函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)是兩個(gè)不同的的函數(shù);而導(dǎo)數(shù)只是反映函數(shù)在一點(diǎn)的局部特征;如果要了解函數(shù)在其定義域上中值定理的整體性態(tài),，就需要在導(dǎo)數(shù)及函數(shù)間建立起聯(lián)系,，微分中值定理就是這種作用。微分中值定理,，包括羅爾定理,、拉格朗日定理、柯西定理,、泰勒定理,。是溝通導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值之間的橋梁，是利用導(dǎo)數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì)的工具,。以羅爾定理,、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是一整個(gè)微分學(xué)的理論基礎(chǔ)。拉格朗日中值定理,，建立了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值之間的定量聯(lián)系,，因而可用中值定理通過(guò)導(dǎo)數(shù)去研究函數(shù)的性態(tài);中值定理的主要作用在于理論分析和證明;同時(shí)由柯西中值定理還可導(dǎo)出一個(gè)求極限的洛必達(dá)法則。中值定理的應(yīng)用主要是以中值定理為基礎(chǔ),，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)上升,，下降，取極值,，凹形,，凸形和拐點(diǎn)等項(xiàng)的重要性態(tài)。從而能把握住函數(shù)圖象的各種幾何特征,。在極值問(wèn)題上也有重要的實(shí)際應(yīng)用,。

微積分學(xué)基本定理指出，求不定積分與求導(dǎo)函數(shù)互為逆運(yùn)算[把上下限代入不定積分即得到積分值,，而微分則是導(dǎo)數(shù)值與自變量增量的乘積],，這也是兩種理論被統(tǒng)一成微積分學(xué)的原因,。我們可以以兩者中任意一者為起點(diǎn)來(lái)討論微積分學(xué)，但是在教學(xué)中,，微分學(xué)一般會(huì)先被引入。 微積分相關(guān)書(shū)籍

微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱,。它是一種數(shù)學(xué)思想,，'無(wú)限細(xì)分'就是微分，'無(wú)限求和'就是積分,。十七世紀(jì)后半葉,，牛頓和萊布尼茨完成了許多數(shù)學(xué)家都參加過(guò)準(zhǔn)備的工作，分別獨(dú)立地建立了微積分學(xué),。他們建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無(wú)窮小量,，但是理論基礎(chǔ)是不牢固的。因?yàn)?無(wú)限"的概念是無(wú)法用已經(jīng)擁有的代數(shù)公式進(jìn)行演算,，所以,，直到十九世紀(jì)，柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論,，康托爾等建立了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論,，這門(mén)學(xué)科才得以嚴(yán)密化。

學(xué)習(xí)微積分學(xué),，首要的一步就是要理解到,，"極限"引入的必要性:因?yàn)椋鷶?shù)是人們已經(jīng)熟悉的概念,，但是,，代數(shù)無(wú)法處理"無(wú)限"的概念。所以為了要利用代數(shù)處理代表無(wú)限的量,，於是精心構(gòu)造了"極限"的概念,。在"極限"的定義中，我們可以知道,，這個(gè)概念繞過(guò)了用一個(gè)數(shù)除以0的麻煩,，而引入了一個(gè)過(guò)程任意小量。就是說(shuō),，除數(shù)不是零,，所以有意義，同時(shí),，這個(gè)過(guò)程小量可以取任意小,，只要滿足在Δ的區(qū)間內(nèi)，都小于該任意小量,，我們就說(shuō)他的極限為該數(shù)--你可以認(rèn)為這是投機(jī)取巧,，但是,，他的實(shí)用性證明，這樣的定義還算比較完善,，給出了正確推論的可能,。這個(gè)概念是成功的。

微積分是與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來(lái)的,，它在天文學(xué),、力學(xué)、化學(xué),、生物學(xué),、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué),、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)等多個(gè)分支中,，有越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。特別是計(jì)算機(jī)的發(fā)明更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展,。

客觀世界的一切事物,，小至粒子，大至宇宙,，始終都在運(yùn)動(dòng)和變化著,。因此在數(shù)學(xué)中引入了變量的概念后，就有可能把運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象用數(shù)學(xué)來(lái)加以描述了,。

由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運(yùn)用的加深,，也由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，一門(mén)新的數(shù)學(xué)分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了,，這就是微積分學(xué),。微積分學(xué)這門(mén)學(xué)科在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位是十分重要的，可以說(shuō)它是繼歐氏幾何后,，全部數(shù)學(xué)中的最大的一個(gè)創(chuàng)造,。

一對(duì)于不等式與等式證明中的應(yīng)用

在一些等式的證明中，我們往往容易思維定式,，只是對(duì)于原來(lái)的式子要從哪去證明,，很不容易去聯(lián)系其它，只從式子本身所表達(dá)的意思去證明,。已知有這樣一個(gè)推論,，若函數(shù)f(x)

在區(qū)間I上可導(dǎo)，且連續(xù),，則f(x)為I上的一個(gè)常量函數(shù),。它的幾何意義為:斜率處處為0的曲線一定是平行于x軸的直線。這個(gè)推論的證明應(yīng)用拉格朗日中值定理,。

二關(guān)于方程根的討論(存在性與根的個(gè)數(shù))三在洛比達(dá)法則中證明的應(yīng)用

無(wú)窮小(大)量階的比較時(shí),，看到兩個(gè)無(wú)窮小(大)量之比的極限可能存在,，也可能不存在。如果存在,，其極限值也不盡相同,。稱兩個(gè)無(wú)窮小量或兩個(gè)無(wú)窮大量之比的極限為 型或 型不定式極限。解決這種極限的問(wèn)題通常要用到洛比達(dá)法則,。這是法則的內(nèi)容,，而在計(jì)算時(shí)往往都是直接的應(yīng)用結(jié)論，沒(méi)有注意到定理本身的證明,，而這個(gè)定理的證明也應(yīng)用到了中值定理。

中值定理四定理之間的關(guān)系應(yīng)用

在一元函數(shù)微分學(xué)中,，微分中值定理是應(yīng)用函數(shù)的局部性質(zhì)研究函數(shù)在區(qū)間上整體性質(zhì)的重要工具,，它在數(shù)學(xué)分析中占有重要的地位，其中拉格朗日中值定理是核心,，羅爾定理是其特殊情況,，柯西定理是其推廣。拉格朗日微分中值定理有許多推廣,，這些推廣有一些基本的特點(diǎn),，這就是把定理?xiàng)l件中可微性概念拓寬，然后推廣微分中值表達(dá)公式,。微分中值定理的應(yīng)用為數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展提供了廣闊的天地,，在以后的學(xué)習(xí)中還會(huì)有其他的應(yīng)用，再做更為全面的總結(jié),。

中值定理是微積分學(xué)中的基本定理,，由四部分組成。

內(nèi)容是說(shuō)一段連續(xù)光滑曲線中必然有一點(diǎn),，它的斜率與整段曲線平均斜率相同(嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表達(dá)參見(jiàn)下文),。中值定理又稱為微分學(xué)基本定理，拉格朗日定理,，拉格朗日中值定理,，以及有限改變量定理[1]等。

內(nèi)容

如果函數(shù)f(x)滿足

在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),，

那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ<b),，使等式

f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)

成立。

內(nèi)容

如果函數(shù)f(x)滿足

在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);

在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等,，即f(a)=f(b),，

那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<;ξ<b)，使得f`(ξ)=0;

補(bǔ)充

如果函數(shù)f(x)滿足:

在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);

在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等,，即f(a)=f(b),，

那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ<b),，使得 f'(ξ)=0.

幾何上，羅爾定理的條件表示,，曲線弧 (方程為)是一條連續(xù)的曲線弧

,，除端點(diǎn)外處處有不垂直于 軸的切線，且兩端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等,。而定理結(jié)論表明,，

弧上至少有一點(diǎn) ，曲線在該點(diǎn)切線是水平的.:

如果函數(shù)f(x)及F(x)滿足

⑴在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

⑵在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);⑶對(duì)任一x(a,b),，F(xiàn)'(x)!=0

那么在(a,b) 內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ,，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立。

也叫Cauchy中值定理,。

設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù),，在(a、b)內(nèi)可導(dǎo),，且g'(x)≠0(x∈(a,b)),，則至少存在一點(diǎn)，ξ∈(a,b),，使得 f'(ξ)/g'(ξ)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]成立,。

若令u=f(x),v=g(x)，這個(gè)形式可理解為參數(shù)方程,，而[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]則是連接參數(shù)曲線的端點(diǎn)斜率,，f'(ξ)/g'(ξ)表示曲線上某點(diǎn)處的切線斜率，在定理的條件下,，可理解如下:用參數(shù)方程表示的曲線上至少有一點(diǎn),，它的切線平行于兩端點(diǎn)所在的弦，這一點(diǎn)Lagrange也具有,，但是Cauchy中值定理除了適用y=f(x)表示的曲線,，還適用于參數(shù)方程表示的曲線。

當(dāng)柯西中值定理中的g(x)=x時(shí),，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理,。

令F(x)=f(x)-[f(a)-f(b)]g(x)/[g(a)-g(b)]

∵F(a)=F(b)=[f(a)g(b)-f(b)g(a)]/[g(b)-g(a)]

由羅爾定理知，存在ξ∈(a,b),，使得F'(ξ)=0.

又知F'(x)=f'(x)-[f(a)-f(b)]g'(x)/[g(a)-g(b)]

∴f'(ξ)-[f(a)-f(b)]g'(ξ)/[g(a)-g(b)]=0

即f'(ξ)/g'(ξ)=[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]

命題得證,。

f(x)在a到b上的積分等于(a-b)*f'(c)，其中c滿足a<c<b.

積分中值定理:

如果函數(shù) f(x) 在積分區(qū)間[a, b]上連續(xù),，則在 [a, b]上至少存在一個(gè)點(diǎn) ξ,，使下式成立

(a≤ξ≤b).