從理解到行動的三個策略 

□ 王 嵐 

       對于素養(yǎng)、核心素養(yǎng),、學科核心素養(yǎng),，諸多專家給出了各種論述,。在一線教師眼里，核心素養(yǎng)這一概念并非從無到有的全新建構(gòu),，而是對“帶得走的能力”與“留下來的東西”這些傳統(tǒng)共識的學術(shù)表達,。作為數(shù)學教師，我常常自問：數(shù)學給予孩子帶得走的能力是什么,？忘卻了所有的數(shù)學概念,、公式與原理之后留下來的又是什么？我的答案是數(shù)學的眼光,、數(shù)學的思維與數(shù)學的表達,。因此在實踐中，我不斷引領(lǐng)兒童感受數(shù)學式的生長,，經(jīng)歷數(shù)學家的研究,，嘗試數(shù)學味的表達。

感受數(shù)學式的生長

       英國學者P.歐內(nèi)斯特說：“數(shù)學教學的問題并不在于教學的最好方式是什么,，而在于數(shù)學是什么,。”這里的數(shù)學,，不是某一個版本的數(shù)學教材,，而是你和學生共同建構(gòu)的“自己的數(shù)學”。

       讓兒童看到數(shù)學的發(fā)生與發(fā)展,，讓兒童親歷知識的成長與演化，是核心素養(yǎng)視野下教師應有的嘗試,。如各個版本的異分母分數(shù)加減法,，教材給出的思路大多是先通分轉(zhuǎn)化為同分母分數(shù)后再相加減。然而,，對于異分母分數(shù)加減法這一新的內(nèi)容,，不同的學生完全可以建構(gòu)不一樣的數(shù)學式的生長。教師需要做的是看到“每一個兒童”,，激活不同的學習經(jīng)驗,，幫助學生在新舊知識間建立起數(shù)學的連接。有的學生把異分母分數(shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù),，有的把異分母分數(shù)轉(zhuǎn)化為同分母分數(shù),，有的把異分母分數(shù)加上單位轉(zhuǎn)化為整數(shù)，有的借助線段圖,，等等,。在此基礎上，教師需要引導學生觀察不同之中的相同,，也就是尋找到數(shù)學的本質(zhì),。盡管形式看似各不相同,，但其實質(zhì)都是相同的，都是將不同的計數(shù)單位轉(zhuǎn)化為相同的計數(shù)單位,，都能借助原有認知結(jié)構(gòu)中的資源進行轉(zhuǎn)換,、解釋與應用。而這樣的過程,，以“轉(zhuǎn)化”思想方法為內(nèi)核,，幫助每一個兒童感受到數(shù)學知識之間的結(jié)構(gòu)性關(guān)聯(lián)與建構(gòu)式生長。

經(jīng)歷數(shù)學家的研究

       如果我們把數(shù)學的公式,、概念,、原理形象地比作各類維生素，那么兒童的數(shù)學學習不應該來源于食之無味的維生素片,，而應來源于富含各種維生素的美味果蔬,。在實踐中認識數(shù)學，在實踐中研究數(shù)學,，在實踐中發(fā)展數(shù)學,，是兒童學習與研究數(shù)學的應有路徑。

       蘇教版教材中新增內(nèi)容《釘子板上的多邊形》,，就是引領(lǐng)學生經(jīng)歷數(shù)學家式研究的好素材,。從“釘子板上的多邊形面積會與什么有關(guān)”的思考，進而發(fā)現(xiàn)與圖形內(nèi)部的釘子數(shù)及邊上的釘子數(shù)都有關(guān)系,，需要在兩個變量中選擇一個作為不變量,，從而關(guān)注另一個變量與面積之間的關(guān)系。然后在有序思考的經(jīng)驗影響下,，分別研究內(nèi)部釘子數(shù)為0,、1、2,、3……時,，邊上釘子數(shù)與面積之間的關(guān)系，并進行大量舉例驗證,，嘗試不完全歸納,。最后從一系列規(guī)律的探尋中進行整體建構(gòu)，從而得到釘子板上圖形面積,、內(nèi)部釘子數(shù),、邊上釘子數(shù)的關(guān)系式。而在這樣的學習過程中,，學生不斷進行假設,、驗證，從一條規(guī)律到一群規(guī)律，從一群規(guī)律再上升到統(tǒng)一規(guī)律,。這樣的研究,，已經(jīng)呈現(xiàn)出類似于數(shù)學家研究的“準實驗”過程。而事實上,，孩子們最終的研究成果就是數(shù)學家所發(fā)現(xiàn)的“皮克定理”,。當孩子們看到自己的研究與科學家的成果一致時，研究中的方法,、合作時的共享,、發(fā)現(xiàn)后的喜悅、被肯定的歡欣,，必定長久留存在記憶之中,。

嘗試數(shù)學味的表達

       每一個人都是一個自我建構(gòu)者，兒童也不例外,。在與生活的交互中,，與數(shù)學的對話中，兒童正在不斷嘗試用自己的方式建構(gòu)數(shù)學,，用自己的語言表達數(shù)學,。這樣的建構(gòu)過程，是一個輸入與輸出交換的過程,，也是一個外顯與內(nèi)化互動的過程,。

       在《用數(shù)對確定位置》的教學中，教師就可以鼓勵學生用自己的方式表達數(shù)學,。通過對若干個第幾列第幾行的位置進行記錄,，讓學生覺得全部記錄有困難，從而自覺產(chǎn)生簡化的需求,。事實上,，這樣的過程本身就是一個數(shù)學化表達的過程。以一個例子進行多樣化分享,，有的記錄為5列3行，有的記錄為5|3-,，有的記錄為列5行3,，有的記錄為5 3，有的記錄為5.3,，有的記錄為5,3,，等等，通過討論與交流形成共識,。簡化的過程有一個“順序”問題——先講“列”再說“行”,；有一個“關(guān)鍵”問題——簡化過程中5和3都要保留；再有一個“區(qū)分”問題——用符號將5和3隔開，且不會與原有的數(shù)學表達產(chǎn)生混淆,；還有一個“整體”問題——第5列第3行的位置是一個整體,，缺一不可。在討論中調(diào)整,，在分享中優(yōu)化,，最終形成全班都認可的數(shù)學表達（5,3），而這恰好就是通用的表達方式,。

       數(shù)學核心素養(yǎng),，需要我們建構(gòu)個性化理解，更需要我們進行個性化實踐,。從教法設計轉(zhuǎn)向?qū)W法指導,，從知識發(fā)生走向素養(yǎng)發(fā)展，使數(shù)學學習成為師生同研共創(chuàng)的美好過程,。

    （作者單位系江蘇省常州市武進清英外國語學校）

 內(nèi)化數(shù)學智慧 

□ 吳 澤  

       核心素養(yǎng)的提出,，讓教育更加清楚地看見了方向，但是學生的數(shù)學核心素養(yǎng)到底是什么,？又從何而來,？在課堂教學中，我們又應該怎樣培養(yǎng)呢,？

       所謂的數(shù)學核心素養(yǎng),，不僅僅是關(guān)注學生對知識目標與技能目標的掌握，更應該關(guān)注學生是否能夠用數(shù)學的思維方式觀察事物,、分析社會現(xiàn)象,，從而解決現(xiàn)實中的問題，使學生真正形成數(shù)學素養(yǎng),。學生的數(shù)學素養(yǎng)包括：思考問題的方式是否理性,，是否具有發(fā)散性思維能力；是否具有創(chuàng)新意識,，從不同的角度看待同一事物,，用創(chuàng)造性思維解決問題；是否具有穩(wěn)定的個性心理品質(zhì)……

       數(shù)學核心素養(yǎng)來自于學生的思考,、質(zhì)疑,。反思是重要的思維活動，是思維活動的核心和動力,。好的問題是學生創(chuàng)新意識的萌芽,，學生是否能夠提出問題，并且提出有價值的問題,，必須引起教師的高度重視,。教師要善于激發(fā)學生的興趣，引起學生內(nèi)心的沖突，從而引導學生在“互辯”中尋求最佳方案,，使學生的探究意識在“沖突——平衡——再沖突——再平衡”的不斷循環(huán)和矛盾中得到強化,。教師帶領(lǐng)學生不斷反思，帶著這些問題去思考,，去探究,，不斷“咀嚼與回味”，然后進行多角度的觀察與聯(lián)想,，從而找到更多的思維通道,。這樣才能真正提升學生的思維能力，促進學生創(chuàng)新意識的產(chǎn)生,。

       數(shù)學核心素養(yǎng)源于學生是否具有創(chuàng)新意識,，是否具有創(chuàng)造性思維能力。許多學生學習數(shù)學僅僅是為了做幾道題,，并未真正產(chǎn)生創(chuàng)新意識,。創(chuàng)新意識需要教師在教學過程中充分挖掘?qū)W生的內(nèi)在潛力，充分觸及學生的內(nèi)在動力,，從而培養(yǎng)出創(chuàng)造性思維能力,。數(shù)學的思維方式包括觀察、想象,、猜想,、驗證、比較,、歸納,、抽象、概括等,，其中概括是核心,。教師引導學生用數(shù)學的思維方式進行思考比讓學生學會數(shù)學知識更重要。學生一旦遇到新情況新問題,，能夠及時將自己頭腦中的認知重新調(diào)整和整合,，用敏銳的觀察力、判斷力,、想象力,，迅速抓住問題的實質(zhì)，并創(chuàng)造性地解決相應問題,。這樣才能真正培養(yǎng)出具有創(chuàng)新意識、創(chuàng)新能力的人,。

       數(shù)學核心素養(yǎng)需要學生具有穩(wěn)定的個性心理品質(zhì),、堅強的意志力。數(shù)學課堂教學是培養(yǎng)學生意志力的重要基地，需要教師真正將課堂還給學生,，讓學生自主學習,，獨立思考，自己解決問題,，然后經(jīng)過認真閱讀,，耐心地反復觀察、思考,、分析,，最終找到最合適的解決方法，通過這樣的過程,，培養(yǎng)學生獨立,、認真、仔細,、合作,、踏實的科學態(tài)度和不怕困難、勇于挑戰(zhàn),、持之以恒的探究精神,。學生的綜合實力往往是在問題解決過程中形成的，也只有通過讓學生充分感受解決問題的過程,，才能夠真正豐富學生的情感體驗,，從而為學生的可持續(xù)發(fā)展打下堅實的基礎。正是有了這種數(shù)學體驗的過程,，學生才能夠形成良好的數(shù)學學習習慣和穩(wěn)定的個性心理品質(zhì),。

       總之，培育數(shù)學核心素養(yǎng)必須做到以下四句話：讓學生經(jīng)歷學習數(shù)學的過程,，找到學習數(shù)學的方法,，悟得數(shù)學的思想，內(nèi)化成一種數(shù)學的智慧,。

    （作者單位系四川省綿陽市外國語學校）

走向問題化學習 

□ 喬翠琴 

       核心素養(yǎng)是學生最重要的素養(yǎng),，就數(shù)學而言，核心素養(yǎng)絕不是簡單的知識與技能的疊加,。我認為,，落實核心素養(yǎng)的主陣地在課堂。核心素養(yǎng)與課堂之間到底有多遠,？這一直是我不斷探索,、求知的問題。

解決問題：回歸學習本質(zhì)

       縱觀人類社會,，無論是思想發(fā)展史,、社會進步史,、技術(shù)革新史、數(shù)學發(fā)展史,，無一不是在不斷發(fā)現(xiàn)問題后解決問題,，又在解決問題中發(fā)現(xiàn)新問題……周而復始得以發(fā)展。而我們的課堂教學往往忽略了這一點,，只注重知識的理解,、技能的應用，導致學生毫無興趣,，感覺數(shù)學學習乏味而無用,。所以，回歸對問題的探求應是學習的本真,。

       數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象,，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程,。主要包括：在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題,、提出問題、分析問題,、構(gòu)建模型,、求解結(jié)論、驗證結(jié)果并改進模型,，最終解決實際問題,。數(shù)學模型搭建了數(shù)學與外部世界的橋梁，是數(shù)學應用的重要形式,。數(shù)學建模是應用數(shù)學解決實際問題的基本手段,，也是推動數(shù)學發(fā)展的動力。在數(shù)學建模過程中,，學生能夠在問題情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題,；能夠針對問題建立數(shù)學模型；能夠運用數(shù)學知識求解模型,，并嘗試基于現(xiàn)實背景驗證模型和完善模型,；能夠提升應用能力，增強創(chuàng)新意識,。

       下面通過課堂實例《余弦定理》第一課時導入為例,，介紹我在課堂教學中培育學生學科素養(yǎng)的做法。

       本節(jié)課的目標是通過對三角形邊角關(guān)系的探究,，從向量,、解析幾何的方法、三角方法等多種途徑證明余弦定理,；能夠應用余弦定理及其推論解決簡單的三角問題,。

       我設置了這樣的問題情境：隧道工程設計經(jīng)常要測算山腳的長度,。工程技術(shù)人員先在地面選一適當位置A，量出A到山腳B,、C的距離，再利用經(jīng)緯儀測出A對山腳BC的張角,，最后通過計算得到山腳長度BC,。同學們，你能解決這個問題嗎,？這樣就把實際問題轉(zhuǎn)化成為數(shù)學問題,。

改變課堂模式：問題化學習

       從教師講授的課堂轉(zhuǎn)變?yōu)橐詫W生學習為中心的課堂，其關(guān)鍵在于“問題化學習”,。這就要求教學設計要以學生學習為主線,，在課堂給予學生充分的時間發(fā)現(xiàn)問題、解決問題,。學生在對問題的追尋中順其自然地形成知識體系：從小范圍到大范圍,，從低結(jié)構(gòu)到高結(jié)構(gòu)，從模塊結(jié)構(gòu)到學科結(jié)構(gòu),，甚至跨越學科界限,，構(gòu)建一個完整的知識體系。從而讓學生自己體會知識的構(gòu)建,，在問題與問題的解決中認識學習的必要性,，密切聯(lián)系知識與真實世界，主動參與到學習中來,。

       在等比數(shù)列的教學中,，我一般先讓學生類比等差數(shù)列，推導出等比數(shù)列性質(zhì),，并幫助學生尋找等差與等比數(shù)列的異同點,。在做等比數(shù)列的題目時也類比等差數(shù)列的解題方法，從而能夠解決這兩類數(shù)列問題,。

       我希望通過“類比——發(fā)現(xiàn)——自悟”的教學流程,，引導學生體會類比在數(shù)學教學中的三個維度：一維——知識結(jié)構(gòu)上的類比；二維——證明方法上的類比,；三維——學生自主的理性思想方法的類比,。

       這樣的教學模式，有利于激發(fā)學生的思維,，使學生在比較,、辨析中掌握類比的思想方法，利于學生學科核心素養(yǎng)的生成,。

    （作者單位系山西省太原市第十九中學）

 在擴展思維中滲透思想 

□ 李秋萍 

       數(shù)學核心素養(yǎng)是什么,？我認為,，在中小學學習階段，數(shù)學核心素養(yǎng)大致包含如下幾個方面：數(shù)學運算,、直觀想象,、數(shù)學建模、數(shù)學抽象,、數(shù)據(jù)分析,、邏輯推理等。其中,，數(shù)學運算,、邏輯推理是最具有數(shù)學特點和功能的最基本的兩種素養(yǎng)。

       人們在長期的學習中,，會受到所學知識的影響,，學習深度不同，思維表現(xiàn)也會不同,。凡是在數(shù)學方面浸潤到一定程度的人,，都會在數(shù)學素養(yǎng)的多個方面有比較突出的表現(xiàn)，比如學數(shù)學的人天然對于數(shù)字比較敏感,，很大程度上可能是得益于數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析方面的影響,；學數(shù)學的人做事情往往態(tài)度嚴謹，邏輯縝密,，這也是在數(shù)學學習過程中養(yǎng)成的思維品質(zhì)和習慣素養(yǎng),。

       作為數(shù)學教師，只有把數(shù)學核心素養(yǎng)放在自己的主陣地——課堂上,，滲透在無處不在的數(shù)學教學中,，才能對學生數(shù)學素養(yǎng)的提高產(chǎn)生“隨風潛入夜，潤物細無聲”的影響,；始終堅持以課程材料為載體,，把培養(yǎng)孩子應該具備的各個方面的素養(yǎng)盡可能地滲透進去，才能達到教育的最大化,、最優(yōu)化,。下面，從“怎樣付錢”這個小問題入手,，談談如何在課堂把握課程材料和契機進行數(shù)學核心素養(yǎng)培育,。

       二年級開學不久，就接觸到人民幣,。認識了各種面額的人民幣以后,，我們就會遇到“怎樣付錢”的問題。

       如：一支鋼筆9元7角,，可以怎樣付錢,？有的家長輔導孩子作業(yè)時表示很疑惑,，認為：直接給10元錢，讓售貨員找錢就可以了,。為什么搞得那么復雜,，非要不多不少剛剛好呢？數(shù)學不是要與實際生活相聯(lián)系嗎,？這樣不是最簡便的付錢方案嗎,？

       實際上，在日常生活中,，我們買一些小商品，一般都是付給一張面額較大的人民幣,，等店員找給零錢,；若碰到要買稍貴一些的商品，或者吃飯等等,，往往直接刷卡就可以了,，一切盡在掌控之中。

       但是,，從數(shù)學的角度,，學習認識人民幣的意義在哪里？“怎樣付錢”的問題到底有哪些價值,？實際教學中,，我是按照以下幾個方面處理這個問題的。

       首先,，“怎樣付錢”是一個開放性問題,，可以有意識地培養(yǎng)學生個性化思維及創(chuàng)新意識。由于人民幣的面額很多,，在每種面額的張數(shù)不受限制的情況下,，可以有較多的組合，從而得出不同的付錢方案,。學生可以根據(jù)自己對人民幣的理解,，思考個性化的答案，每個孩子都能參與進來,，充分表達自己的想法,，心情會感到很放松，不會因為自己與別人不同而顯得難為情,。所以,，教學時要多提醒學生，誰還有不同的付錢方案,？

       其次,，在“怎樣付錢”的問題情境中,，逐漸培養(yǎng)學生養(yǎng)成有序思考的習慣。要寫出所有的付錢方案,，學生們就要學會有序思考,。通過列表不斷調(diào)整原有方案，得到新的方案,，直至列舉出所有方案,。學生在列舉方案過程中，對有序思考形成一定的認識,，知道這種思想的重要性和完整性,，同時也體驗了一種數(shù)學特有的精準全面之美、一種壯麗之美,。養(yǎng)成了有序思考的習慣,，在今后解決其他問題時，也會自然而然地想到,、用到,，并會努力嘗試一把。

       再次,，“怎樣付錢”還是一種策略問題,，可以引導孩子養(yǎng)成統(tǒng)籌考慮、優(yōu)化解決問題方案的思維方式,?！霸鯓痈跺X”這個問題的價值在于引導孩子學會從盡可能大的面額思考，才能找到張數(shù)最少的最佳方案,；然后再依次選擇較小面額的人民幣,，直到成功解決問題。即付一張5元,，兩張2元,，一張5角，一張2角,。生活中很多問題的解決都要有策略意識,，都和這個問題的解決思想有異曲同工之妙。比如,，在玩很多數(shù)學游戲時,，要想有把握地成為贏家，采取一定的策略很是必要的,。

       最后,，“怎樣付錢”是一個操作性與實踐性相結(jié)合的學習過程，可以培養(yǎng)學生具體的數(shù)學活動經(jīng)驗。所謂與生活相關(guān)聯(lián),，主要是指數(shù)學問題大多來源于生活,，在生活中有相當廣泛的應用。雖然,，這些問題的解決是為了生活,，但從數(shù)學的角度來講，僅僅為了解決生活中的問題就有點浪費資源了,。我們總是期望通過解決生活中的問題深化數(shù)學應用,，擴展數(shù)學思維，滲透數(shù)學思想,，讓學生獲得更廣泛,、更具體的數(shù)學活動經(jīng)驗。

       綜上所述,，一個數(shù)學問題就是一個載體,，承載著數(shù)學方法，優(yōu)化著數(shù)學策略,，蘊含著數(shù)學思想，匯集著人們對生活各方面的思考結(jié)晶,。每一個數(shù)學問題,，只要用心挖掘，總會在某些方面?zhèn)鬟f給學生不一樣的數(shù)學素養(yǎng),。

    （作者單位系陜西省西安市高新區(qū)第一小學）