【本講教育信息】

一. 教學(xué)內(nèi)容：

       3.2.3  直線與平面的夾角

3.2.4  二面角及其度量

3.2.5  距離

二. 教學(xué)目的

1,、理解斜線和平面所成的角的定義，體會(huì)夾角定義的唯一性,、合理性,；會(huì)求直線與平面的夾角．

2、掌握二面角的概念，二面角的平面角的定義,，會(huì)找一些簡(jiǎn)單圖形中的二面角的平面角,；掌握求二面角大小的基本方法與步驟．

3、理解圖形F₁與圖形F₂的距離的概念,；掌握點(diǎn)線距,、線線距、線面距,、面面距的概念,，會(huì)解一些簡(jiǎn)單的與距離有關(guān)的問(wèn)題．

三. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

◆重點(diǎn)：

（1）斜線與平面所成的角（或夾角）及其求法,；

（2）二面角的概念,，二面角的平面角的定義；

（3）點(diǎn)線距,、線線距,、線面距、面面距的概念,；點(diǎn)到平面距離的求法．

◆難點(diǎn)：

（1）二面角大小的求法．

（2）斜線與平面所成的角的求解,；公式的靈活運(yùn)用．

四. 知識(shí)分析

3.2.3直線與平面的夾角

1、提出問(wèn)題：

（1）直線與平面的位置關(guān)系有哪些,？（l,，或l//α，或l（l⊥α））

（2）當(dāng)直線與平面斜交時(shí),，“傾斜程度”該如何衡量,？（此時(shí)，對(duì)線面角的提出有了強(qiáng)烈的要求）

（3）線面角的大小怎樣度量,？

方案：轉(zhuǎn)化為合適的線線角．

【探究】已知平面γ及它的一條斜線l,，斜足為O，則過(guò)O在平面γ內(nèi)的直線m與l所夾的角是否不變,？

先觀察：肯定變化

再論證：在l上取一點(diǎn)P,，作PQ⊥γ于Q，過(guò)Q作QM⊥m于M,，連接PM,，易知PM⊥m．如圖記l與m所成的角（即∠POM）為β，記l與它在平面γ上的射影OQ所成的角為θ,，∠QOM＝α在OM上取單位向量,，則

這說(shuō)明，由于θ為定角,，所以β隨α而變化：

當(dāng)α＝0°時(shí),，取得最大值,，從而β取最小值θ；

當(dāng)α＝90°時(shí),，取得最小值，從而β取最大值90°,；

【結(jié)論】

斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角,，是斜線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角．

2、定義：斜線和它在平面內(nèi)的射影的夾角叫做斜線和平面所成的角（或斜線和平面的夾角）．

注：（1）數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化：線面角→面面角

（2）關(guān)鍵：找射影

【練習(xí)】

（1）在棱長(zhǎng)都為1的正三棱錐S－ABC中,，側(cè)棱SA與底面ABC所成的角是________．

（2）在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中,，

①BC₁與平面AB₁所成的角的大小是___________；

②BD₁與平面AB₁所成的角的大小是___________,；

③CC₁與平面BC₁D所成的角的大小是___________,；

④BC₁與平面A₁BCD₁所成的角的大小是___________；

⑤BD₁與平面BC₁D所成的角的大小是___________,；

（3）已知空間內(nèi)一點(diǎn)O出發(fā)的三條射線OA,、OB、OC兩兩夾角為60°,，試求OA與平面BOC所成的角的大?。?/span>

3.2.4二面角及其度量

1、二面角的概念及記法

定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角,；叫做二面角．

說(shuō)明：對(duì)二面角概念的理解,，可類比與平面幾何中角的定義．射線——半平面，頂點(diǎn)——棱．

2,、二面角的平面角

定義：在二面角的棱上任取一點(diǎn)O,，在兩半平面內(nèi)分別作射線OA⊥l，OB⊥l,，則∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量．我們約定,，二面角的范圍[0°，180°]．

【探討】嘗試用向量求二面角的大小

如圖所示,，分別在二面角的面α,、β內(nèi)，并且沿α,，β延伸的方向,，作向量n₁⊥l，n₂⊥l,，則我們可以用向量n₁與n₂的夾角來(lái)度量這個(gè)二面角．

     如圖,，設(shè)m₁⊥α，m₂⊥β,，則角<m₁,，m₂>與該二面角相等或互補(bǔ)．

3,、求二面角平面角的方法

（1）定義法

實(shí)例：過(guò)空間一點(diǎn)O出發(fā)的三條射線OA、OB,、OC,，兩兩夾角60°，試求二面角B－OA－C的大?。?/span>

分析：如圖,，在射線OA上取點(diǎn)P，使OP＝1,，過(guò)P作PM⊥OA,，交OB于M，作PN⊥OA,，交OC于N,，連接MN．則顯然∠MPN為所求二面角的一個(gè)平面角．

利用已知條件可以迅速求出OM＝ON＝MN＝2，PM＝PN＝．利用余弦定理,，就可以求出∠MPN的大小為．

（2）三垂線定理

實(shí)例：如圖,，已知直角Rt△ABC，∠ACB＝90°,，PB⊥平面ABC,，試求二面角B－PA－C的大小．

分析：由已知,，得：平面PAB⊥平面ABC,，為了找此二面角的一個(gè)平面角，我們可先過(guò)C作CM⊥AB,，這樣CM⊥平面PAB,，然后，過(guò)M作MN⊥PA于N,，連接CN．根據(jù)三垂線定理,，得：CN⊥PA，于是∠MNC就是所求二面角的一個(gè)平面角．（想一想,，還可以怎么做,？）

3.2.5距離

【求距離的注意事項(xiàng)】

（1）求空間各種距離時(shí)，要緊緊抓住線線,、點(diǎn)面,、線面、面面之間距離的轉(zhuǎn)化,，其中,，最基本、最重要的是點(diǎn)面距．

（2）求距離和求角一樣,，都要按照一作二證三計(jì)算的步驟進(jìn)行,，不可忽視第二步的證明．

（3）求距離時(shí),，要注意四點(diǎn)：

①合理選點(diǎn)：當(dāng)線面平行時(shí)，選端點(diǎn)中點(diǎn),、交點(diǎn)．當(dāng)用體積法求點(diǎn)面距時(shí),，選高線長(zhǎng)容易確定的頂點(diǎn)．

②點(diǎn)點(diǎn)距離等于向量的模長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系,，探求向量坐標(biāo),，繼而求出模長(zhǎng)、思路更加清晰,，學(xué)生更易掌握．

③異面直線的距離注意考綱要求,，不要擴(kuò)張．

④注意立體幾何與代數(shù)內(nèi)容的結(jié)合點(diǎn),，如幾何背景下的函數(shù)最值問(wèn)題,，幾何問(wèn)題代數(shù)化的向量方法等等．

【典型例題】

例1. 正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，如圖所示,，E,，F分別是棱AA₁、AB的中點(diǎn),，求EF和平面ACC₁A₁所成角的大?。?/span>

       解析：解法1：過(guò)F作FG⊥AC于點(diǎn)G，連結(jié)EG,，

       ∵平面⊥平面ABCD且交線為AC

       ∴FG⊥平面,，

       EG為EF在平面內(nèi)的射影，

       ∴∠GEF即為EF與平面所成的角

       設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,，則

       又RtΔAGF中,，∠GAF＝

       ∴

       ∴RtΔEGF中，

       ∴∠GEF＝

       解法2：∵E,、F分別是、AB的中點(diǎn)

       ∴

       ∴所求即為與平面所成角

       設(shè)AC和中點(diǎn)為，則

       由平面平面ABCD得

       ∴∠即為所求．

       設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,，

       RtΔ中,，

       ∴

       解法3：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

       設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,，則E（2,，0，1）,，F（2,，1，0）

       作FG⊥AC于G,，由解法1知,，∠GEF即為所求．

       ∵RtΔAGF中,，∠GAF

       ∴

       ∴G（，,，0）,，（，,，－1）,，（0，1,，－1）

       ∴

       ∴

       ∴EF與平面所成角為．

點(diǎn)評(píng)：此題考查直線和平面所成角,，其中，利用定義找射影是基本方法,，確定斜線在平面內(nèi)射影的一般步驟：先找直線上不同斜足的一點(diǎn)（通常是已知的相關(guān)點(diǎn)）在平面內(nèi)的射影,，再將其與斜足連結(jié)，即得．

例2.（2004,，江蘇卷）在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中,，O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心，點(diǎn)P在棱CC₁上,，且CC₁＝4CP．

（1）求直線AP與平面BCC₁B₁所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；

（2）設(shè)O點(diǎn)在平面D₁AP上的射影是H,，求證：D₁H⊥AP,；

（3）求點(diǎn)P到平面ABD₁的距離．

       解析：（1）∵AB⊥平面，

       ∴AP與平面所成的角就是∠APB．

       如圖建立空間直角坐標(biāo)系,，坐標(biāo)原點(diǎn)為D．

       ∵

       ．

       ．

       ∵,，

       ．

       ∴直線AP與平面所成的角為．

       （2）連結(jié)，由（1）（0,，0,，4），O（2,，2,，4）．

       ∴（2，2,，0）,，．

       ∴．

       ∵平面的斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影是，

       ∴．

       （3）連結(jié),，在平面中,，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC₁于點(diǎn)Q．

       ∵AB⊥平面，．

       ∴PQ⊥AB

       ∴PQ⊥平面．

       ∴PQ就是點(diǎn)P到平面的距離．

       在RtΔ中,，∠C₁QP＝90°,，

       ∠PC₁Q＝45°,，PC₁＝3，∴,，

       即點(diǎn)P到平面ABD₁的距離為．

例3. 如圖,，在底面是直角梯形的四棱錐S—ABCD中，∠ABC＝90°,，SA⊥面ABCD,，SA＝AB＝BC＝1，．求面SCD與面SAB所成角的二面角θ的正切值．

       解析：以A為原點(diǎn),，AD,，AB，AS分別為x,，y,，z軸建立直角坐標(biāo)系，依題意有

       S（0,，0,，1）,，C（1,，1，0）,，D（,，0，0）,，

       設(shè)（x,，y，z）是面SCD的一法向量,，

       則

       ．

       解得n＝（2,，－1，1）,，

       因?yàn)?/span>＝（,，0，0）是面SAB的一法向量,，

       所以,，．

例4. 如圖，底面等腰直角三角形的直三棱柱,，∠C＝,，，D為上的點(diǎn),，且,，求二面角的大?。?/span>

       解析：因?yàn)椤?/span>C＝，所以AC⊥BC,，又直三棱柱,，于是以C為原點(diǎn)，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,，設(shè),，則A（0，3,，0）,，B₁（3，0,，3）,，D（0，0,，2）,，

       所以（0，－3,，2）,，＝（3，－3,，3）

       設(shè)平面的法向量為（1,，λ，μ）,，

       則           即

       所以               所以＝（1,，－2，－3）．

       而平面的法向量即為＝（0,，3,，0），

       所以

       ∴所求二面角大小為

【模擬試題】

1. 正方體中,，直線與平面所成角的余弦值為（    ）

       A.                        B.                         C.                         D.

  2. 正四面體ABCD,，E、F分別為AC,、AD中點(diǎn),，則ΔBEF在面ADC上的射影是（    ）

  3. 平行六面體中，六個(gè)面都是菱形,，則在平面上的射影是Δ的（    ）

       A. 重心                       B. 外心                       C. 內(nèi)心                       D. 垂心

  4. 一直線與兩個(gè)互相垂直的平面所成的角分別為α,、β，則（    ）

       A.                                               B.

       C.                                               D.

  5. 一直線l，與平面α斜交成θ角,，那么直線l與平面α內(nèi)所有直線所成的角中,，最小角和最大角分別是（    ）

       A. 0，                     B. θ,，              C. 不能確定                D. 以上都不對(duì)

  6. 已知在ΔABC中,，AB＝9，AC＝15,，∠BAC,，平面ABC外一點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都是14，那么點(diǎn)P到面ABC的距離為（    ）

       A. 49                           B.                        C.                       D. 7

  7. 線段AB夾在直二面角內(nèi),，,，，AB與α,、β所成的角分別為θ,、，那么為（    ）

       A.                        B.                        C.                        D.

  8. 平面α內(nèi)的∠MON＝60°,，PO是平面α的斜線段,，PO＝3，且PO與∠MON的兩邊都成45°的角,，則點(diǎn)P到α的距離為（    ）

       A.                         B.                       C.                         D.

  9. E是正方形ABCD的邊AB的中點(diǎn),，將ΔADE和ΔBCE沿DE、CE向上折起,，使A,、B重合于點(diǎn)P,，則二面角D—PE—C的大小為（    ）

       A. 45°                        B. 60°                        C. 90°                        D. 大于90°

  10. 在棱長(zhǎng)為1的正方形中,，平面與平面的距離為（    ）

       A.                           B.                            C.                         D.

  11. 在三棱錐P—ABC中，若PA＝PB＝PC,，則點(diǎn)P在面ABC內(nèi)的射影是ΔABC的__________．

  12. 長(zhǎng)方體中,，，AB＝2a,，則對(duì)角線與平面ABCD所成角的余弦值為__________．

  13. ΔABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,、B、C到平面α的距離分別為2cm,，3cm,，4cm，且它們?cè)讦恋耐瑐?cè),，則ΔABC的重心到平面α的距離為__________．

  14. 已知RtΔABC的直角頂點(diǎn)C在平面α內(nèi),，斜邊AB//α，AB，AC,、BC分別和平面α成45°和30°角,，則AB到平面α的距離為__________．

  15. 在正四邊體A—BCD中，E,、F分別為AD,、BC中點(diǎn)．

       （1）求AF與CE所成角的余弦值．

       （2）求CE與面BCD所成的角．

  16. 在直三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,，,，求直線與側(cè)面所成的角．

  17. 已知正方體的棱長(zhǎng)為a，M為中點(diǎn),，O為的中點(diǎn)．

       （1）求證：MO為與的公垂線段,，并求OM長(zhǎng)；

       （2）求證：與面所成的角．

       （3）求證：,；

       （4）求證：平面//平面,，并求這兩個(gè)平面的距離．

  18. 如圖：多面體由底面為ABCD的長(zhǎng)方體被截面AEFG所截而得，AB＝4,，BC＝1,，BE＝3，CF＝4,，建立如圖坐標(biāo)系．

       （1）求與點(diǎn)G的坐標(biāo),；

       （2）求異面直線EF與AD所成的角；

       （3）求截面AEFG與底面ABCD所成的銳二面角的正切值．

【試題答案】

  1~10    C A D D A    D D A B C

  11. 外心

  12.

  13. 4

  14. 2

  15. 證明：（1）AB＝AC＝AD＝a

       設(shè),，,，

       ，

       ,，

       ,，

       ∴，

       ∴AF與CE夾角為．

       （2）AO為正四面體的高,，

       ,，（EH為過(guò)BCD作的垂線段）

       ∠ECH為EC與面BCD所成的角，

       ,，

       ∴CE與面BCD所成的角為

  16. 取中點(diǎn)D,，

       ∵Δ是正Δ，∴

       ∵是直棱柱

       ∴

       連結(jié)AD．

       ∴∠DAB₁是所求的角,，,，，

       ∴∠DAB,，∴∠

  17. （1）建立如圖坐標(biāo),，A₁（a，0，0）,，A（a,，0，a）,，B₁（a,，a，0）,，D（0,，0，a）,，O（,，，）,，M（a,，0，）,，

       ,，OM⊥AA₁．

       ，OM⊥BD．

       ．

       （2）,，

       ∴B₁D與面AB₁成角為

       （3）B₁D⊥A₁C₁,，B₁D⊥A₁B，

       ∴B₁D⊥面A₁BC₁．

       （4）,，,，

       ∴面．

       ∵，

       ∴的法向量,，

       （－a,，－a，a）,，

       ∴面距離．

  18. 解析：由題圖可知A（1,，0，0,，），B（1,，4,，0），E（1,，4,，3），F（0，4,，4）,，

       ∴（－1，0,，1）．

       設(shè)G（0,，0，z）,，因?yàn)槠矫?/span>ADG//平面BCFE,，且截面AEFG截平面ADG和平面BCFE分別于AG、EF,，所以AC//EF,，同理可得AE//FG．

       ∴四邊形AEFG是平行四邊形．

       ∴                 ∴（－1，0,，1）＝（－1,，0，z）,，．

       ∴G（0,，0，1）．

       （2）＝（－1,，0,，0），∵,，,，

       ，

       ∴．

       ∴

       即AD與EF所成的角為45°

       （3）＝（1,，4,，3）－（1，0,，0）＝（0,，4，3）,，

       ．．

       ,，∴

       S_{平行四邊形AEFG}＝．

       由射影面積，設(shè)平面AEFG與平面ABCD成θ°角

       ∴,，∴．