阿波羅尼斯圓：一動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A,、B的距離之比等于定比m：n,，則點(diǎn)P的軌跡，是以定比m：n內(nèi)分和外分定線段的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為直徑的圓,。

這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn),，故稱阿氏圓。

這個(gè)定理的證明方法很多,。下面是筆者的分析與證明,，希望讀者喜歡。

如圖,，P是平面上一動(dòng)點(diǎn),，A、B是兩定點(diǎn),，PA∶PB＝ m∶n ,，M是AB的內(nèi)分點(diǎn)（M在線段AB上），N是AB的外分點(diǎn)（N在AB的延長(zhǎng)線上）且

AM∶MB＝AN∶NB＝m∶n,，則P點(diǎn)的軌跡是以MN為直徑的圓,。

下面先證明兩個(gè)定理：

一、如圖一,，已知M是BC上一點(diǎn),，且AB∶AC＝BM∶MC，

求證：AM平分∠BAC（三角形內(nèi)角平分線定理的逆定理）

證明：過C點(diǎn)作CD∥AM交BA的延長(zhǎng)線于D,，則AB∶AD＝BM∶MC

∵AB∶AC＝BM∶MC,，∴AB∶AD ＝AB∶AC，∴AC＝AD,，

∴∠D＝∠3,，∵CD∥AM，∴∠1＝∠D,，∠2＝∠3,，∴∠1＝∠2，∴AM平分∠BAC,。

二,、如圖二,，N是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),，BN∶CN＝AB∶AC,，求證：AN平分∠BAC的鄰補(bǔ)角∠EAC

證明：∵CD∥AN交AB于D，則BN∶CN＝AB∶AD,，∵BN∶CN＝AB∶AC,，∴AB∶AD＝AB∶AC，AD＝AC,，∴∠3＝∠4,，∵DC∥AN，∴∠1＝∠3,，∠2＝∠4,，∴∠1＝∠2，∴AN平分∠BAC的鄰補(bǔ)角∠EAC

有了上面的證明,，阿波羅尼斯圓定理的證明就不難了,，證明如下：

連結(jié)PM、PN,，∵M(jìn)為AB的內(nèi)分點(diǎn),， PA∶PB＝AM∶MB ＝m∶n，∴PM平分∠APB

∵N為AB的外分點(diǎn),，AN∶BN＝PA∶PB ＝m∶n,，∴PN平分∠BPE，

∵∠APB＋∠BPE＝180o,，又∠2＝∠APB/2,，∠3＝∠BPE/2，

∴∠2＋∠3＝（∠APB＋∠BPE）/2

即∠MPN＝90o,，∴動(dòng)點(diǎn)P到MN的中點(diǎn)O的距離等于MN（定值）的一半（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）,，點(diǎn)P的軌跡，是以定比m：n內(nèi)分和外分定線段AB的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為直徑的圓