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集合與常用邏輯用語(yǔ)·易混易錯(cuò)8點(diǎn) 所屬專輯：一輪復(fù)習(xí)高考數(shù)學(xué)易混易錯(cuò)88點(diǎn) 高考復(fù)習(xí)講義數(shù)學(xué)編輯部  筆記簡(jiǎn)介 該貼無(wú)簡(jiǎn)介 易錯(cuò)點(diǎn)1：對(duì)集合中元素的屬性認(rèn)識(shí)不明致誤 已知集合M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},則M∩N= .  【易錯(cuò)分析】 本題產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是沒(méi)有真正理解描述法表示的集合中元素的屬性,誤將M,N中的元素看作坐標(biāo)平面上的點(diǎn),從而得到M∩N={(0,1),(1,2)}. 【正確解答】 因?yàn)?/span>M={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1},N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R},所以M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1}. 數(shù)集可以用區(qū)間,、數(shù)軸表示,點(diǎn)集可以用圖像,、圖形來(lái)表示.注意不要把{(1,2)}誤寫成{1,2}或{x=1,x=2}. 集合{x|y=f(x)}表示函數(shù)y=f(x)的定義域,集合{y|y=f(x)}表示函數(shù)y=f(x)的值域,集合{(x,y)|y=f(x)}表示函數(shù)y=f(x)圖像上的點(diǎn). zhuangyuanbiji 解決集合問(wèn)題的關(guān)鍵是確定集合中的元素是什么.對(duì)于用描述法給出的集合{x|x∈P},要先明確集合中的代表元素是什么,再確定元素x所滿足的條件.特別要分清是數(shù)集還是點(diǎn)集 (有序?qū)崝?shù)對(duì)),明確兩者之間的差異.如以數(shù)字為元素的集合叫作數(shù)集,它可以是函數(shù)的定義域,、值域,一元不等式及一元方程的解集等.例如,{x|x2+2x-3=0},{x|x2+2x-3>0},{y|y=x2+2x-3}等都是數(shù)集.而以點(diǎn)為元素的集合叫作點(diǎn)集,例如,{(x,y)|y=x2+2x-3}. 易錯(cuò)點(diǎn)2：忽視集合中元素的互異性致誤 設(shè)集合A={1,3,x},B={1,x2-x+1},求A∪B.  【易錯(cuò)分析】 本題不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為A∪B={1,3,x,x2-x+1},當(dāng)集合中元素含有參數(shù)時(shí),應(yīng)根據(jù)集合元素的互異性中對(duì)參數(shù)的取值范圍進(jìn)行討論. 【正確解答】 首先由集合A中元素的互異性知x≠1且x≠3,由集合B中元素的互異性知x≠0且x≠1,則: 若x2-x+1=3,即x=-1或x=2,則A∪B={1,3,x}; 若x2-x+1=x,即x=1,與前提矛盾. 綜上,當(dāng)x=-1時(shí),A∪B={1,3,-1}; 當(dāng)x=2時(shí),A∪B={1,3,2}; 當(dāng)x≠-1且x≠2且x≠0且x≠1且x≠3時(shí),A∪B={1,3,x,x2-x+1}. 集合中的元素具有確定性,、互異性和無(wú)序性三個(gè)特征,在解決集合基本概念問(wèn)題時(shí)一般利用確定性列出方程,利用互異性進(jìn)行檢驗(yàn). 利用元素的確定性建立關(guān)于參數(shù)的方程,解出參數(shù)的值之后,考生應(yīng)該注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性,否則易造成增解. zhuangyuanbiji
集合中元素的互異性對(duì)解題的影響 集合中元素的三個(gè)特征中互異性對(duì)解題的影響最大,特別是類似【典例2】這種帶有參數(shù)的集合,實(shí)際上就隱含著對(duì)參數(shù)的一些要求.第一,要學(xué)會(huì)利用集合中元素的互異性提取已知條件所隱含的參數(shù)取值范圍或集合元素特征,第二要注意利用集合中元素的互異性進(jìn)行分類討論并檢驗(yàn). 易錯(cuò)點(diǎn)3：遺忘空集致誤
已知集合A={x|ax-1=0},B={x|1<>2x≤2,x∈N},且A∩B=A,則a的所有可能值組成的集合是 A.? B. { } C. {, } D. {, ,0} 【易錯(cuò)分析】 集合A為方程ax-1=0的實(shí)數(shù)解構(gòu)成的集合,由A∩B=A,知A?B, A可以為非空集合,也可以是空集.在解題中,很容易漏掉對(duì)A=?的討論,導(dǎo)致誤選C. 【正確解答】 由A∩B=A,得A?B. 因?yàn)?/span>B= {x|1<>2x≤2,x∈N}={x|2x≤4,x∈N}={3,4}, 當(dāng)A=?時(shí),則方程ax-1=0無(wú)實(shí)數(shù)解,所以a=0,此時(shí)顯然有A?B,符合題意. 當(dāng)A≠?時(shí),則由方程ax-1=0,得x=. 要使A?B,則=3或 =4,即a=或a=. 綜上所述,a的所有可能取值組成的集合是{0,,}.故選D. 解決含有參數(shù)的集合問(wèn)題時(shí),要充分注意當(dāng)參數(shù)在某個(gè)范圍內(nèi)取值時(shí)所給的集合是否為空集的情況,必要時(shí)需分類討論.例如【典例3】中集合A是否為空集需要討論. zhuangyuanbiji
空集的特殊性 空集是一個(gè)非常特殊的集合,它不包含任何元素,是任意一個(gè)集合的子集,是任意一個(gè)非空集合的真子集.?有兩個(gè)獨(dú)特的性質(zhì):(1)對(duì)于任意集合A,都有A∩?=?;(2)對(duì)于任意集合A,都有A∪?=A.因此,如果A∩B=?,就要考慮集合A或B可能是?;如果A∪B=A,就要考慮集合B可能是?. 易錯(cuò)點(diǎn)4：集合運(yùn)算遺漏端點(diǎn)值致誤
設(shè)集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},則M∪N= A.[0,1] B.(0,1] C.[0,1) D.(-∞,1] 【易錯(cuò)分析】 本題容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤:一是錯(cuò)誤求得集合M={-1,1},二是把最后集合的并集運(yùn)算當(dāng)作集合的交集運(yùn)算進(jìn)行,遺漏0這個(gè)端點(diǎn)值,得出錯(cuò)誤的結(jié)果. 【正確解答】 因?yàn)?/span>x2=x,所以x=0或1,所以M={0,1}.因?yàn)?/span>lg x≤0,所以0x≤1,N={x|0x≤1},所以M∪N=[0,1],故選A. 在進(jìn)行集合的基本運(yùn)算時(shí),往往先利用數(shù)軸或韋恩圖表示出相應(yīng)的集合,然后進(jìn)行運(yùn)算.對(duì)于集合運(yùn)算中端點(diǎn)值的取舍,應(yīng)單獨(dú)代入進(jìn)行檢驗(yàn),否則易造成增解或漏解. 集合的交、并,、補(bǔ)運(yùn)算的口訣為:交集元素仔細(xì)找,屬于A且屬于B;并集元素勿遺漏,切記重復(fù)僅取一;全集U是大范圍,去掉U中A元素,剩余元素成補(bǔ)集. zhuangyuanbiji
集合運(yùn)算的“兩要點(diǎn)” 對(duì)于給出已知集合,進(jìn)行交集,、并集與補(bǔ)集的運(yùn)算時(shí),首先,分清集合的類型,即該集合表示的是數(shù)集、點(diǎn)集,還是圖形集,是表示函數(shù)的定義域,、值域,還是方程或不等式的解集.一般需要具體求出相關(guān)集合,不能具體求出的,也應(yīng)將相關(guān)集合轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)單的形式. 其次,根據(jù)交集,、并集與補(bǔ)集的含義并借助數(shù)軸等圖形工具進(jìn)行直觀求解.一般地,集合元素離散時(shí)用Venn圖表示,集合元素連續(xù)時(shí)用數(shù)軸表示,用數(shù)軸表示時(shí)要注意端點(diǎn)值的取舍. 易錯(cuò)點(diǎn)5：四種命題的結(jié)構(gòu)不明致誤
有下列四個(gè)命題: ①命題“若xy=1,則x,y互為倒數(shù)”的逆命題; ②命題“面積相等的三角形全等”的否命題; ③命題“若m≤1,則x2-2x+m=0有實(shí)根”的逆否命題; ④命題“若A∩B=B,則A?B”的逆否命題. 其中是真命題的是 .(填上所有你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)) 【易錯(cuò)分析】 求解此類題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是對(duì)四種命題的構(gòu)成不明確,不知道如何構(gòu)造一個(gè)命題的否命題、逆命題和逆否命題,對(duì)一些簡(jiǎn)單命題的否定錯(cuò)誤.本題的基本解題思路是先寫出各個(gè)命題的其他形式的命題,再判斷其真假,或者根據(jù)四種命題之間的等價(jià)關(guān)系進(jìn)行判斷. 【正確解答】 命題①的逆命題是“若x,y互為倒數(shù),則xy=1”,這顯然是一個(gè)真命題;命題②的否命題是“面積不相等的三角形不全等”,也是一個(gè)真命題;命題③中,若m≤1,則方程x2-2x+m=0的判別式大于或者等于零,方程一定有實(shí)數(shù)根,故這個(gè)命題是真命題,其逆否命題與其等價(jià),故這個(gè)命題的逆否命題是真命題;命題④中,原命題是假命題,故其逆否命題也是假命題.故填①②③. zhuangyuanbiji
四種命題的構(gòu)造方法 在根據(jù)給出的命題構(gòu)造其逆命題,、否命題和逆否命題時(shí),先要把原命題的條件和結(jié)論弄清楚,這樣,逆命題就是把原命題的條件和結(jié)論交換了的命題,否命題就是把原命題中否定了的條件作條件,、否定了的結(jié)論作結(jié)論的命題,逆否命題就是把原命題中否定了的結(jié)論作條件、否定了的條件作結(jié)論的命題.在這四種命題中原命題和逆否命題等價(jià),否命題和逆命題互為逆否命題,也是等價(jià)的. 易錯(cuò)點(diǎn) 6：充分必要條件顛倒致誤
若p:a∈R,|a|<>q:關(guān)于x的二次方程x2+(a+1)x+a-2=0的一個(gè)根大于零,另一個(gè)根小于零,則p是q A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【易錯(cuò)分析】 解答本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是顛倒了充分條件和必要條件把充分條件當(dāng)成必要條件而致誤. 【正確解答】 p:a∈R,|a|<>?-1a<>?a-2<>可知滿足q的方程有兩根,且兩根異號(hào),所以p是q的充分條件,但p不是q的必要條件,如當(dāng)a=1時(shí),q中方程的一個(gè)根大于零,另一個(gè)根小于零,但不滿足p.本題也可以把命題q中所有滿足條件的a值求出來(lái),再進(jìn)行分析判斷,實(shí)際上一元二次方程兩根異號(hào)的充要條件是兩根之積小于0,對(duì)于本題就是a-2<>即a<>故選A. 遇到充分條件、必要條件和充要條件問(wèn)題時(shí),要先分清楚條件和結(jié)論是什么,再進(jìn)行推理和判斷. “p的一個(gè)充分不必要條件是q”與“p是q的充分不必要條件”是兩種完全不同的說(shuō)法,“p的一個(gè)充分不必要條件是q”等價(jià)于“q是p的充分不必要條件”,考生要注意兩者的區(qū)別,避免混淆. zhuangyuanbiji
判斷充分條件、必要條件,、充要條件的三種方法 (1)定義法 利用定義法判斷p是q的什么條件,實(shí)際上就是判斷“p?q”或“q?p”是否成立,只要把題目中所給條件按邏輯關(guān)系畫(huà)出箭頭示意圖,再利用定義即可判斷. (2)集合法 記條件p,q對(duì)應(yīng)的集合分別為A,B,則: 若A?B,則p是q的充分條件; 若A?B,則p是q的充分不必要條件; 若A?B,則p是q的必要條件; 若A?B,則p是q的必要不充分條件; 若A=B,則p是q的充要條件; 若A?B,且A?B,則p是q的既不充分也不必要條件. (3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法 根據(jù)互為逆否命題的兩個(gè)命題的真假性相同,要判斷p是q的什么條件,可間接地轉(zhuǎn)化為判斷是的什么條件,如: 若是的充分條件,則p是q的必要條件;若是的必要條件,則p是q的充分條件. 易錯(cuò)點(diǎn) 7：“或”“且”“非”理解不準(zhǔn)致誤
已知命題p:關(guān)于x的方程x2-ax+4=0有實(shí)根,命題q:關(guān)于x的函數(shù)y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函數(shù).若p或q是真命題,p且q是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A.(-12,-4)∪[4,+∞) B.[-12,-4]∪[4,+∞) C.(-∞,-12)∪(-4,4) D.[12,+∞) 【易錯(cuò)分析】 當(dāng)p或q為真命題,p且q為假命題時(shí),p,q之間的真假關(guān)系判斷錯(cuò)誤. 【正確解答】 命題p等價(jià)于Δ=a2-16≥0,解得a≤-4或a≥4;命題q等價(jià)于-≤3,解得a≥-12.因?yàn)?/span>p或q是真命題,p且q是假命題,則命題p和q一真一假.當(dāng)p真q假時(shí),a<>當(dāng)p假q真時(shí),-4a<>故選C. 判斷復(fù)合命題的真假時(shí),要注意根據(jù)其邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”及其語(yǔ)句表達(dá)的含義進(jìn)行判定. 在判斷一個(gè)復(fù)雜命題的真假時(shí),一般是先判斷組成這個(gè)命題的每個(gè)簡(jiǎn)單命題的真假,再根據(jù)含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的形式,確定復(fù)合命題的真假. zhuangyuanbiji
含邏輯連接詞的命題的真假 判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的復(fù)合命題的真假,可利用真值表轉(zhuǎn)化為一些簡(jiǎn)單命題的真假判斷.已知命題p,q,只要有一個(gè)命題為假,p∧q就為假;只要有一個(gè)命題為真,p∨q就為真;與p真假相反 易錯(cuò)點(diǎn)8：對(duì)含有量詞的命題的否定不當(dāng)致誤
命題“?x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是 A.?x∈(0,+∞),ln x≠x-1 B.?x?(0,+∞),ln x=x-1 C.?x0∈(0,+∞),ln x0≠x0-1 D.?x0?(0,+∞),ln x0=x0-1 【易錯(cuò)分析】 本題所求命題的否定,既要對(duì)命題中的存在量詞進(jìn)行否定,也要對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定,不可只否定存在量詞,不否定結(jié)論,或是只否定結(jié)論忽視量詞的否定. 【正確解答】 該命題的否定是將存在量詞改為全稱量詞,等號(hào)改為不等號(hào)即可,故選A. 命題的否命題與命題的否定是兩個(gè)不同的概念,若p表示命題,?p叫作命題的否定.如果原命題是“若p則q”,那么命題的否定為“若p則?q”,而否命題為“若?p則?q”,既否定結(jié)論,又否定條件. 對(duì)于含有量詞的命題的否定,一般思路為:分析命題所含的量詞—明確命題是全稱命題還是特稱命題—對(duì)命題進(jìn)行否定.對(duì)命題進(jìn)行否定時(shí),必須嚴(yán)格按照其格式來(lái)寫,即一是量詞的改寫,二是結(jié)論的改寫.如【典例8】中的量詞“存在”要改寫為“任意”,結(jié)論中的“=”改寫為“≠”. zhuangyuanbiji
命題的否定方法 對(duì)全稱命題的否定,在否定判斷詞時(shí),還要否定全稱量詞,變?yōu)樘胤Q命題.特別要注意的是,有些命題的全稱量詞往往省略不寫,在進(jìn)行命題的否定時(shí),易造成只否定判斷詞,而忽略了全稱量詞的否定.對(duì)特稱命題的否定,方法類似. 數(shù)學(xué)中很多命題都可以用全稱量詞和存在量詞進(jìn)行表達(dá),如“方程x2-3x+2=0有解”可以表述為“?x∈R,使得x2-3x+2=0”,“不等式x2+x+1>0”可以表述為“對(duì)?x∈R,都有x2+x+1>0”等. “全部”的否定是“不全,不都”,“一定”的否定是“不一定”,這些很容易出錯(cuò),要引起重視. 感謝你閱讀微學(xué)筆記,！ 這里是您的云端筆記資料庫(kù),，長(zhǎng)圖文筆記貼，一頁(yè)盡覽知識(shí)點(diǎn),！ 剪輯,、粘貼、拼接,，輕松三步,，即可快速創(chuàng)建自己的私人微筆記！ 長(zhǎng)按識(shí)別二維碼,，一鍵收獲3000套微筆記 |
