，應該是走一個L字型（這里就不畫出來了…）

兩個向量之間的距離又該如何定義呢,？

兩條曲線之間的距離呢,？

兩條曲線的距離

二、距離,、范數(shù)

（向量的距離）

x=(x1,...,xn) 到 y=(y1,...,yn) 的距離

情形1：
d1(x,y)=(x1y1)2+...+(xnyn)2√
情形2：
d2(x,y)=max{|x1y1|,...,|xnyn|}
情形3：
d3(x,y)=|x1y1|+|xnyn|

其中d1是最常見的也就是中學所學的距離,，而d3 則是天安門圖中從A到B的距離

（曲線的距離）

曲線距離

注意這里只能取最大值,，不能取最小值。一旦取了最小值,，則任意兩個有交點的曲線的距離都為0,，顯然,，這樣是有問題,，所以只能去最大值

定義距離

看了那么多距離，我們如何定義呢,？

定義距離
則稱d(x,y)是這兩點之間的距離,。

線性空間

有向量的加法和數(shù)乘
滿足：
1. 向量加法結合律：u + (v + w) = (u + v) + w；
2. 向量加法交換律：v + w = w + v,；
3. 向量加法的單位元：V 里有一個叫做零向量的 0,，? v ∈ V , v + 0 = v；
4. 向量加法的逆元素：?v∈V, ?w∈V,，使得 v + w = 0,；
5. 標量乘法分配于向量加法上：a(v + w) = a v + a w；
6. 標量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v,；
7. 標量乘法一致于標量的域乘法: a(b v) = (ab)v,；
8. 標量乘法有單位元: 1 v = v, 這里 1 是指域 F 的乘法單位元。

定義范數(shù)

定義：設

||x||是Rn的范數(shù)

若滿足：

(1)||x||≥0,x∈Rn;||x||=0x=0;

(2)||αx||=|α|||x||,α∈R,x∈Rn;

(3)||x+y||≤||x||+||y||,x,y∈Rn

注意：可以簡單的看成到零點距離多了（2）,；所以范數(shù)就是一個更加具體的距離?。?！

我們接下來,，有兩個方向可以走，一個是在距離上面加東西,，讓距離更加具體化,，另一種是在距離上減東西，讓距離更加抽象畫,，像范數(shù)就是讓距離更加具體化了

所以范數(shù)有如下情況：

注意：

由范數(shù)可以定義距離：

d(x,y)=||xy||

但由距離不一定可以定義范數(shù),，例如：

||x||=d(0,x),但||αx||=d(0,αx)≠|α|||x||,

所以，一旦定義了抽象的距離,，我們就必須習慣用定義去證明對錯,，而不能用中學的距離，來進行判斷,。

賦范空間,、度量空間、線性賦范空間,、線性度量空間

賦予范數(shù)或者距離的集合分別稱為：賦范空間和度量空間
若在其上再加上線性結構稱為：線性賦范空間和線性度量空間

那么,，我們日常生活的空間可以稱為賦范空間或者度量空間么？
答案是否定的因為這樣的空間缺少角度的概念,，從前面的定義中我們無法退出角度,。所以，我們才有了接下來的內容,。

內積空間

賦范空間有向量的模長,，即范數(shù),。但是還缺乏一個很重要的概念——兩個向量的夾角，為了克服這一缺陷,，我們引入：內積
定義：

設(x,y)∈R,，且滿足：

（1）對稱性；

（2）對第一變元的線性性,；

（3）正定性,；

則稱(x,y) 為內積

所以內積又是比范數(shù)更加具體的東西，因為范數(shù)只是到0的距離的時候多了線性性,。但是內積是線性性的充分條件【A->B,，B不能->A就稱為A是B的充分條件；類似的,，B->A,A不能->B,，則稱A是B的必要條件】
舉個栗子：
我們可以把內積定義為：(x,y)=∑Ni=1xiyi
也可以定義為：(f,g)=∫∞0f(x)g(y)dx