（系列文章之六）

百花齊放的拓?fù)鋺B(tài)：拓?fù)渚w絕緣體和拓?fù)浒虢饘?/strong>

TKNN指數(shù)可以用來(lái)刻畫任意二維絕緣體系統(tǒng)的拓?fù)涮匦?，Z2指數(shù)可以同來(lái)刻畫具有時(shí)間反演對(duì)稱的二維絕緣體的拓?fù)涮匦浴＿@里面蘊(yùn)含了很深刻的對(duì)稱性和拓?fù)浞诸愔g的關(guān)系,，如果不對(duì)體系的對(duì)稱性做任何限制,，那么二維絕緣體只能按照TKNN指數(shù)分類，也就是每一個(gè)整數(shù)C代表一類,，其中所有具有時(shí)間反演對(duì)稱的二維絕緣體都被統(tǒng)一分在TKNN指數(shù)C＝0的類里面,。按照拓?fù)鋵W(xué)的基本原理，被分在同一類中的個(gè)體（這里指體系的波函數(shù)）都在連續(xù)變形下彼此等價(jià),。然而如果利用對(duì)稱性對(duì)系統(tǒng)的連續(xù)變形做進(jìn)一步的限制,，比如要求連續(xù)變形過(guò)程限制在滿足時(shí)間反演不變的子空間里，則有些原本彼此等價(jià)個(gè)體,，由于連續(xù)變形的受限而變得不再等價(jià),，于是這些TKNN指數(shù)等于零的二維絕緣體又可以進(jìn)一步按照Z(yǔ)2指數(shù)分為奇偶兩類。同理,，我們還可以進(jìn)一步加入各種晶體對(duì)稱性,，對(duì)連續(xù)變形做更高的對(duì)稱性要求，從而獲得更加豐富的拓撲晶體絕緣體,，如鏡面陳數(shù)（Mirror chen number）絕緣體和Hour Glass絕緣體等,。從中我們可以看到,，體系受到的對(duì)稱性限制越多，則拓?fù)浞诸愒綖樨S富,，如圖一所示,。沿著這個(gè)方向，用拓?fù)鋵W(xué)的觀點(diǎn)來(lái)重新審視各類材料的電子結(jié)構(gòu),，是目前發(fā)展非常迅速的領(lǐng)域,，結(jié)出了累累碩果。

圖一,，二維絕緣體的分類

 前面介紹的是絕緣體系統(tǒng)的拓?fù)浞诸悊?wèn)題,，對(duì)于絕緣體來(lái)說(shuō)，其布里淵區(qū)被整數(shù)條能帶所占據(jù),，從微分幾何的觀點(diǎn)看,，是一個(gè)定義在輪胎面上的纖維叢，所有的拓?fù)浞诸愌芯慷季壌硕鴣?lái),。那么能不能把拓?fù)浞诸愌芯客茝V到金屬體系呢？簡(jiǎn)單的推廣馬上就碰到問(wèn)題,，在金屬中波函數(shù)在布里淵區(qū)的分布是不連續(xù)的,，在布里淵區(qū)的某些區(qū)域占據(jù)著N條能帶，而在另一些區(qū)域則可能占據(jù)著N+1或N-1條能帶,，這些能帶占據(jù)上出現(xiàn)的“斷層”,，則構(gòu)成金屬中最重要的元素-費(fèi)米面。顯然對(duì)于金屬體系而言,，我們不能把整個(gè)布里淵區(qū)及其上的占據(jù)波函數(shù)當(dāng)作分類對(duì)象,。那么對(duì)于金屬來(lái)說(shuō)什么是合適的分類對(duì)象呢？費(fèi)米面及其上占據(jù)的波函數(shù),，似乎是一個(gè)比較合理的選擇,。目前針對(duì)金屬體系的普遍拓?fù)浞诸悊?wèn)題，還沒(méi)有一個(gè)明確的答案,，但對(duì)于一類特殊的金屬體系-半金屬,，我們已經(jīng)取得了突破，這就是大家都聽說(shuō)過(guò)的拓?fù)浒虢饘?，它又可以分為外爾半金屬,、狄拉克半金屬、?jié)線半金屬和多重點(diǎn)半金屬等等,，其中外爾半金屬是最基本的，本文的介紹也主要圍繞它展開。

 所謂外爾半金屬,，就是兩條不簡(jiǎn)并的能帶在三維空間相交在一個(gè)k點(diǎn)上,，這個(gè)k點(diǎn)就是外爾點(diǎn),。可以從多種角度出發(fā)去理解外爾半金屬,，首先它可以被看成是一種特殊的金屬,，其特殊性在于它的費(fèi)米面被縮成了三維空間中的一個(gè)點(diǎn)-外爾點(diǎn)；同樣外爾半金屬也可以被看成是一種特殊的絕緣體,，除了幾個(gè)孤立的外爾點(diǎn)以外,，它在布里淵區(qū)的其他區(qū)域內(nèi)都具有有限的能隙。在固體的能帶結(jié)構(gòu)中,，這樣的外爾點(diǎn)是由能級(jí)的“偶然簡(jiǎn)并”造成的,，由于外爾點(diǎn)的位置并不在布里淵區(qū)的任何高對(duì)稱點(diǎn)和線上，這種簡(jiǎn)并與晶體對(duì)稱性導(dǎo)致的簡(jiǎn)并是完全不同的,。這種看似“偶然”形成的簡(jiǎn)并點(diǎn),，在傳統(tǒng)的固體物理中并不受重視，因?yàn)樗遣环€(wěn)定的,，在哈密頓量中加入一個(gè)小的微擾項(xiàng)就能在原先的簡(jiǎn)并點(diǎn)處打開能隙,。然而，對(duì)于三維體系,，加入微擾項(xiàng)消除原有簡(jiǎn)并點(diǎn)的同時(shí),，在鄰近區(qū)域又會(huì)產(chǎn)生新的簡(jiǎn)并點(diǎn)。其原因很簡(jiǎn)單,，兩條能級(jí)發(fā)生簡(jiǎn)（交）并（叉）的獨(dú)立條件有三個(gè),，對(duì)應(yīng)于三個(gè)彼此獨(dú)立的2*2厄米矩陣（泡利矩陣），而在三維體系中,，有三個(gè)獨(dú)立的動(dòng)量kx,，kx和kz，因此由三個(gè)獨(dú)立條件可以確定三個(gè)動(dòng)量參數(shù),。因此,，上述數(shù)學(xué)問(wèn)題在一定參數(shù)范圍內(nèi)總是有解的，對(duì)哈密頓量進(jìn)行連續(xù)變形,，只能移動(dòng)外爾點(diǎn)的位置而不能馬上消除它,。那么如何能真正消掉一個(gè)外爾點(diǎn)呢？唯一的方法是通過(guò)連（施）續(xù)（加）變（微）形（擾）,，把兩個(gè)“手性相反”的外爾點(diǎn)移動(dòng)到一起,，然后它們就能像粒子物理中的正反粒子一樣湮滅了。這么看來(lái),，外爾點(diǎn)很像我們第一篇文章介紹的渦旋,，只有正反渦旋相遇才能相消。事實(shí)上,，外爾點(diǎn)正是出現(xiàn)在動(dòng)量空間中的奇點(diǎn),。

 在某個(gè)特定的外爾點(diǎn)附近,，在對(duì)空間坐標(biāo)重新標(biāo)度以后，體系的低能有效哈密頓量正是大名鼎鼎的外爾方程,，那是ETH的外爾教授在上世紀(jì)20年代提出來(lái)描寫無(wú)質(zhì)量費(fèi)米子的運(yùn)動(dòng)方程,。外爾方程有一個(gè)非常重要的特性，就是它的解具有特定的手性,，也就是粒子的自旋運(yùn)動(dòng)總是嚴(yán)格繞著質(zhì)心平動(dòng)方向進(jìn)行,，因此可以分成左手（圖一(a)）和右手圖一(b)）兩類，其相應(yīng)的自旋指向分別反平行和平行于動(dòng)量方向k,。

圖二,，兩種手性的外爾費(fèi)米子

 這就是外爾點(diǎn)手性的起源，當(dāng)然在凝聚態(tài)物理中,，外爾點(diǎn)的“自旋”并非電子真正的自旋,，而是所謂“贗自旋”，這一點(diǎn)需要反復(fù)強(qiáng)調(diào),。把外爾點(diǎn)附近的元激發(fā)看成是一種無(wú)質(zhì)量的費(fèi)米子,，是一種典型的粒子物理的視角。而從凝聚態(tài)物理的視角則可以把它看作是貝里曲率的奇點(diǎn),，如果說(shuō)貝里曲率可以被看作是動(dòng)量空間的磁場(chǎng),，那么外爾點(diǎn)就是這種磁場(chǎng)對(duì)應(yīng)的磁單極子。關(guān)于貝里相位和貝里曲率,，這里補(bǔ)充說(shuō)明一下。對(duì)于固體中的能帶電子態(tài)而言,，貝里相位和曲率分別由下面兩個(gè)公式來(lái)定義,。

 其中代表占據(jù)態(tài)波函數(shù)。從中可以看出,，貝里相位反映的是鄰近k點(diǎn)的占據(jù)態(tài)波函數(shù)之間的聯(lián)絡(luò)關(guān)系,，因此它也叫做貝里聯(lián)絡(luò)。上述定義的貝里相位可以看作一個(gè)規(guī)范場(chǎng),，而貝里曲率則是這個(gè)規(guī)范場(chǎng)所對(duì)應(yīng)的場(chǎng)強(qiáng),。需要強(qiáng)調(diào)的是，貝里相位和曲率是對(duì)于固體中電子波函數(shù)特性的最簡(jiǎn)潔描述,，而由電子波函數(shù)特性導(dǎo)致的物理規(guī)律,，是傳統(tǒng)的固體物理研究中遭到忽視的課題，也是本次諾獎(jiǎng)得主Thouless先生長(zhǎng)期耕耘的領(lǐng)域,，其中他的華人高徒牛牽教授也在其中做出了卓越的貢獻(xiàn),。個(gè)人認(rèn)為在今后的本科固體物理教學(xué)中，除了介紹能帶色散導(dǎo)致的各種物理效應(yīng)以外,，也應(yīng)該更多地加入貝里相位和曲率這些波函數(shù)特性導(dǎo)致的物理效應(yīng),，以免在求學(xué)期間形成“能帶色散關(guān)系決定一切物理特性”的錯(cuò)誤觀念,。這種觀念一旦在頭腦中固化，將貽害無(wú)窮,。

 從貝里曲率的觀點(diǎn)看,，TKNN指數(shù)就是它在二維布里淵區(qū)內(nèi)的面積分，或者說(shuō)是流過(guò)整個(gè)二維布里淵區(qū)的“磁通量”,。利用微分幾何中的斯托克斯定理可以證明這個(gè)積分必須是2π的整數(shù)倍,也就是TKNN指數(shù)乘以2π,。利用貝里曲率還可以非常簡(jiǎn)潔地證明外爾半金屬的一個(gè)重要特性，即固體能帶中的外爾點(diǎn)都是手性一正一反成對(duì)出現(xiàn)的,。這其實(shí)又是緊致性的一個(gè)體現(xiàn),，這次體現(xiàn)在布里淵區(qū)本身，大家知道在布里淵區(qū)中的晶體動(dòng)量相差一個(gè)倒格矢是完全等價(jià)的,，就跟相位空間相差2π一樣,。然后讓我們來(lái)考察下圖所示的三維布里淵區(qū)，在其中取kz為常數(shù)的平面,。這樣的平面可以看作是某一個(gè)二維體系的布里淵區(qū),，上面提過(guò)外爾半金屬也可以看成是某種特殊的絕緣體，其能隙只在有限的幾個(gè)外爾點(diǎn)關(guān)閉,，那么對(duì)于某個(gè)特定的kz方向截面而言,，只要其中不包含外爾點(diǎn)，那么這個(gè)截面就是一個(gè)二維絕緣體系統(tǒng)的布里淵區(qū),，可以定義其TKNN指數(shù)（陳數(shù)）,記為C(kz),。接下來(lái)要證明的是當(dāng)kz方向截面穿過(guò)某一個(gè)外爾點(diǎn)時(shí)，按照該外爾點(diǎn)的手性,，其TKNN指數(shù)（陳數(shù)）將跳變+1或-1,。為證明這一點(diǎn)，讓我們來(lái)考察圖三中由跳變前后的兩個(gè)kz截面（紅色截面）以及四個(gè)側(cè)表面所組成的長(zhǎng)方體,。顯然這個(gè)長(zhǎng)方體是一個(gè)三維空間中的封閉曲面,，并且包圍著一個(gè)孤立的外爾點(diǎn)，如圖三所示,。前面講過(guò),，從貝里曲率的觀點(diǎn)看，外爾點(diǎn)是貝里曲率或者說(shuō)是動(dòng)量空間磁場(chǎng)所對(duì)應(yīng)的”磁單極子“,，滿足高斯定律,，即流出任何一個(gè)封閉曲面的“磁通量”積分等于其中包圍的”磁單極子“也就是外爾點(diǎn)的總”磁荷“。而對(duì)于上圖定義的長(zhǎng)方體而言,，很容易證明通過(guò)四個(gè)側(cè)表面流出的“磁通量”兩兩互相抵消,，原因是由于布里淵區(qū)的緊致性，左邊側(cè)面等價(jià)于右邊側(cè)面,，所以左邊流出的“磁通量”嚴(yán)格等于右邊流入的“磁通量”,，同理前后側(cè)面流出的“磁通量”也將互相抵消,。于是高斯定理告訴我們上下表面流過(guò)的“磁通量”之差，必須等于被夾在其中的外爾點(diǎn)的“磁（手）荷（性）”,，而前面說(shuō)過(guò)上下表面可以看成是二維布里淵區(qū),，其上流過(guò)的總“磁通量”積分就等于TKNN指數(shù)（陳數(shù)），所以這就證明了當(dāng)kz方向截面穿過(guò)某一個(gè)外爾點(diǎn)時(shí),，其TKNN指數(shù)（陳數(shù)）將發(fā)生由該外爾點(diǎn)手性所決定的+1或-1的跳變,。然后再讓我們來(lái)考察當(dāng)kz從整個(gè)三維布里淵區(qū)的下底面kz＝-π演化到上底面kz＝π時(shí)，定義在相應(yīng)kz截面上的TKNN指數(shù)的變化,，又由于布里淵區(qū)的緊致性上下底面是嚴(yán)格等價(jià)的,，也就是說(shuō)它們的TKNN指數(shù)是一樣的，于是從kz＝-π到π,，跨越整個(gè)布里淵區(qū)的過(guò)程中遇到的所有外爾點(diǎn)的“磁（手）荷（性）”相加必須等于零,。這就證明了在任何格點(diǎn)體系中，外爾點(diǎn)必須是一正一反成對(duì)出現(xiàn)的,，以保證整個(gè)布里淵區(qū)內(nèi)的總“磁（手）荷（性）”為零,。

圖三，總是成對(duì)出現(xiàn)的外爾點(diǎn),。

 表面上的費(fèi)米弧是外爾半金屬中出現(xiàn)的另一個(gè)奇異物性,。所謂費(fèi)米弧，指的是開放費(fèi)米面,。在金屬中,，費(fèi)米面的定義就是準(zhǔn)粒子能量等于化學(xué)勢(shì)的等能曲面。在普通二維金屬中,，由于能帶色散是連續(xù)函數(shù),，所以它的等能線通常是閉合的。而外爾半金屬的表面態(tài)則很特殊,，它雖然也是一個(gè)二維體系卻不能脫離三維體材料而單獨(dú)存在。本質(zhì)上,，外爾半金屬表面態(tài)形成的費(fèi)米面仍然是封閉的,，只是另半邊費(fèi)米弧通過(guò)體內(nèi)的外爾點(diǎn)連到了下表面，如圖四所示,。

圖四,，外爾半金屬表面的費(fèi)米弧。

 這種特殊的費(fèi)米弧其實(shí)也不難理解,，讓我們來(lái)考察圖五(a)中包圍著一個(gè)外爾點(diǎn)的圓柱體,，再啰嗦一句，這個(gè)圓柱體其實(shí)是一個(gè)輪胎面,，因?yàn)樯舷碌酌娴葍r(jià),，所以它也可以被看作是某個(gè)二維體系的布里淵區(qū),。于是再一次利用高斯定理，我們可以得到,，穿過(guò)這個(gè)圓（輪）柱（胎）體（面）的總“磁通量”積分,，也就是該二維體系的TKNN指數(shù)，等于被圍于其中的外爾“磁荷”總數(shù),。具體到圖五(a)的情況,，假設(shè)被圍的外爾點(diǎn)手性為+1，那么這個(gè)二維體系的TKNN指數(shù)就是+1. 然后,，我們?cè)賮?lái)考察在z方向形成的表面,，圖五(a)中的圓（輪）柱（胎）體（面）投影到該表面形成一個(gè)圓環(huán)，圍著外爾點(diǎn)的表面投影點(diǎn),，如圖五(b)中紅線所示,。這個(gè)圓環(huán)就是上述TKNN指數(shù)為+1的二維體系的邊緣布里淵區(qū)，而我們知道這樣的二維體系會(huì)有一個(gè)單向色散的邊緣態(tài),，就像量子霍爾效應(yīng)或量子反?；魻栃?yīng)體系一樣。于是在上述紅色圓環(huán)上就只有一個(gè)費(fèi)米點(diǎn),，記住這一圓柱體的半徑是可以改變的,，只要它圍著同一個(gè)外爾點(diǎn)，于是在表面布里淵區(qū)內(nèi)每一個(gè)包圍同一個(gè)外爾投影點(diǎn)的圓環(huán)上都有且只有一個(gè)費(fèi)米點(diǎn),，把它們連起來(lái)就形成了一段開放的弧線,，不難證明這段弧線只能終止于另一個(gè)手性相反的外爾點(diǎn)投影，如圖五(b)所示,。對(duì)于絕大多數(shù)外爾半金屬材料而言,，費(fèi)米能都沒(méi)有那么巧，正好穿過(guò)外爾點(diǎn),，總是有一點(diǎn)偏差,，由此形成有限大小的包圍著外爾點(diǎn)的三維費(fèi)米面，投影到表面就形成圖五(b)中的藍(lán)色區(qū)域,，蓋住了相應(yīng)的外爾點(diǎn)投影,。利用剛才介紹的取圓柱體的分析方法，不難證明,，只要覆蓋不同手性外爾點(diǎn)的三維費(fèi)米面投影,，（如圖五(b)中的兩塊藍(lán)色區(qū)域），并不彼此相連,，那么雖然說(shuō)在藍(lán)色區(qū)域之內(nèi)的表面態(tài)不再受到拓?fù)浔Ｗo(hù),，但在藍(lán)色區(qū)域之外必然存在一段受到拓?fù)浔Ｗo(hù)的費(fèi)米弧存在。這一點(diǎn)請(qǐng)從事角分辨光電子能譜研究的同事切記。

圖五（a）三維布里淵區(qū)中的一個(gè)外爾點(diǎn) （b）在表面布里淵區(qū)的投影

金屬的最大特點(diǎn)是會(huì)導(dǎo)電,，體現(xiàn)于它在外加電磁場(chǎng)下的響應(yīng),，而外爾半金屬的響應(yīng)則跟普通金屬非常不同。在文獻(xiàn)中,，大家經(jīng)?？梢宰x到兩個(gè)互相聯(lián)系而又有所區(qū)別的效應(yīng)，即手性反常(Chiral anomaly)和手性磁效應(yīng)(Chiral magnetic effect),。手性反常指的是具有特定手性的外爾費(fèi)米子數(shù)目,，在平行磁場(chǎng)和電場(chǎng)的作用下不守恒，由于在實(shí)際固體材料中外爾點(diǎn)是成對(duì)出現(xiàn)的,，所以這種不守恒不會(huì)導(dǎo)致整體電子數(shù)不守恒,，而是把一種手性的電子轉(zhuǎn)變成另一種手性。而手性磁效應(yīng)則是指在靜磁場(chǎng)下,，某個(gè)特定的外爾點(diǎn)附近的電子態(tài)會(huì)貢獻(xiàn)一種特殊的電流,，根據(jù)外爾點(diǎn)手性的不同，這種電流平行或反平行于磁場(chǎng)方向,。手性磁效應(yīng)最奇特的地方在于這種手性電流嚴(yán)格由磁場(chǎng)方向和外爾點(diǎn)的手性決定,，與任何晶體方向或其他材料細(xì)節(jié)無(wú)關(guān)，是一種典型的演生現(xiàn)象,。由于固體中的外爾點(diǎn)總是成對(duì)出現(xiàn),，在平衡態(tài)下，不同手性的外爾點(diǎn)貢獻(xiàn)的電流嚴(yán)格抵消,，體系的宏觀電流為零,。而一旦在外場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下，形成非平衡態(tài),，造成不同手性的外爾點(diǎn)處的化學(xué)勢(shì)不相等,，則手性磁效應(yīng)就會(huì)導(dǎo)致上述手性電流，比如在平行磁場(chǎng)和電場(chǎng)的作用下,，手性反常效應(yīng)造成不同手性的電子之間出現(xiàn)化學(xué)勢(shì)差,，而進(jìn)一步由手性磁效應(yīng)形成平行于磁場(chǎng)的電流，在實(shí)驗(yàn)上體現(xiàn)出來(lái)就是當(dāng)電場(chǎng)平行于磁場(chǎng)時(shí)出現(xiàn)負(fù)磁阻,。這是手性磁效應(yīng)在直流輸運(yùn)中的體現(xiàn),，當(dāng)然這種不同手性外爾點(diǎn)之間的不平衡也可以由其他外場(chǎng)來(lái)驅(qū)動(dòng)，如最近我們提出的利用光場(chǎng)和聲子場(chǎng)驅(qū)動(dòng)的手性磁效應(yīng),。

 目前,，對(duì)于包括外爾半金屬在內(nèi)的各種拓?fù)浒虢饘俚难芯糠脚d未艾,，除了特殊的表面態(tài)以外,，對(duì)其輸運(yùn)和光學(xué)性質(zhì)的研究是其中最迷人的部分，特別是在磁場(chǎng)下的行為，與傳統(tǒng)的金屬和半導(dǎo)體都截然不同,，是大有可為的創(chuàng)新領(lǐng)域,。