到底什么是推理呢,？如果我們知道所有的松鼠都屬于嚙齒目，所有的嚙齒目動(dòng)物都是哺乳動(dòng)物,，所有的哺乳動(dòng)物都是脊椎動(dòng)物,，所有的脊椎動(dòng)物都是動(dòng)物，我們就可以推導(dǎo)出一個(gè)結(jié)論：所有的松鼠都是動(dòng)物,。推理讓我們得到了這個(gè)結(jié)論,，這背后是一套連續(xù)的推導(dǎo)：所有的松鼠都是哺乳動(dòng)物，因此所有松鼠都是脊椎動(dòng)物,，因此所有的松鼠都是動(dòng)物,。

這個(gè)推理簡單得不能再簡單了，但它的結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)推理在本質(zhì)上并無二致,。無論哪種推理,，都是由一系列命題構(gòu)成的，每個(gè)命題都是用先前的命題通過邏輯得出的,，也就是按照“演繹推理規(guī)則”構(gòu)造的,。在此情況下，我們把同一個(gè)規(guī)則連用了三次：如果我們已經(jīng)知道所有的 Y 都是 X,，所有的 Z 都是 Y,，就可以推導(dǎo)出所有的 Z 都是 X 。

古希臘的哲學(xué)家為我們總結(jié)了最初的演繹規(guī)則,，它可以讓推理進(jìn)行下去,，也就是從已證的命題演繹出新的命題。例如，上述這條規(guī)則要?dú)w功于亞里士多德,，他提出了一套叫作“三段論”的規(guī)則,。三段論的另一種形式是“有些……是……”：如果知道所有的 Y 都是X，有些 Z 是 Y,，我們就可以演繹出有些 Z 是 X ,。

亞里士多德并不是唯一一位對演繹規(guī)則感興趣的古代哲學(xué)家。公元前 3 世紀(jì)的斯多葛學(xué)派提出了另一套規(guī)則,。例如,，如果有命題“如果 A，那么 B ”和命題 A,，則有一條規(guī)則可以演繹出命題 B,。

這兩派總結(jié)演繹規(guī)則的嘗試，正值從計(jì)算轉(zhuǎn)向推理的方法論革命之后,，古希臘算術(shù)和幾何的蓬勃發(fā)展時(shí)期,。因此我們可以想見，古希臘的數(shù)學(xué)家會使用亞里士多德或者斯多葛的邏輯來進(jìn)行推理,。比如,，在證明一個(gè)平方數(shù)不可能是另一個(gè)平方數(shù)的兩倍時(shí)，就可以用到三段論,。奇怪的是,，事實(shí)并非如此，盡管古希臘哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家很顯然是志同道合的,。比如,，在公元前 3 世紀(jì)，歐幾里得寫了一篇專著,，綜合了他那個(gè)時(shí)代的幾何知識,。他的專著結(jié)構(gòu)完全是演繹式的，其中提到的每一件事都給出了推理證明,，但歐幾里得卻從來沒有用到過亞里士多德或斯多葛的邏輯,。

有幾種假設(shè)可以來解釋這件事。最可能的一種假設(shè)是說,，數(shù)學(xué)家沒有使用亞里士多德或斯多葛的邏輯,，是因?yàn)樗鼈兲植诹恕Ｔ谒苟喔鸬倪壿嬛?，可以用來推理的是“如?nbsp;A,，那么 B”形式的命題，其中 A 和 B 是所謂的“原子命題”,，表述了一個(gè)簡單事實(shí),，比如“蘇格拉底必死”或者“天亮了”,。于是，斯多葛邏輯的命題就是用“如果……那么……”“和”“或”等連詞聯(lián)系起來的一些原子命題,。這是一種非常貧乏的語言設(shè)計(jì),，里面只有兩種語法類別——原子命題和連詞。它并沒有考慮到原子命題,，比如“蘇格拉底必死”可以拆分成主詞“蘇格拉底”和謂詞（或?qū)傩裕氨厮馈薄?/p>

亞里士多德的邏輯和斯多葛不同,，它承認(rèn)了“謂詞”的概念。推理中出現(xiàn)的 X,、Y,、Z 表達(dá)就恰恰是謂詞——松鼠、嚙齒目,、哺乳動(dòng)物……然而,，亞里士多德的邏輯中并沒有“專有名詞”，即指代個(gè)人或物體的名詞,，比如“蘇格拉底”,。這是因?yàn)椋瑢τ趤喞锸慷嗟聛碚f,，科學(xué)并不關(guān)心蘇格拉底這樣的特定個(gè)人,，而是僅僅關(guān)心廣義的概念，比如“人”“必死”……所以,，人們常常用來舉例的三段論——“所有人都是必死的，蘇格拉底是人,，所以蘇格拉底是必死的”——并不會出現(xiàn)在亞里士多德的邏輯中,。對他來說，三段論應(yīng)該是：“所有人都是必死的,，所有哲學(xué)家都是人,，所以所有哲學(xué)家都是必死的?！彼哉f,，在亞里士多德的邏輯中，命題并不是由主詞和謂詞構(gòu)成的,，而是由兩個(gè)謂詞和一個(gè)泛指代詞“所有”或“某些”構(gòu)成的,。直到中世紀(jì)末，亞里士多德的邏輯才得到拓展,，加入了專有名詞“蘇格拉底”等單稱項(xiàng),。然而，即使有了這樣的拓展,，亞里士多德的邏輯對于表達(dá)某些數(shù)學(xué)表述來說還是太粗糙了,。有了單稱項(xiàng)“4”和謂詞“偶數(shù)”,，我們當(dāng)然可以構(gòu)造命題“4 是偶數(shù)”，但它卻沒有辦法構(gòu)造命題“4 比 5 小”,，因?yàn)椤芭紨?shù)”只作用于單個(gè)對象,，而謂詞“比……小”與之不同，它要作用于兩個(gè)對象,，即“4”和“5”,，并讓兩者形成一個(gè)關(guān)系。同理,，它也沒有辦法構(gòu)造命題“直線穿過了點(diǎn) A”,。

我們現(xiàn)在明白了，為什么古希臘的數(shù)學(xué)家沒有使用同時(shí)代哲學(xué)家提出的邏輯來進(jìn)行新生的算術(shù)和幾何推理——因?yàn)檫@些邏輯不夠豐富,，做不到,。在非常長一段時(shí)期內(nèi)，如何構(gòu)造一套豐富的,、足以支撐數(shù)學(xué)推理的邏輯這一問題似乎并沒有引起多少人的興趣,。除了個(gè)別人的幾次嘗試之外，比如 17 世紀(jì)萊布尼茨所做的研究,，直到 19 世紀(jì)末的 1879 年,，戈特洛布·弗雷格才重新拾起了這個(gè)問題，并提出了一套邏輯,。但是,，一直等到阿爾弗雷德·諾思·懷特海與伯特蘭·羅素在 20 世紀(jì)初提出類型論，并且大衛(wèi)·希爾伯特在 20 世紀(jì) 20 年代提出了謂詞邏輯之后,，這些工作才取得了具體的成果,。

不過，我們還是先繼續(xù)看看古希臘的數(shù)學(xué)吧,。雖然沒有顯式的演繹規(guī)則來構(gòu)造數(shù)學(xué)推理,，但這并沒有讓數(shù)學(xué)止步不前。直到 19 世紀(jì),，數(shù)學(xué)命題的語法和演繹規(guī)則只不過不那么明確而已,。這種情況在科學(xué)史上屢見不鮮——在缺乏工具的時(shí)候，人們就會想方設(shè)法對付一下,，而這些變通又常常為工具的出現(xiàn)奠定了基礎(chǔ),。

不過對于幾何而言，歐幾里得明確提出了“公理”的概念：這是無需證明的事實(shí),，也是構(gòu)造證明的基礎(chǔ),。特別是著名的平行公理，用現(xiàn)代的形式表述是這樣的：過給定直線外一點(diǎn),，有且僅有一條直線與之平行,。

長期以來,，歐幾里得的專著《幾何原本》一直都被視為數(shù)學(xué)方法的原型：先提出公理，然后利用顯式或隱式的演繹規(guī)則,，由公理證明定理,。從這個(gè)角度來看，推理才是解決數(shù)學(xué)問題的唯一途徑,，這也反映出古希臘數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家對于推理的重視,。

古希臘數(shù)學(xué)家利用公理化方法發(fā)現(xiàn)了一種新的數(shù)學(xué)。也許,，他們還曾試圖理解這種新的數(shù)學(xué)是如何從美索不達(dá)米亞人和古埃及人更古老數(shù)學(xué)的發(fā)展而來的,。如果古希臘人真的這樣做了，他們就應(yīng)該會去思考如何將計(jì)算和推理融合起來,。然而這并不是他們的目的——相反,，他們將過去一抹而凈，完全拋棄了計(jì)算,，而代之以推理,。

正因如此，在古希臘之后,，計(jì)算在數(shù)學(xué)大廈之中就難有立錐之地了,。