中國(guó)古代數(shù)學(xué)

究竟有多牛逼

編者按：本報(bào)告基于林開亮博士參加由《知識(shí)就是力量》雜志社主辦的2016年度 “全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)/物理/化學(xué)科普競(jìng)賽”數(shù)學(xué)科普講座的通俗報(bào)告《從楊輝三角到李善蘭垛積術(shù)》和他在西北農(nóng)林科技大學(xué)做的通俗報(bào)告《從高斯算1+2+3+...+100 談起》。感謝林老師授權(quán)【超級(jí)數(shù)學(xué)建?！堪l(fā)表,。

高斯的故事

我們的故事從德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯（Gauss）講起：

傳說(shuō)中的高斯解法：利用對(duì)稱性首尾相加求和

事實(shí)上，高斯用的是數(shù)學(xué)歸納法,；他證明了一個(gè)更一般的結(jié)果

阿基米德的故事

不過(guò)高斯并不是最早得到公式（1）的人,，至少古希臘的阿基米德就知道了（1），事實(shí)上，阿基米德還得到了下述平方和求和公式

阿基米德有一句名言流傳至今：給我一個(gè)（地球外）支點(diǎn),，我可以翹起整個(gè)地球,！

你在開門時(shí)、用鉗子夾核桃就已經(jīng)應(yīng)用了這個(gè)杠桿原理,！

阿基米德與高斯之間數(shù)學(xué)家：朱世杰

一個(gè)自然的問(wèn)題是：

歷史上第一個(gè)給出這類問(wèn)題解法的,，是元代數(shù)學(xué)家朱世杰。特別地,，對(duì)上述問(wèn)題,，他給出了答案：

這比歐洲最早得到這個(gè)公式的德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨早了300多年。今年恰逢萊布尼茨（1646－1716）逝世300周年,。朱世杰：我們的主人公

朱世杰就是我要講的故事的主人公,，我們不僅僅要介紹他是如何得到立方求和公式（3）的，還要介紹他的方法（裂項(xiàng)求和）如何可以求出一般的前n個(gè)數(shù)的p次方的和,，即如何得到這樣的公式：

朱世杰現(xiàn)在對(duì)大家來(lái)說(shuō)也許只是個(gè)陌生的名字,，但我希望報(bào)告結(jié)束后你會(huì)得到這樣的認(rèn)識(shí)，他位列古代最偉大數(shù)學(xué)家的行列,。

朱世杰生活的大時(shí)代

世界

中世紀(jì)（Middle Ages,， 大約500--1400 ）的漫漫長(zhǎng)夜長(zhǎng)達(dá)近千年，代表事件分別是羅馬帝國(guó)的滅亡與文藝復(fù)興,。

中世紀(jì)的數(shù)學(xué)最輝煌的地域是中國(guó)（宋元四大家）,、印度（婆羅摩笈多）、波斯（海亞姆）,、意大利（斐波那契）,。

翻譯傳播希臘與印度的數(shù)學(xué)和科學(xué)。

中國(guó)

宋元（960-1279-1368）四百年是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的黃金時(shí)代,，涌現(xiàn)出四位大數(shù)學(xué)家,，人稱“宋元四大家”：

南宋：李冶（1192-1279）、秦九韶（1202-1261）,、楊輝（約1238 -1298）

元：朱世杰（1249-1314）

四人皆有著作,，成就了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的最高峰

評(píng)注1：美國(guó)著名科學(xué)史家薩頓(G. Sarton，1884－1956)說(shuō)過(guò),，秦九韶是“他那個(gè)民族，他那個(gè)時(shí)代最偉大的數(shù)學(xué)家之一,?！边@個(gè)評(píng)價(jià)同樣適用于李冶和朱世杰。

評(píng)注2：“宋元四大家”中真正能稱得上“大家”只有三位——秦九韶,、李冶和朱世杰,，而楊輝主要是數(shù)學(xué)教育家，把他算進(jìn)來(lái)有點(diǎn)牽強(qiáng)。此外,，在四人中,，我們對(duì)楊輝的生平也是了解最少的。宋元四大家

1,、宋元四大家之秦九韶

秦九韶，字道古,，生于安岳（今四川安岳縣）,。南宋數(shù)學(xué)家、官員,。代表作《數(shù)書九章》18卷（我表示遺憾：北師大版高中數(shù)學(xué)教材必修5 第51頁(yè)居然說(shuō)成《數(shù)學(xué)九章》?。?/p>

成就：

①中國(guó)剩余定理（秦九韶定理）,，比西方的歐拉早500年,。它包含在一個(gè)稱為“大衍總數(shù)術(shù)”的巧妙算法中。

②高次方程的數(shù)值解法,，比西方的霍納早500年,。

③三角形的海倫--秦九韶面積公式（據(jù)說(shuō)這公式阿基米德也已經(jīng)知道）

2、宋元四大家之李冶

李冶,，字仁卿,，欒城（今河北欒城縣）人，南宋數(shù)學(xué)家,、天文學(xué)家,、歷史學(xué)家，進(jìn)士出身,，曾有官職,，后歸隱封龍山收徒講學(xué)。

著有《測(cè)圓海鏡》,、《益古演段》,；

其貢獻(xiàn)在于引入了名為“天元”（相當(dāng)于“嫌疑人X”）的未知數(shù)概念，創(chuàng)立了利用未知數(shù)建立方程的方法（天元術(shù)）,，為幾何的代數(shù)化鋪平了道路,。

此外，李冶還與秦九韶各自獨(dú)立地引進(jìn)記號(hào)〇表示空位,。至此，中國(guó)十進(jìn)制完善了,。

3、宋元四大家之楊輝

楊輝，字謙光,，臨安（今杭州）人，南宋數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家,，曾擔(dān)任地方官。

著有《詳解九章算法》,、《日用算法》、《楊輝算法》,；

成就：

發(fā)揚(yáng)光大了沈括、賈憲的數(shù)學(xué)成就,。此外,，楊輝還是中國(guó)第一個(gè)系統(tǒng)研究幻方（Magic square）的人。最早的幻方也出自中國(guó),，洛書,，又稱九宮格。它也出現(xiàn)在金庸的《射雕英雄傳》中,，請(qǐng)看以下視頻：

①將沈括《夢(mèng)溪筆談》中的“隙積術(shù)”普及,，作為特例，他不僅給出了阿基米德的求和公式(2),，還給出了下述三角垛的求和公式

沈括,、楊輝所考慮的這類“堆垛”問(wèn)題的推廣，用現(xiàn)代術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)即“高階等差數(shù)列的求和”,。這一問(wèn)題后來(lái)被朱世杰所創(chuàng)立的“垛積招差術(shù)”徹底解決，他所依賴的工具之一就是楊輝的另一項(xiàng)成就,。

②從賈憲（現(xiàn)已失傳）的工作中發(fā)掘出二項(xiàng)式系數(shù)的“賈憲三角”關(guān)系,，今人稱之為“楊輝三角”，因?yàn)樗霈F(xiàn)在楊輝的《詳解九章算法》中,。西方稱之為帕斯卡三角,，事實(shí)上帕斯卡比楊輝都晚生了近400年。先后有許多數(shù)學(xué)家獨(dú)立發(fā)現(xiàn)這一結(jié)果,，都說(shuō)明了,，這是一個(gè)基本的發(fā)現(xiàn)。

楊輝三角最基本的性質(zhì)是（楊輝恒等式）：

*維基百科中的帕斯卡三角：https://en./wiki/Pascal%27s_triangle

4,、宋元四大家之朱世杰

朱世杰，字漢卿，燕山（今北京）人,，元代數(shù)學(xué)家,、教育家，畢生從事數(shù)學(xué)教育,。

著有《算學(xué)啟蒙》,、《四元玉鑒》；

當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家吳文?。ㄖ锌圃涸菏?、2000年國(guó)家最高科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)得主）對(duì)《四元玉鑒》有高度評(píng)價(jià)：這本書標(biāo)志著我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的頂峰。

吳文俊關(guān)于數(shù)學(xué)機(jī)械化的開創(chuàng)性工作,，得益于朱世杰《四元玉鑒》求解多元多項(xiàng)式方程組的工作（“四元術(shù)”）以及20世紀(jì)美國(guó)數(shù)學(xué)家李特（J. F. Ritt）的工作,。

成就：

①將李冶的天元術(shù)發(fā)展為四元術(shù)，用以求解多元多項(xiàng)式方程組,。所謂四元即四個(gè)未知數(shù)的名稱,，稱之為天、地,、人,、物。 正是這項(xiàng)成就啟發(fā)了吳文俊開創(chuàng)了數(shù)學(xué)機(jī)械化的工作,。

小引：清代數(shù)學(xué)家李善蘭將26個(gè)拉丁字母依次翻譯為十天干（甲,、乙、丙,、丁,、戊、己,、庚,、辛、壬,、癸）,、十二地支（子、丑,、寅,、卯、辰,、巳,、午、未,、申,、酉,、戌、亥）和四元（天,、地,、人、物）,。因此天,、地、人,、物恰好對(duì)應(yīng)w,x,y,z,，這幾個(gè)字母常用來(lái)表示未知數(shù)。

Question1：在干支紀(jì)年中,，今年（2016）是什么年,？提示，你記得甲午戰(zhàn)爭(zhēng)是哪一年嗎,？或者你看過(guò)這個(gè)段子嗎,？

讓子彈飛：炸在辛亥這個(gè)地方了！

Question 2：阿基米德生于公元前287年,，朱世杰生于1249年,，高斯生于1777年。據(jù)說(shuō)按照中國(guó)人的十二生肖,，他們的屬相相同,。請(qǐng)問(wèn)：是這樣的嗎，如果是,，阿基米德,、朱世杰和高斯都屬啥？

②將沈括,、楊輝的“隙積”,、“堆垛”術(shù)系統(tǒng)發(fā)展，得到“垛積術(shù)”的基本關(guān)系式,，也就是現(xiàn)在所謂的“朱世杰恒等式”,，它是阿基米德求和式（1）和楊輝三角垛求和公式（2*）的自然推廣：

在朱世杰恒等式（A）中令p=1，2就得到阿基米德求和式（1）和楊輝的三角垛求和公式（2*）,。[用字母C是因?yàn)樗墙M合單詞combination的首字母,。]

“垛積”中的“垛”是高階等差數(shù)列（高次多項(xiàng)式）的幾何對(duì)應(yīng)物，例如“三角垛”其實(shí)就是三角形數(shù),，回憶起阿基米德公式

有各種各樣的整數(shù)值多項(xiàng)式,，從而有各種各樣的垛狀數(shù)（Figurate numbers)。

見維基百科：https://en./wiki/Figurate_number

“垛積”中的“積”其實(shí)是“求和”的意思,。因此“垛積”的意思就是高階等差數(shù)列的求和,?！岸夥e術(shù)”的要訣就是今人所謂的“裂項(xiàng)求和”。而如何“裂項(xiàng)”則是朱世杰的第3項(xiàng)成就,。這是本報(bào)告中最微妙的部分,，接下來(lái)我們重點(diǎn)介紹。

③完善了元代郭守敬《授時(shí)歷》中所用的招差術(shù),，得到了四階等差數(shù)列的招差公式。用現(xiàn)代數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō),，朱世杰的四階招差公式相當(dāng)于說(shuō)：若f(n)是一個(gè)四次多項(xiàng)式,，則

其中系數(shù)

分別是f(n)的在原點(diǎn)n=0處的0次差分，1次差分,，2次差分,，3次差分，4次差分,。具體計(jì)算可依照差分表求出（參見陳景潤(rùn)《組合數(shù)學(xué)》）,。

舉例：

由于朱世杰完全掌握這一算法，可以我們有理由推斷,，他事實(shí)上得到了任意次數(shù)的多項(xiàng)式的招差公式,，這個(gè)結(jié)果在西方最早由300多年以后的英國(guó)數(shù)學(xué)家格里高利和牛頓分別得到。不過(guò)牛頓的同胞泰勒在牛頓差分公式的基礎(chǔ)上更進(jìn)一步（取極限）而得到了微積分的基本結(jié)果（泰勒定理）,。中國(guó)沒(méi)有產(chǎn)生微積分,。朱世杰的招差術(shù)是離散的微分，朱世杰的垛積術(shù)是離散的積分,，所以我們這里講的就是離散的微積分,。它距離連續(xù)的微積分只有一步之遙。

有了招差術(shù)和垛積術(shù),，那么高階等差數(shù)列（p階等差數(shù)列的通項(xiàng)公式就是p次多項(xiàng)式f(n)）的求和就是水到渠成的了,。例如，根據(jù)前面的結(jié)果,，可以求得前n個(gè)數(shù)的四次方和公式

朱世杰正是用同樣的方法求得了前n個(gè)數(shù)的立方和公式（3）,。留給有興趣的讀者。[一定要?jiǎng)邮?！?shù)學(xué)不是光靠看書聽講就能學(xué)會(huì)的,。動(dòng)筆算過(guò)之后，印象會(huì)更深刻,。數(shù)學(xué)家的最重要的兩樣武器：筆和紙,。]

類似的，可以想見,，朱世杰的“垛積招差術(shù)”可以解決一般的p次冪求和

這個(gè)問(wèn)題朱世杰本人并未考慮,，他留給了清代的李善蘭,。不過(guò)在此之前，西方人（例如費(fèi)馬）已經(jīng)解決了這個(gè)問(wèn)題,，因?yàn)樗麄円髢绾瘮?shù)   在[0,1]上的面積,。這個(gè)公式稱為福爾哈伯公式（Faulhaber’s formula）。20世紀(jì)大數(shù)學(xué)家西格爾（Siegel)曾這樣說(shuō)：第一個(gè)發(fā)現(xiàn)這個(gè)公式的人（可能是11世紀(jì)的埃及數(shù)學(xué)家海塞姆）必定博得了上帝的歡喜(It pleased the dear Lord.),。

小引：之所以一般用字母 p 表示冪次數(shù),，是因?yàn)閮绲挠⑽氖?power。冪函數(shù)(power function),，楊冪=楊平方

秦九韶,、李冶、朱世杰之比較

南秦北李一時(shí)瑜亮,，相得益彰

秦九韶的《數(shù)書九章》與李冶的《測(cè)圓海鏡》幾乎同時(shí)完成,，甚至不約而同地引入了記號(hào)〇，但他們從未提到對(duì)方的工作,，也許他們根本不認(rèn)識(shí)對(duì)方,。事實(shí)上，他們分別屬于兩個(gè)敵對(duì)的王朝,，秦李二人的工作（求解與建立方程）互為補(bǔ)充,，交相輝映。二者合在一起,，正是中國(guó)古代數(shù)學(xué)黃金時(shí)代的標(biāo)志,。

朱世杰集眾家之大成后來(lái)居上

與宋代的秦、李,、楊不同,，朱世杰一生未入仕途，以數(shù)學(xué)名家之身份周游湖海二十余年,，吸收并發(fā)展了秦,、李、楊,、郭的成就,。他的成就大概可以用丘成桐先生的一副楹聯(lián)來(lái)形容：

地有南北，無(wú)疆域始成大業(yè),；

學(xué)無(wú)先后,，有德才方是賢人。

道古橋的故事

當(dāng)代數(shù)學(xué)家蔡天新是秦九韶超級(jí)粉絲,，他曾“突發(fā)奇想”,，建議并敦促杭州市政府為紀(jì)念秦九韶的道古橋復(fù)名立碑。這一建議后來(lái)被采納,，并請(qǐng)數(shù)學(xué)家王元（華羅庚的弟子）題寫了橋名,。這正是七百多年前的一段數(shù)學(xué)佳話的回響：

1238 年,，秦九韶回臨安丁父憂，見河上無(wú)橋,，兩岸人民往來(lái)很不便,，便親自設(shè)計(jì)，再通過(guò)朋友從府庫(kù)得到銀兩資助,，在西溪河上造了一座橋,。橋建好后，原本沒(méi)有名字,，因橋建在西溪河上,，習(xí)慣上被叫作“西溪橋”。直到元代初,，另一位大數(shù)學(xué)家、游歷四方的北方人朱世杰來(lái)到杭州,，才倡議將“西溪橋”更名為“道古橋”,，以紀(jì)念造橋人、他所敬仰的前輩數(shù)學(xué)家秦九韶,，并親自將橋名書鐫橋頭,。

秦九韶、朱世杰,、王元和蔡天新,，讓道古橋變成了一座有故事的橋。它起初只是橫跨西溪,，而如今已經(jīng)縱貫古今,，連接了前后七八百年的數(shù)學(xué)家，是數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化的活字碑,。

蔡天新教授在道古橋邊留影（蔡天新教授提供）

數(shù)學(xué)在中國(guó)與西方地位之不同

數(shù)學(xué)在中國(guó)古代不受重視是有深刻的社會(huì)文化因素的,，丘成桐先生在其文《數(shù)學(xué)和中國(guó)文學(xué)的比較》一文中有透辟的分析：

自古以來(lái)，中國(guó)儒家就將數(shù)學(xué)放在六藝之末,，只是一門輔助性的學(xué)問(wèn),。當(dāng)政者（更不用說(shuō)等閑之輩）更視之為雕蟲小技，與文學(xué)比較,，連歌頌朝廷的功能都沒(méi)有,，政府對(duì)數(shù)學(xué)的重視直到近代才有極大的改進(jìn)。

西方則不然,，希臘哲學(xué)以數(shù)學(xué)為萬(wàn)學(xué)之基,。柏拉圖以通幾何為入其門檻之先決條件，所以數(shù)學(xué)家占有崇高地位,，數(shù)學(xué)因此在西方蓬勃發(fā)展了兩千多年,。

魯豫有約：數(shù)學(xué)家的藝術(shù)人生

宋元之后的數(shù)學(xué)

明朝數(shù)學(xué)

宋元之后,，數(shù)學(xué)衰微了。但明朝有兩件事情對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展有重要的影響,，特別值得一提,。

⑴、《永樂(lè)大典》（ 成書11095冊(cè),，“世界有史以來(lái)規(guī)模最大的百科全書”）的編撰,，這讓宋元時(shí)代以及更早的數(shù)學(xué)著作得以保存，可惜《永樂(lè)大典》留存不全,，現(xiàn)存的除大陸和臺(tái)灣,，其它地方如日本、美國(guó),、英國(guó),、德國(guó)、越南,、韓國(guó)都非法占有,。我們所展示的楊輝三角就取自英國(guó)劍橋大學(xué)圖書館收藏的一冊(cè)《永樂(lè)大典》（感謝中科院數(shù)學(xué)所李文林教授）。

⑵,、意大利傳教士利瑪竇（Matteo Ricci）1600 年到北京,，與徐光啟合譯歐幾里得《幾何原本》前六卷，這是西方數(shù)學(xué)傳入中國(guó)的開端,。利瑪竇（醉翁之意不在酒）旨在傳教,，因此只配合徐光啟翻譯了前六卷。200多年后,，其后的九卷由李善蘭和英國(guó)人偉烈亞力（ Wylie ）合作翻譯而成,。

清朝數(shù)學(xué)

中國(guó)歷史上有三個(gè)帝王對(duì)科學(xué)感興趣：北宋仁宗趙禎、元世祖忽必烈（禮遇李冶）,、清康熙皇帝,。但對(duì)數(shù)學(xué)最有興趣的首推康熙。[從世界的眼光來(lái)看,，則有俄國(guó)的彼得大帝,、法蘭西帝國(guó)的始皇帝拿破侖、新加坡現(xiàn)任總理李顯龍,，中國(guó)國(guó)家副主席李源潮]

萊布尼茲曾給彼得大帝和康熙大帝寫親筆信,，建議成立科學(xué)院。

彼得很有眼光,，在圣彼得堡建立了科學(xué)院并邀請(qǐng)歐拉（Euler）到此工作,，俄國(guó)的數(shù)學(xué)一下子前進(jìn)了幾百年。彼得要求臣子們都學(xué)數(shù)學(xué)：“老子都能學(xué)會(huì)，你們都得給老子學(xué)會(huì),！”

康熙也學(xué)數(shù)學(xué),，并要求臣子學(xué)，但他是這么說(shuō)的：“看你們多蠢,，這玩意只有老子能學(xué)會(huì),！”他只是想借此炫耀自己聰明高人一等，根本沒(méi)有想過(guò)要把數(shù)學(xué)作為一門學(xué)問(wèn)一股動(dòng)力來(lái)發(fā)展,。

康熙學(xué)數(shù)學(xué)的故事我不是權(quán)威,，因此只能點(diǎn)到為止。最近牛津大學(xué)出了一本專著講這個(gè)故事,，作者Catherine Jami的中文名詹嘉玲,。

清朝的歷史有個(gè)特點(diǎn)：從康熙到雍正之過(guò)渡非常之激蕩劇烈，正史似乎沒(méi)有交代明白,，不過(guò)這在曹雪芹的《紅樓夢(mèng)》一書中有深刻的反映,。

雍正元年（1723年），雍正下令將西洋傳教士驅(qū)逐到澳門,，此后一百余年,，西方數(shù)學(xué)的傳入中止。（老子勤學(xué)好問(wèn),，兒子不學(xué)無(wú)術(shù)！）

乾隆三十八年（1773年）,，朝廷組織編輯《四庫(kù)全書》,、輯錄《永樂(lè)大典》，發(fā)現(xiàn)了宋元數(shù)學(xué)家如楊輝,、秦九韶,、朱世杰、李冶的名著,，掀起研究古典數(shù)學(xué)的高潮,。出現(xiàn)了許多創(chuàng)造性的工作，特別值得一提的是李善蘭,。

李善蘭,，1811-1882，浙江海寧人,，清代數(shù)學(xué)家,、數(shù)學(xué)教育家。他的突出貢獻(xiàn)是繼承,、發(fā)展了朱世杰的“垛積術(shù)”,，這總結(jié)在他的四卷本著作《垛積比類》中。特別的，他提出了一個(gè)新的組合恒等式,，后人稱之為李善蘭恒等式,。有興趣的讀者可見華羅庚的小冊(cè)子《數(shù)學(xué)歸納法》或者我本人掛在善科網(wǎng)上的小文章：林開亮：誰(shuí)人最愛李善蘭？

作為19世紀(jì)“極客”的李善蘭

高德納(D.E.Knuth),，美國(guó)計(jì)算機(jī)科學(xué)家,、數(shù)學(xué)家,1974 年圖靈獎(jiǎng)獲得者、計(jì)算機(jī)算法和程序設(shè)計(jì)技術(shù)的先驅(qū),，著有編程圣經(jīng)《計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)藝術(shù)》,。他在2014年的一個(gè)訪談里提到了李善蘭，把李善蘭和歷史上的多位大數(shù)學(xué)家一并列為19世紀(jì)的“極客”同行,。

我要解釋的是極客（美國(guó)俚語(yǔ)“geek”的音譯,。隨著互聯(lián)網(wǎng)文化的興起，這個(gè)詞含有智力超群和努力的語(yǔ)意,，又被用于形容對(duì)計(jì)算機(jī)和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)有狂熱興趣并投入大量時(shí)間鉆研的人）,。世界人口的一小部分已經(jīng)獲取了一種特殊的思維方式，我碰巧也在其中,。為簡(jiǎn)單起見,，讓我說(shuō)像我這這樣的人是“極客”，他們約占世界人口的2%,。

那么,，19 世紀(jì)早期的極客都有誰(shuí)呢？我認(rèn)為,，在1814 年之前出生的極客（雖然他們一般被認(rèn)為是數(shù)學(xué)家）,，有阿貝爾（1802 年），雅可比（1804 年）,、哈密爾頓（1805 年）,、柯克曼（1806 年）、德·摩根（1806 年）,、劉維爾（1809 年）,、庫(kù)默爾（1810 年）和中國(guó)的李善蘭（1811 年）。我列出的這些“數(shù)學(xué)家”的著作令我著迷,。1814 年以后出生的極客,，有卡特蘭（1814 年）、西爾維斯特（1814 年）,、布爾（1815 年）,、維爾斯特拉斯（1815 年）和博爾夏特（1817 年）。我會(huì)喜歡與這些人為伍,，如果幸運(yùn)的話,，我可能也會(huì)做著與他們類似的事,。

順便說(shuō)一句，我認(rèn)為歷史上第一個(gè)歸類為“百分之百極客”的人是圖靈（電影《模仿游戲》的主人公原型）,。他的許多前輩有很強(qiáng)的極客癥狀,，但圖靈確實(shí)是完全地“極客”化了。

作為翻譯家的李善蘭

前面我們已經(jīng)提到李善蘭的翻譯工作,，例如他與偉烈亞力翻譯了歐幾里得《幾何原本》后九卷,，他們還合譯了德·摩根的《代數(shù)學(xué)》，美國(guó)數(shù)學(xué)家羅密士（E. Loomis）的微積分著作《代微積拾級(jí)》,，還與偉烈亞力,、傅蘭雅（J. Fryer）翻譯了牛頓（Newton）的《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》。

李善蘭確立了一些科學(xué)名詞的翻譯,，如微積分（calculus）中的微分（differentiation ） ,、積分（integration ） 、函數(shù)（function ）,；我們今天所講的對(duì)應(yīng)的離散概念：差分（difference）,、求和（summation）、數(shù)列（sequence）,。

推薦讀物

1. 蔡天新《數(shù)學(xué)傳奇》商務(wù)印書館    2016

（他的新浪博客,、他在“愛課程網(wǎng)”上的同名公開課視頻）

2.華羅庚《從楊輝三角談起》、《數(shù)學(xué)歸納法》

3. 陳景潤(rùn)《組合數(shù)學(xué)》

4.貝爾《數(shù)學(xué)大師：從芝諾到龐加萊》

5. 庫(kù)克《當(dāng)代大數(shù)學(xué)家畫傳》,，林開亮等譯

6. 柯朗,、羅賓，《什么是數(shù)學(xué),？》

7. 波利亞,，《怎樣解題》

8. 丘成桐，“數(shù)學(xué)與人文”叢書,，《大宇之形》

9.I. M. Gelfand 自述，見 數(shù)學(xué)縱貫線,，http://mp.weixin.qq.com/s/3o7UK9R5GYLAe1aNaWzTuQ

10. 林開亮,，微積分之前奏（或變奏）：高階等差數(shù)列的求和}，《數(shù)學(xué)傳播》,2017年第1期,，61-79

11. 呂埃勒,，《數(shù)學(xué)與人類思維》，林開亮,、王兢,、張海濤譯http://www./html/newgc/2016/0127/25908.html 最后的思考題

求出下列算式的和；進(jìn)一步,，你可以將結(jié)果推廣嗎,？

本報(bào)告強(qiáng)調(diào)的不僅僅是技巧而是一種方法。那么，方法與技巧的差別在哪里呢,？數(shù)學(xué)家波利亞（G. Polya）對(duì)此有精辟見解：

方法與技巧的差別在哪里：方法就是放之四海而皆準(zhǔn)的技巧,。

石家莊站報(bào)告中的提問(wèn)

問(wèn)題1：為什么要把 

寫成更復(fù)雜的形式？

答：

的上述分解主要是為了求和的方便,，由上式可以立即（根據(jù)朱世杰恒等式）推出求和式(4),。

這個(gè)方法在精神上跟曹沖稱象的故事很接近，

就好比是一頭大象,，直接稱重不好稱,，那么我們把它分解了，于是每一部分都好稱了,，各個(gè)擊破,，問(wèn)題就解決了。

所以,， 

那么寫看起來(lái)是弄復(fù)雜了,，其實(shí)每一部分都更簡(jiǎn)單了。

問(wèn)題2：請(qǐng)老師給講一講導(dǎo)數(shù)的概念

答：導(dǎo)數(shù)的概念很微妙,，需要用到一個(gè)更基本的概念,，極限。因此我著重解釋一下極限的概念,，理解了極限,，導(dǎo)數(shù)就容易了。

非誠(chéng)勿擾來(lái)的例子,。比方：幸福是一種理想情況,。怎樣才算幸福？如果你能容忍許多微小的不幸福,，那就是幸福了,。

極限（以及導(dǎo)數(shù)）概念之微妙，可與愛情相提并論：Math is like love, a simple idea, but it can get complicated. （數(shù)學(xué)就像愛情,，想法是簡(jiǎn)單的,，但它可以搞得很復(fù)雜！）

最新科普書：《愛與數(shù)學(xué)》Love and Math

http://www./lovemath/

問(wèn)題3 （一位孩子家長(zhǎng)代替沒(méi)法來(lái)聽講座的孩子問(wèn)）：最后那個(gè)思考題的答案是什么,？跟明天的考試有沒(méi)有關(guān)系,？

回答：具體答案我不能說(shuō)，這是留給學(xué)生的問(wèn)題,，要讓TA去思考,，事實(shí)上剛才有同學(xué)已經(jīng)想到了答案。這個(gè)問(wèn)題跟明天的考試不一定有關(guān)系,，但思考一下會(huì)很有好處,。

我這里傳授的不僅僅是知識(shí),，更重要的是考慮問(wèn)題的一種方法。我要特別補(bǔ)充一句,，學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)不在公式,，而且根本不存在萬(wàn)能的公式。但存在著解決問(wèn)題的萬(wàn)能方法：trial and error（試探并糾錯(cuò)）,。So,  try it first!（先試試?。?/p>

最后，我將楊振寧先生勉勵(lì)年輕人的一句話轉(zhuǎn)送給諸位：

A  young  calf  does  not  know  enough  to  fear  the  tiger.

初生牛犢不怕虎

作者：林開亮