例1. 已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,，,，點E,、F分別是棱AB,、PD的中點,，∠PDA=45°。把下列命題中正確命題的序號填在題后的橫線上,。

（1）棱AB與PD所在的直線垂直。

（2）平面PAB與平面PAD所成的二面角是

（3）直線AF//平面PEC,；

（4）平面PEC⊥平面PCD。

其中正確命題的序號是___________________,。

思路分析：根據(jù)已知條件畫出圖形（如圖）,，進而由三垂線定理及垂直的判定與性質(zhì)定理進行判斷。

解題過程：（1）ABCD,，,，由三垂線定理知，結(jié)論正確,。

（2）由已知得是平面PAB與平面PAD所成的二面角，故結(jié)論正確,。

（3）取PC的中點N，連接FN,、EN，則易證四邊形AFNE是平行四邊形,，故結(jié)論正確,。

（4）由∠PDA=45°,，F是PD的中點知,，又

    ,，故結(jié)論正確。

即正確結(jié)論的序號是（1）（2）（3）（4）,。

解題后的思考：對于有關空間中的平行與垂直關系命題的判斷，解題的關鍵依然是平行,、垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應用,，同學們應熟練地掌握。這類問題在新課標高考命題中出現(xiàn)的頻率很高,。

例2. 已知在多面體ABCDE中,，AB⊥平面ACD,，DE∥AB，AC = AD = CD = DE = 2,，F為CD的中點。

（I）求證：AF⊥平面CDE,；

（II）求平面ABC和平面CDE所成的小于90°的二面角的大??；

       思路分析：（I）要證線面垂直,，只要證線線垂直即可,，由已知可得：，

（II）方法（一）要求求平面ABC和平面CDE所成的小于90°的二面角的大小,，首先要作出二面角，由于本例是無棱二面角,，故根據(jù)已知條件找出平面ABC和平面CDE的交線即可,。

    方法（二）利用空間向量求解,。

解題過程：   （I）證明：∵AB⊥平面ACD,，AB∥DE,，∴DE⊥平面ACD,，

∵AF平面ACD，∴DE⊥AF．

又∵AC=AD=CD,，F為CD的中點,，∴AF⊥CD．

∵DEì平面CDE，CDì平面CDE,，CD∩DE＝D,，∴AF⊥平面CDE．

    （Ⅱ）方法一：∵AB∥DE，ABì平面CDE,，DEì平面CDE,，

∴AB∥平面CDE，設平面ABC∩平面CDE＝，則∥AB

即平面ABC與平面CDE所成的二面角的棱為直線．

∵AB^平面ADC,，∴^平面ADC．∴^AC,，^DC．

∴DACD為平面ABC與平面CDE所成二面角的平面角．

∵AC＝AD＝CD，∴DACD＝60°,，

∴平面ABC和平面CDE所成的小于90°的二面角的大小為60°．

方法二：如圖,，以F為原點，過F平行于DE的直線為x軸,，

FC,，FA所在直線為y軸，z軸建立空間直角坐標系．

∵AC＝2,，∴A（0,，0，）,，

設AB＝x,，B（x，0,，）,，C（0，1,，0）

       ＝（x,，0，0）,，＝（0,，1，－）,，

設平面ABC的一個法向量為

則由·＝0,，·＝0，得x＝0,，y＝z,，

不妨取z＝1，則＝（0,，,，1）．

∵AF^平面CDE，∴平面CDE的一個法向量為＝（0,，0,，）．

，,，,，

∴平面ABC與平面CDE所成的小于90°的二面角的大小為60°．

       解題后的思考：證明線面垂直的方法有：①若一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線,，則該直線垂直于此平面；②兩平行直線中的一條直線垂直于一個平面,，則另一條直線也垂直于此平面,；③一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則它也垂直于另一個平面,；④兩平面垂直,，則其中一個平面內(nèi)垂直于交線的直線也垂直于另一個平面；⑤證明直線的方向向量與平面的法向量共線,。

例3. 已知三棱錐中,，，,，⊥平面,，，分別是上的動點,，且,，

（Ⅰ）求證：不論為何值，總有平面⊥平面,；

（Ⅱ）當為何值時,，平面⊥平面？

思路分析：（I）要證不論為何值,，總有平面⊥平面，只要證明不論為何值,，總有平面即可,。因為EF與CD平行與的取值無關。

（II）根據(jù)⊥平面及平面⊥平面等條件,，求出,。

解題過程：（Ⅰ）證明：∵平面，∴,，

       ∵,，且，∴平面,，

又∵（）,，

       ∴不論為何值，恒有,，∴平面,，平面，

       ∴不論為何值,，恒有平面⊥平面．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,，，故，又要求平面平面,，

∴平面,，∴，

∵,，,，，

∴,，

∴,，由得，

∴,，

故當時,，平面平面．

解題后的思考：證明面面垂直的關鍵是證明線面垂直，而證明線面垂直則要證明線線垂直,，這些垂直關系的判定與性質(zhì)定理在證明過程中會交替使用,。證明面面垂直的方法有：①相交且成直二面角的兩平面垂直；②一平面經(jīng)過另一平面的一條垂線,，則兩平面垂直,；③利用空間向量證明兩個平面的法向量垂直。